Об одной задаче сближения для колебательных систем
The problem of soft meeting of two controlled oscillatory systems is treated. Sufficient conditions for pursuit termination in a finite time are obtained. An explicit formula for control of the pursuer is derived, under special condition for finding “tracks” of the evader.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84919 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной задаче сближения для колебательных систем / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 9-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84919 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-849192015-07-18T03:01:27Z Об одной задаче сближения для колебательных систем Чикрий, Г.Ц. The problem of soft meeting of two controlled oscillatory systems is treated. Sufficient conditions for pursuit termination in a finite time are obtained. An explicit formula for control of the pursuer is derived, under special condition for finding “tracks” of the evader. 2005 Article Об одной задаче сближения для колебательных систем / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 9-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84919 518.9 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The problem of soft meeting of two controlled oscillatory systems is treated. Sufficient conditions for pursuit termination in a finite time are obtained. An explicit formula for control of the pursuer is derived, under special condition for finding “tracks” of the evader. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, Г.Ц. |
| spellingShingle |
Чикрий, Г.Ц. Об одной задаче сближения для колебательных систем Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Чикрий, Г.Ц. |
| author_sort |
Чикрий, Г.Ц. |
| title |
Об одной задаче сближения для колебательных систем |
| title_short |
Об одной задаче сближения для колебательных систем |
| title_full |
Об одной задаче сближения для колебательных систем |
| title_fullStr |
Об одной задаче сближения для колебательных систем |
| title_full_unstemmed |
Об одной задаче сближения для колебательных систем |
| title_sort |
об одной задаче сближения для колебательных систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84919 |
| citation_txt |
Об одной задаче сближения для колебательных систем / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 9-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijgc obodnojzadačesbliženiâdlâkolebatelʹnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-06T12:02:30Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:02:30Z |
| _version_ |
1836898950236340224 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 9
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассматривается задача о мяг-
кой встрече двух управляемых ко-
лебательных систем. Получены
достаточные условия завершения
преследования за конечное время.
При выполнении специального ус-
ловия о «взятии следа» убегающе-
го выведена формула для управле-
ния преследователя в явном виде.
Г.Ц. Чикрий, 2005
ÓÄÊ 518.9
Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÑÁËÈÆÅÍÈß ÄËß
ÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Введение. Основой применения прямых ме-
тодов преследования является выполнение
условия Л.С. Понтрягина [1]. Однако оно не
выполняется для целых классов задач, таких
как задачи о мягкой встрече объектов, задачи
преследования для колебательных систем и
др. Д. Зонневенд предложил модификацию
условия Понтрягина, основанную на идее
построения управления преследователя по
информации о поведении противника в про-
шлом [2]. Выяснение связи такого подхода с
фактическим переходом к новой игре с за-
паздыванием информации (Г.Ц. Чикрий [3])
способствовало его более глубокому пони-
манию и дальнейшему развитию. Были по-
лучены условия для мягкой встречи объек-
тов, динамика которых соответствует второ-
му закону Ньютона при наличии трения, в
частном случае приводящие к движению
преследователя по геометрическому следу
убегающего [4, 5]. В данной работе впервые
исследуется задача о мягкой встрече двух
объектов, имеющих динамику «математиче-
ского маятника».
Рассмотрим следующие две управляемые
колебательные системы:
uxax ρ=+ 2&& , n
Rx ∈ , 1|||| ≤u ; (1)
vyby σ=+ 2&& , n
Ry ∈ , 1≤v , (2)
где x и y – их геометрические координаты
(условно говоря, преследователя и убегаю-
щего); u и v – их управления, выбираемые в
каждый текущий момент времени таким об-
разом, чтобы их реализации были измери-
мыми функциями; σρ,,, ba – положите-
льные числа. Заданы начальные положения и
Г.Ц. ЧИКРИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 10
скорости объектов:
0)0( xx = , 0)0( xx && = , 0)0( yy = , 0)0( yy && = .
Цель преследователя – добиться в некоторый конечный момент времени
одновременного совпадения геометрических координат и скоростей преследо-
вателя и убегающего, так называемой мягкой встречи, при любом противодей-
ствии противника.
Таким образом, предметом изучения является дифференциальная игра, в ко-
торой терминальное множество задается равенствами yx = , yx && = .
Перейдем от систем второго порядка (1), (2) с помощью замены перемен-
ных xx =1 , xx &=2 , yy =1 , yy &=2 к системам первого порядка
21 xx =& , uxax ρ+−= 1
2
2& ; (3)
21 yy =& , vyby σ+−= 1
2
2& (4)
с начальными условиями
0
0
11 )0( xxx == , ;)0( 0
0
22 xxx &==
0
0
11 )0( yyy == , .)0( 0
0
22 yyy &==
Тогда терминальное множество является линейным подпространством в
n
R
4 и имеет вид
( ){ }.:2,1,,,,,, 2121 ii
n
i
n
i yxiRyRxyyxxM ==∈∈=
Система (3), (4) является частным случаем 4 n -мерной линейной дифферен-
циальной системы VvUuvuAzz ∈∈−+= ,,& , где A – квадратная матрица,
множества управлений U и V – выпуклые компакты.
В нашем примере
−
−
=
000
000
000
000
2
2
Eb
E
Ea
E
A ,
ρ
=
0
0
0
S
U ,
σ
=
S
V
0
0
0
,
где 0 и E – нулевая и единичная n -мерные матрицы, { }1: ≤∈= xRxxS
n .
Фундаментальная матрица системы (3), (4) такова
⋅⋅−
⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅
=
EatEbtb
Ebt
b
Ebt
EatEata
Eat
a
Eat
e
At
cossin00
sin
1
cos00
00cossin
00sin
1
cos
.
Обозначим π – оператор ортогонального проектирования из пространства
n
R
4 на подпространство L , являющееся ортогональным дополнением к M в
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 11
n
R
4 . Тогда мягкая встреча игроков в некоторый момент T , 0≥T , означает, что
0)( =π Tz . Заметим, что оператору π соответствует матрица
−
−
=π
E
E
E
E 0
0
0
0
.
Будем считать, что для достижения своей цели преследователь использует
контр-управления, т. е. в каждый текущий момент времени он строит свое
управление по мгновенному значению управления убегающего.
Для применения к решению этой задачи прямых методов необходимо вы-
полнения условия преимущества в ресурсах управления преследователя над
убегающим, выраженное через параметры игры, так называемого условия Пон-
трягина:
∅≠ππ= ∗ VeUetW
AtAt)( для всех 0≥t . (5)
В нашей задаче многозначное отображение )(tW имеет следующий вид:
IU
Sv Su vbtuat
vbt
b
uat
atW
∈ ∈
σ−ρ
σ−ρ
=
coscos
sinsin
)( .
Анализ этого условия показывает: для того, чтобы оно выполнялось необ-
ходимо и достаточно выполнения довольно обременительных условий: kab = ,
где k – натуральное число, и
σ≥ργ , где
τ
τ
=γ
tgb
tga
a
b
,
π
∈τ
a
,0 .
В противном случае это условие может выполняться лишь периодически во
времени.
Здесь используем модификацию условия Понтрягина, предложенную в [1] и
развитую в [3 – 5]. Она основана на предположении, что преследователь строит
свое управление не по текущему управлению противника, а по его управлению в
прошлом.
Условие. Существует скалярная, монотонно возрастающая, непрерывно
дифференцируемая функция [ )∞∈ ,0),( ttI , такая, что ttII ≥= )(,0)0( и выпол-
нено следующее условие:
∅≠ππ= ∗ VetIUetW
AtIAt )(
1 )()( & для всех 0t ≥ . (6)
Несложные выкладки показывают, что в нашей задаче для выполнения этого
условия функция )(tI должна удовлетворять равенству tgatttgbI =)( . По-
скольку 0)0( =I , то искомая функция имеет вид: t
b
atI =)( , а достаточными
условиями выполнения условия (6) являются неравенства
22
ba
σ
≥
ρ
, ba ≥ . (7)
Г.Ц. ЧИКРИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 12
Введем обозначение
θ+π−≥== ∫
−
θ−
I
ttI
AtIAtI
Udezetztt
)(
0
))((0)(0
11 :0min)(
∅≠θθ∫
t
dW
0
1 )( , (8)
где ( )0
2
0
1
0
2
0
1
0 ,,, yyxxz = .
Согласно теореме 1 [4], если выполнено условие (6), время 1t существует и
конечно, то начиная из положения 0
z мягкая встреча может быть осуществлена
за время )( 1tI . Здесь 11)( t
b
a
tI = . На начальном полуинтервале [ )0,0 τ , где
1110 )( t
b
ba
ttI
−
=−=τ , преследователь использует программное управление,
выбираемое в самом начале игры на весь полуинтервал [ )0,0 τ . Начиная с мо-
мента 0τ в каждый момент t+τ0 , 10 tt ≤≤ , он строит свое управление по
управлению убегающего в момент )()( 110110 tt
b
a
tttIt −−+τ=−−+τ , как если
бы информация о текущем управлении убегающего поступала ему с временным
запаздыванием )()()()( 111 tt
b
ba
ttttIt −
−
=−−−=τ .
Существование обоих управлений преследователя, как программного так и
с обратной связью на соответствующих полуинтервале [ )0,0 τ и отрезке
[ ]100 , t+ττ , следует из непустоты пересечения многозначных отображений в
фигурных скобках в (8).
Рассмотрим частный случай этого пересечения, когда
{ } θθ
θπ+π−∈ ∫∫
−
θ−
dWUdeze
tttI
AtIAtI
I
111
11
0
1
)(
0
))((0)(
)(0 , (9)
где { }0 – нулевой вектор из n
R .
Из формулы (9) следуют два включения, левую и правую части первого
из которых умножим на матрицу
At
e 1−π , получаем
{ }
θπ+π−∈ ∫
−
θ−−−
Udeze
ttI
AttIAttI
11
1111
)(
0
))((0))((
0 , (10)
{ } θθ∈ ∫ dW
t1
0
1 )(0 . (11)
Включение (10) после подстановки конкретных параметров игры приоб-
ретает вид
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 13
( )[ ] ( )[ ]+−+− 11
0
211
0
1 )(sin
1
)(cos ttIax
a
ttIax ( )[ ] =θθθ−−∫
−
duttIa
a
ttI
)()(sin
1
11)(
0
11
( )[ ] ( )[ ]11
0
211
0
1 )(cos
1
)(cos ttIby
b
ttIby −+−= ;
( )[ ] ( )[ ]11
0
211
0
1 )(cos)(sin ttIaxttIaax −+−− ( )[ ] =θθθ−−+ ∫
−
duttIa
ttI 11)(
0
11 )()(cos
( )[ ] ( )[ ]11
0
211
0
1 )(cos)(sin ttIbyttIbby −+−=
или иначе
0
0
20
0
101 sin
1
cos)( τ+τ=τ by
b
byx , 0
0
20
0
102 cossin)( τ+τ−=τ bybbyx . (12)
Представим такую ситуацию. Преследователь начал преследование убе-
гающего в некоторый момент 00 >τ и ему стало известно, что его координаты и
скорость в этот момент времени связаны с координатами и скоростью убегаю-
щего в момент 0=t равенствами (12). По аналогии с примером, рассмотренным
в [4], назовем его условием «взятия следа». Очевидно, что при условии выпол-
нения неравенств (7) преследователь может совершить мягкую встречу с убе-
гающим в момент времени 0τ
− ba
a
. Для этого, как следует из включения (11),
на отрезке [ ]100 , t+ττ , 01 τ
−
=
ba
b
t , он должен выбирать свое управление по
формуле ))(()( 1102
2
0 tt
b
a
tv
b
a
tu −−+τ⋅
ρ
σ
=+τ , которая после вычислений преоб-
разуется к виду
)()(
2
2
0 t
b
av
b
a
tu ⋅⋅
ρ
σ
=+τ .
Г.Ц. Чикрій
ПРО ОДНУ ЗАДАЧУ ЗБЛИЖЕННЯ ДЛЯ КОЛИВАЛЬНИХ СИСТЕМ
Досліджується задача про м’яке зближення двох керованих коливальних систем. Одержано
достатні умови для завершення переслідування за скінченний час. При виконанні спеціальної
умови про “взяття сліду” втікача виведена формула для керування переслідувача в явному
вигляді.
Г.Ц. ЧИКРИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 14
G.Ts. Chikrii
ONE PROBLEM OF PURSUIT FOR OSCILLATORY SYSTEMS
The problem of soft meeting of two controlled oscillatory systems is treated. Sufficient conditions
for pursuit termination in a finite time are obtained. An explicit formula for control of the pursuer is
derived, under special condition for finding “tracks” of the evader.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с.
2. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока // Докл. АН СССР. – 1973. – 208.
– № 3. – С. 520 – 523.
3. Chikrii G.Ts. Using the Impact of Information Delay for Solution of Game Problems of
Pursuit // Доп. НАН України. – Сер. математ. – 1999. – № 12. – С. 107 – 111.
4. Chikrii G.Ts. On a Method of Pursuit in “Tracks”// Доп. НАН України. – 2000. – № 6. –
С. 109 – 113.
5. Чикрий Г.Ц. Об одном способе преследования // Теория оптимальных решений. –
Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины. – 2001. – С. 26–30.
Получено 28.02.2005
|