К вопросу оптимального проектирования пластин
The paper proposes an optimisation model for mechanical constructions described by the second order partial differential equation system with respect to moments and plate deflection. The paper aso considers conjugated boundary-value problems for finding derivatives model functionals as for a control...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84930 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К вопросу оптимального проектирования пластин / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84930 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-849302015-07-18T03:01:42Z К вопросу оптимального проектирования пластин Токарева, О.Н. The paper proposes an optimisation model for mechanical constructions described by the second order partial differential equation system with respect to moments and plate deflection. The paper aso considers conjugated boundary-value problems for finding derivatives model functionals as for a control function. A theorem about existense and uniqueness of a solution to a conjugated boundary-value problem is formulated. The PLAT-algorithm is described that is used to solve the present model on the basis of barrier functions. 2005 Article К вопросу оптимального проектирования пластин / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84930 518.9 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The paper proposes an optimisation model for mechanical constructions described by the second order partial differential equation system with respect to moments and plate deflection. The paper aso considers conjugated boundary-value problems for finding derivatives model functionals as for a control function. A theorem about existense and uniqueness of a solution to a conjugated boundary-value problem is formulated. The PLAT-algorithm is described that is used to solve the present model on the basis of barrier functions. |
| format |
Article |
| author |
Токарева, О.Н. |
| spellingShingle |
Токарева, О.Н. К вопросу оптимального проектирования пластин Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Токарева, О.Н. |
| author_sort |
Токарева, О.Н. |
| title |
К вопросу оптимального проектирования пластин |
| title_short |
К вопросу оптимального проектирования пластин |
| title_full |
К вопросу оптимального проектирования пластин |
| title_fullStr |
К вопросу оптимального проектирования пластин |
| title_full_unstemmed |
К вопросу оптимального проектирования пластин |
| title_sort |
к вопросу оптимального проектирования пластин |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84930 |
| citation_txt |
К вопросу оптимального проектирования пластин / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT tokarevaon kvoprosuoptimalʹnogoproektirovaniâplastin |
| first_indexed |
2025-07-06T12:03:08Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:03:08Z |
| _version_ |
1836898990220640256 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 93
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Предложена оптимизационная
модель для механических конст-
рукций, описываемых системой
дифференциальных уравнений в
частных производных второго
порядка относительно моментов
и прогиба пластины. Рассмотре-
ны сопряженные краевые задачи
для определения производных от
функционалов модели по управ-
ляющей функции. Сформулирова-
на теорема существования и
единственности решения сопря-
женной краевой задачи. Описан
PLAT-алгоритм для решения дан-
ной модели на основе барьерных
функций.
_______________________
О.Н.Токарева, 2005
ÓÄÊ 518.9
Î.Í. ÒÎÊÀÐÅÂÀ
Ê ÂÎÏÐÎÑÓ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß ÏËÀÑÒÈÍ
Представим оптимизационную модель в виде
нахождения управляющей функции
[ ]q x L R x x x
T
( ) ( ), , , ,∈ ⊂ = ∈2
2
1 2Ω Ω Ω
которая обеспечивает
( ) 000 minminmax www −=−−= (1)
при ограничениях
w q q w q q1 20 0= − ≤ = − ≤, ,
w w3 40 0≤ ≤, (2)
и ограничениях в форме краевой задачи
K s Q= (3)
с однородными граничными условиями для
свободно опертой пластины:
[ ]s s s ii= = =0 1 4, , , на Γ . (4)
Здесь
( )[ ] (w h sy p0
2
2
1
2
1 1 36= − = −ω ω σ, /
)− + + =36 36 1081 2 2
2
3
2
3s s s s w,
( )= − = −sign s s w4 4 4 1∆ ; ;ω (5)
[ ] ( )(K s K s i K s E h si
T
= = = − −, , ; /1 4 121
3
1
) =∂∂−ν− sKxss 2
2
14
2
2 ,/€
( )( ) ,/€/12
2
24
2
21
3
xssshE ∂∂−+ν−−=
( ) ,/2/€124 214
23
33 xxshEssK ∂∂∂+ν+−=
K s s x s x4
2
1 1
2 2
2 2
2= − − +∂ ∂ ∂ ∂/ /
+2 2
3 1 2∂ ∂ ∂s x x/ (6)
или в блочной форме
О.Н. ТОКАРЕВА
94 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
[ ] [ ] ,€,,,,€,€ 4321 sssssssKsKsKsKsK
TT
VIIIIIII ==++= K sI =
[ ( ) ] ,/€124,/12/€12,/€12/12 3
3
3
2
3
1
3
2
3
1
T
hEshEshEshEshEs ν+−−νν+−=
[ ] ,/2,/,/€ 214
22
24
22
14
2 T
II xxsxsxssK ∂∂∂∂∂−∂∂−= K sI I I =
,0€,/2// 213
22
22
22
11
2 =∂∂∂+∂∂−∂∂−= sKxxsxsxs VI [ ]Q q
T
= 0 0 0, , , . (7)
В формулах (5) − (7) KI V − нулевой оператор; E − модуль упругости изо-
тропного материала; ν€− коэффициент Пуассона; h = const − толщина пластины;
σ y p − константа текучести материала; q q, , ∆ = const ; s s x= ( ) − вектор со-
стояния; s1 и s 2 − изгибающие моменты на единицу длины, действующие в
сечениях пластины, перпендикулярных соответственно осям x1 и x 2 ; s 3 −
крутящий момент на единицу длины сечения; s 4 − прогиб пластины; соотно-
шения (3), (6) − уравнение изгиба пластины под действием поперечной нагруз-
ки [ ]q x( ) ;1 1 0ω − ≤ − условие, которое должно выполняться на поверхностях
пластины согласно критерию Мизеса; Ω − область с границей Γ , удовлетво-
ряющей условию Липшица; ( )L 2 Ω − гильбертово пространство функций, квад-
ратично интегрируемых по Лебегу в областиΩ .
Построим конструкцию производной по управляющей функции q x( ) для
функционала модели w0 , зависящего от вектора состояния s x( ). Для вычисле-
ния этой производной нужно, используя уравнение в вариациях (8)
K s Qδ δ= в Ω , (8)
δ s = 0 на Γ , (9)
исключить δ s из соотношения
( )δ ∂ ∂ δw w s s
T
0 0= / (10)
на основе решения краевой задачи
K w sλ ∂ ∂= 0 / в Ω , [ ]λ λ= =i i, , ,1 4 (11)
λ = 0 на Γ (12)
для симметричного оператора K.
Умножим скалярно K s Qδ δ− = 0 на λ :
λ δ λ δT T
K s Q− = 0.
С учетом (11) в силу симметрии оператора K имеем
К ВОПРОСУ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПЛАСТИН
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 95
( )∂ ∂ δ λ δw s s Q
T T
0 0/ − = . (13)
Из формул (13), (10) следует
[ ] [ ]δ δ λ δ λ δ δ δw Q Q q Q q
T
0
0
4
0
0 0 0= = =, , , , . (14)
Для функционалов w jj , = 3или 4 аналогично (14) с правой частью ∂ ∂w sj / в
(11) имеем δ λ δw qj
j= 4 , где j = 3 или 4.
При формулировке сопряженной краевой задачи (11), (12) использовано
свойство симметрии оператора K , выраженное соотношением
( )λ λT T
K s s K d x− =∫ 0.
Ω
(15)
Справедливость (15) для K из (6) можно подтвердить, применяя формулу Грина
с учетом граничных условий (4), (12). С оператором K связана билинейная
форма α λ( , )s , полученная при доказательстве его симметрии :
( )( ) ( )[ ( )α λ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ∂λ ∂ ∂ ∂( , ) / / / /s x s x x s x= + −∫ 1 1 4 1 2 2 4 2
Ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + + −2 3 2 4 1 4 1 1 1 4 2 2 2∂λ ∂ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂/ / / / / /x s x x s x x s x
( )( )] [∫
Ω
−λν+λ−+∂∂∂λ∂− 3
21
3
111324 /€12/12//2 hEshEsxdxsx
( ) ] =λν+−λν+λ− xdhEshEshEs
3
33
3
12
3
22 /€124/€12/12
( ) ( )= +α λ α λ1 2, , .s s (16)
Имеют место следующие зависимости:
( )[ ] ( )
[ ]
( ) =λ=λ=λ ΩΩ Ω
)()( 23)(2
4
2
,€€,, LIIIIIL
sKsKsK
L
( ) ( ),,€€,€€ 44 ss λα=λα=
( ) ( )( ) ( )( )(∫
Ω
+∂∂∂∂∂λ∂+∂∂∂λ∂=λα 214
2
214
22
14
22
14
2 //2//€,€€ xxsxxxsxDs
( ) ( ))+ ∂ λ ∂ ∂ ∂2
4 2
2 2
4 2
2
/ / ,x s x d x (17)
где ( )s€,€€ λα − билинейная форма для бигармонического оператора.
( )D D x x x x x x∆ ∆2 4
1
4 4
1
2
2
2 4
2
4 2
1
2 2
2
2
2= + + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂/ / / , / / ;
∆ − оператор Лапласа; ( )[ ] −>ν−= 0€112/ 23
hED цилиндрическая жесткость
пластины.
.),(),(,),(€)€,€(€),( 44 λα=λαλα=λα=λα sssss (18)
При выводе (17) использованы подстановки
О.Н. ТОКАРЕВА
96 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
( ) ( ),/€/,/€/ 2
14
22
24
2
2
2
24
22
14
2
1 xcxcDcxcxcDc ∂∂ν−∂∂−=∂∂ν−∂∂−=
( ) 214
2
3 /€1 xxcDc ∂∂∂ν−=
с заменой c ii , ,=1 4 соответственно на si или λi i, ,= 1 4 .
Определим пространство
( ) ( )M W= ∈
=
λ λ2
1
4
0Ω / на Γ в смысле теории следов [1]
,
( ) ( )M W⊂
2
1
4
Ω ,
где
( ) ( )W 2
1
4
Ω
− гильбертово пространство, элементами которого служат
четырехмерные вектор - функции из ( )[ ]L2
4
Ω , у которых есть обобщенные
производные до первого порядка включительно. Норма λ
M
элемента λ ∈ M
( )λ λ
M
i
i
l
l
D dx=
=
= =
∑ ∫∑
1
2
1
4
1 2
Ω
/
( ) ( )= +
∫∑
=
∂ λ ∂ ∂ λ ∂l l
l
x x dx/ / ,
/
1
2
2
2
1
4
1 2
Ω
( )i i i= 1 2, − двумерный вектор (мультииндекс), i i i= +1 2 . Норма элемента
( ) ( )λ ∈
W 2
1
4
Ω есть ( ) ( )λ
W 2
1
4
Ω
= ( )D dx
i
lli
λ
2
1
4
1
1 2
Ω
∫∑∑ =≤
/
.
Теорема. Пусть заданы:
1) M − подпространство пространства
( ) ( )W 2
1
4
Ω
;
2) билинейная форма α λ( , ):s M M R× → - симметричная и M - эллиптическая
в том смысле, что ∃ > ∀ ∈ ≤µ λ µ λ α λ λ0
2
, ( , ) ;M
M
3) линейная форма l M R( ):λ → - непрерывная.
Тогда задача минимизации функционала
( )J M R J M J l: : ( ) / ( , ) ( ) ,→ ∈ → = −λ λ α λ λ λ1 2 (19)
( )[ ]l a s
L
( ) / ,
( )
λ ∂ ∂ λ=
2
4
Ω
, a w= 0 или w 4
имеет единственное решение.
К ВОПРОСУ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПЛАСТИН
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 97
Так как билинейная форма ),()€,€(€ 44 ss λα=λα является V - эллиптической
[2]: ,€,0 Vb ∈λ∀>∃
,)€,€(€€
2
λλα≤λ
V
b ( ){ 0€/€ )1(
2 =λΩ∈λ= WV в смысле теории следов }. (20)
В силу (18), (20)
222
/€,),(
MVM
bs λλ=ξλα≤λξ . Другими словами, билиней-
ная форма α λ( , )s , соотнесенная оператору K , является M - эллиптической и с
учетом симметрии данной формы определяет новое скалярное произведение
( , ) ( , )λ α λs s
M = в пространстве M .
Скалярное произведение ( , )λ s
M удовлетворяет всем аксиомам скалярного
произведения и порождает на элементах пространства M метрику
ρ λ λ α λ λM M
s s s s( , ) ( , )= − = − − , эквивалентную метрике ρ λM s( , ) =
= −λ s
M
.
По теореме Рисса [2] о представлении линейного ограниченного функцио-
нала существует такой элемент
( ) ( )t W t M∈
∈2
1
4
Ω , , что для
∀ ∈ =λ λ α λM l t( ) ( , ) . С учетом симметрии билинейной формы α λ( , )s =
= α λ( , )s решение задачи минимизации (19) равносильно минимизации рас-
стояния между элементом t и подпространством M относительно нормы
α (. , .) . Таким образом, решение представляет проекцию элемента t на мно-
жество M относительно скалярного произведения α (. , .) . По теореме о проек-
ции такой элемент существует и единственный.
Предложенный алгоритм PLAT для решения задачи (1) − (6) реализует сле-
дующую конструкцию для управляющей функции q k
k + =1 0 1 2, , , , ... в окре-
стности решения:
q q q q m m p
k k k k k k kk+ = + = − −1 0β δ δ
η
, , (21)
где k − номер итерации PLAT-алгоритма, 0 1 0
4
0< < =β λ; ,m m
i i= λ λ λ4 4
0
4; , −
компонента решения сопряженной системы (11) с правой частью соответствен-
но ( )∂ ∂w s s0 / и ( )∂ ∂w s si / ; i − индекс активного ограничения
− < < >ε εw pi 0 0, ; − оценка множителя Лагранжа для активного ограничения
wi ≤ 0 . Функция ( )δ q x
k − решение квадратичной подзадачи: найти
( )min ( ) / ( )Φ δ δ δq m q q= +0 21 2 (22)
при ограничении
О.Н. ТОКАРЕВА
98 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
( )m q t b r tδ ρ+ − =− −1 11 0/ ,
( )( ) ( )ρ = − + −−
−
−1 1
1
0 1/ r t mm mm t b , (23)
( )
( ) ( )b
d w
d w
t
d b
d w
w w
i i
i i
i i i= = = − −
φ
φ, , ln − баръерная функция. Вариация ( )δ q x
получена из условия ( )( )
∂
∂δ
δ δ δ
L
q
m q mu L m q q= + + = = + +0 0 2
0 1 2, /
( )( )+ + −− −
u m q t b r t pδ 1 11/ ; u − множитель Лагранжа для ограничения (23).
Ограничение (23) построено преобразованием
( )∂ δ
∂δ
∆ R q
q
= 0 при предпосылках,
аналогичных [3]; ( )∆ R qδ − выраженное через δ q приращение баръерной це-
левой функции ( )R w r wi= +0 φ с удержанием членов до второй вариацииδ 2
R
включительно.
В формуле (21) ηk − наименьшее неотрицательное целое, для которого
выполняются условия
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 21 1) , , , , , / ,R r q q R r q R r qk
k k
k
k
k
kk k+ − < ∈β δ ε β δ δ ε
η η
( )( )r r R r q w r w q r b qk k k
k
i i
i= < < = + = +−θ θ δ δ δ δ φ λ δ λ δ1 0 4
0
40 1, , ( , ) ;
( )2 0 1 4) , , , .w q q j xj
k kk+ ≤ = ∈β δ
η
Ω
В PLAT-алгоритме на каждой итерации необходимо решать краевую задачу
(3), (4), а также для нахождения производных по управляющей функции от кри-
териального функционала и функционалов ограничений, зависящих от вектора
состояния s , сопряженные краевые задачи вида (11), (12). Представленная здесь
вычислительная схема PLAT-алгоритма для модели (1) − (4) − частный случай
общей векторно-матричной версии для D D>1, − размерность индексного
множества ε - активных ограничений и для числа управляющих функций боль-
ше единицы.
О. М. Токарєва
ДО ПИТАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТУВАННЯ ПЛАСТИН
Запропоновано оптимізаційну модель для механічних конструкцій , що описуються системою
диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку щодо моментів та прогину
пластини. Розглянуто спряжені крайові задачі для визначення похідних від функціоналів
моделі по функції керування. Сформульовано теорему існування і єдиності розв’язку
К ВОПРОСУ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПЛАСТИН
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 99
спряженої крайової задачі. Описано PLAT-алгоритм для розв’язання поданої моделі на основі
бар’єрних функцій.
O. N. Tokareva
ON OPTIMAL DESIGN OF PLATES
The paper proposes an optimisation model for mechanical constructions described by the second
order partial differential equation system with respect to moments and plate deflection. The paper
aso considers conjugated boundary-value problems for finding derivatives model functionals as for
a control function. A theorem about existense and uniqueness of a solution to a conjugated
boundary-value problem is formulated. The PLAT-algorithm is described that is used to solve the
present model on the basis of barrier functions.
1. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. Механическкие системы
и конструкции. – М.: Мир, 1983 . – 479 с .
2. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир,
1985. – 589 с.
3. Токарева О.Н. Об оценках скорости сходимости алгоритмов на основе барьерных
функций с использованием задач квадратичного программирования // Кибернетика. –
1981. – № 5. – С. 107–112.
Получено 25. 02. 2005
|