Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке
The problem of existense of market strategies at an market of expensive paper market are investigated by the functions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84925 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке / Т.А. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 56-64. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84925 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-849252015-07-18T03:01:33Z Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке Пепеляева, Т.А. The problem of existense of market strategies at an market of expensive paper market are investigated by the functions. 2005 Article Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке / Т.А. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 56-64. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84925 519.21 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The problem of existense of market strategies at an market of expensive paper market are investigated by the functions. |
| format |
Article |
| author |
Пепеляева, Т.А. |
| spellingShingle |
Пепеляева, Т.А. Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Пепеляева, Т.А. |
| author_sort |
Пепеляева, Т.А. |
| title |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| title_short |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| title_full |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| title_fullStr |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| title_full_unstemmed |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| title_sort |
об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84925 |
| citation_txt |
Об оптимальных торговых стратегиях на финансовом рынке / Т.А. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 56-64. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT pepelâevata oboptimalʹnyhtorgovyhstrategiâhnafinansovomrynke |
| first_indexed |
2025-07-06T12:02:51Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:02:51Z |
| _version_ |
1836898972642312192 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 56
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследуется вопрос о существо-
вании оптимальных торговых
стратегий на рынке ценных бумаг
с помощью функции полезности.
Т.В. Пепеляева, 2005
ÓÄÊ 519.21
Ò.Â. ÏÅÏÅËßÅÂÀ
ÎÁ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ
ÒÎÐÃÎÂÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈßÕ
ÍÀ ÔÈÍÀÍÑÎÂÎÌ ÐÛÍÊÅ
Введение. В данной работе исследуются
торговые стратегии на рынке ценных бумаг и
некоторые функции полезности, с помощью
которых агент, который оперирует на финан-
совом рынке, может выбрать наиболее опти-
мальную для себя стратегию.
Пусть (Ω, Φ, P) − вероятностное простран-
ство, где Ω − множество состояний финансо-
вой системы, ∀t ≥ 0 Φt ⊂ Φ − множество со-
бытий, которое соответствует информации,
которая была получена к моменту времени t.
Другими словами, если событие B ∈ Φt, то в
момент времени t известно, является ли это
событие истинным или ложным. Далее бу-
дем предполагать, что Φt − неубывающий
поток σ-алгебр, т.е. ∀t < s Φt ⊂ Φs. Будем
рассматривать так называемые адаптирова-
ные процессы.
Определение 1. Адаптированым процес-
сом называется последовательность вида
X ={X0, X1,... }, такая, что ∀t ≥ 0 Xt является
Φt -измеримой случайной величиной.
Пусть рынок ценных бумаг задается сле-
дующим образом. Будем считать, что ценная
бумага − это требование к адаптированому
процессу дивидендов δ, а δt означает диви-
денды, заплаченные по ценной бумаге в мо-
мент времени t. Каждой ценной бумаге соот-
ветствует адаптированый процесс цены S, а
St означает стоимость ценной бумаги (кото-
рую еще называют ex-дивидентом) в момент
времени t. Другими словами, в любой мо-
мент времени t держателю ценной бумаги
выплачивается дивиденд δt, и потом этот
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ТОРГОВЫХ СТРАТЕГИЯХ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 57
актив может быть продан по цене St. При этом имеется в виду, что δ0 не играет
роли в определении ex-дивидентной цены. Так называемая cum-дивидентная
стоимость ценной бумаги в момент времени t равна St + δt.
Предположим, что на рынке существует N ценных бумаг, которые опреде-
ляют RN
-измеримый адаптированный процесс δ = (δ1
,…,δN
). Предположим так-
же, что эти ценные бумаги имеют некоторые процессы стоимостей S = (S
1
,…,S
N
).
Будем считать, что торговая стратегия − это адаптированный процесс θ∈R
N
,
а процесс θt = (θ1
t ,..., θ
N
t) означает портфель, полученный после торговли в мо-
мент времени t.
Дивидендный процесс δθ
определяется с помощью торговой стратегии θ
следующим образом:
δθ
t = θt-1(St + δt) − θtSt, где θ-1 = 0. (1)
Одним из основных понятий теории рынка является понятие арбитража.
При заданной паре дивиденд−цена (δ, S) торговая стратегия θ является ар-
битражем, если δθ
> 0.
Обозначим Θ пространство торговых стратегий, и Θ ≡ L
N
, где L – простран-
ство адаптированных процессов.
Для любых θ1, θ2∈Θ и a, b∈R справедливо следующее соотношение:
1θδa + 2θδb = 21 θ+θδ ba
.
Поэтому рыночное пространство М = {δθ
: θ∈Θ}, т. е. пространство диви-
дендных процессов, которое определяет торговая стратегия θ – линейное под-
пространство пространства L.
Приведем еще некоторые понятия, которые касаются рынка ценных бумаг.
Введем в рассмотрение агента, который оперирует на финансовом рынке,
с помощью строго возрастающей функции полезности U, определенной на L+,
множества неотрицательных адаптированных процессов потребления, и процес-
са взноса e∈L+. При заданной паре (δ, S) торговая стратегия θ ставит в соответ-
ствие агенту процесс (суммарного общего) потребление e + δθ
. Таким образом
агент имеет множество возможных потреблений Х = {с = e + δθ∈L+ : θ ∈Θ}.
Задачей, которая стоит перед агентом, есть максимизация функции полезно-
сти, которая показывает, насколько выгодной для инвестора является выбранная
стратегия, т.е. нужно найти решение задачи: sup
Xc∈
U(c).
Рассмотрим теперь для некоторых функций полезности задачу принятия
решения для определения оптимальной стратегии. Введем сначала основные
понятия и положения теории управления цепями Маркова, которые нам понадо-
бятся в данной работе.
Пусть Z = {1,...,k}. Элементы множества Z будем называть состояниями.
Пространство Z называют фазовым пространством. Будем рассматривать поло-
жения нашей системы как некоторую последовательность состояний (z0, z1,
z2,...,), которые могут иметь место. Пусть Ω = Z
∞
и Φ – множество всех подмно-
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 58
жеств Ω. Для каждого t определим случайное состояние системы в момент вре-
мени t Хt : Ω → Z как случайную величину, которая задается следующим обра-
зом: Xt (z0, z1, z2,...,) = zt.
Для каждого i∈Z вероятностная мера Pi на (Ω, Φ) определена единственным
образом двумя условиями:
Pi (X0 = i) = 1,
∀t ≥ 0 Pi (Xt+1 = j / X0, X1,..., Xt) = Pi (Xt+1 = j / Xt). (2)
Соотношение (2) означает, что случайный процесс с дискретным временем
X = {X0, X1,...,} является марковским процессом, т.е. условное распределение Xt+1
при известных X0,..., Xt в действительности зависит только от Xt.
Заметим, что соотношение (2) дает определение неуправляемой цепи. Для
определения управляемой цепи предположим, что на рынке ценных бумаг зада-
но пространство торговых стратегий Θ. (В задачах управления динамическими
системами в общем случае пространство Θ принято называть пространством
решений, или пространством значений управляющих воздействий.)
Пусть задан набор переходных вероятностей Pi (Xt+1 = j / Xt, θt), t ≥ 0, кото-
рые зависят от стратегии θt∈Θ. Будем считать, что в каждый момент времени
t ≥ 0 решение о выборе стратегии θt может осуществляться на основании ре-
зультатов предыдущих наблюдений состояний X0, X1,..., Xt, т.е. θt = θt (X0, X1,..., Xt).
Каждая из таких функций θt : Zt+1 → Θ задает некоторую стратегию в момент
времени t. Другими словами, если результатами наблюдений в моменты време-
ни 0, 1,..., t есть z0, z1,..., zt и выбрана стратегия θt (⋅), то состояние системы в мо-
мент времени t + 1 определяется переходной вероятностью
Pi (Xt+1 = zt+1 / Xt = zt, θt (z0, z1, ... , zt)). (3)
Будем считать, что набор θ = {θt, t ≥ 0} функций
θ0 = θ0 (z0),
θ1 = θ1(z0, z1),
...... ...... ...... ...... ....
θt = θt (z0, z1,..., zt),
...... ...... ...... ...... .... .
задает управление θ.
Тогда вероятностная мера Pi для каждого начального состояния i∈Z на
(Ω, Φ) на самом деле определяется с помощью (3) при выбранном управлении θ.
Полученный процесс (Х, θ) будем называть управляемой цепью (процессом
Х управляет набор стратегий θ).
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ТОРГОВЫХ СТРАТЕГИЯХ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 59
Следует заметить, что в общем случае управляемая цепь не будет марков-
ской, так как функции θt зависят не только от значений zt, но и от предыдущих
значений z0, z1,..., zt-1. Известны также примеры управлений по неполным дан-
ным, когда в момент времени t известны не все значения z0, z1,..., zt.
Определение 2. Управление θ называется марковским, если ∀t ≥ 0, θt в дей-
ствительности зависит только от последнего аргумента θt = θt (zt), т. е. для лю-
бых значений z′0, z′1,..., z′t-1 и z′′0, z′′1,..., z′′t-1
θt (z′0, z′1, ... , z′t-1, zt) = θt (z′′0, z′′1, ... , z′′t-1, zt).
Определение 3. Управление θ называется однородным марковским, если
)()(
21
zz tt θ≡θ , ∀t1, t2 > 0.
Пусть ∆ означает совокупность всех управлений θ. Обозначим Θt (z), t ≥ 0
некоторые фиксированные подмножества (разные для различных значений
Xt = z) пространства Θ, каждое из которых ограничивает область значений
управления θt в момент времени t, если Xt = z.
Определение 4. Управление θ∈∆ называется допустимым, если
∀t ≥ 0 : θt(Х0,..., Xt-1, z) ∈ Θt(z) ⊆ Θ.
Класс допустимых управлений будем обозначать ∆′ . Очевидно, что выде-
ление класса ∆′ , который характеризуется набором {Θt (z), t ≥ 0}, зависит от су-
ти конкретной задачи.
Обозначим ∆ ′′ класс тех допустимых управлений, для которых
∀t ≥ 0 : Θt (z) ≡ Θ(z) (⊆ Θ).
Таким образом, имеем на рынке ценных бумаг марковский процесс состоя-
ний Х = {X0, X1,..., } такой, как вышеописан. Пусть L − пространство последова-
тельностей случайных величин вида c = {c0, c1, c2,…,} и таких, что ∀t ≥ 0 сt есть
Φt-измеримой, и существует константа k, такая, что сt≤ k. Другими словами,
L − это пространство ограниченных адаптированных процессов. Агент выбирает
процесс потребления из множества L+ неотрицательных процессов из L.
Пусть на рынке существует N ценных бумаг, причем n-я ценная бумага оп-
ределяется процессом дивидендов δn
из L, и ему соответствует процесс цены S
n
из L. Торговой стратегией агента считаем θ = (θ1
,...,θN
), которая принадлежит
множеству Θ ≡ L
N
. Каждая стратегия θ∈Θ определяет дивидендный процесс δθ
из L соотношением (1). Будем считать, что процесс Х зависит от торговой стра-
тегии θ, т.е. (Х, θ) есть управляемой цепью.
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 60
Агенту, который оперирует на рынке ценных бумаг, поставим в соответст-
вие процесс вклада е∈L+ и при заданном начальном состоянии и функцию по-
лезности U
i
: L+ →R, которая характеризует доход агента от выбранной стра-
тегии θ и, таким образом, дает возможность судить о качестве того или иного
управления.
Таким образом перед агентом стоит задача
sup
)(eΘ∈θ
U
i
(e + δθ
), где Θ(e) = {θ ∈Θ: e+ δθ ≥ 0}.
Для любого t Φt означает множество событий, порожденное {X0,..., Xt}, т.е.
информацию, доступную в момент времени t, полученную наблюдением про-
цесса состояний X к моменту времени t.
Далее будем считать однородными по времени функцию полезности, про-
цесс взноса и процесс дивидендов. При заданном начальном состоянии i рас-
смотрим функцию полезности U
i
: L+ →R, которую определяют величина пере-
оценки ρ∈(0,1) и строго возрастающая, ограниченная, вогнутая и непрерывная
функция u: R+ →R, такая, что
U
i
(с) = Ei [∑
∞
=0t
ρt
u(ct)],
где Ei − математическое ожидание по вероятностной мере Pi, согласованное с
начальным состоянием X0 = i.
Рассмотрим другую функцию полезности, которая определяет для страте-
гии θ средний доход в единицу времени
)(1 cU
i =
∞→T
lim inf
T
1
∑
=
T
0t
Ei u(ct).
Пусть функции g: Z → R++, f: Z → N
R ++ такие, что ∀t вклад et = g(Xt) и диви-
денды δt = f(Xt). Предположим, что стоимость ценных бумаг задана некоторой
функцией S: Z→ N
R ++ таким образом: ∀t: St = S(Xt).
Зафиксируем портфель b∈ N
R ++ , и пусть − b − нижняя граница короткой по-
зиции, и капитал ограничен снизу величиной w =
Zi∈
min −b[S(i) + f (i)].
Обозначим D = Z × [ w , ∞ ). Будем считать, что функция F: D → R отно-
сится к пространству, которое обозначим B(D), если ∀i ∈Z F(i, · ): [ w , ∞ )→R
является ограниченной, непрерывной и вогнутой функцией.
Для функции )(cU
i определим функцию V∈B(D), такую, что
V(i,w) =
θ×∈θ +L)(c,
sup )(cU
i ,
и выполнены условия
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ТОРГОВЫХ СТРАТЕГИЯХ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 61
θ
0W = w,
θ
tW = θt-1[S(Xt) + f(Xt)], t ≥ 1,
ct+ θt S(Xt) ≤ θ
tW + g(Xt), t ≥ 0,
θt ≥ − b, t ≥ 0.
Определение 5. Управление θ
~
∈∆′ называется оптимальным по U-крите-
рию, если ∀и∈ Z : V(i, w) = )
~
,( θeU
i .
Рассмотрим теперь более общий случай, когда (Х, θ) − управляемая цепь (не
обязательно марковская), а функция и − ограниченная (свойства выпуклости,
неубывающей функции и т.д. не требуются). В работе [1] доказан ряд лемм о
существовании оптимальных управлений для критерия полезности выбранного
управления вида i
U . Применив данные утверждения к нашему рынку ценных
бумаг, где Xt задает процесс состояний системы, θ = {θt, t ≥ 0} − процесс торго-
вых стратегий, можно сформулировать следующие теоремы существования оп-
тимальной торговой стратегии.
Теорема 1. Пусть на рынке ценных бумаг пространство состояний управ-
ляемой системы Z и пространство возможных торговых стратегий Θ − конечны,
0 ≤ u(c) ≤ K < ∞ . Тогда в классе ∆ ′′ существует оптимальная по U-критерию
стратегия.
Заметим, что это утверждение остается справедливым и в случае, когда
Z − топологическое хаусдорфовое пространство, Θ − компактное хаусдорфовое
пространство, Еі и(сt) − непрерывная функция в окресности сt при каждом на-
чальном состоянии і. Это вытекает из доказательства леммы 1 в [1].
Теорема 2. Пусть на рынке ценных бумаг пространство состояний управ-
ляемой системы Z и пространство возможных торговых стратегий Θ − конечны,
и функции полезности U
i
, такие, что для них θ ∈ ∆′ . Тогда в классе допустимых
стратегий ∆′ существует оптимальная по U-критерию марковская стратегия.
Теорема 3. Пусть на рынке ценных бумаг пространство состояний управ-
ляемой системы Z и пространство возможных торговых стратегий Θ − конечные
пространства. Тогда в классе ∆ ′′ существует однородная марковская стратегия
θ
~
(которая, вообще, не зависит от дисконта ρ), и достигает своего максимума на
∆ ′′ : )(
~
ρθ
iV =
∆ ′′∈θ
max )(ρθ
iV .
Рассмотрим теперь другой критерий полезности V1(i,w) =
θ×∈θ +L)(c,
sup )(1 cU
i .
Определение 6. Управление θ
~
∈∆′ называется оптимальным по U1-крите-
рию, если ∀и∈ Z : V1(i,w) = i
U1 (е, θ
~
).
Имеет место следующий результат, который вытекает из [1].
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 62
Теорема 4. Пусть на рынке ценных бумаг пространство состояний управ-
ляемой системы Z и пространство допустимых торговых стратегий Θ − конечны,
0 ≤ u(c) ≤ K < ∞. Тогда в классе ∆ ′′ существует оптимальная по U1-критерию
однородная марковская торговая стратегия.
Рассмотрим задачу оптимизации торговой стратегии на финансовом рынке в
случае, когда фазовое пространство управляемой системы и пространство выбо-
ра допустимых стратегий являются компактными или счетными множествами.
Приведем утверждения и определения, которые нам понадобятся для даль-
нейшего изложения.
Обозначим Θ0 − класс стационарных нерандомизированых стратегий;
M(Z) − банаховое пространство ограниченных измеримых по Борелю функций
на Z; C(Z) − банаховое пространство ограниченных непрерывных на Z функций;
C1(Z) − полное метрическое пространство ограниченных полунепрерывных
сверху функций на Z, Β − σ-алгебра борелевських подмножеств Z .
Определение 7. Отображение F, которое сопоставляет каждому z∈Z неко-
торое непустое замкнутое множество F(x) ⊆ Θ называется открыто-, замкнуто-
или борелевски-измеримым, если {x : F(x) ∩ E ≠ ∅}∈ Β, где Е − соответственно
произвольное открытое, замкнутое или борелевськое множество в Θ.
Определение 8. Замкнуто- (открыто-) измеримое отображение F называется
полунепрерывным сверху (снизу), если для любого замкнутого (открытого)
множества E ⊆ Θ множество {x : F(x) ∩ E ≠ ∅} ∈ Β замкнуто (открыто).
Определение 9. Отображение F называется непрерывным, если оно полу-
непрерывно сверху и снизу одновременно.
Определение 10. Функция f : Z → Θ называется селектором отображения F,
если f (x) ∈ F(x), z∈Z.
Теорема выбора [2]. Измеримое в смысле определения 7 отображение име-
ет измеримый по Борелю селектор.
Теорема выбора для полунепрерывных отображений [2]. Если Θ − ком-
пакт, то полунепрерывное отображение имеет селектор, который относится к
бэровскому классу 1.
Таким образом, для того, чтобы класс Θ0 был непустым, достаточно выпол-
нения условия об измеримости отображения F : z → Θ (z), z ∈ Z в смысле опре-
деления 7.
Далее считаем F: z → Θ (z), z ∈ Z измеримым. В частности, если Θ(z) ≡ Θ,
отображение F измеримо и класс Θ0 совпадает с множеством всех борелевских
функций, которые отображают Z в Θ.
Предположим, что переходная вероятность (3) − строго положительна. В
работе [3] доказан следующий результат, который дает достаточные условия
существования оптимальной по U1-критерию стационарной нерандомизирова-
ной стратегии.
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ТОРГОВЫХ СТРАТЕГИЯХ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 63
Теорема 5. Пусть существуют постоянная g и ограниченная борелевская
функция v(z) на Z, такие, что
g + v(z)= { }∫ θ+θ
Θ∈θ
),/()(),(sup
)(
zdyPyvzu
z
, z∈Z ,
тогда ),( sup 1 θ
Θ∈θ
zU ≤ g.
Если при этом
g + v(z) = { }∫ θ+θ
Θ∈θ
),/()(),(max
)(
zdyPyvzu
z
, z∈Z (4)
и для некоторой стратегии θ*∈Θ0
g + v(z) = ∫ θ+θ ),/()(),( zdyPyvzu , z∈Z, (5)
то θ*
− оптимальная по U1-критерию стратегия и ),( *
1 θzU ≡ g.
Пусть выполняются следующие условия:
существует неотрицательная мера µ на (Z, Β) такая,что
µ(B) ≤ P(B/z,θ), (z,θ)∈∆, B∈Β и µ(Z) > 0. (6)
Определим в M(Z) оператор Υ′ с помощью уравнения
Υ′u(z) =
)(
sup
zΘ∈θ
{r(z,θ)+∫ u(y)P′(dy / z, θ)},
где P′(B/z, θ) = P(B/z, θ) − µ(B).
Для любой функции u∈M(Z) обозначим
A′u(z) = {θ : θ ∈ Θ(z), Υ′u(z) = r(z, θ) + ∫ u(y)P′(dy / z, θ)}.
Множество A′u(z) может быть пустым.
Введем отображения F′u, которые сопоставляют каждому z ∈ Z множество
A′u(z).
Приведем ряд теорем, которые дают условия, при которых выполнены ус-
ловия (4) и (5). Таким образом эти теоремы дают условия существования опти-
мальной по U1-критерию торговой стратегии на рынке ценных бумаг.
Теорема 6. Пусть выполнено предположение (6) и, кроме того:
1) оператор Υ′ переводит некоторое полное метрическое пространство
S(Z) ⊆ M(Z) с метрикой ρ, индуцированной нормой пространства M(Z), в себя;
2) отображение F′u измеримо для любой функции u∈S(Z).
Тогда в ∆′ существует оптимальная по U1-критерию стратегия.
Доказательство. Так как у нас переходные вероятности (3) строго положи-
тельные, то условие (6) выполнено. Следовательно доказательство вытекает
из [3].
Теорема 7. Пусть на рынке ценных бумаг пространство допустимых торго-
вых стратегий Θ − компактно, отображение F непрерывно и выполнены условия
(6). Тогда, если:
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 64
1) функция r(z, θ) непрерывна по z, θ ((x, θ)∈∆;
2) переходная вероятность P(⋅/x, θ) слабо непрерывна по z, θ ((z, θ)∈∆),
то в Θ0 существует оптимальная по U1-критерию стратегия.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.
Теорема 8. Пусть на рынке ценных бумаг пространство возможных торго-
вых стратегий Θ − компактно, отображение F полунепрерывно сверху и выпол-
нены условия (6). Тогда, если:
1) функция r(z, θ) полунепрерывна сверху по z, θ ((z, θ)∈∆);
2) переходная вероятность P(⋅/x, a) слабо непрерывна по z, θ ((z, θ)∈∆),
то в Θ0 существует оптимальная по U1-критерию стратегия.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.
Теорема 9. Пусть на рынке ценных бумаг пространство возможных торго-
вых стратегий Θ − счетное множество, а множество Θ(z), z ∈ Z − конечно, пусть
также выполнены условия (6). Тогда в Θ0 существует оптимальная по
U1-критерию стратегия.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.
Заключение. Полученные результаты показывают, что оптимальные торго-
вые стратегии на финансовом рынке существуют, и указывают на условия суще-
ствования таких стратегий.
Т.В. Пепеляєва
ПРО ОПТИМАЛЬНІ ТОРГОВІ СТРАТЕГІЇ НА ФІНАНСОВОМУ РИНКУ
Досліджується питання про існування торгових стратегій на ринку цінних паперів за допомо-
гою функцій корисності.
T.V. Pepeljaeva
ON OPTIMAL MARKET STRATEGIES AT FINANCIAL MARKET
The problem of existense of market strategies at an market of expensive paper market are investi-
gated by the functions.
1. Висков О.В., Ширяев А.Н. Об управлениях, приводящих к оптимальным стационар-
ным режимам // Тр. МИАН. − LXX1. – С. 35 − 45.
2. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1969, − 2. – 480 с.
3. Губенко Л.Г., Штатланд Э.С. Об управляемых марковских процесах с дискретным
временем // Теория вероятности и математической статистики – 1972. − № 7. –
С. 51 − 66.
Получено 28.03.2005
|