Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений
Предлагается модель субъективной ожидаемой полезности по аддитивной вероятностной мере, формализм которой, в отличие от SEU модели Энскомба-Ауманна, определяемой в бихевиористских традициях, основывается на формально-логических принципах оптимальности....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85016 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений / В.М. Михалевич // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 53-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85016 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-850162015-07-19T03:02:12Z Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений Михалевич, В.М. Предлагается модель субъективной ожидаемой полезности по аддитивной вероятностной мере, формализм которой, в отличие от SEU модели Энскомба-Ауманна, определяемой в бихевиористских традициях, основывается на формально-логических принципах оптимальности. Пропонується модель суб’єктивної очікуваної корисності за адитивною ймовірнісною мірою, формалізм якої, на відміну від SEU моделі Енскомба – Ауманна, визначеної в біхевіористських традиціях, базується на формально-логічних принципах оптимальності. Proposed is a model of expexted utility on probability mass, whose formalism is based on the formally-logical principles of optimality, unlike the SEU model by Anscombe ans Aumann defined in behaviouristic traditions. 2012 Article Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений / В.М. Михалевич // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 53-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85016 519.81 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предлагается модель субъективной ожидаемой полезности по аддитивной вероятностной мере, формализм которой, в отличие от SEU модели Энскомба-Ауманна, определяемой в бихевиористских традициях, основывается на формально-логических принципах оптимальности. |
| format |
Article |
| author |
Михалевич, В.М. |
| spellingShingle |
Михалевич, В.М. Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Михалевич, В.М. |
| author_sort |
Михалевич, В.М. |
| title |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| title_short |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| title_full |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| title_fullStr |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| title_full_unstemmed |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| title_sort |
оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85016 |
| citation_txt |
Оптимальность, сочетающая принципы гарантированного и наилучшего результата, в задачах принятия решений / В.М. Михалевич // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 53-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT mihalevičvm optimalʹnostʹsočetaûŝaâprincipygarantirovannogoinailučšegorezulʹtatavzadačahprinâtiârešenij |
| first_indexed |
2025-07-06T12:10:16Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:10:16Z |
| _version_ |
1836899445436841984 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2012 53
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Предлагается модель субъекти-
вной ожидаемой полезности по
аддитивной вероятностной ме-
ре, формализм которой, в отли-
чие от SEU модели Энскомба-
Ауманна, определяемой в бихе-
виористских традициях, основы-
вается на формально-логических
принципах оптимальности.
В.М. Михалевич, 2012
ÓÄÊ 519.81
Â.Ì. ÌÈÕÀËÅÂÈ×
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÜ, ÑÎ×ÅÒÀÞÙÀß
ÏÐÈÍÖÈÏÛ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ
È ÍÀÈËÓ×ØÅÃÎ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÀ,
 ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈÉ
Когда рассматривается задача принятия ре-
шений, (ЗР), в системе принятия решения
(СПР), представляющей собой пару – того,
кто принимает решение (ТПР) и ситуацию
принятия решения (см. [1]), то возникает
вопрос о критерии, согласно которому ТПР
реализует процедуру выбора этого решения
из множества возможных. Этот вопрос поро-
ждает проблему неопределенности процеду-
ры выбора решений, которую решает ТПР,
опираясь на свои принципы оптимальности.
Для решения проблемы неопределенности
исследователем необходима формализация
СПР. Под ситуацией задачи выбора решений
(СЗВ) будем понимать механизм возникно-
вения причины последствия действия,
т. е. состояния СЗВ, называемого ненаблю-
даемым параметром СЗВ, где дейстие при-
надлежит заданному множеству, называе-
мому множеством решений СЗВ, а послед-
ствие принадлежит заданному множеству
для каждого действия из множества решений
СЗВ. Множество элементарных событий
указанных последствий множества решений
СЗВ будем называть множеством последст-
вий СЗВ. При этом задача выбора решений
(ЗВ) формулируется как выбор действия или
отношение предпочтения на действиях мно-
жества решений СЗВ, состоящем хотя бы из
двух элементов, в зависимости от отношения
предпочтения в множестве последствий СЗВ.
ЗВ выбора действия будем называть ЗР, а
ЗВ выбора отношения предпочтения на дей-
ствиях – задачей предпочтений (ЗП).
В.М. МИХАЛЕВИЧ
54 Теорія оптимальних рішень, 2012
Тогда решение исследователем проблемы неопределенности выбора для ЗП
заключается в доказательстве теоремы существования и единственности
решения ЗП, исходя из определенных принципов оптимальности на множестве
решений сответствующей СЗВ. Последнюю, в случае известного множества
значений ненаблюдаемого параметра, будем называть параметрической. Ее
можно описывать вербально, а также абстрактно с помощью схем СЗВ.
Определение 1. Схемой ситуации (СС) называется упорядоченная четверка
вида ( , , , )X U gΘ , где для произвольных непустых множеств , , ,X UΘ а g
является отображением UΘ× на .X
При этом множество X называется множеством последствий с алгеброй
под-множеств Ξ , Θ – множеством значений ненаблюдаемого параметра с
алгеброй подмножествΣ ,U множеством решений, а g – отображением
последствий СС ( , , , )X U gΘ . Класс всех параметрических СС вида
( , , , )X U GΘ будем обозначать Z , a ( , ) := {( , , , ) }X XΘ Θ ⋅ ⋅ ∈Z Z .
Рассмотрим класс СС с заданными отношениями предпочтений на
соответствующих множествах последствий. Тогда каждой параметрической СС
этого класса соответствует упорядоченная четверка вида (( , ), , , )X U gΘµ , где
( )µ – соответствующее отношение предпочтения на множестве последствий
этой СЗВ. Z обозначим класс всех СС вида (( , ), , , )X U gΘµ , а также
( , )X ΘZ := {(( , ), , , ) }ZX ⋅ Θ ⋅ ⋅ ∈ .
Определение 2. Проекцией СС класса Z называется такое отображение
Пр : Z → Z , что для любой СС (( , ), , , ) ZX U gΘ ∈µ имеет место
Пр ((( , ), , , )) = ( , , , )X U g X U gΘ Θµ .
Продолжая изучение неопределенности путем «перехода явным образом к
рассмотрению бесконечного числа «испытаний» ... иными словами задачи
принятия «массовых» решений» (см. [1], стр. 42), рассмотрим многократный
выбор решений 1( ,..., ),
n
u u n N∈ в параметрической ситуации ЗР, заданной
своей СС =Z = ( , , , ) ( , )X U g XΘ ∈ ΘZ . При этом соответствующий вектор
последствий 1( ,..., )
n
x x , в зависимости от соответствующих значений ненаблюд-
аемого параметра 1( ,..., )
n
θ θ , удовлетворяет условиям = ( , ), = 1,
i i i
x g u i nθ .
Для любого непустого множества A через A∞
всюду далее будем
обозначать множество
=1
n
n
A
∞
U .
Под ЗП при многократном выборе, называемой задачей многократных
предпочтений (ЗМП) в ситуации с СС = ( , , , ) ( , )Z X U g XΘ ∈ ΘZ , в классе СС
( , )X ΘZ будем понимать зависимость отношения на множестве U
∞
от
предпочтений на множестве .X
∞
ОПТИМАЛЬНОСТЬ, СОЧЕТАЮЩАЯ ПРИНЦИПЫ ...
Теорія оптимальних рішень, 2012 55
Определение 3. Правилом выбора предпочтений (ПВП) для ЗМП в классе
' ⊆Z Z будем называть всякое отображение 1 2= ( , )π π π , определенное на 'Z
и сопоставляющее каждой = ( , , , ) 'Z X U gΘ ∈ Z некоторую пару бинарных
отношений 1 = ( , )
Z Z
X
∞π µ и
*
2 = ( , )
Z Z
U
∞π µ . Класс всех ПВП для ЗМП в 'Z
будем обозначать ( ')∞Π Z .
Рассмотрим так называемые необайесовские ЗР (см. [2]), расширив
множество последствий Х до множества Y случайных последствий,
представляющих собой множество распределений на Х следующего вида:
: ( ) 0
= {( : [0,1]) : { : ( ) 0, } < , ( ) = 1}
x X y x
Y y X card x y x x X y x
∈ ≠
→ ≠ ∈ ∞ ∑ . (1)
Расширим необайесовскую форму параметрических ЗР, дополнив множе-
ство случайных последствий Y до множества случайных в широком смысле
последствий 0 ( )P X , представляющих собой множество статистических
закономерностей на множестве последствий X вида 0( ) : { ( ) :P X P P X= ∈
: , },card P P Y< ∞ ⊆ где Y – множество случайных последствий, определяемое
соотношением (1).
Рассмотрим ЗМП в классе СС 0( ( ), )P X ΘZ . Введем некоторые понятия и
обозначения по аналогии с используемыми в [2].
Обозначим 0( , )L A Θ множество всех Σ -измеримых конечнозначных
отображений на множестве Θ со значениями в множестве A.
Определение 4. СС 0 0= ( ( ), , , ) ( ( ), )Z P X U g P XΘ ∈ ΘZ будем называть
определяющей, если 0 0 0( ( ), ) ( , ) = [ ( , )] [ ( )] .L P X g U co g U P X
ΘΘ ⊆ ⋅ ⋅ ⊆
Определение 5. Для произвольных непустых множеств ,X Θ и нестрогого
порядка ( , )X µ , отображение 0[ ( )]f P X
Θ∈ будем называть ограниченным отно-
сительно ( , )X µ , если отображения на Θ
( )
( ) := min{ : ( ) 0}min
p f
f x X p x
∈ θ
θ ∈ ≠
и ( ) :=f θ
( )
max{ : ( ) 0}max
p f
x X p x
∈ θ
∈ ≠ являются ограниченными относи-
тельно ( , )X µ .
Обозначим 0( ( ), )L P X Θµ множество всех ограниченных и Σ -измеримых
относительно нестрогого порядка ( , )X µ отображений на множестве Θ со
значениями в множестве 0 ( )P X .
Определим класс ПВП в ЗМП для 0 0'( ( ), ) ( ( ), )P X P XΘ ⊆ ΘZ Z , который
будем обозначать 0 0( '( ( ), )P X
∞Π ΘZ , как в подклассе всех таких ПВП
0( '( ( ), )P X
∞π ∈ Π ΘZ , что для любой определяющей СС 0= ( ( ), , , )Z P X U gΘ ∈
В.М. МИХАЛЕВИЧ
56 Теорія оптимальних рішень, 2012
0'( ( ), )P X∈ ΘZ выполняются условия Y1 – Y5, а также условия P6 – P9,
где каждое из соответствующих условий Y6 – Y9 получается путем замены
множества Y на множество 0 ( )P X (см. [3]).
Обозначим
'
1 0( ( ), )P X ΘZ любой подкласс СС класса 0( ( ), ),P X ΘZ в
котором для любой СС
'
0 1 0
' = ( ( ), , ', ') ( ( ), )Z P X U g P XΘ ∈ ΘZ и любых
'
,
i
u U ′∈
= 1,2i найдется такая определяющая СС
'
0 1 0
= ( ( ), , , ) ( ( ), )Z P X U g P XΘ ∈ ΘZ
и , = 1, 2,
i
u U i∈ что
' '( , ) = ( , ) , =1,2.
i i
g u g u iθ θ ∀θ∈Θ
Обозначим
'
0 0( ( ), )P X ΘZ любой такой класс
'
1 0( ( ), ),P X ΘZ что если
'
0 1 0= ( ( ), , , ) ( ( ), )Z P X U g P XΘ ∈ ΘZ − определяющая, фигурирующая в опре-
делении
'
1 0( ( ), ),P X ΘZ то для нее должно выполняться условие
0 0( , ) = ( ( ), ).g U L P X⋅ Θ
А через '
1 0( ( ), )Z P X Θ будем обозначать любой подкласс СС класса
0( ( ), )Z P X Θ , элементы которого задают первую компоненту некоторого ПВП
для
'
1 0( ( ), )P X ΘZ . При этом, если 0 1 0(( ( ), ), , , ) ' ( ( ), ),P X U g Z P XΘ ∈ Θµ а
0 1 0( ( ), , , ) ' ( ( ), )P X U g P XΘ ∈ ΘZ является определяющей СС, фигурирующей в
определении 1 0' ( ( ), ),P X ΘZ то для нее также должно выполняться условие
ограниченности и Σ -измеримости относительно сужения 0( ( ), )P X µ на X для
отображения (, )g u⋅ при всех u U∈ , т. е. 0( , ) ( ( ), ).g U L P X⋅ ⊆ Θµ
Для любого класса 1 0' ( ( ), )Z P X Θ определим класс 0 0' ( ( ), )P X ΘZ , обо-
значая его 01 0' ( ( ), )P X ΘZ , так что 01 0 0' ( ( ), ) := {( ( ), , , ) :P X P X U g′ ′Θ ΘZ
: 0 1 0( ( ), , , ) ' ( ( ), ),P X U g Пр P XΘ ∈ ΘZ
0 0= { : , ( , ) ( ( ), )},U u u U g u L P X′ ∈ ⋅ ∈ Θ 0 0= { : , ( , ) ( ( ), )},U u u U g u L P X′ ∈ ⋅ ∈ Θ
( , ) = ( , )g u g u′ θ θ ∀θ∈ }.u U ′Θ ∀ ∈
Для произвольного непустого множества A определим в пространстве
AR
действительных функций на A отношение эквивалентности
m
( )≈ так, что для
любых , Af g R∈
m
= , , > 0.f g f mg m R m≈ ⇔ ∈
Для произвольного векторного пространства V введем отношение эквива-
лентности
co
( )≈ на 2V
так, что для любых ,X Y V⊆
co
= .X Y coX coY≈ ⇔
ОПТИМАЛЬНОСТЬ, СОЧЕТАЮЩАЯ ПРИНЦИПЫ ...
Теорія оптимальних рішень, 2012 57
Если в соотношении, задающем условие P9, знак
*( )
Z
µ заменить на знак
обратного соответствия, то полученное условие обозначим P9'. Условие P9',
в отличие от условия P9, представляющего собой форму принципа гаранти-
рованного результата в статистической форме (интерпретируемой как условие
непринятия участия в антагонистических играх [3]), является статистической
формой принципа наилучшего результата (интерпретируемой как условие
склонности к антагонистическим играм). Тогда 0 0( '( ( ), ))P X
∞Π ΘZ обозначим
подкласс всех таких ПВП класса 0( '( ( ), ))P X
∞Π ΘZ , что для любой
определяющей СС = ( , , , ) '( , ) ( , )Z X U g X XΘ ∈ Θ ⊆ ΘZ Z выполняются
условия Y1 – Y5, P6 – P8, P9'.
0 ( , )B a b , где , , 0 int( , )a b R a b∈ ∈ будем обозначать множество всех
конечнозначных Σ -измеримых функций на Θ , со значениями в интервале
( , )a b .
Пусть L – произвольное выпуклое множество таких Σ -измеримых ограни-
ченных функций на Θ (обозначаемых обычно ( )BΣ Θ или просто B ),
что найдутся ,a b R∈ , для которых множество 0 ( , )B a b содержится в L ,
т. е. 0 ( , ) =B a b L co L B⊆ ⊆ .
Теорема 1. Для произвольного непустого множества Θ функционал υ на L
удовлетворяет для любых 1 2,f f L∈ условиям:
V1. Если 1 2( ) ( ) ,f fθ θ ∀θ∈Θ„ то 1 2( ) ( );f fυ υ„
V2. Если , , 0a b R a′ ′ ′∈ … и 1 2( ) = ( )f a f b′ ′θ θ + ∀θ∈Θ ,
то 1 2( ) = ( ) ;f a f b′ ′υ υ +
V3.
1 2 1 2
1 1
( ) ( ) 2 ( )
2 2
f f f fυ + υ = υ +
тогда и только тогда, когда найдется аддитивная вероятностная мера p на Θ, что
f L∀ ∈ ( ) = ( ) ( ).f f p d
Θ
υ θ θ∫ При этом мера p единственная.
Доказательство. Из теорем 1, 3 [3] следует, что найдутся две выпуклые
статистические закономерности P1 и P2 на Θ (см. [1]), что f L∀ ∈ имеет место
соотношение
21
( ) ( ) ( ) = ( ) ( )max min
p Pp P
f p d f f p d
∈∈
Θ Θ
θ θ = υ θ θ∫ ∫ . (2)
Предположим, что закономерности P1 и P2 не совпадают. В силу
симметрии, без уменьшения общности, можно считать, что найдется
1 1 2\p P P∈ . Тогда, согласно теореме отделимости ([4], V.2.10) и теореме о
представлении элементов пространства B*(Θ, Σ ) ([4], VI.5.1), найдется такой
В.М. МИХАЛЕВИЧ
58 Теорія оптимальних рішень, 2012
элемент f B∈ , что
2
1( ) ( ) ( ) ( ).max
p P
f p d f p d
∈
Θ Θ
θ θ > θ θ∫ ∫ Также, не уменьшая
общности, можно считать, что 0( , )f B a b∈ . Отсюда следует, что существует
такой элемент 0 ( , )f B a b∈ , для которого
1
( ) ( )max
p P
f p d
∈
Θ
θ θ >∫
>
2 2
( ) ( ) ( ) ( ),minmax
p P p P
f p d f p d
∈ ∈
Θ Θ
θ θ θ θ∫ ∫… что противоречит соотношению (2).
Следовательно закономерности P1 и P2 совпадают. Отсюда, в силу соотно-
шения (2),
1 2 1,p p P∀ ∈ , f L∀ ∈ 1 2( ) ( ) ( ) ( ).f p d f p d
Θ Θ
θ θ = θ θ∫ ∫ Тогда
A∀ ∈Σ при ( ) ( )
2
A
b
f θ = имеем 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
A A
b b b
p A p d p d
Θ Θ
= θ = θ =∫ ∫
2( ),
2
b
p A= т. е. 1 2p p= .
В обратную сторону доказательство очевидным образом следует из теорем
1.3 [3]. Теорема доказана.
Функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 1, аналогичный
критерию в известной теореме Энскомба – Ауманна, которая формулируется для
задач в небайесовской форме ([5, 6]). Чтобы сформулировать аналог теоремы
Энскомба – Ауманна введем в рассмотрение отображение ' ( ( ), )
0 0
P X Θ
∞ϑZ из
/ ( )
m
XR PF≈× Θ , где ( )PF Θ – семейство всех аддитивных вереятностных мер на
(Θ, Σ ), определяемое аналогично соответствию ' ( ( ), )
0 0
P X Θ
∞χZ (см. [3]), с той лишь
разницей, что статистическая закономерность P состоит из одного элемента.
Теорема 2. Для любого класса СС 1 0' ( ( ), )Z P X Θ
0' ( ( ), ) 0 01 0 0 01 0
01
( / ( )) ( ' ( ( ), )) ( ' ( ( ), ))
m
X
P X
R PF P X P X
∞ ∞
Θ
∞ϑ ≈× Θ = Π Θ ∩ Π ΘZ Z Z
и всякое ПВП 0 01 0 0 01 0( ' ( ( ), )) ( ' ( ( ), ))P X P X
∞ ∞π ∈ Π Θ ∩ Π ΘZ Z можно, и притом
единственным образом, продолжить до ПВП 0 1 0( ' ( ( ), ))Пр P X
∞π ∈ Π Θ ∩Z
0 1 0( ' ( ( ), ))Пр P X
∞∩Π ΘZ , при этом соответствие
'
1 0
( ( ), )Пр P X
∞ϑ
ΘZ
инъективно и
0' ( ( ), ) 0 1 0 0 1 0
1
( / ( )) ( ' ( ( ), )) ( ' ( ( ), ))
m
X
Пр P X
R PF Пр P X Пр P X
∞ ∞
Θ
∞ϑ ≈× Θ = Π Θ ∩ Π Θ
Z
Z Z .
Доказательство следует из теорем 1, 2 [7] и теоремы 1.
ОПТИМАЛЬНОСТЬ, СОЧЕТАЮЩАЯ ПРИНЦИПЫ ...
Теорія оптимальних рішень, 2012 59
В.М. Михалевич
ОПТИМАЛЬНІСТЬ, ЩО СПОЛУЧАЄ ПРИНЦИПИ ГАРАНТОВАНОГО
ТА НАЙКРАЩОГО РЕЗУЛЬТАТІВ У ЗАДАЧАХ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
Пропонується модель суб’єктивної очікуваної корисності за адитивною ймовірнісною мірою,
формалізм якої, на відміну від SEU моделі Енскомба – Ауманна, визначеної в біхе-
віористських традиціях, базується на формально-логічних принципах оптимальності.
V.M. Mykhalevich
OPTIMALITY COMBINING THE PRINCIPLES OF GUARANTEED
AND BEST RESULTS IN THE PROBLEM OF DECISION MAKING
Proposed is a model of expexted utility on probability mass, whose formalism is based on the
formally-logical principles of optimality, unlike the SEU model by Anscombe ans Aumann defined
in behaviouristic traditions.
1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах принятия
решений. – Киев: Наук. думка, 1990. – 135 с.
2. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with Non-Unique Prior // J. of Mathematical
Economics. – 1989. – 18. – P. 141–153.
3. Михалевич В.М. О двух критериях при поэтапном выборе решений // Кибернетика и сис-
темный анализ. – 2012. – № 2. – С. 68–79.
4. Данфорд Н., Шварц Д.Т. Линейные операторы. Общая теория. – М.: ИЛ, 1962. – 896 с.
5. Anscombe F.J., Aumann R.J. A defnition of subjective probability // The Annals of
Mathematics and Statistics. – 1963. – 34. – P. 199–205.
6. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ. – М.: Наука, 1978. –
352 с.
7. Михалевич В.М. К параметрической задаче решения с денежными доходами //
Кибернетика и системный анализ. – 2011. – № 5. – С. 163–169.
Получено 15.05.2012
|