К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем

К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем

For the considered optimization models of nonlinear elastic dissipative dynamic systems, the key moment for the proposed algorithm that solves them is transition from a conjugate differential equation system to a vector second – type Fredholm equation and anexplicit solution to the laller by the spe...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2006
Автор: Токарева, О.Н.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Назва видання:Теорія оптимальних рішень
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84954
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 55-61. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-84954
record_format dspace
spelling irk-123456789-849542015-07-18T03:01:57Z К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем Токарева, О.Н. For the considered optimization models of nonlinear elastic dissipative dynamic systems, the key moment for the proposed algorithm that solves them is transition from a conjugate differential equation system to a vector second – type Fredholm equation and anexplicit solution to the laller by the spectral method. 2006 Article К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 55-61. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84954 518.9 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description For the considered optimization models of nonlinear elastic dissipative dynamic systems, the key moment for the proposed algorithm that solves them is transition from a conjugate differential equation system to a vector second – type Fredholm equation and anexplicit solution to the laller by the spectral method.
format Article
author Токарева, О.Н.
spellingShingle Токарева, О.Н.
К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
Теорія оптимальних рішень
author_facet Токарева, О.Н.
author_sort Токарева, О.Н.
title К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
title_short К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
title_full К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
title_fullStr К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
title_full_unstemmed К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
title_sort к вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2006
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84954
citation_txt К вопросу оптимизации нелинейных колебательных систем / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 55-61. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT tokarevaon kvoprosuoptimizaciinelinejnyhkolebatelʹnyhsistem
first_indexed 2025-07-06T12:04:38Z
last_indexed 2025-07-06T12:04:38Z
_version_ 1836899084579897344
fulltext Теорія оптимальних рішень 2006, № 5 55 ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ Для рассмотренных оптимиза- ционных моделей нелинейных уп- ругодиссипативных динамичес- ких систем ключевым моментом предложенного алгоритма их ре- шения является переход от со- пряженной системы дифферен- циальных уравнений к векторному уравнению Фредгольма второго рода и решение последнего в яв- ном виде спеткральным методом.  О.Н. Токарева, 2006 ÓÄÊ 518.9 Î.Í. ÒÎÊÀÐÅÂÀ Ê ÂÎÏÐÎÑÓ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÍÅËÈ- ÍÅÉÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Запишем оптимизационную модель нели- нейной динамической системы в виде нахо- ждения минимума критериального функцио- нала ( )( ) ( ) ( )( )dttbtxfbgbtx T ,,, 0 0 ∫+=Ψ (1) при ограничениях ( )( ) ( ) ( )( ) ,0,,, 0 ≤+=Ψ ∫ dttbtxpbqbtx T (2) ( ) ( )[ ] ( )( ) =Ψ= ∫ dttbtxpbbq T ,,,,0 0 2 ( )( )[ ] ( ) ,0,0,, 21 ≤ΨΨ= bbtx T (3) ( )( ) ( )( )∫ ==Ψ T dttbtxhbtx 0 1 ,0,,, ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )   < ≥ = ,0,,,0 ,0,,,,, ,, tbtxh tbtxhtbtxh tbtxh (4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ],,0,0,,, 0 Ttxxtybtxtx ∈=ϕ=& ( ) ( ) ./ tdtxdtx =& (5) Достаточно общего вида критериальный функционал (1) в частных случаях может представлять, например, вес конструкции, сумму инерционных масс, средние по време- ни t величины смещений ( )tx или напря- жений ( )( )tbtxi ,,σ в критических точ- ках конструкции. Векторные ограничения ( )( )btx ,1Ψ − это интегральная форма огра- ничений О.Н. ТОКАРЕВА 56 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 ( ) ( )( ) ,0,0,,,0 Tttbtxxtx iiii ≤≤≤σ−σ≤− где iix σ, − наибольшие абсолютные значения смещений и напряжений. Огра- ничение (5) − это векторное дифференциальное уравнение в форме Коши, опи- сывающее состояние динамической нелинейной системы; ( )tx − n -мерный век- тор состояния системы; ( )ty − n -мерный вектор входного воздействия; 0x − вектор начальных условий. Совместное использование [1] метода Ньютона – Канторовича [2] и методов спектральной теории линейных систем [3] дает возможность получения решения (5) в явном виде, что часто требуется при исследовании нелинейных систем. Цель данной работы − построение алгоритма решения задачи (1) − (5) (оп- тимизационный модуль TONAD), в котором блок Б1 для вычисления вектора состояния ( )tx на оптимизирующей последовательности { } ,...,2,1,0, =rb r и блок Б2 для нахождения производных по векторуb от функционалов модели, зависящих от вектора ( )tx , используют указанный подход. Блок Б1 на r -й итерации оптимизационного модуля TONAD образует по- следовательность решений ( ){ } ...,2,1,0,1 =+ ktxk ( ) ( ) ( ) ( )=α== + ++ rxTr kk btWbtxtx k 1,11 ( ) ( )( ) ( )( )0 1 xrur k T bbAItW k α+α+= − (6) спектральным методом векторных уравнений Фредгольма второго рода ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0, 1 0 1 xtudxtHtx k k T k k +=τττ+ ++ ∫ (7) Здесь ( ) ( ){ } ( )( ) ( )[ ] njith x bx tUdiagtH k ji r kk ,1,;, , , =τ=         ∂ τϕ∂ −τ−=τ + − (8) квадратично суммируемое в области [ ] [ ]TT ,0,0 × ядро уравнения (7), ( ) ( )( ) ; , , ,0 , , j r ki ji k jik ji x bx t t th ∂ τϕ∂ =ϕ         ≥τ <τϕ− =τ (9) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }tttdiagtW N T 110 ,...,, −ωωω= − диагональная клеточная матрица; [ ]⋅ − вектор-строка; ( ) ( ) [ ]{ }Ttit jijii ,0;...,2,1,0;,; ∈=δ=ωωω=Ω − некото- рый ортонормированный базис; 01 ,, xu kkx ααα + − клеточные векторы К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНІХ КОЛЕБАТЕЛЬНІХ СИСТЕМ Теорія оптимальних рішень 2006, № 5 57 [ ] [ ] T N T n νννν γ − γγγγγγγ ααα=αααα=α 110 ,...,,,,...,, 21 − структура ν -й клетки клеточного вектора γα . ( ) ( )∫ ωγ=α ν γ ν T jj tdtt 0 − (10) формула для j -го коэффициента Фурье в представлении функции ( )tνγ по сис- теме ( )tνγΩ ; − ν -я компонента векторных функций ( ) ( ) ;,, 01 xtutx kk + сим- вол “ Т ” означает транспонирование; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ),/,, 0 121 τ∂τϕ∂−=τττ+τ= ∫ k t r k kkkk xxbxqdqqtu ( ) ( ) ( )( ) nji xx ybxq j ir k ,1,;,,,2 =         ∂ ϕ∂ = ∂ ϕ∂ ττϕ=τ − матрица размерностью Inn ;× − единичная матрица; kA − клеточная матрица размерностью NnNn × коэффициентов Фурье для ядра ( ) ijtH ,,τ − клетка которой имеет следующую структур: ( ) ( ) ( ) )11(.1,0,;, , ... ...... ... ... 0 0 1,11,10,1 1,11101 1,01000 −=ττωτω=α                 ααα ααα ααα = ∫ ∫ −−−− − − Npsdtdtht A T T p k jis kji ps kji NN kji N kji N kji N kjikji kji N kjikji kji Уравнение (7) построено для итерационной процедуры ( ) −+ tx k 1& ( )( ) ( ) ( ) ( )tqtqtx x btx kk k r k 211 , +=         ∂ ϕ∂ + . Последняя получена линеаризацией операторного уравнения ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }00,,,,0 xxtybtxtxxAxA −ϕ−== & в точке ( ) ( )( ) ,0: 1 =−+ + kkkkk xxxAxAx & где A& − дифференцируемый по Фреше опера- тор A . Следуя приему, описанному в [4], построим соотношение для вычисления производных по вектору оптимизируемых параметров b от функционалов ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫ =Ψ= T ii T tdtbtxhbtxtdtbtxfbtx 0 1 0 0 ,,,,,,,,ζ О.Н. ТОКАРЕВА 58 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 зависящих от вектора состояния ( ):tx ∫         ∂ ∂ +λ ∂ ϕ∂ −=         ∂ ζ∂ ∂ ζ∂ ∂ ζ∂ == ∂ ζ∂ T T T p td b f bbbb l b 0 00 2 0 1 000 ,,...,, (12) ( )∫         ∂ ∂ +λ ∂ ϕ∂ −=         ∂ Ψ∂ ∂ Ψ∂ ∂ Ψ∂ == ∂ Ψ∂ T i i i T T p iiiii td b h hsign bbbb l b 0 1 2 1 1 11 ,,...,, (13) где iλλ ,0 − n - мерные векторы - столбцы сопряженных переменных, соответст- вующие функционалам 1 0 , iΨζ ; матрица x T ∂ ϕ∂ вычисляется в точке ( )( )rr btx , ; ( )tx r − решение нелинейного векторного уравнения (5) на r -й итерации моду- ля TONAD. Вектор ( ) it r ,0, =πλπ находится из решения сопряженной системы диффе- ренциальных уравнений ( ) ( ) ( ) ;0,/;0, =π∂∂==λ=λ ∂ ϕ∂ +λ πππππ xfwTwt x t rrrr T r& ( ) ., i x h hsignw i i r =π        ∂ ∂ =π (14) Далее опустим итерационный индекс r . Перейдем от системы (14) к век- торному уравнению Фредгольма второго рода ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ττ=νν−=ττλτ+λ πππππ T t T dwttdtNt ,,, 0 (15) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] njitn x bx tUdiagtN ji T ,1,;, , , =τ=         ∂ τϕ∂ −−τ=τ + − (16) квадратично суммируемое в области [ ] [ ]( )TT ,0,0 × ядро уравнения (15); ( ) ( ) ( ) . ;0 ;,;, ,       ≤τ >τ=τϕ−≠τϕ− =τ t tjiji tn iiij ji (17) Уравнение (15) после представления компонент векторов ( ) ( )tt ππ νλ , и элементов ядра ( )tN ,τ в виде рядов Фурье по системе Ω примет форму ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 πππ νλλ −=τττ+ ∫ aWadWWAtWatW T T TcTT (18) где ππ νλ aa , аналогичны γα и (10); NnNn × − матрица c A имеет структуру, аналогичную матрице A из (6), с ij -клеткой, аналогичной (11), и элементом К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНІХ КОЛЕБАТЕЛЬНІХ СИСТЕМ Теорія оптимальних рішень 2006, № 5 59 ( ) ( ) ( )∫ ∫ ττωτω= T T ujir ji ur dtdtnta 0 0 ., (19) От уравнения (18) переходим к уравнению πππ νλλ −=+ aaAa c , которое представляет матричный эквивалент уравнения (15). Решая последнее, получаем ( ) ( ) ( ) ( ) .,, 11 ππππ ν−λπ−νλ +−==λ+=−= aAIWatWtAIGaGa cTTccc (20) Так как πν aA c , явно зависят от вектора b , то ( ) b t ∂ ζ∂ λπ 0 , и b i ∂ Ψ∂ 1 явно зависят от этого вектора. Представим алгоритм метода оптимального проектирования нелинейных динамических систем с использованием внешней квадратичной штрафной функции P . TONAD-алгоритм. Исходные данные: , 2 1 ,0,0, 10 0       ∈ε>∈ rEb p .0,10,10 2 >ε<θ<<σ< Шаг 1. Задаем начальное приближение 0 b . Шаг 2. Находим для r b решение ( )tx r уравнения (5) путем решения спек- тральным методом последовательности уравнений Фредгольма второго рода (7). При этом ( ) ( )tbxtx r s r ,= , где ( )tbx r s , получено по формуле (6) для ssk ;1 =+ − число итераций метода Ньютона – Канторовича; r − номер итера- ции TONAD-алгоритма. Шаг 3. В точке ( ){ }rr btx , составляем множество B индексов ε -активных ограничений: [ ] ( )( ){ 0,,,/:1,, >εε−≥∈=∅== tbtxhuiCDCDCB iIU для } [ ] ( ){ }ε−≥Ψµ∈=≤ biDTt i 2/:1, . Строим вектор-столбец ( )( )[ =Ψ=Ψ btxi , ~ 1 ( )( ) ( ) T T ii DibCitdtbtxh     ∈Ψ∈= ∫ 0 2 ,;,,, ε -активных ограничений. Шаг 4. Определяем по формуле (20) векторы ( ) Ciit r ∈=πλ π ;,0; , удовле- творяющие векторным сопряженным уравнениям (14) в точке ( ){ }rr btx , , путем решения спектральным методом соответствующих уравнений Фредгольма вто- рого рода (15). Шаг 5. Вычисляем элементы ( ) pDC ×+ -матрицы b l T ∂ Ψ∂ = ~ с исполь- зованием формул (13). О.Н. ТОКАРЕВА 60 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 Шаг 6. Находим штрафной параметр rr по формуле 1−θ= rr rr . Вычисляем оценку вектора множителей Лагранжа в точке ( ){ }rr btx , из соотношения ( )Ψ−      +−=ρ − ~ 2 0 1 llllI r TTr , где I − единичная матрица, 0 l вычисляется со- гласно (12). Шаг 7. В точке ( ){ }rr btx , определяем вариацию bδ вектора оптимизируе- мых параметров b по формуле ρ−−=δ llb 0 . Находим rrr bbb r δσ+= γ+ 1 , где rγ − наименьшее неотрицательное целое, для которого справедливо условие ( ) ( ) ( )rr r rr r rrr r bxrPbxrPbbxrP rr ,,,,,, 1 δσε<−δσ+ γγ , ( ) ( ) rrT r rrr r T r bxrP r bxrP ΨδΨ+Ψδ=δΨΨ+Ψ= ~~2 ,,, ~~1 ,, 00 , rrTrrrTr blbl δ=Ψδδ=Ψδ ~ ,0 0 . (21) Шаг 8. Если все ограничения выполнены и ( ) 2 2 1 ε≤δδ=δ bbb T , то конец вычислений. В противном случае осуществляется возврат к шагу 2 с новым значением переменной проектирования 1+r b . TONAD-алгоритм рекомендуется к применению при проектировании широ- кого круга динамических систем. Данный алгоритм был конкретизирован на примере крутильно-колебательных систем силовых передач мобильных машин с нелинейными упругодиссипативными характеристиками отдельных соединений. О.М. Токарєва ДО ПИТАННЯ ОПТИМІЗАЦІЇ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАЛЬНИХ СИСТЕМ Для розглянутих оптимізаційних моделей нелінійних пружнодисипативних динамічних сис- тем ключовим моментом запропонованого алгоритму їх розв′язку став перехід від спряженої системи диференціальних рівнянь до векторного рівняння Фредгольма другого роду і розв′язування останнього в явному вигляді спектральним методом. O.N.Tokareva ON OPTIMIZATION OF NONLINEAR OSCILLATORY SYSTEM For the considered optimization models of nonlinear elastic dissipative dynamic systems, the key moment for the proposed algorithm that solves them is transition from a conjugate differential equation system to a vector second – type Fredholm equation and anexplicit solution to the laller by the spectral method. К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНІХ КОЛЕБАТЕЛЬНІХ СИСТЕМ Теорія оптимальних рішень 2006, № 5 61 1. Годжаев З.А., Корнюшин Ю.П. Новые методы исследования нелинейных систем трансмиссий мобильных машин // Тракторы и сельскохозяйственные машины. − 1993. − № 10. − С. 9 − 12. 2. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. − М.: Наука, 1969. − 455 с. 3. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов И.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. − М.: Машиностроение, 1986. − 440 с. 4. Токарева О.Н. Последовательная оптимизация и штрафы при проектировании дина- мических механических систем конструкций // Теорія оптимальних рішень. − К.: Ін- т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2000. − С. 39 − 43. Получено 30.05.2006

Схожі ресурси