Об одной игре преследования с дробной динамикой
Изучается пример динамической игры преследования, в которой преследователь движется в соответствии с дифференциальным уравнением дробного порядка π, а уравнение движения убегающего имеет порядок e. Таким образом, преследователь обладает большей инерционностью. Данная игра преследования представляет...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85036 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной игре преследования с дробной динамикой / И.Ю. Кривонос // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85036 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-850362015-07-19T03:02:26Z Об одной игре преследования с дробной динамикой Кривонос, И.Ю. Изучается пример динамической игры преследования, в которой преследователь движется в соответствии с дифференциальным уравнением дробного порядка π, а уравнение движения убегающего имеет порядок e. Таким образом, преследователь обладает большей инерционностью. Данная игра преследования представляет собой обобщение классического примера «мальчик и крокодил». В статье получены достаточные условия поимки при любых допустимых управлениях убегающего. Вивчається приклад динамічної гри переслідування, в якій переслідувач рухається відповідно до диференціального рівняння дробового порядку π, а рівняння руху утікача має порядок e. An example of dynamic pursuit game is studies, in which the pursuer moves according to a differential equation of fractional order π, while evader’s equation of motion is of order e . 2013 Article Об одной игре преследования с дробной динамикой / И.Ю. Кривонос // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85036 517.977 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучается пример динамической игры преследования, в которой преследователь движется в соответствии с дифференциальным уравнением дробного порядка π, а уравнение движения убегающего имеет порядок e. Таким образом, преследователь обладает большей инерционностью. Данная игра преследования представляет собой обобщение классического примера «мальчик и крокодил». В статье получены достаточные условия поимки при любых допустимых управлениях убегающего. |
| format |
Article |
| author |
Кривонос, И.Ю. |
| spellingShingle |
Кривонос, И.Ю. Об одной игре преследования с дробной динамикой Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Кривонос, И.Ю. |
| author_sort |
Кривонос, И.Ю. |
| title |
Об одной игре преследования с дробной динамикой |
| title_short |
Об одной игре преследования с дробной динамикой |
| title_full |
Об одной игре преследования с дробной динамикой |
| title_fullStr |
Об одной игре преследования с дробной динамикой |
| title_full_unstemmed |
Об одной игре преследования с дробной динамикой |
| title_sort |
об одной игре преследования с дробной динамикой |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85036 |
| citation_txt |
Об одной игре преследования с дробной динамикой / И.Ю. Кривонос // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 18-23. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT krivonosiû obodnojigrepresledovaniâsdrobnojdinamikoj |
| first_indexed |
2025-07-06T12:12:00Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:12:00Z |
| _version_ |
1836899548258107392 |
| fulltext |
18 Теорія оптимальних рішень. 2013
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Изучается пример динамической
игры преследования, в которой
преследователь движется в со-
ответствии с дифференциальным
уравнением дробного порядка π, а
уравнение движения убегающего
имеет порядок e. Таким образом,
преследователь обладает боль-
шей инерционностью. Данная
игра преследования представляет
собой обобщение классического
примера «мальчик и крокодил».
В статье получены достаточные
условия поимки при любых допус-
тимых управлениях убегающего.
И.Ю. Кривонос, 2013
ÓÄÊ 517.977
È.Þ. ÊÐÈÂÎÍÎÑ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÈÃÐÅ ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß
Ñ ÄÐÎÁÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ
Введение. Разработка методов управления
динамическими системами, описываемыми
дифференциальными уравнениями дробного
порядка, сталкивается с трудностями, кото-
рые связаны со свойствами дробных произ-
водных. Так, в частности, широко исполь-
зуемая в моделях реальных процессов дроб-
ная производная Капуто не обладает ни по-
лугрупповым свойством, ни свойством ком-
мутативности.
Учитывая данное плодотворным оказалось
использование идей метода разрешающих
функций, базирующегося на использовании
обратных функционалов Минковского и да-
ющего полное обоснование правила парал-
лельного сближения для сравнительно про-
стых систем [1]. В работах [2 – 4] рассмотре-
ны игровые задачи сближения для линейных
процессов произвольного дробного порядка
с классическими производными Римана –
Лиувилля, регуляризованными производны-
ми Капуто и секвенциальными производны-
ми Миллера – Росса.
В настоящей работе изучается пример ди-
намической игры преследования, в которой
преследователь движется в соответствии с
дифференциальным уравнением дробного
порядка π, а уравнение движения убегающе-
го имеет порядок e. Таким образом, пресле-
дователь обладает большей инерционностью.
Данная игра преследования представляет
собой обобщение классического примера
«мальчик и крокодил» [1]. В работе получе-
ны достаточные условия поимки при любых
допустимых управлениях убегающего.
ОБ ОДНОЙ ИГРЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С ДРОБНОЙ ДИНАМИКОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2013 19
Обозначим )[0,= ∞+Ρ . Пусть : n
f + →� � – абсолютно непрерывная
функция.
Левосторонний интеграл Римана – Лиувилля порядка α , 0 < 1α ≤ ,
от функции f определяется как
1
0
1 ( )
( ) = ,
( ) ( )
t
f
J f t d
t
α
−α
τ
τ
Γ α − τ∫
где ( )Γ α – гамма-функция.
Здесь и далее будем полагать, что 0
J представляет собой оператор тождест-
венного преобразования. Для существования требуемого левостороннего
интеграла Римана–Лиувилля достаточно предположить локальную интегриру-
емость функции )(tf .
Пусть теперь mm <<1 α− , Ν∈m , а функция f имеет абсолютно
непрерывные производные до порядка m . Производная Капуто от функции f
дробного порядка α задается выражением
( )
( )
1
0
1 ( )
( ) = ( )
( ) ( )
tm m
m
m m
d f
D f t J f t d
dt m t
α −α
α− +
τ
= τ
Γ − α − τ∫ .
Справедлива следующая формула для преобразования Лапласа дробной
производной Капуто:
1
( ) 1
=0
=0
{ ( ); } = ( ) ( ) | ,
im
i
ti
i
d
L D f t s s F s s f t
dt
−
α α α− −−∑ (1)
где { ( ); } = ( ).L f t s F s
Рассмотрим пример дифференциальной игры преследования. Пусть
динамика первого игрока, которого мы будем называть преследователем,
описывается уравнением:
( ) = , | | 1,D x u uπ ≤ (2)
где = 3,14159π K – отношение длины окружности к его диаметру, с
начальными условиями
0 0 0 0
1 2 3(0) = , (0) = , (0) = , (0) = .x x x x x x x x& && &&&
Динамика второго игрока, которого мы будем называть убегающим,
задается уравнением:
( ) = , | | 1,eD y v v ≤ (3)
где = 2,71828e K основа натуральных логарифмов, с начальными условиями
0 0 0
1 2(0) = , (0) = , (0) = .y y y y y y& &&
Фазовые векторы x и y задают текущую позицию соответственно
преследователя и убегающего в n -мерном эвклидовом пространстве n
� .
И.Ю. КРИВОНОС
20 Теорія оптимальних рішень. 2013
При этом )(= txx является трижды, а )(= tyy – дважды абсолютно
непрерывно дифференцируемой на полуоси +� функцией времени t :
3( ) ( )x t AC +∈ � ,
2( ) ( )y t AC +∈ � . Векторы = ( ),u u t = ( ),v v t , n
u v ∈�
являются измеримыми функциями времени t , которые задают управление
соответственно преследователя и убегающего.
Цель преследователя состоит в том, чтобы для некоторого конечного
момента T добиться выполнения неравенства:
| ( ) ( ) | , > 0.x T y T− ≤ ε ε (4)
Цель убегающего – противоположна и заключается в том, чтобы не
допустить выполнения неравенства (4), а, если это невозможно, максимально
отдалить момент .T
Обозначим S шар единичного радиуса в пространстве n
� с центром
в нуле. Тогда = ,u U S∈ = ,v V S∈ а условие (4) можно переписать в виде
( ) ( ) = .x T y T M S− ∈ ε
Применим преобразование Лапласа к левой и правой части уравнения (2),
учитывая формулу (1). Получаем
1 0 2 0 3 0 4 0
1 2 3 =s X s x s x s x s x U
π π− π− π− π−− − − −
или
1 0 2 0 3 0 4 0
1 2 3= .X s U s x s x s x s x
−π − − − −+ + + +
Применяя обратное преобразование имеем:
2 3
1 0 0 0 0
1 2 3
0
1
( ) = ( ) ( )
( ) 2 6
t
t t
x t t u d x tx x x
π−− τ τ τ + + + +
Γ π ∫ .
Аналогично находим
2
1 0 0 0
1 2
0
1
( ) = ( ) ( ) .
( ) 2
t
e t
y t t v d y ty y
e
−− τ τ τ + + +
Γ ∫
Применим к дифференциальной игре (2)–(4) технику разрешающих
функций для случая разделенных движений игроков [1].
Рассмотрим многозначные отображения:
1 1 1 1
( , ) = ( ) = ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
e e
t t t t
W t v U C t v S C t v
e e
π− − π− −
− −
Γ π Γ Γ π Γ
1 1
( ) = ( , ) = ( ) .
( ) ( )
e
v V
t t
W t W t v S C t S
e
π− −∗
∈
−
Γ π Γ
I
Обозначим I единичную матрицу. Положим
( ) = ( ) ,C t c t I
ОБ ОДНОЙ ИГРЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С ДРОБНОЙ ДИНАМИКОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2013 21
1
π e
1
π e
( ) Γ(π)
если 0 <
( ) Γ(e)
( ) = .
Γ(π)
1 если
Γ(e)
ee
t t
c t
t
−
π−
−
Γ ≤ Γ π
≥
(5)
Тогда
1
π e
1
1 1 π e
Γ(π)
{0} если 0 <
Γ(e)
( ) = .
Γ(π)
если
( ) ( ) Γ(e)
e
t
W t
t t
S t
e
−
π− − −
≤
− ≥ Γ π Γ
Таким образом, условие Понтрягина выполнено, поскольку ∅≠)(tW для
всех 0≥t . Далее
1
0
( ) = (1 ( ))
( )
t
e
M t M c Vd
e
−∗ ⌠
⌡
τ
− − τ τ
Γ
=
( ) ( )
1
π e
1
π e
Γ(π)
если 0 <
( 1) ( 1) Γ(e)
=
( ) / ( ) ( ) / ( ) Γ(π)
если .
( 1) ( 1) Γ(e)
e
e
e e
t t
S t
e
e e
S t
e
π −
π
−π− π−
ε − − ≤ Γ π + Γ +
Γ π Γ Γ π Γ ε − − ≥ Γ π + Γ +
Следовательно, модифицированное условие Понтрягина выполнено если
( ) ( ) ( ) ( )( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )
= .
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
e e
e e e ee e e e
e e
π π
π− π− π− π−Γ π Γ Γ π Γ Γ π Γ Γ π Γ
ε ≥ − −
Γ π + Γ + Γ + Γ π +
Введем функцию
2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 2 3 1 2( , , ) = ,
2 6 2
t t t
t x y x tx x x y ty yξ + + + − − −
здесь и далее 0 0 0 0
0 1 2 3= ( , , , ),x x x x x
0 0 0
0 1 2= ( , , ).y y y y
И.Ю. КРИВОНОС
22 Теорія оптимальних рішень. 2013
Положим
( ) ( )
1
π e
1
π e
Γ(π)
если 0 <
( 1) ( 1) Γ(e)
( ) = ,
( ) / ( ) ( ) / ( ) Γ(π)
если
( 1) ( 1) Γ(e)
e
e
e e
t t
t
e
m t
e e
t
e
π −
π
−π− π−
ε − + ≤ Γ + Γ π +
Γ π Γ Γ π Γ
ε − + ≥ Γ + Γ π +
тогда
( ) = ( ) .M t m t S
Рассмотрим разрешающую функцию
( , , ) = sup{ 0 : ( , ) [ ( ) ( )] }.t v W t v M t tα τ α ≥ − τ ∩ α − ξ ≠ ∅
Эта функция может быть найдена в явном виде, как больший корень
квадратного уравнения:
1 1( ) ( ) ( )
( ) = ( ).
( ) ( )
e
t c t t
t v m t
e
− π−− τ − τ − τ
αξ − + α
Γ Γ π
Решая это уравнение, находим:
1 1
2 2
( ) ( ) ( )
( ( ), ) ( ) / 4
( ) ( )
( , , ) = ,
| ( ) | ( )
e
t c t t
t v m t
e
t v
t m t
− π−− τ − τ − τ
ξ + + ∆
Γ Γ π
α τ
ξ −
где
2
1 1( ) ( ) ( )
/ 4 = ( ( ), ) ( )
( ) ( )
et c t t
t v m t
e
− π− − τ − τ − τ
∆ ξ + −
Γ Γ π
( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
| | | ( ) | ( ) .
( ) ( )
e
t c t t
v t m t
e
− π− − τ − τ − τ
− + ξ −
Γ Γ π
При
( )
=
| ( ) |
t
v
t
ξ
−
ξ
достигается
1 1
| | 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( , , ) = .min
| ( ) | ( )
e
v
t t c t
e
t v
t m t
π− −
≤
− τ − τ − τ
−
Γ π Γ
α τ
ξ −
(6)
В силу непрерывности числителя и знаменателя в (6) время окончания игры
(2)–(4) определяется как наименьший положительный корень уравнения
1 1
0
( ) =| ( ) | ( ).
( ) ( )
t e
c d t m t
e
π− − τ τ
− τ τ ξ − Γ π Γ
∫ (7)
ОБ ОДНОЙ ИГРЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С ДРОБНОЙ ДИНАМИКОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2013 23
Уравнение (7) можно упростить, учитывая (5) и вид функции )(tm .
Действительно, из (5) следует, что при ( )
1/( )
0 < ( ) / ( )
e
t e
π−
≤ Γ π Γ подынтеграль-
ная функция равна нулю и игра не может быть окончена на этом интервале.
Пусть 1/( )( ( ) / ( )) et e π−≥ Γ π Γ , в таком случае, будем иметь
1/( )
1 1 1 1
0 ( ( )/ ( ))
( ) = .
( ) ( ) ( ) ( )e
t te e
e
c d d
e eπ−
π− − π− −
Γ π Γ
τ τ τ τ
− τ τ − τ Γ π Γ Γ π Γ
∫ ∫ Окончательно уравне-
ние (7) для определения времени окончания игры приобретает следующий вид:
= ( ) .
( 1) ( 1)
e
t t
t
e
π
− + ε ξ
Γ π + Γ +
Заключение. Полученные результаты показывают, что аппарат разрешаю-
щих функций может быть эффективно использован для решения игровых задач
управления с дробной динамикой.
І.Ю. Кривонос
ПРО ОДНУ ГРУ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ З ДРОБОВОЮ ДИНАМІКОЮ
Вивчається приклад динамічної гри переслідування, в якій переслідувач рухається відповідно
до диференціального рівняння дробового порядку π, а рівняння руху утікача має порядок e.
I.Yu. Krivonos
ON A PURSUIT GAME WITH FRACTIONAL DYNAMIC
An example of dynamic pursuit game is studies, in which the pursuer moves according to a differe-
tial equation of fractional order π, while evader’s equation of motion is of order e .
1. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 384 с.
2. Чикрий А.А., Матичин И.И. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2009. – 15. – № 3. – C. 262–278.
3. Chikrii A.A., Matychyn I.I. Game problems for fractional-order systems // New Trends in
Nanotechnology and Fractional Calculus Applications. Vol. XI. – Dordrecht; Heidelberg;
London; New York: Springer, 2010. – P. 233–241.
4. Матичин И.И. Конфликтно управляемые процессы с дробными производными //
Кибернетика и вычислительная техника. – 2010. – Т. 162. – С. 65–81.
Получено 05.03.2013
|