Про один клас періодограмних оцінок
Розглянуто один клас періодограмних оцінок невідомих параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Доведено їх строгу конзистентність за умови, що функція регресії – майже періодична, а шум є функціоналом від гауссівського випадкового процесу із сильною залежністю....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85042 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про один клас періодограмних оцінок / Г.Д. Біла, О.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85042 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-850422015-07-19T03:02:03Z Про один клас періодограмних оцінок Біла, Г.Д. Кнопов, О.П. Розглянуто один клас періодограмних оцінок невідомих параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Доведено їх строгу конзистентність за умови, що функція регресії – майже періодична, а шум є функціоналом від гауссівського випадкового процесу із сильною залежністю. Рассматривается один класс периодограмных оценок неизвестных параметров нелинейной модели регрессии «сигнал плюс шум». Доказана их строгая состоятельность при условии, что функция регрессии – почти периодическая, а шум является функционалом от гауссовского случайного процесса с сильной зависимостью. We proposed a class of periodogram estimates of unknown parameters of the nonlinear regression model «signal plus noise». We proved their strong consistency provided that the regression function is almost periodic and the noise is a functional of a random Gaussian process with long-range dependence. 2013 Article Про один клас періодограмних оцінок / Г.Д. Біла, О.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85042 519.21 uk Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто один клас періодограмних оцінок невідомих параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Доведено їх строгу конзистентність за умови, що функція регресії – майже періодична, а шум є функціоналом від гауссівського випадкового процесу із сильною залежністю. |
| format |
Article |
| author |
Біла, Г.Д. Кнопов, О.П. |
| spellingShingle |
Біла, Г.Д. Кнопов, О.П. Про один клас періодограмних оцінок Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Біла, Г.Д. Кнопов, О.П. |
| author_sort |
Біла, Г.Д. |
| title |
Про один клас періодограмних оцінок |
| title_short |
Про один клас періодограмних оцінок |
| title_full |
Про один клас періодограмних оцінок |
| title_fullStr |
Про один клас періодограмних оцінок |
| title_full_unstemmed |
Про один клас періодограмних оцінок |
| title_sort |
про один клас періодограмних оцінок |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85042 |
| citation_txt |
Про один клас періодограмних оцінок / Г.Д. Біла, О.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2013. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT bílagd proodinklasperíodogramnihocínok AT knopovop proodinklasperíodogramnihocínok |
| first_indexed |
2025-07-06T12:12:22Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:12:22Z |
| _version_ |
1836899570767888384 |
| fulltext |
56 Теорія оптимальних рішень. 2013
ÒÅÎÐIß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
ÐIØÅÍÜ
Розглянуто один клас періодо-
грамних оцінок невідомих пара-
метрів нелінійної моделі регресії
«сигнал плюс шум». Доведено їх
строгу конзистентність за умо-
ви, що функція регресії – майже
періодична, а шум є функціоналом
від гауссівського випадкового про-
цесу із сильною залежністю.
Г.Д. Біла, О.П. Кнопов, 2013
ÓÄÊ 519.21
Ã.Ä. ÁIËÀ, Î.Ï. ÊÍÎÏÎÂ
ÏÐÎ ÎÄÈÍ ÊËÀÑ
ÏÅвÎÄÎÃÐÀÌÍÈÕ ÎÖ²ÍÎÊ
Останнім часом у техніці передачі сигналів
та оцінки їх параметрів досягнуто великих
успіхів. Удосконалення більшості радіотех-
нічних та радіофізичних пристроїв за раху-
нок покращення конструктивних та техноло-
гічних рішень має свою межу, визначену чи-
сто фізичними причинами, такими як завади
природного та штучного походження. Це
змушує шукати принципово нові шляхи ви-
рішення проблеми передачі та прийняття
повідомлень, враховуючи статистичні влас-
тивості різних характеристик повідомлень
(сигналів) та завад (шумів).
Через наявність завад із прийнятих коли-
вань не можна з повною достовірністю зафік-
сувати присутність корисного сигналу і точ-
но виміряти (оцінити) його параметри. Зава-
ди зумовлюють випадковий характер резуль-
татів спостережень, тому їх природа впливає
на оцінку параметрів сигналу. Така задача
дослідження впливу завад на оцінку невідо-
мих параметрів сигналу викликає не тільки
теоретичний, а й прикладний інтерес для
радіозв’язку, радіолокації та багатьох інших
наук про обробку та передачу інформації
[1, 2].
У даній роботі розглядається оцінка пара-
метрів сигналу, спотвореного випадковим
шумом, коли сигнал описаний майже періо-
дичною функцією, а шум – функціоналом від
гауссівського випадкового процесу з довгою
пам’яттю. Принцип оцінювання полягає у
тому, що спостерігач має вибрати те значен-
ня параметра функції з усіх можливих, при
якому спостережувана величина стає най-
більш імовірною.
ПРО ОДИН КЛАС ПЕРІОДОГРАМНИХ ОЦІНОК
Теорія оптимальних рішень. 2013 57
Опишемо модель регресії та зробимо деякі припущення відносно неї.
Нехай { } ( ){ }1( ) ( ) ,t G n t tε = ∈� − випадковий шум, заданий як функціонал
від дійсного стаціонарного випадкового процесу { }( )n t із сильною залежністю,
( ) 0En t = , ( )tϕ − майже періодична функція визначена на 1
� .
Розглянемо задачу оцінки невідомого параметра 0ω за спостереженнями
{ } ( ) ( ) [ ]{ }0( ) ( ) , 0, ,х t х t t t t T= = ϕ ω + ε ∈ (1)
де 0 0,ω > а довжина інтервалу спостережень T → ∞ .
Лема. Нехай виконуються наступні умови:
(А) { } { }1( ) ( ),n t n t t= ∈� − дійсний неперервний у середньому квадратично-
му вимірний стаціонарний гауссівський процес із сильною залежністю,
( ) 0,En t = ( ) ( )( )
( ) 22
1
( ) cov 0 , ,
1
B t n n t
t
α= =
+
1
t ,∈� 0 1.< α <
(В) { } ( )( ){ }1( ) ,t G n t tε = ∈� – функціонал від гауссівського стаціонарного
процесу { }( )n t , причому (0) 0,Eε = 2 (0) 1,Eε = нелінійна борелівська функція
1 1
G : →� � задовільняє умові
( ) ( )2
,G u u du
∞
−∞
ϕ < ∞∫ де ( )
2
2
1
,
2
u
u e
−
ϕ =
π
1
u ,∈�
і розкладається в ряд
( ) ( )
0
,
!
k
k
k
C
G u H u
k
∞
=
=∑ ( ) ( ) ( ) ,k kC G u H u u du
∞
−∞
= ϕ∫ 0,1,...,k =
за ортогональними поліномами Чебишева – Ерміта
( ) ( )
2 2
2 21 ,
u u
k
k
k k
d
H u e e
du
− −
= − 0,1,...,k =
у гільбертовому просторі 2L .
(С) Існує ціле число 1m ≥ таке, що 1 1 0
m
C ... C −= = = , 0
m
C ≠ − коефіцієнти
у розкладі функції ( ),G u 1
u ∈� за поліномами Чебишева – Ерміта.
Тоді для будь-якої майже періодичної функції вигляду
( ) ,ki t
k
k
t c e
∞
λ
=−∞
ϕ = ∑ 1,
k
λ ∈� (2)
де 0
k
λ ≥ при 0;k ≥
l k
λ < λ при 0;l k> > ;
k k−λ = −λ 0l kλ − λ ≥ ∆ > при ,l k≠
і коефіцієнти
k
с задовольняють умовам
Г.Д. БІЛА, О.П. КНОПОВ
58 Теорія оптимальних рішень. 2013
,k
k
c
∞
=−∞
< ∞∑
,
k k
с c−=
(3)
то має місце наступне співвідношення:
( ) ( )
1
0
1
lim sup 0 1.
T
T
P t t dt
T→∞ ω∈
ε ϕ ω = =
∫
�
Доведення. Позначимо
( ) ( ) ( )
0
1
.
T
T
I t t dt
T
ω = ε ϕ ω∫%
Із умов леми функцію ( )tϕ можна представити у вигляді рівномірно збіжно-
го ряду (2). Тоді враховуючи умову (А), оцінимо ( )
1
sup
T
I
ω∈
ω
�
% . Маємо
( ) ( )( ) { }
1 1
0
1
sup sup exp .
T
T k
k
I c G n t i t dt
T
∞
ω∈ ω∈=−∞
ω ≤ ω∑ ∫
� �
%
Із умови (3) та леми [3] отримаємо, що з імовірністю 1
( )
1
sup 0.
T
I
ω∈
ω →
�
% при T → ∞ .
Лема доведена.
Зазначимо, що для випадкових процесів { }1( ),n t t ∈� із слабкою залежні-
стю, за деяких умова, накладених на моменти випадкового процесу та коефіці-
єнт перемішування, твердження леми доведено в [3]. Дана лема відіграє основну
роль у дослідженні асимптотичної поведінки розглянутих далі оцінок.
Розрізняють дві модифікації періодограмних оцінок у залежності від вигля-
ду функціоналу, що лежить в основі їх обчислень. За умов леми та моделі регре-
сії вигляду (1) одна з модифікацій періодограмних оцінок детально досліджена
в [4, 5]. Розглянемо іншу модифікацію.
Припустимо, що невідомий параметр ( )0 ,ω ∈ ω ω , 0ω > , ω < ∞ . Розглянемо
функціонал
( ) ( ) ( )
2
0
2
.
T
TQ x t t dt
T
ω = ϕ ω∫%
Періодограмною оцінкою параметра
0
ω будемо називати те значення [ ],Тω ∈ ω ω% ,
при якому функціонал ( )TQ ω% приймає найбільше значення. Оскільки ( )TQ ω% з
імовірністю 1 є неперервною функцією від ,ω то величина Тω% визначена з імо-
вірністю 1. Періодограмні оцінки такого типу для випадкових полів із слабкою
залежністю детально вивчалися в [6]. Доведемо твердження про строгу конзис-
тентність оцінки Тω% .
ПРО ОДИН КЛАС ПЕРІОДОГРАМНИХ ОЦІНОК
Теорія оптимальних рішень. 2013 59
Теорема. Нехай виконуються умови леми та
0i iс с> при 0i i≠ ± , 0 0i > .
Тоді
0Тω → ω% при T → ∞ з імовірністю 1.
Доведення. Зафіксуємо ω і розглянемо поведінку величини ( )TQ ω% при
T → ∞ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0
0 0
2 2
T T
TQ x t t dt t t t dt
T T
ω = ϕ ω = ϕ ω + ε ϕ ω = ∫ ∫%
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 02
0 0 0 0
2 2 2
T T T T
t t dt t t dt t t dt t t dt
T T T
= ϕ ω ϕ ω + ε ϕ ω + ϕ ω ϕ ω ε ϕ ω∫ ∫ ∫ ∫ .
Очевидно, що з умов (2), (3)
( ) ( )0
0
1
,
T
t t dt K
T
ϕ ω ϕ ω ≤∫ 0 .K< < ∞
Позначимо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
02
0 0 0
2 2
.
T T T
TI t t dt t t dt t t dt
T T
ω = ε ϕ ω + ϕ ω ϕ ω ε ϕ ω∫ ∫ ∫%
Тоді, використовуючи лему, з імовірністю 1 має місце слідування
( )sup 0
T
I
ω
ω →% при T → ∞ .
Нехай
( ) ( ) ( )0 0
0
2
, .
T
T t t dt
T
ψ ω ω = ϕ ω ϕ ω∫%
Справедлива рівність
( ) ( ){ }0 0
, 0
2
, exp .
T
T j k j k
j k
c c i t dt
T
∞
=−∞
ψ ω ω = λ ω + λ ω∑ ∫%
Виберемо 0 .
2
∆ω
< δ <% Припустимо, що для деяких ,j k виконується нерів-
ність 0 .
j k
λ ω + λ ω ≤ δ% Тоді для будь-якого l j≠ маємо
( ) ( )0 0 0 .
2 2
l k j k l j l k
∆ ∆ω
λ ω + λ ω = λ ω + λ ω + λ − λ ω > ω λ − λ + > > δ% (4)
Аналогічно для будь-якого l k≠ маємо
( ) ( )0 0 .
2 2
j l j k l k l k
∆ ∆ω
λ ω + λ ω = λ ω + λ ω + λ − λ ω > ω λ − λ + > > δ% (5)
Нехай
0 0 .
i k
λ ω + λ ω ≤ δ% Ми показали, що для довільного
0
l i≠ виконується
нерівність
00 .
l i
λ ω + λ ω > δ% (6)
Г.Д. БІЛА, О.П. КНОПОВ
60 Теорія оптимальних рішень. 2013
Очевидно, що враховуючи умови накладені на
k
λ , нерівність (6) виконуєть-
ся для 0l ≤ . Припустимо, що 0l > . Тоді
( ) ( ) ( )
0 0 0 00 0 0 .l i i k l i i kλ ω + λ ω = λ ω + λ ω + λ − λ ω + λ − λ ω > δ%
Аналогічно, якщо
00 ,
k i
λ ω + λ ω ≤ δ% тоді для будь-якого цілого
0
l i≠
0 0 .i lλ ω + λ ω > δ%
Зазначимо, що
0
2 ,
k i
λ ω ≥ λ ω > δ%
00 2 ,
j i
λ ω ≥ λ ω > δ% , 0.k j ≠ (7)
Беручи до уваги співвідношення (4) – (7) для будь-якого 0δ > та 0
2
∆ω
< δ <%
з імовірністю 1 маємо
[ ]
( )
[ ]
( )
0
0
0
2
0
, ,
, , min ,
lim sup lim sup ,
i
T T
T T
Q
→∞ →∞ω∈ ω ω ω−ω ≥δ δ ω∈ ω ω ω−ω ≥ δ
λ
ω ≤ ψ ω ω =
%
% %
[ ]
( ){ }
0
0
2
0
, 0
, , min ,
2
lim sup exp
i
T
j k j k
T
j k
c c i t dt
T
∞
→∞ =−∞δ ω∈ ω ω ω−ω ≥ δ
λ
= λ ω + λ ω ≤∑ ∫
%
[ ]
( ){ }
0
0
2
0 0
, 1 0
, , min ,
2
lim sup exp
i
T
j k j k
T
j k
c c c i t dt
T
∞
→∞ =δ ω∈ ω ω ω−ω ≥ δ
λ
< + λ ω + λ ω +∑ ∫
%
( ){ }
2
0
, 1 0
2
exp
T
j k j k
j k
c c i t dt
T
∞
=
+ λ ω + λ ω ≤∑ ∫
[ ]
( )
0
0
2
2
0 0
, 1
, , min ,
4
sup ,
i
j k jk
j k
c c c
T
∞
δ =
ω∈ ω ω ω−ω ≥ δ
λ
≤ + δ ω ω
∑
%
,
де
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
1, min ,
, , , 1.
0, min ,
j k i
jk
j k i
j k
λ ω − λ ω < λ δ δ
δ ω ω = ≥
λ ω − λ ω ≥ λ δ δ
%
%
Виходячи з нерівностей (4) – (7), функція ( )0 ,jkδ ω ω має наступні властивості:
a) якщо ( )
0 0 0 , 1,j kδ ω ω = то ( ) ( )
0 00 0, , 0,j k jkδ ω ω = δ ω ω =
0
,k k≠
0
;j j≠
b) якщо ( )
0 0 , 1,i kδ ω ω = то ( )
0 0 , 0liδ ω ω = для
0
;l i≠
c) якщо ( )
0 0 , 1,jiδ ω ω = то ( )
0 0 , 0i lδ ω ω = для
0
.l i≠
ПРО ОДИН КЛАС ПЕРІОДОГРАМНИХ ОЦІНОК
Теорія оптимальних рішень. 2013 61
Отримаємо
[ ]
( )
0
0
0
2
2 22
0
, , 1,
lim sup 4T i j
T
j
j i
Q c c c
∞
→∞ ω∈ ω ω ω−ω ≥δ =
≠±
ω ≤ + + =
∑%
0 0
0
2 2
22 42 2 2
1 1
2 2 4max 4 .j i j j i
j i
j j
c c c c c
∞ ∞
≠
= =
= − < = =
∑ ∑
Очевидно, що з імовірністю 1
( )
0
4
0lim 4 .T i
T
Q c
→∞
ω =%
Тому нерівність
( ) ( )0lim lim ,
T T
T T
Q Q L
→∞ →∞
ω < ω =% % ,L < ∞
справедлива з імовірністю 1 на будь-якій множині
[ ]
0
0: , , min , ,
i
δ
δ
Φ = ω ω∈ ω ω ω− ω ≥ δ λ
%
0δ > та 0 .
2
∆ω
< δ <%
Покажемо тепер, що 0Тω → ω% при T → ∞ з імовірністю 1. Нехай це не так.
Тоді існує підпослідовність kT → ∞ при ∞→k така, що
0kТ
′ω → ω ≠ ω% % з імо-
вірністю 1 при ∞→k . Звідси випливає, що
( )lim
k kT T
k
Q L
→∞
ω <%
в силу того, що ( )TQ ω% на ,δΦ
00 min , ,
2
∆ω ′< δ < ω − ω
% рівномірно з імовірніс-
тю 1 збігається до величини, меншої за L . З іншої сторони, за означенням
( ) ( )0 ,
k k kT T TQ Qω ≥ ω% %
причому ( )0Tk
Q Lω →% з імовірністю 1 при ∞→k . Отримали протиріччя. Від-
повідно, 0Tω → ω% при ∞→T з імовірністю 1.
Теорема доведена.
Г.Д. Била, О.П. Кнопов
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПЕРИОДОГРАМНЫХ ОЦЕНОК
Рассматривается один класс периодограмных оценок неизвестных параметров нелинейной
модели регрессии «сигнал плюс шум». Доказана их строгая состоятельность при условии, что
функция регрессии – почти периодическая, а шум является функционалом от гауссовского
случайного процесса с сильной зависимостью.
Г.Д. БІЛА, О.П. КНОПОВ
62 Теорія оптимальних рішень. 2013
G.D. Bila, A.P. Knopov
ON A CLASS OF PERIODOGRAM ESTIMATES
We proposed a class of periodogram estimates of unknown parameters of the nonlinear regression
model «signal plus noise». We proved their strong consistency provided that the regression function
is almost periodic and the noise is a functional of a random Gaussian process with long-range de-
pendence.
1. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. – М.: Изда-
тельство иностранной литературы, 1960. – 469 с.
2. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. – М.: Сов. ра-
дио, 1978. – 296 с.
3. Knopov P.S., Kasitskaya E.J. Empirical estimates in stochastic optimization and identification. –
Boston/London/Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. – 250 p.
4. Кнопов П.С., Била Г.Д. Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии
с сильнозависимым шумом // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – № 4. –
С. 163–172.
5. Біла Г.Д. Асимптотична нормальність періодограмних оцiнок у моделях iз сильнозалеж-
ним шумом // Компьютерная математика. – 2013. – № 1. – С. 46 – 51.
6. Кнопов П.С. Оптимальные оценки параметров стохастических систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1981. – 152 с.
Одержано 15.03.2013
|