Інтерполяція функціоналів багатьох змінних
Побудованi iнтерполяцiйнi полiномiальнi формули для функцiоналiв та оператрiв на лiнiйних топологiчних просторах.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8505 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтерполяція функціоналів багатьох змінних / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2009. — № 5. — С. 29-35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8505 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-85052017-11-27T10:29:54Z Інтерполяція функціоналів багатьох змінних Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Математика Побудованi iнтерполяцiйнi полiномiальнi формули для функцiоналiв та оператрiв на лiнiйних топологiчних просторах. Polynomial interpolation formulas are given for multivariable functionals and operators on linear topological spaces. 2009 Article Інтерполяція функціоналів багатьох змінних / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2009. — № 5. — С. 29-35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8505 517.988 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| description |
Побудованi iнтерполяцiйнi полiномiальнi формули для функцiоналiв та оператрiв на лiнiйних топологiчних просторах. |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| title_short |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| title_full |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| title_fullStr |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| title_full_unstemmed |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| title_sort |
інтерполяція функціоналів багатьох змінних |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8505 |
| citation_txt |
Інтерполяція функціоналів багатьох змінних / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2009. — № 5. — С. 29-35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl ínterpolâcíâfunkcíonalívbagatʹohzmínnih AT hlobistovvv ínterpolâcíâfunkcíonalívbagatʹohzmínnih AT demkívíí ínterpolâcíâfunkcíonalívbagatʹohzmínnih |
| first_indexed |
2025-07-02T11:13:21Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:13:21Z |
| _version_ |
1836533470345560064 |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2009
Академiк НАН України В.Л. Макаров, В. В. Хлобистов, I. I. Демкiв
Iнтерполяцiя функцiоналiв багатьох змiнних
Побудованi iнтерполяцiйнi полiномiальнi формули для функцiоналiв та оператрiв на лi-
нiйних топологiчних просторах.
У роботi узагальнюються результати iнтерполяцiї функцiй багатьох змiнних на функцiона-
ли та оператори, що визначенi в лiнiйних топологiчних та конкретному функцiональному
просторах. З наведених iнтерполяцiйних формул як частинний випадок отримуються як
ранiше вiдомi [1–4], так i класичнi iнтерполяцiйнi структури для функцiй багатьох змiнних
(див., напр., [5]).
1. Iнтерполяцiйнi формули в лiнiйних топологiчних просторах. Перед тим як
викласти цi iнтерполяцiйнi структури, введемо такi позначення. Нехай F (x, y, . . . , z) —
функцiонал m змiнних x, y, . . . , z, x ∈ X, y ∈ Y, . . . , z ∈ Z, де X,Y, . . . , Z — лiнiйнi топологi-
чнi простори; gτis
— лiнiйнi оператори, gτi1
: X −→ X, gτi2
: Y −→ Y , . . . , gτim
: Z −→ Z, i —
iндекс пробiгає деякi множини натуральних чисел, gτis
(s = 1, 2, . . . ,m) залежать вiд скаляр-
них аргументiв τis з [0, 1] та мають першi похiднi за цими аргументами, g0 = 0, g1 = I, де 0
та I — нуль-оператор та тотожний вiдповiдно; xi ∈ X, i = 1, 2, . . . , i1, yi ∈ Y , i = 1, 2, . . . , i2,
. . . , zi ∈ Z, i = 1, 2, . . . , im — вузли iнтерполяцiї за кожною змiнною.
Ми пропонуємо iнтерполяцiйний полiном n-го степеня для функцiонала багатьох змiн-
них такого вигляду:
Pm,n(F ;x, y, . . . , z) = F (x0, y0, . . . , z0) +
n
∑
k=1
∫
Ωk
∑
i1+i2+···+im=k
F i1+i2+···+im ×
×
(
x0+
i1
∑
i=1
gτi1
(xi−xi−1), y0+
i2
∑
i=1
gτi2
(yi−yi−1), . . . , z0+
im
∑
i=1
gτim
(zi−zi−1)
)
×
×
i1
∏
i=1
dgτi1
(xi − xi−1)
i2
∏
i=1
dgτi2
(yi − yi−1) · · ·
im
∏
i=1
dgτim
(zi − zi−1), (1)
де Ωk = Ωi1 × Ωi2 × · · · × Ωim, i1 + i2 + · · · + im = k, Ωis = {(τ1s, τ2s, . . . , τiss) : 0 6 τ1s 6 1,
0 6 τ2s 6 τ1s, . . ., 0 6 τiss 6 τis−1,s}, s = 1, 2, . . . ,m, i похiднi вiд F розумiються в сенсi Гато.
Цей iнтерполянт має вузлами iнтерполяцiї “точки” (xp, yq, . . . , zr), а якщо X = Y = · · · =
= Z = R1, то вiн перетворюється в полiном Ньютона (полiном найменшого степеня) для
функцiї m змiнних. Уникаючи громiздких викладок, проiлюструємо цей факт для випадку
m = n = 2.
Виходячи з формули (1), маємо
P2,2(F ;x, y) = F (x0, y0) +
1
∫
0
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0) dgτ11(x − x0) +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 29
+
1
∫
0
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ12(y − y0) +
+
1
∫
0
τ11
∫
0
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0) dgτ21(x − x1) dgτ11(x − x0) +
+
1
∫
0
1
∫
0
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ11(x − x0) dgτ12(y − y0) +
+
1
∫
0
τ12
∫
0
F ′′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0) + gτ22(y2 − y1)) dgτ22(y − y1) dgτ12(y − y0). (2)
Покажемо, що, як i для функцiї двох змiнних, вузлами iнтерполяцiї будуть шiсть “точок”:
(x0, y0), (x1, y0), (x2, y0), (x0, y1), (x1, y1), (x0, y2).
Маємо P2,2(F ;x0, y0) = F (x0, y0),
P2,2(F ;x1, y0) = F (x0, y0) +
1
∫
0
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0) dgτ11(x1 − x0) =
= F (x0, y0) +
1
∫
0
dτ11F (x0 + gτ11(x1 − x0), y0) = F (x1, y0).
Так само P2,2(F ;x0, y1) = F (x0, y1). Далi,
P2,2(F ;x2, y0) = F (x0, y0) +
1
∫
0
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0) dgτ11(x2 − x0) +
+
1
∫
0
τ11
∫
0
F ′′
(
x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0
)
dgτ21(x2 − x1) dgτ11(x2 − x0). (3)
Враховуючи, що
1
∫
0
τ11
∫
0
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0) dgτ21(x2 − x1) dgτ11(x2 − x0) =
=
1
∫
0
τ11
∫
0
dτ21F
′(x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0) dgτ11(x2 − x0) =
=
1
∫
0
F ′(x0+gτ11(x2−x0), y0)dgτ11(x2−x0) −
1
∫
0
F ′(x0+gτ11(x1−x0), y0)dgτ11(x2−x0),
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
з (3) маємо
P2,2(F ;x2, y0) = F (x0, y0) +
1
∫
0
F ′
(
x0 + gτ11(x2 − x0), y0
)
dgτ11(x2 − x0) =
= F (x0, y0) +
1
∫
0
dτ11F (x0 + gτ11(x2 − x0), y0) = F (x2, y0).
Аналогiчно отримуємо, що P2,2(F ;x0, y2) = F (x0, y2).
I, нарештi,
P2,2(F ;x1, y1) = F (x0, y0) +
1
∫
0
F ′
(
x0 + gτ11(x1 − x0), y0
)
dgτ11(x1 − x0) +
+
1
∫
0
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ12 +
+
1
∫
0
1
∫
0
F ′′(x0 + dgτ12(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ11(x1 − x0) dgτ12(y1 − y0) =
= F (x0, y0) + F (x1, y0) − F (x0, y0) + F (x0, y1) − F (x0, y0) +
+
1
∫
0
F ′(x1, y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ12(y1 − y0) −
−
1
∫
0
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ12(y1 − y0) = F (x1, y1).
Зауважимо, що в наведених перетвореннях ми користувалися правилом диференцiю-
вання функцiонала за параметром [6]. Таким чином, iнтерполяцiйнiсть P2,2(F ;x, y) у пере-
лiчених вище вузлах доведена.
Нарештi розглянемо випадок, коли в iнтерполяцiйному полiномi (2) (x, y) ∈ R2, gτi1
= τi1,
gτi2
= τi2, та покажемо, що тодi вiн перетворюється у звичайний полiном Ньютона другого
степеня для функцiй двох змiнних.
Дiйсно, маємо
1
∫
0
F ′(x0 + τ11(x1 − x0), y0) dτ11(x − x0) =
x − x0
x1 − x0
1
∫
0
dτ11F (x0 + τ11(x1 − x0), y0) =
=
x − x0
x1 − x0
[F (x1, y0) − F (x0, y0)] = F (x0, x1, y0)(x − x0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 31
Аналогiчно,
1
∫
0
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0)) dgτ12(y − y0) = F (x0, y1, y2)(y − y0).
Далi:
1
∫
0
τ11
∫
0
F ′′(x0 + τ11(x1 − x0) + τ12(x2 − x1), y0)dτ12(x − x1) dτ11(x − x0) =
=
x − x1
x2 − x1
1
∫
0
τ11
∫
0
dτ12F
′(x0 + τ11(x1 − x0) + τ12(x2 − x1), y0)dτ11(x − x0) =
=
x − x1
x2 − x1
1
∫
0
{F ′(x0 + τ11(x2 − x0), y0) − F ′(x0 + τ11(x1 − x0), y0)}dτ11(x − x0) =
=
x − x1
x2 − x1
x − x0
x2 − x0
[F (x2, y0) − F (x0, y0)] −
x − x1
x2 − x1
x − x0
x1 − x0
[F (x1, y0) − F (x0, y0)] =
=
[
F (x0;x2; y0)
x2 − x1
−
F (x0;x1; y0)
x2 − x1
]
(x−x0)(x−x1) = F (x0;x1;x2; y0)(x−x0)(x−x1).
Аналогiчно,
1
∫
0
τ12
∫
0
F ′′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0) + τ22(y2 − y1))dτ22(y − y1) dτ11(y − y0) =
= F (x0; y0; y1; y2)(y − y0)(y − y1).
I, нарештi,
1
∫
0
1
∫
0
F ′′(x0 + τ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0))dτ11(x − x0) dτ12(y − y0) =
=
x − x0
x1 − x0
1
∫
0
1
∫
0
dτ11F
′(x0 + τ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0)) dτ12(y − y0) =
=
x − x0
x1 − x0
1
∫
0
{F ′(x1, y0 + gτ12(y1 − y0)) − F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0))}dτ12(y1 − y0) =
=
x − x0
x1 − x0
y − y0
y1 − y0
{F (x1, y1) − F (x1, y0) − (F (x0, y1) − F (x0, y0))} =
=
x − x0
x1 − x0
(y − y0)[F (x1; y0, y1) − F (x0, y0, y1)] = F (x0;x1; y0; y1)(x − x0)(y − y0).
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Остаточно маємо
P2,2(F ;x, y) = F (x0, y0) + F (x0;x1; y0)(x − x0) + F (x0; y0; y1)(y − y0) +
+ F (x0;x1;x2; y0)(x − x0)(x − x1) + F (x0;x1; y0; y1)(x − x0)(y − y0) +
+ F (x0; y0; y1; y2)(y − y0)(y − y1). (4)
Таким чином, отримано полiном Ньютона другого степеня для функцiї двох змiнних
(див. [5]). Зауважимо, що з вiдомих iнтерполяцiйних формул [1–3] у лiнiйних топологiчних
просторах не можна отримати iнтерполянти для функцiй багатьох змiнних у звичайному
сенсi.
Зауважимо, що попереднi мiркування справедливi i для нелiнiйних операторiв (вiдобра-
жень). Треба тiльки користуватися правилом диференцiювання оператора за параметром
(див. [7]). Таким чином, має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай виконується умова леми 3.2 з [7]. Тодi iнтерполяцiйна формула (1)
є iнтерполянтом для оператора багатьох змiнних у лiнiйних топологiчних просторах X,
Y, . . . , Z за умови iснування вiдповiдних iнтегралiв.
Вiдзначимо, що наведена iнтерполяцiйна формула (1) узагальнює ранiше iснуючi iн-
терполяцiйнi формули типу Ньютона для оператора однiєї змiнної [1–3], а у випадку Rn
перетворюється на полiном Ньютона функцiї багатьох змiнних.
2. Iнтерполяцiйнi полiноми в просторi Qm[0, 1] з континуальними вузлами. Вi-
домо, що в нескiнченно вимiрних просторах скiнченна множина вузлiв не гарантує єдиностi
iнтерполянта та його iнварiантностi щодо полiномiв вiдповiдного степеня. У роботах [1–3]
континуальна iнформацiя, що використовується для побудови iнтерполяцiйного полiнома,
не забезпечує єдиностi iнтерполяцiйної формули. Крiм того, ця формула має скiнченну
множину вузлiв, що неприродно. У [3] викладена так звана “Kergin interpolation” як для
функцiї багатьох змiнних, так i в банаховому просторi. Вiдзначимо, по-перше, що наведенi
там iнтерполяцiйнi формули з точнiстю до еквiвалентних перетворень iнтегралiв збiгаю-
ться з формулами [1, 2], отриманими ще в 60-х роках минулого столiття, а по-друге, коли
X = Y = . . . = Z = R1, то з них неможливо отримати класичнi iнтерполяцiйнi форму-
ли Ньютона для функцiй багатьох змiнних (див. [5]). У [8] побудовано функцiональний
iнтерполяцiйний полiном типу Ньютона з континуальними вузлами в просторi Q[0, 1] ку-
сково-неперервних функцiй, визначених на вiдрiзку [0, 1], що має властивостi єдиностi на
множинi полiномiв та iнварiантностi щодо полiномiв вiдповiдного степеня. Нашою метою
є побудова iнтерполянта з континуальними вузлами для функцiонала F : Qm[0, 1] → R1, але
це буде iнтерполянт суттєво iншої структури в порiвняннi з наведеним у [1].
Введемо необхiднi для подальшого позначення:
xi1(t, u1, u2, . . . , ui1) = x0(t) +
i1
∑
i=1
H(ui − t)(xi(t) − xi−1(t)),
yi1
(t, v1, v2, . . . , vi2) = y0(t) +
i2
∑
i=1
H(vi − t)(yi(t) − yi−1(t)),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
zim(t, w1, w2, . . . , wim) = z0(t) +
im
∑
i=1
H(wi − t)(zi(t) − zi−1(t)),
(5)
де H(s) — функцiя Хевiсайда; xp(t), yq(t), . . . , zr(t) ∈ C[0, 1]; множини скалярних параметрiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 33
Ωi1 = {(u1, u2, . . . , ui1) : 0 6 u1 6 1, 0 6 u2 6 u1, . . . , 0 6 ui1 6 ui1−1},
Ωi2 = {(v1, v2, . . . , vi2) : 0 6 v1 6 1, 0 6 v2 6 v1, . . . , 0 6 vi2 6 vi2−1},
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Ωim = {(w1, w2, . . . , wim) : 0 6 w1 6 1, 0 6 w2 6 w1, . . . , 0 6 wim 6 wim−1};
Ωk = Ωi1 × Ωi2 × · · · × Ωim, i1 + i2 + · · · + im = k, k = 1, 2, . . . , n;
Di1+i2+···+im =
∂i1+i2+···+im
∂u1∂u2 · · · ∂ui1∂v1∂v2 · · · ∂vi2 · · · ∂w1∂w2 · · · ∂wim
;
πm,n =
{
Pm,n(x, y, . . . , z) = K0 +
n
∑
p=1
1
∫
0
(p)
1
∫
0
∑
i1,i2,...,im=k
Ki1i2...ip(α1, α2, . . . , αp) ×
× xi1(α1)xi2(α2) · · · xip(αp)d(α1)d(α2) · · · d(αn), Ki1i2...ip ∈ C([0, 1])p,
p = 1, 2, . . . , n
}
, (6)
де x1(α) = x(α), x2(α) = y(α), . . ., xm(α) = z(α), x, y, . . . , z ∈ Q[0, 1].
Задача полягає в побудовi на множинi πm,n полiнома Pm,n(F ;x, y, . . . , z) з iнтерполяцiй-
ними умовами
Pm,n(F ;xi1 , yi2
, . . . , zim) = F (xi1 , yi2
, . . . zim)
для всiх xi1 , yi2
, . . . , zim , визначених на множинах [0, 1] × Ωis , s = 1, 2, . . . ,m.
Спираючись на результати [8] щодо побудови iнтерполяцiйної формули типу Ньютона
для функцiонала F : Q[0, 1] → R1 та проводячи аналогiчнi доведення у випадку простору
Qm[0, 1], одержуємо такi твердження.
Теорема 2. Нехай функцiонал F : Qm[0, 1] → R1 такий, що
F (xi1(·, u1, u2, . . . , ui1), yi1
(·, v1, v2, . . . , vi2), zim(·, w1, w2, . . . , wim)) ∈ C(K)(ΩK), (7)
i по кожнiй змiннiй виконується правило пiдстановки [8]. Тодi для F iнтерполянт типу
Ньютона з множини πm,n та з iнтерполяцiйними умовами на континуальних вузлах (5)
має вигляд
Pm,n(F ;x, y, . . . , z) = F (x0, y0, . . . , z0) +
+
n
∑
k=1
∑
i1+i2+···+im=k
F (x0; . . . ;xi1 ; y0; . . . ; yi2 ; . . . ; z0; . . . ; zim) ×
× (x−x0) · · · (x−xi1−1) · · · (y−y0) · · · (y−yi2−1) · · · (z − z0) · · · (z−zim−1), (8)
де F (x0; . . . ;xi1 ; y0; . . . ; yi2 ; . . . ; z0; . . . ; zim) — оператор роздiленої рiзницi такий, що
F (x0; . . . ;xi1 ; y0; . . . ; yi2 ; . . . ; z0; . . . ; zim)(x − x0) · · · (x − xi1−1) ×
× (y − y0) · · · (y − yi2−1) · · · (z − z0) · · · (z − zim−1) =
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
=
∫
Ωk
i1
∏
i=1
x(ui) − xi−1(ui)
xi(ui) − xi−1(ui)
i2
∏
i=1
y(vi) − yi−1(vi)
yi(vi) − yi−1(vi)
· · ·
im
∏
i=1
z(wi) − zi−1(wi)
zi(wi) − zi−1(wi)
×
× Di1+i2+···+imF (xi1(·, u1, u2, . . . , ui1), yi2
(·, v1, v2, . . . , vi2), . . . ,
. . . , zim(·, w1, w2, . . . , wim)) dVk, (9)
dVk =
i1
∏
i=1
dui
i2
∏
i=1
dvi · · ·
im
∏
i=1
dwi, i1 + i2 + · · · + im = k, k = 1, 2, . . . , n за умови iснування
вiдповiдних iнтегралiв в (9).
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi iнтерполянт типу Ньютона
вигляду (8), (9) буде єдиним iнтерполянтом серед усiх полiномiв з πm,n на континуальних
вузлах (5) та iнварiантний щодо полiномiв вiдповiдного степеня.
Порiвнявши двi iнтерполяцiйнi структури (1) та (8), (9), можна зробити такий висновок.
Формула (1) iнтерполює функцiонал на дискретнiй множинi вузлiв, а для самого функцiо-
нала необхiдно виконання лише правила диференцiювання за параметром [6]. Iнтерполя-
цiйна формула (8), (9) має континуальнi вузли, єдина в класi πm,n та зберiгає полiноми
вiдповiдного степеня, але вимагає вiд функцiонала певної гладкостi в сенсi (7) та правила
пiдстановки [8]. Вiдзначимо, що у випадку негладкого функцiонала (наприклад, у випадку
функцiї багатьох змiнних) замiсть формули (9) можна записати аналогiчну формулу з iнте-
гралами вiд узагальнених функцiй, якщо вони iснують. Хоча формули (1) та (8), (9) рiзнi,
але з урахуванням вищевикладеного для функцiї багатьох змiнних вони перетворюються
на полiноми Ньютона, що тотожно збiгаються.
1. Ульм С., Полль В. О построении обобщенных разделенных разностей // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-
мат. наук. – 1969. – 18, № 1. – С. 100–102.
2. Соболевский П.И. Интерполяция функционалов и некоторые приближенные формулы для интегра-
лов по гауссовой мере // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № 2. – С. 5–12.
3. Filipsson L. Kergin interpolation in Banach spaces // J. Approx. Theory. – 2004. – 127. – P. 108–123.
4. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – Москва: Наука, 1966. – 632 с.
6. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространс-
твах // Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 6. – С. 201–260.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 407 c.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Кашпур Е.Ф., Михальчук Б.Р. Интерполяционные полиномы типа
Ньютона с континуальными узлами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 779–790.
Надiйшло до редакцiї 29.08.2008Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, V.V. Khlobystov, I. I. Demkiv
Interpolation of multivariable functionals
Polynomial interpolation formulas are given for multivariable functionals and operators on linear
topological spaces.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 35
|