Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита

Работа посвящена построению параллельных алгоритмов управления шагом интегрирования при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы строятся на многошаговых коллокационных блочных методах со старшими производными, что обеспечивает векторизацию процедуры получ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Дмитриева, О.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2013
Назва видання:	Искусственный интеллект
Теми:	Обучающие и экспертные системы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84942
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита / О.А. Дмитриева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 488–494. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84942
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-849422015-07-18T03:01:51Z Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита Дмитриева, О.А. Обучающие и экспертные системы Работа посвящена построению параллельных алгоритмов управления шагом интегрирования при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы строятся на многошаговых коллокационных блочных методах со старшими производными, что обеспечивает векторизацию процедуры получения решения. Для выравнивания порядка аппроксимации во всех расчетных точках блока используются многочлены Эрмита. Робота присвячена побудові паралельних алгоритмів управління кроком інтегрування при розв’язанні задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь. Алгоритми будуються на багато- крокових колокаційних блокових методах зі старшими похідними, що забезпечує векторизацію процедури одержання розв’язку. Для вирівнювання порядку апроксимації у всіх розрахункових точках блоку використовуються багаточлени Ерміта. Work is devoted to creation of parallel algorithms of integration step variable with the Cauchy problem for systems of the ordinary differential equations. Algorithms are under construction on multistep collocation blocks methods with the senior derivatives that provides vectorization of procedure of obtaining the decision. For alignment of an order of approximation in all settlement points of the block Hermite’s polynomials are used. 2013 Article Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита / О.А. Дмитриева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 488–494. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84942 004.272.2:519.63 ru Искусственный интеллект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Обучающие и экспертные системы Обучающие и экспертные системы
spellingShingle	Обучающие и экспертные системы Обучающие и экспертные системы Дмитриева, О.А. Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита Искусственный интеллект
description	Работа посвящена построению параллельных алгоритмов управления шагом интегрирования при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы строятся на многошаговых коллокационных блочных методах со старшими производными, что обеспечивает векторизацию процедуры получения решения. Для выравнивания порядка аппроксимации во всех расчетных точках блока используются многочлены Эрмита.
format	Article
author	Дмитриева, О.А.
author_facet	Дмитриева, О.А.
author_sort	Дмитриева, О.А.
title	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита
title_short	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита
title_full	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита
title_fullStr	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита
title_full_unstemmed	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита
title_sort	параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов эрмита
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Обучающие и экспертные системы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84942
citation_txt	Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита / О.А. Дмитриева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 488–494. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Искусственный интеллект
work_keys_str_mv	AT dmitrievaoa parallelʹnyjkontrolʹrazmerašaganaosnovekollokacionnyhmetodovsispolʹzovanieminterpolâcionnyhpolinomovérmita
first_indexed	2025-07-06T12:03:51Z
last_indexed	2025-07-06T12:03:51Z
_version_	1836899035730935808
fulltext	ISSN 1561-5359 «Искусственный интеллект» 2013 № 3 488 6Д УДК 004.272.2:519.63 О.А. Дмитриева Донецкий национальный технический университет, Украина Украина, 83000, г. Донецк, ул. Артема, 58 Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита O.A. Dmitrieva Donetsk National Technical University, Ukraine Ukraine, 83000, c. Donetsk, st. Artema,58 Parallel Step Control on the Basis of Collocation Methods with use of Interpolation Polynoms of Hermite О.А. Дмитрієва Донецький національний технічний університет, Україна Україна, 83000, м. Донецьк, вул. Артема, 58 Паралельний контроль розміру кроку на основі колокаційних методів з використанням інтерполяційних поліномів Ерміта Работа посвящена построению параллельных алгоритмов управления шагом интегрирования при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы строятся на многошаговых коллокационных блочных методах со старшими производными, что обеспечивает векторизацию процедуры получения решения. Для выравнивания порядка аппроксимации во всех расчетных точках блока используются многочлены Эрмита. Ключевые слова: задача Коши, паралелльные вычисления, коллокация, многочлены Эрмита. Work is devoted to creation of parallel algorithms of integration step variable with the Cauchy problem for systems of the ordinary differential equations. Algorithms are under construction on multistep collocation blocks methods with the senior derivatives that provides vectorization of procedure of obtaining the decision. For alignment of an order of approximation in all settlement points of the block Hermite’s polynomials are used. Key words: Cauchy problem, parallel computing, collocation, Hermite’s polynomials. Робота присвячена побудові паралельних алгоритмів управління кроком інтегрування при розв’язанні задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь. Алгоритми будуються на багато- крокових колокаційних блокових методах зі старшими похідними, що забезпечує векторизацію процедури одержання розв’язку. Для вирівнювання порядку апроксимації у всіх розрахункових точках блоку використовуються багаточлени Ерміта. Ключові слова: задача Коші, паралельні обчислення, колокація, багаточлени Эрміта. При численном моделировании сложных динамических объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), необходимы вычисли- тельные мощности такого порядка, который может быть обеспечен только многопроцес- сорными компьютерами [1], [2]. При этом для эффективной параллельной реализации требуется построение соответствующих численных методов, поскольку подавляющее большинство существующих методов не ориентировано на параллельную архитекту- ру [3]. Еще одной проблемой является жесткость СОДУ и необходимость проведения Параллельный контроль размера шага… «Штучний інтелект» 2013 № 3 489 6Д вычислений на очень большом интервале времени. В таких случаях для численного интегрирования привлекаются расчетные схемы с хорошими свойствами устойчивости, сходимости и со встроенными функциями управления шагом [4]. Данная статья является продолжением работ [5-8] и базируется на идее построения коллокационных блочных ме- тодов, которые обеспечивают векторизацию процедуры получения решения задачи Коши 0 0 0 x' f ( t ,x( t )), x( t ) x , t [ t ,T ]= = ∈ . (1) Повышение скорости сходимости осуществляется за счет введения вместо интерпо- ляционных многочленов Лагранжа многочленов с кратными узлами, для которых требу- ется совпадения в точках коллокации n t iτ+ не только значений функции f ( t ,x( t )) , но и ее производных ( j ) if ( t,x( t )), j 1,2,..., p= до порядка i p включительно [7]. В качестве многочлена с кратными узлами предполагается использование полинома Эрмита, который может быть построен в виде рекуррентных соотношений, или получен путем предельного перехода из многочленов Лагранжа и Ньютона [9]. Для параллельной реализации выбирается блочный метод, тип которого опре- деляется количеством используемых опорных точек. Если в расчетной схеме для вычи- слений приближенных значений в следующем блоке используется только значение в последней точке предшествующего блока, можно говорить об одношаговом коллока- ционном блочном методе s ( l ) ( l )l n, j n,0 i, j n,i i=1 u u a F , j=1,2,…,s,τ τ= + ∑ (2) где ( l ) ( l ) n,i n n,iF f ( t i ,u )τ= + l-я производная правой части, ( l ) i , ja – коэффициенты расчетной схемы, которые находятся из соотношений i ( l ) i , j j ,l 0 a h ( t )dt , i, j 1,2,...,s, τ = =∫ где j ,lh – соответствующие многочлены Эрмита. При использовании всех или нескольких значений в точках предшествующего блока речь будет идти о многошаговом коллокационном блочном методе вида jpm s ( 0 ) ( l ) ( l )l n, j n,0 i , j i , j n,in 1,i i=1 l 0 i=1 u u b F a F , τ τ τ − = = + +∑ ∑∑ j=1,2,…,s, n 1,2,...,N= , (3) где jp – старший порядок введенной производной правой части в точке n t jτ+ . Модификация разностных схем (3), описанная в [10], связана с введением по- вышенного порядка производных в опорных точках, что позволяет повысить порядок аппроксимации разностных схем и не приводит к росту размерности системы. Тогда модифицированные уравнения многошаговых разностных методов для блока из s точек при использовании вычисленных значений приближенного решения в m предшеству- ющих блоку узлах, с учетом введенных выше обозначений, можно записать ji pqm s ( l ) ( l ) ( l ) ( l )l l n, j n,0 i , j i , j n,in 1,i i=1 l 0 l 0 i=1 u u b F a F , τ τ τ τ − = = = + +∑∑ ∑∑ j=1,2,…,s, n 1,2,...,N= . (4) Поскольку все значения правых частей опорного блока ( 0 ) n 1,iF − уже известны, можно определять их старшие производные ( l ) ( l ) in 1,iF f , l 1,2,...,q , i 1,2,...,m − = = = , не увели- чивая количество уравнений в системе. Дмитриева О.А. «Искусственный интеллект» 2013 № 3 490 6Д Формулы (4) определяют блочный коллокационный m-шаговый s-точечный разностный метод со старшими производными правых частей в расчетных и опорных точках блока. При этом s n n,1 n,2 n,sT { t ,t ,...,t }= – множество точек, в которых значения определяются одновременно. В качестве исходных методов в работе рассматриваются вычислительные схемы (2 – 4) для блоков, содержащих s узлов, при использовании вычисленных значений приближенного решения в одном (2) или m (3 – 4) предшеству- ющих блоку узлах. Для численного решения задачи (1) одношаговым коллокационным блочным ме- тодом (2) с числом расчетных точек s выделяются две системы процессорных узлов, на которых запускаются параллельные процессы. Первая система узлов обеспечивает параллельную реализацию одношагового коллокационного блочного s-точечного метода, для чего требуется s процессоров для получения значений s.,…1,2,=i ,u i,1n+ На второй системе узлов осуществляется реализация одношагового коллокационного блочного s+1- точечного метода c получением значений. Размерность вычислительного поля представ- ляется двумя вариантами. В первом случае – это две закольцованные линейки, количество процессоров в которых совпадает с размерностью блоков s и s+1 соответственно, во вто- ром случае – вычислительные поля представляются решетками процессоров. Первая решетка с s (количество точек в блоке) столбцами и N (количество уравнений в системе) строками, у второй решетки размерность процессорного поля. Для осуществления итера- ций по (2) в каждом i-м процессоре, обеспечивающем вычисления s точечным методом, размещаются соответствующие коэффициенты 1s1,2,...,j1,s,…1,2,=i ,b,a ij,i +=+ , а также значения элементов вектора правых частей системы в последней точке предшествующего блока, которые будут считаться начальными для следующего. Для группы процессоров элементов, которые обеспечивают решение s+1 точечным методом, соответствующие коэффициенты 1s1,2,...,j1,s,…1,2,=i ,b,a ij,i +=+ . Дополнительно на каждой итерации рассчитываются значения производных правых частей ( l ) ( l ) n,i iF f ,l 1,2,...,q ,i 1,2,...,s 1= = = + . Параллельное управление шагом для задачи (1) многошаговым коллокационным блоч- ным методом с производными старших порядков (3) с числом опорных точек m и рас- четных s не будет иметь принципиальных различий с рассмотренными в [11] подходами. Однако возникает необходимость в формировании начальных данных для расчета очередного блока значений. В зависимости от значения нормы вектора расхождений, будет изменяться расчетная схема определения шага интегрирования. Если норма вектора расхождений не превосходит заданную глобальную точность вычислений s,...,2,1i,tolu i,ii,i =≤−ν , за основу берется решение, полученное коллокационным блоч- ным s+1-точечным методом 1.s,…1,2,=i , ,1 + + in ν Рассчитывается новое значение шага new τ 1 q new n 1 i ,i i ,i min fax max, max fax min, u ε τ τ ω ν +        =     −        (5) и по результатам расчета s+1-точечным m-шаговым методом формируется новый вектор опорных точек. Если норма вектора расхождений не превосходит заданную ло- кальную точность вычислений, т.е. s,...,2,1i,utol i,ii,i =≤−< εν , за основу берется ре- шение, полученное коллокационным блочным s-точечным методом s.,…1,2,=i ,u i,1n+ , Рассчитывается новое значение шага new τ , и новый вектор опорных точек формируется Параллельный контроль размера шага… «Штучний інтелект» 2013 № 3 491 6Д по результатам расчета s-точечным методом. Если полученное решение не обеспечи- вает заданную локальную точность, от шага необходимо отказаться, сократив его на величину, задаваемую параметром faxmin. В качестве максимальных коэффициентов увеличения шага facmax и уменьшения faxmin, параметра ω , а также начальной длины шага могут быть приняты значения, описанные в [5]. Для выявления рабочих характеристик и областей применимости, разработанных коллокационных методов со старшими производными, рассматривалась численная реализация известных тестовых задач: жестких, плохо обусловленных, быстроосцил- лирующих, жесткоосциллирующих и т.п. Одним из таких тестов является система обыкновенных дифференциальных уравнений вида ( ) ( )1 0 1 2 0 1 1 1 1 2 1 3 x ' x , x ' x x x ,µ µ µ µ ν ν= = − + + − (6) ( ) ( )3 0 1 1 1 1 2 1 1 3 x ' x 2 x x ,µ µ ν ν µ ν= − − + + − ( ) ( ) ( )4 0 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 4 2 5 x ' x 2 x x x x ,µ µ ν ν µ ν µ µ ν ν= − − + + − − + + − ( ) ( ) ( )5 0 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 4 2 2 5 x ' x 2 x x 2 x x ,µ µ ν ν µ ν µ ν ν µ ν= − − + + − − − + + − приведенная в [12]. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x1, x2, x3, x4, x5 а) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 2. �10  8 4. �10  8 6. �10  8 8. �10  8 Error x1, x2, x3 , x4, x5 б) Рисунок 1 – Поведение численного решения а) и распределения глобальных погрешностей б) задачи (6 – 8) Если выполнены условия 2 3 4 5 x (0 ) x (0 ), x (0 ) x (0 )= = , то точное решение этой системы на интервале [ ]t 0,1∈ имеет вид 0t 1 1 x ( t ) x ( 0 )e , µ = ( ) 1t 2 1 2 1 1 x ( t ) x ( t ) x ( 0 ) x ( 0 ) e cos( t ), µ ν= + − ( ) 1t 3 1 2 1 1 x ( t ) x ( t ) 2 x (0 ) x ( 0 ) e sin( ( t / 4 )), µ ν π= + − + ( ) 2t 4 3 4 2 2 x ( t ) x ( t ) x ( 0 ) x ( 0 ) e cos( t ), µ ν= + − ( ) 2t 5 3 4 2 2 x ( t ) x ( t ) 2 x (0 ) x ( 0 ) e sin( ( t / 4 )). µ ν π= + − + Задача (5) может быть хорошо обусловленной и нежесткой при начальных условиях 1 2 3 4 5 x (0 ) 1, x (0 ) x (0 ) 1.5, x (0 ) x (0 ) 2.5= = = = = (7) и со следующими значениями параметров 0 1 2 1 2 2, 1, 1, 1, 10.µ µ µ ν ν= − = = = − = (8) Даже для нежесткого варианта задачи (6) с начальными условиями (7) и с параметрами (8) при численном решении коллокационными методами с заданной точностью имеет место преимущество по времени получения решения. Это объясняется тем, что число просчетов сокращается пропорционально размерности Дмитриева О.А. «Искусственный интеллект» 2013 № 3 492 6Д блока. На рис. 1 показано поведение численного решения и распределения глобальных погрешностей при заданной точности 6 10 − . Задача (6) плохо обусловлена (рис.2) при на- чальных условиях [12] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 500 1000 1500 2000 x1, x2, x3, x4, x5 а) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t  1. �10  6  5. �10  7 5. �10  7 1. �10  6 Error x1, x2, x3, x4, x5 б) Рисунок 2 – Поведение численного решения а) и распределения глобальных погрешностей б) задачи (6, 9 – 10) 1 2 3 4 5 x (0 ) 0.1, x (0 ) x (0 ) 1, x (0 ) x (0 ) 0.5= = = = = (9) с параметрами 0 1 2 1 2 2, 1, 1, 1, 10.µ µ µ ν ν= − = = = − = (10) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t  0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x1, x2, x3, x4, x5 a) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t  1.�10  6  5.�10  7 5.�10  7 1.�10  6 Error x1, x2, x3, x4, x5 б) Рисунок 3 – Поведение численного решения а) и распределения глобальных погрешностей б) задачи (6, 11 – 12) Рисунок 4 – Вариация шага для задачи (6 – 8) Рисунок 6 – Вариация шага для задачи (6, 11-12) Рисунок 5 – Вариация шага для задачи (6, 9 –10) Рисунок 7 – Вариация шага для задачи (6, 13 – 14) Параллельный контроль размера шага… «Штучний інтелект» 2013 № 3 493 6Д Задача (6) быстроосциллирующая при начальных условиях [12] 1 2 3 4 5 x (0 ) 0.5, x (0 ) x (0 ) 0.8, x (0 ) x (0 ) 2= = = = = (11) с параметрами 0 1 2 1 2 2, 1, 1, 1, 1000.µ µ µ ν ν= − = = = − = (12) Поведение численного решения и распределения глобальных погрешностей для за- дачи (6, 11 – 12) при заданной точности 6 10 − показано на рис. 3. Задача (6), жесткая при начальных условиях 1 2 3 4 5 x (0 ) 10, x (0 ) x (0 ) 11, x (0 ) x (0 ) 111= = = = = (13) с параметрами 0 1 2 1 2 100, 1, 1, 10000, 10.µ µ µ ν ν= − = − = = − = (14) Вариация длины шага по каждому из рассмотренных вариантов приведена на рис. 4 – 7. Построение процедуры управления шагом на коллокационных блочных методах со старшими производными позволяет продвигаться сразу на s или на s+1 расчетную точку в зависимости от нормированных величин расхождений, полученных при форми- ровании очередного блока, что обеспечивает соответствующую величину ускорения даже при последовательной реализации. Введение дополнительных производных позво- лило значительно повысить порядок аппроксимации, не прибегая к наращиванию размер- ности системы, как это происходит при использовании многостадийных методов. На известных тестовых задачах выполнена параллельная реализация всех предложенных в разделе алгоритмов управления шагом. В качестве размера шага выбирался максималь- но возможный, обеспечивающий с учетом гарантийных факторов локальную точность. Полученные характеристики параллелизма свидетельствуют о высоких скоростных свойствах разработанных методов. Литература 1. Dmitrieva O. Parallel Algorithms of Simulation. Increase of simulation of dynamic objects with the lumped parameters into parallel computer systems / O. Dmitrieva, A. Firsova. – Lambert Academic Publishing, 2012. – 192 p. – ISBN-13: 978-3-659-28540-0, ISBN-10: 3659285404. 2. Zanariah A.M. Solving Large Systems of Ordinary Differential Equations on Parallel Computer / A.M. Zanariah, M.B. Suleiman // Journ. of Scientific Research. –2009. – Vol. 29, № 4. – P. 491-501. 3. Embedded block parallel methods for initial Cauchy problem numerical solution / [Feldman L.P., Nazarova I.A., Dmitrieva O.A., Mikhaylova T.V.] // Proceedings of DNTU. – 2010. – № 1. – P. 12-17. 4. Soderlind G. Digital filters in adaptive time-stepping / G. Soderlind // ACM Trans. Math. Softwar. - 2003. – Vol. 29. – P. 1-26 5. Dmitrieva O. Parallel Step Control. Development of parallel algorithms of the step variation for simulation of stiff dynamic systems/ O. Dmitrieva, L. Feldman. – Lambert Academic Publishing, 2013. – 72 p. – ISBN-13: 978-3-659-38425-7, ISBN-10: 3659384259. 6. Firsova A. Dynamic System Simulation. Robust algorithms of state estimation of dynamic lumped parameters systems / A. Firsova, O. Dmitrieva. – Lambert Academic Publishing, 2011. – 92 p. 7. Дмитриева О.А. Высокоэффективные алгоритмы управления шагом на основе параллельных коллокационных блочных методов / О.А. Дмитриева // Искусственный интеллект. – 2012. – № 4. – С. 77–88. 8. Дмитриева О.А Параллельное моделирование динамических объектов с автоматическим выбором шага на основе экстраполяционных методов / О.А. Дмитриева // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. – 2012. – № 6 (58). – С. 312-317. 9. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие задачи / Г. Ваннер. - М. : Мир, 1999. – 685 с. 10. Дмитриева О.А Разработка многошаговых параллельных коллокационных блочных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита / О.А. Дмитриева // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. – 2013. – № 5 (64). – Харків : НАУ ім. Жуковського «Харківський авіаційний інститут». – 2013. – С. 243-249. Дмитриева О.А. «Искусственный интеллект» 2013 № 3 494 6Д 11. Дмитрієва О.А. Генерація стійких блокових методів для розв’язання жорстких диференційних рівнянь і їх систем / О.А. Дмитрієва // Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія «Інформатика, кібернетика та обчислювальна техніка» (ІКОТ-2011). Випуск 14(188). – Донецьк : ДонНТУ. – 2011. – С. 36-43. 12. Арушанян О.Б. Тесты для вычислительного практикума по обыкновенным дифференциальным уравнениям / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин, Н.Н. Калиткин // Вычислительные методы и программирование. – 2002. – Т. 3. – C. 11-19. Literatura 1. Dmitrieva O., Firsova A. Parallel Algorithms of Simulation. Increase of simulation of dynamic objects with the lumped pa rameters into parallel computer systems. – Lambert Academic Publishing, 2012. – 192 p. 2. Zanariah A. M., Suleiman M.B. Solving Large Systems of Ordinary Differential Equations on Parallel Computer // Journ. of Scientific Research. – 2009. – Vol. 29, № 4. – P. 491-501. 3. Feldman L., Nazarova I., Dmitrieva O., Mikhaylova T. Proceedings of DNTU. – 2010. – № 1. – P. 12-17. 4. Soderlind G. Digital filters in adaptive time-stepping // ACM Trans. Math. Soft. – 2003. – Vol. 29. – P. 1-26. 5. Dmitrieva O., Feldman L. Parallel Step Control. Development of parallel algorithms of the step variation for simulation of stiff dynamic systems. – Lambert Academic Publishing, 2013. – 72 p. 6. Firsova A, Dmitrieva O. Dynamic System Simulation. Robust algorithms of state estimation of dynamic lumped parameters systems. – Lambert Academic Publishing, 2011. – 92 p. 7. Dmitrievа O.A. Iskusstvennyj intellect. – 2012. – № 4. – S. 77-88. 8. Dmitrieva O.A. Radіoelektronnye komp'yuternye systemy. – 2012. – № 6 (58). – S. 312-317. 9. Hayrer E., Wanner. G. Solution of ordinary differential equations. Tough task. – Springer-Verlag, 1999. – 685s. 10. Dmitrieva O. A. Radіoelektronnye komp'yuternye systemy. – 2013. – № 5 (64). – S. 243-249. 11. Dmitrієva O. A. ІKOT. – 2011. – № 14 (188). – S. 36-43. 12. Arushanjan O.B., Zaljotkin S.F., Kalitkin N.N. Vychislitelnye metody I programmirovaniye. – 2002. – № 3. – S. 11-19. RESUME O.A. Dmitrieva Parallel Step Control on the Basis of Collocation Methods with use of Interpolation Polynoms of Hermite The paper concerns itself of parallel step control with the numerical realization of the Cauchy problem for ordinary differential equations and their systems in parallel computer systems. The block collocation methods are developed that allow us to find a solution simultaneously in all the calculating points of the block, which reduces the time of obtaining the solution even for the sequential implementation. In order to align the order of approximation in all the calculating points of the block the additional higher-order derivatives are introduced into the difference schemes. Interpolation polynomials Hermite with multiple nodes are constructed in the form of recurrence relations or are obtained by taking the limiting process of the Lagrange and Newton polynomials. The introduction of the additional derivatives does not increase the dimension of the system, so the computational cost is the same as in the case of solving by the stage collocation methods or their corresponding implicit methods. On the basis of the proposed algorithms of step size control the test problems were implemented, the numerical solution of which provides the required accuracy with the maximum possible integration step. Статья поступила в редакцию 10.06.2013.

Параллельный контроль размера шага на основе коллокационных методов с использованием интерполяционных полиномов Эрмита

Репозитарії

Схожі ресурси