Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина
На основе подхода, связанного с растяжением времени, решается игровая задача о геометрической встрече управляемых систем высших порядков, являющаяся обобщением контрольного примера Л.С. Понтрягина. Получены условия на параметры систем, достаточные для успешного завершения игры из любых начальных сос...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Теорія оптимальних рішень |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85034 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 3-8. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85034 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-850342015-07-19T03:02:25Z Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина Чикрий, Г.Ц. На основе подхода, связанного с растяжением времени, решается игровая задача о геометрической встрече управляемых систем высших порядков, являющаяся обобщением контрольного примера Л.С. Понтрягина. Получены условия на параметры систем, достаточные для успешного завершения игры из любых начальных состояний. На базі підходу, пов’язаного з розтягуванням часу, вирішується ігрова задача про зустріч керованих систем вищих порядків, яка є узагальненням контрольного прикладу Л.С. Понтрягіна. Отримано умови на параметри систем, що є достатніми для успішного завершення гри при довільних початкових умовах. The game problem of meeting of two higher-order controlled objects, beeng a generalization of Pontryagin’s model example, is solved on the basis of time-dilatation approach. Conditions on the systems parameters, sufficient for the game termination under all initial states, are derived. 2013 Article Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 3-8. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85034 517.977 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основе подхода, связанного с растяжением времени, решается игровая задача о геометрической встрече управляемых систем высших порядков, являющаяся обобщением контрольного примера Л.С. Понтрягина. Получены условия на параметры систем, достаточные для успешного завершения игры из любых начальных состояний. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, Г.Ц. |
| spellingShingle |
Чикрий, Г.Ц. Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Чикрий, Г.Ц. |
| author_sort |
Чикрий, Г.Ц. |
| title |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина |
| title_short |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина |
| title_full |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина |
| title_fullStr |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина |
| title_full_unstemmed |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина |
| title_sort |
об одном обобщении контрольного примера л.с. понтрягина |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85034 |
| citation_txt |
Об одном обобщении контрольного примера Л.С. Понтрягина / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 3-8. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijgc obodnomobobŝeniikontrolʹnogoprimeralspontrâgina |
| first_indexed |
2025-07-06T12:11:53Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:11:53Z |
| _version_ |
1836899540551073792 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2013 3
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
На основе подхода, связанного с
растяжением времени, решается
игровая задача о геометрической
встрече управляемых систем выс-
ших порядков, являющаяся обоб-
щением контрольного примера
Л.С. Понтрягина. Получены усло-
вия на параметры систем, дос-
таточные для успешного завер-
шения игры из любых начальных
состояний.
ктов
Г.Ц. Чикрий, 2013
ÓÄÊ 517.977
Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÎÁÎÁÙÅÍÈÈ
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÃÎ ÏÐÈÌÅÐÀ
Ë.Ñ. ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ
Постановка задачи. Пусть движение управ-
ляемых объектов описывается системами
дифференциальных уравнений:
1
1
,
n n
n n
d x d x
u
dt dt
−
−
= −α + ρ ,m
x R∈ (1)
1
1
n n
n n
d y d y
v
dt dt
−
−
= −β + σ , ,m
y R∈ 2,n ≥ (2)
где , ,α β ,ρ σ − параметры трения и ресурсов
управления, соответственно, , , , 0.α β ρ σ >
Управления u и ,v 1, 1 ,u v≤ ≤ выбира-
ются преследователем и убегающим так,
чтобы их реализации во времени были
измеримыми по Лебегу функциями. Цель
преследователя – с помощью выбора своего
управления добиться встречи объектов в
конечный момент времени t : ( ) ( ).x t y t=
В работе [1] этот пример был исследован в
случае 2n = и выведены условия на
параметры систем, при которых преследова-
тель может достичь своей цели при любых
начальных состояниях объектов. Для приме-
нения первого прямого метода [2] к решению
поставленной задачи требуется выполнение
условия Л.С. Понтрягина, трудно проверяе-
мое в случае большой размерности ( 2n > )
[3]. Здесь использован подход, основанный
на его модификации [4] и связанный с растя-
жением времени [5 – 8].
Линейная игровая задача сближения.
Пусть движение конфликтно-управляемого
процесса описывается уравнением
,z Az u= + − υ& (3)
Г.Ц. ЧИКРИЙ
4 Теорія оптимальних рішень. 2013
где ,m
z R∈ A- квадратная матрица. Управления u и v находятся в распоряже-
нии преследователя и убегающего, соответственно, u U∈ , ,v V∈ ,m
U R⊂
,m
V R⊂ U и V – выпуклые компакты. Игрокам разрешается выбирать свои те-
кущие управления таким образом, чтобы их реализации во времени были изме-
римыми по Лебегу функциями. Задано начальное положение процесса 0(0) .z z=
Игра рассматривается с точки зрения преследователя, который с помощью
выбора своего управления ( )u t стремится при любом поведении убегающего
вывести траекторию системы (1) на линейное подпространство , .m
M M R⊂
Обозначим π оператор проектирования из mR на .M
⊥
Тогда включение
( )z t Mπ ∈ равносильно окончанию игры преследования в момент .t Первый
прямой метод, созданный Л.С. Понтрягиным для решения такой игры, основан
на предположении, что преследователь строит свое управление по текущему
управлению убегающего, вследствие чего условие преимущества преследовате-
ля над убегающим в ресурсах управления выглядит следующим образом.
Условие Л.С. Понтрягина [1]: 0.tA tA
e U e V tπ ∗ π ≠ ∅ ∀ ≥ Его модификация
(см. условие далее), предполагает построение управления преследователя по
управлению убегающего в прошлом, как если бы информация об управлении
убегающего поступала к нему не сразу, а с переменным запаздыванием инфор-
мации, выраженным через функцию растяжения времени.
Определение [4, 6]. Функцией растяжения времени назовем неотрица-
тельную, монотонно возрастающую, абсолютно-непрерывную функцию
( ),I t [ )0, ,t ∈ +∞ такую, что (0) 0,I = ( )I t t≥ при 0.t >
Замечание. Требование абсолютной непрерывности функции ( )I t может
быть ослаблено [8], однако здесь в этом нет необходимости. Условие диффе-
ренцируемости ( )I t [4] ограничивает круг возможных приложений [6 – 8].
Условие (преимущества с растяжением) [4]. Существует функция растя-
жения времени ( )I t , удовлетворяющая условию:
( ) ( ) ( )
0.
I t AtA
W t e U I t e V t= π ∗ π ≠ ∅ ∀ ≥& (4)
Теорема [4]. Пусть выполнено условие (4) и для некоторого конечного
момента времени 1t выполнено включение
( ) ( )( )
( )1 1 1
11
0
0 0
( ) .
I t t t
I t AI t A
e z e Ud W d
−
−ϑ
−π + θ ∩ θ θ ≠ ∅
∫ ∫ (5)
Тогда из состояния 0z преследование может быть завершено в момент
1( ).I t
Отметим, что здесь интегралы от множеств понимаются в смысле Аумана [9].
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА Л.С. ПОНТРЯГИНА
Теорія оптимальних рішень. 2013 5
Вернемся к исходной задаче о встрече управляемых объектов (1), (2).
Приведем уравнения высших порядков (1), (2) к системам уравнений первого
порядка. Для этого сделаем замену переменных:
1 2 1 1, , , ,n nx x x x x x −= = =& &K 1 2 1 1, , , .n ny y y y y y −= = =& &K
Введем в рассмотрение вектор
( )1 2 1 2, , , , , .
T
T T T T T T
n n
z x x x y y y= K K
Задача о встрече управляемых объектов (1), (2), таким образом, сводится к
игровой задаче сближения для конфликтно-управляемого процесса (3), где
1
2
,
mn
mn
A O
A
O A
=
1
...
...
,
...
...
O E O O
O O E O
A
O O O E
O O O E
=
−α
M M M M M 2
...
...
,
...
...
O E O O
O O E O
A
O O O E
O O O E
=
−β
M M M M M
Выше использовались обозначения Е и О для единичной и нулевой m-мерных
матриц, соответственно, и
mn
O – для нулевой mn-мерной матрицы.
Множества управлений представимы в виде
1
,
T
n n
U O O S O O
−
= ρ
K K
14243 123
1
,
T
n n
V O O O O S
−
= σ
K K
14243 14243
где { }, : 1 .n
S x x R x= ∈ ≤
Преследователь с помощью выбора своего управления стремится из
заданного начального положения ( ) ( )( )( 1) ( 1)
0 0 0 0 0 0, , , , ,
T
T T
T T n T T n
x x x y y y
− −& &K K
вывести траекторию системы (3) в конечный момент времени на терминальное
множество
( ){ }1 2 1 2 1 1, , , , , , , : .
T
T T T T T T m m
n n i iM z x x x y y y x R y R x y= = ∈ ∈ =K K
Роль оператора проектирования здесь играет матрица
1 1
.
2 2
E O O E O O
π = −
K K
Введем обозначения для функций:
( )1 ,tt e − αφ = ( ) ( )1
0
,
t
k kt d−φ = φ θ θ∫ ( ) ( )1
0
, 2, .
t
k kt d k n−ψ = ψ θ θ =∫ K (6)
Г.Ц. ЧИКРИЙ
6 Теорія оптимальних рішень. 2013
Фундаментальная матрица системы (3) здесь имеет вид:
1
2
tA
tA mn
tA
mn
e O
e
O e
=
,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
1
2
1
...
2 !
...
3 ! ,
... ... ... ... ...
...
...
n
n
n
ntA
t
E tE E t E
n
t
O E E t E
e n
O O E t E
O O O t E
−
−
−
φ
−
φ
= −
φ
φ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3
1
2
1
...
2 !
...
3 ! .
... ... ... ... ...
...
...
n
n
n
ntA
t
E tE E t E
n
t
O E E t E
e n
O O E t E
O O O t E
−
−
−
ψ
−
ψ
= −
ψ
ψ
(7)
Нетрудно проверить, что
( ) ,tA
ne U t Sπ = ρφ ( ) .tA
ne V t Sπ = σψ (8)
Пусть .α > β Тогда функция ( )I t t
α
=
β
удовлетворяет всем условиям, пере-
численным в определении функции растяжения времени. Кроме того, для нее
выполнены равенства
( )( ) ( )
1
1
,
i
i ii
I t t
−
−
α
ψ = φ
β
1, .i n= K (9)
Отсюда, в силу (8), имеем
( )
1
1
1 1
.
n
I t A tA
n
e V e U
−
−
α
π = π
σ ρ β
(10)
Из этого включения, с учетом того, что ( ) ,I t
α
=
β
& следует, что для выполне-
ния условия (4) достаточно, чтобы параметры систем (1), (2) удовлетворяли не-
равенствам:
,α > β .
n n
ρ σ
≥
α β
(11)
Опишем способ построения управления преследователя, приводящего к
цели. На начальном отрезке времени [ )00, , τ ( )0 1 1,I t tτ = − полагаем: ( )0 0.u θ ≡
Пусть ( )ω θ − измеримый селектор многозначного отображения ( )W θ , при
котором ( )
1
1
0
0
( )
t
I t A
e z d−π = ω θ θ∫ (5). В каждый текущий момент времени
0 tτ + ,
10 t t≤ ≤ , управление преследователя строится в виде измеримого решения
уравнения, существующего ввиду теоремы Филиппова – Кастена [9]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1
0 1 1 1 1 .
t t A I t t A
e u t I t t e v I t I t t t t
− −
π τ + = − π − − + ω −& (12)
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА Л.С. ПОНТРЯГИНА
Теорія оптимальних рішень. 2013 7
Из соотношения (5), с учетом формул (10), (11), вытекает, что если для на-
чальных положений
( )( )1
0 0 0, , ,
n
x x x
−& K ( )( )1
0 0 0, ,
n
y y y
−& K найдется момент
1t , при
котором норма вектора ( )( ){ }1
1
,z I tπ состоящего из первых n координат векто-
ра ( )( )1 ,z I tπ удовлетворяет условию:
( )( ){ } ( )
1
,z I t R tπ ≤ (13)
где ( ) ( )
1
0
,
tn
nn
R t d
α
= ρ − σ φ θ θ
β
∫ то преследователь может достичь своей цели
точно в момент времени ( )1 .I t
Оценим ( )( ){ }
1
,z I tπ используя (7) и явный вид функции ( ).I t
( )( ){ }
1
z I tπ ≤
( )
( )
1
1
0 0 0 0
1
.
1 !
i
n
i i n n n n
i
t
y x t y t x
i
−
−
=
α
β α α + + ψ + φ
− β β
∑
Отсюда, ввиду (6), следует, что для любого наперед заданного малого числа ε най-
дутся момент времени ( ) ,t ε такой, что при ( )t t≥ ε ( )( ){ } ( )2
1
,
n
z I t P t
−π − ≤ −ε
где ( )2n
P t
− − некоторый положительный полином ( )2n − -ой степени ,ε момент
времени ( ) ,t ε такой, что при ( )t t≥ ε ( ) ( )2 1 ,n n
P t P t
− −− ≤ −ε где ( )1n
P t
− − поло-
жительный полином ( )1n − -ой степени, а также момент ( ) ,t ε такой, что при
( )t t≥ ε ( ) ( )2 .n
P t R t
− − ≤ ε Поэтому при
1,t t≥ где { }1 max , , ,t t t t=
( )( ){ } ( ) ( )( ){ }
1 1
z I t R t z I tπ − = π − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1n n n n
P t P t P t P t R t
− − − −+ − + − ≤ −ε
и, следовательно, в момент
1t выполнится условие (13).
Итак, если параметры систем (1), (2) удовлетворяют условиям (11), то при
любых начальных состояниях ( )( 1)
0 0 0, , ( ) ,
T
T T n T
x x x
−& K ( )( 1)
0 0 0, , ( )
T
T T n T
y y y
−& K пре-
следователь, выбирая управление вышеописанным способом (12), осуществит в
момент ( )1I t встречу конфликтно-управляемых объектов (1), (2) при произ-
вольном допустимом управлении своего противника.
Следует отметить, что в каждый текущий момент времени
0 1, 0 ,t t tτ + ≤ ≤
управление преследователя строится по управлению убегающего в момент
( )( )0 1 1( )t I t I t tτ + − − − (12), как если бы информация о текущем управлении
противника поступала преследователю с зависящим от времени запаздыванием
( ) ( ) ( )0 1 1 .t I t I t tτ τ + = − −
Г.Ц. ЧИКРИЙ
8 Теорія оптимальних рішень. 2013
Г.Ц. Чикрій
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ КОНТРОЛЬНОГО ПРИКЛАДУ Л.С. ПОНТРЯГІНА
На базі підходу, пов’язаного з розтягуванням часу, вирішується ігрова задача про зустріч
керованих систем вищих порядків, яка є узагальненням контрольного прикладу
Л.С. Понтрягіна. Отримано умови на параметри систем, що є достатніми для успішного
завершення гри при довільних початкових умовах.
G.Ts. Chikrii
ON ONE GENERALIZATION OF PONTRYAGIN’S MODEL EXAMPLE
The game problem of meeting of two higher-order controlled objects, beeng a generalization of
Pontryagin’s model example, is solved on the basis of time-dilatation approach. Conditions on the
systems parameters, sufficient for the game termination under all initial states, are derived.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с.
2. Никольский М.С. О применении первого прямого метода Понтрягина // Изв. АН СССР.
Сер. техн. кибернетики. – 1972. – № 10. – С. 51 – 56.
3. Chikrii A. Conflict-Controlled Processes. – Dortrecht / Boston / London: Kluwer Academic
Publishers, 1997. – 403 p.
4. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока // Докл. АН СССР. – 1973. – 208. –
№ 3. – С. 520–523.
5. Chikrii G.Ts. Using the impact of information delay for solution of game problems of pursuit //
Доп. НАН України. Сер. математики. – 1999. – N 12. – С. 111 – 117.
6. Чикрий Г.Ц. Использование эффекта запаздывания информации в дифференциальных иг-
рах преследования // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – № 2. – С. 90 – 105.
7. Чикрий Г.Ц. Об одной задаче сближения для затухающих колебаний // Проблемы
управления и информатики. – 2009. – № 5. – С. 5 – 12.
8. Чикрий Г.Ц. Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов //
Теорія оптимальних рішень. – 2011. – № 10. – С. 31–37.
9. Йоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
Получено 20.02.2013
|