Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком
Дослiджуються марковськi системи з повторними викликами i керованою iнтенсивнiстю вхiдного потоку. Для моделей такого типу знайденi умови iснування стацiонарного режиму, одержанi явнi формули та ефективнi алгоритми розрахунку стацiонарних iмовiрностей. Розглянуто застосування одержаних результатiв д...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8509 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком / Є.О. Лебєдєв, I.Я. Усар // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 52-59. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8509 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-85092010-06-08T12:01:18Z Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком Лебєдєв, Є.О. Усар, І.Я. Інформатика та кібернетика Дослiджуються марковськi системи з повторними викликами i керованою iнтенсивнiстю вхiдного потоку. Для моделей такого типу знайденi умови iснування стацiонарного режиму, одержанi явнi формули та ефективнi алгоритми розрахунку стацiонарних iмовiрностей. Розглянуто застосування одержаних результатiв до розв’язання оптимiзацiйних задач в класi багатопорогових стратегiй. Markov retrial queues with the controlled rate of the input flow are investigated. For such models, the existence conditions of a stationary regime are obtained. To calculate the stationary probabilities, explicit formulas and effective algorithms are constructed. The obtained results are used to solve optimization problems in a class of multithreshold strategies. 2009 Article Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком / Є.О. Лебєдєв, I.Я. Усар // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 52-59. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8509 519.21 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Лебєдєв, Є.О. Усар, І.Я. Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| description |
Дослiджуються марковськi системи з повторними викликами i керованою iнтенсивнiстю вхiдного потоку. Для моделей такого типу знайденi умови iснування стацiонарного режиму, одержанi явнi формули та ефективнi алгоритми розрахунку стацiонарних iмовiрностей. Розглянуто застосування одержаних результатiв до розв’язання оптимiзацiйних задач в класi багатопорогових стратегiй. |
| format |
Article |
| author |
Лебєдєв, Є.О. Усар, І.Я. |
| author_facet |
Лебєдєв, Є.О. Усар, І.Я. |
| author_sort |
Лебєдєв, Є.О. |
| title |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| title_short |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| title_full |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| title_fullStr |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| title_full_unstemmed |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| title_sort |
про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8509 |
| citation_txt |
Про системи з повторними викликами та керованим вхідним потоком / Є.О. Лебєдєв, I.Я. Усар // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 52-59. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT lebêdêvêo prosistemizpovtornimiviklikamitakerovanimvhídnimpotokom AT usaríâ prosistemizpovtornimiviklikamitakerovanimvhídnimpotokom |
| first_indexed |
2025-07-02T11:13:33Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:13:33Z |
| _version_ |
1836533482768039936 |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2009
Є.О. Лебєдєв, I.Я. Усар
Про системи з повторними викликами та керованим
вхiдним потоком
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Дослiджуються марковськi системи з повторними викликами i керованою iнтенсивнi-
стю вхiдного потоку. Для моделей такого типу знайденi умови iснування стацiонарно-
го режиму, одержанi явнi формули та ефективнi алгоритми розрахунку стацiонарних
iмовiрностей. Розглянуто застосування одержаних результатiв до розв’язання опти-
мiзацiйних задач в класi багатопорогових стратегiй.
1. Результати для систем з повторними викликами складають один з роздiлiв теорiї масо-
вого обслуговування. Основнi з цих результатiв систематизовано в роботi [1]. Математичнi
моделi систем з повторними викликами мають широке застосування в практицi (див., на-
приклад, [1, 4–6]).
Характерною рисою стохастичних систем, що розглядаються, є така: виклики, якi на-
дiйшли в зайняту систему, через випадковий промiжок часу повторюють спробу отримати
обслуговування. Такi виклики стають джерелами повторних викликiв, що генерують вто-
ринний потiк вимог.
Основна модель, що розглядається в данiй роботi, є двовимiрний ланцюг Маркова Q(t) =
= (Q1(t), Q2(t)) з неперервним часом у фазовому просторi S = I × J , де I = {0, 1, . . . ,m},
J = {0, 1, . . .}. Iнфiнiтезимальнi характеристики q(i,j)(i′,j′) ланцюга Q(t) визначаються таким
чином: якщо i = 0, 1, . . . ,m − 1, j ∈ J , то
q(i,j)(i′,j′) =
λj при (i′, j′) = (i + 1, j),
iµ при (i′, j′) = (i − 1, j),
jν при (i′, j′) = (i + 1, j − 1),
−(λj + iµ + jν) при (i′, j′) = (i, j),
0 — в iнших випадках;
(1)
якщо i = m, j ∈ J , то
q(m,j)(i′,j′) =
λj при (i′, j′) = (m, j + 1),
mµ при (i′, j′) = (m − 1, j),
−(λj + mµ) при (i′, j′) = (m, j),
0 — в iнших випадках.
(2)
Очевидно, Q(t) = (Q1(t), Q2(t)) є процесом обслуговування для системи з повторними
викликами, яка складається з m обслуговуючих приладiв. Час обслуговування має показни-
ковий розподiл з параметром µ. Вхiдний потiк мiстить двi складовi — первинну i вторинну.
Iнтенсивнiсть λj потоку первинних викликiв залежить вiд числа j — джерел повторних
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
викликiв. Кожний повторний виклик через показниковий час з параметром ν повторює
спробу отримати обслуговування.
Компонента Q1(t) вказує на число зайнятих приладiв у момент часу t, а Q2(t) дорiвнює
числу джерел повторних викликiв. Згiдно з прийнятою системою позначень, таку модель
будемо кодувати як MQ/M/m/∞. Символ ∞ означає вiдсутнiсть обмежень на число по-
вторних викликiв.
2. Умови iснування ергодичного розподiлу. З’ясуємо умови iснування стацiонар-
ного режиму для процесу Q(t), t > 0.
Лема 1. Нехай λ = sup
j
λj < ∞. Тодi при λ/mµ < 1 ланцюг Q(t) ергодичний i його
граничний розподiл збiгається з єдиним стацiонарним.
Доведення. Розглянемо як тест-функцiї Ляпунова такi функцiї:
ϕ(i, j) = ai + j, (i, j) ∈ S, (3)
де параметр a буде визначено пiзнiше.
Для обраних тест-функцiй середнiй перенос
yij =
∑
(i′,j′)6=(i,j)
q(i,j)(i′,j′)(ϕ(i′, j′) − ϕ(i, j))
дорiвнює
yij =
{
λja − iµa + jν(a − 1), 0 6 i 6 m − 1,
λj − mµa, i = m.
При λ/(mµ) < 1 для будь-якого a ∈ (λ/(mµ), 1) iснує ε > 0, що yij < −ε для всiх
(i, j) ∈ S за винятком скiнченного числа станiв (i, j). Таким чином, для тест-функцiй (3)
виконуються умови теореми Твiдi [1, с. 97]. Лему доведено.
Змiнний характер iнтенсивностi вхiдного потоку в моделях типу MQ/M/m/∞ дає мо-
жливiсть ставити i розв’язувати для них оптимiзацiйнi задачi. В зв’язку з цим розглянемо
клас багатопорогових стратегiй, якi задаються порогами 0 = H0 6 H1 6 · · · 6 HN−1 <
< HN = ∞, H ′ = (H1,H2, . . . ,HN−1), N — фiксоване число. Якщо в момент часу t > 0
число джерел повторних викликiв Q2(t) ∈ [Hi−1,Hi), i = 1, . . . , N , то будемо казати, що
система з повторними викликами функцiонує в i-му режимi i iнтенсивнiсть вхiдного пото-
ку дорiвнює hi. Iншi параметри вiд режиму не залежать. Вибiр порогової стратегiї H озна-
чає фiксацiю залежностi λj вiд числа джерел повторних викликiв: λj = hi, j ∈ [Hi−1,Hi),
i = 1, . . . , N .
Вiдповiдний процес обслуговування i його характеристики надiлятимемо iндексом H,
Q(t) = Q(t,H), . . ..
Нехай S1(t,H) — число викликiв, обслуговування яких завершено в системi за час t;
S2(t,H) — число викликiв, якi отримали вiдмову в обслуговуваннi i стали повторними ви-
кликами; S3(t,H) — число перемикань iнтенсивностi вхiдного потоку. Якщо iснують границi
lim
t→∞
t−1Si(t,H), то будемо позначати їх через Si(H), i = 1, 2, 3.
Розглянемо оптимiзацiйну задачу
W (H) = C1S1(H) − C2S2(H) − C3S3(H) → max,
0 = H0 6 H1 6 · · · 6 HN−1 < HN = ∞, Hi ∈ {0, 1, . . .}, i = 1, 2, . . . , N − 1,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 53
де C1 — прибуток, пов’язаний з обслуговуванням одного виклику; C2 — штраф за вiдмову
в обслуговуваннi; C3 — штраф за перемикання iнтенсивностi вхiдного потоку.
Розв’язком задачi (4) є така багатопорогова стратегiя H, яка максимiзує середнiй прибу-
ток вiд роботи системи. Подiбнi задачi для одноканальних систем з повторними викликами
розглядалися в роботах [5, 6].
В умовах леми 1 граничнi функцiонали Si(H), i = 1, 2, 3, iснують i можуть бути виписанi
через стацiонарнi ймовiрностi πij(H), (i, j) ∈ I × J
S1(H) =
∞∑
j=0
m∑
i=1
iµπij(H), S2(H) =
N∑
i=1
hi
Hi−1∑
j=Hi−1
πmj(H), (5)
S3(H) =
N−1∑
i=1
(
hiπmHi−1(H) + νHi
m−1∑
k=0
πkHi
(H)
)
. (6)
Таким чином, для розв’язання задачi (4) необхiднi ефективнi алгоритми розрахунку
стацiонарного розподiлу для системи MQ/M/m/∞. З цього моменту зосередимо увагу на
цiй проблемi.
3. Алгоритми пiдрахунку стацiонарних iмовiрностей. Розглянемо спочатку мо-
дель типу MQ/M/m/N , в якiй скiнченне число N мiсць для повторних викликiв. При умовi,
що всi N мiсць зайнято, виклик губиться i не отримує обслуговування в системi.
Iнфiнiтезимальнi характеристики q
(N)
(i,j)(i′,j′)
для процесу обслуговування Q(N)(t) =
= (Q
(N)
1 (t), Q
(N)
2 (t)) в системi MQ/M/m/N збiгаються з (1) для i = 0, 1, . . . ,m − 1, j =
= 0, 1, . . . , N , i з (2) для i = m, j = 0, 1, . . . , N − 1, а для i = m, j = N задаються таким
чином:
q
(N)
(m,N)(i′,j′) =
mµ при (i′, j′) = (m − 1, N),
−mµ при (i′, j′) = (m,N),
0 — в iнших випадках.
Процес Q(N)(t) набуває значення в скiнченнiй множинi станiв S(N) = I × J (N), J (N) =
= {0, 1, . . . , N}, i є ергодичним. Знайдемо його стацiонарний розподiл π
(N)
ij , (i, j) ∈ S(N).
Нехай A(j) = ‖aik(j)‖
m−1
i,k=0, j = 0, 1, . . . , N − 1 — тридiагональна матриця вигляду
aik(j) =
λj + iµ + jν при k = i, i = 0, 1, . . . ,m − 1,
−λj при k = i + 1, i = 0, 1, . . . ,m − 2,
−iµ при k = i − 1, i = 1, 2, . . . ,m − 1,
0 — в iнших випадках,
B = ‖bik‖
m−1
i,k=0, bik =
{
1 при k = i + 1, i = 0, 1, . . . ,m − 2,
0 — в iнших випадках,
C = ‖cik‖
m−1
i,k=0, cik =
{
1 при k = m − 1, i = 0, 1, . . . ,m − 1,
0 — в iнших випадках.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Через D(N) будемо позначати трикутну матрицю
D(N) =
µ 0 0 . . . 0 0
−(Nν+λN ) 2µ 0 . . . 0 0
−Nν −(Nν+λN ) 3µ . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−Nν −Nν −Nν . . . −(Nν+λN ) (m−1)µ
.
Нам також необхiднi будуть вектори
π(N)(j)′ =
(
π
(N)
0j , π
(N)
1j , . . . , π
(N)
m−1j
)
,
G(N)(j)′ =
π(N)(j)′
π
(N)
0N
=
(
G
(N)
0j , G
(N)
1j , . . . , G
(N)
m−1j
)
,
1(m−1)−(m−1)-вимiрний вектор, що складається з одиниць, ei(m−1)−(m−1) — вимiрний
вектор, i-та компонента якого дорiвнює одиницi, а iншi — нулю. Через 1, ei будемо позначати
такi ж вектори розмiрностi m.
Теорема 1. Якщо λj > 0, j = 0, 1, . . ., то для будь-якого N стацiонарнi ймовiрностi
π
(N)
ij , (i, j) ∈ S(N) можна подати у виглядi
π
(N)
1N
. . .
π
(N)
m−1N
= π
(N)
0N D−1(N)(Nν1(m − 1) + λNe1(m − 1)), (7)
π
(N)
mN =
π
(N)
0N
mµ
G(N)(N)′(Nν1 + λNem),
π
(N)
j
′ =
π
(N)
0N N !νN−j
j!
G(N)(N)′T (N − 1) × · · · × T (j), j = 0, 1, . . . , N − 1, (8)
π
(N)
mj =
π
(N)
0N N !νN−j
λjj!
G(N)(N)′T (N − 1) × · · · × T (j + 1)1, j = 0, 1, . . . , N − 1, (9)
де
π
(N)
0N =
{
G(N)(N)′
(
1 + N !
N−1∑
j=0
νN−j
j!
T (N − 1) × · · · × T (j + 1)
[
T (j) +
1
λj
]
1 +
+
1
mµ
(Nν1 + λNem)
)}−1
. (10)
G(N)(N) =
(
1
D−1(N)(Nν1(m − 1) + λNe1(m − 1))
)
, (11)
T (j) =
[
B +
mµ
λj
C
]
A−1(j), j = 0, 1, . . . , N − 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 55
Доведення. Для зручностi позначимо π
(N)
ij = π̃ij, G
(N)
ij = G̃ij , (i, j) ∈ S(N). Для кожно-
го k = 0, 1, . . . ,m − 1 розiб’ємо S(N) на двi пiдмножини Ek = {(0, N), (1, N), . . . , (k,N)} та
Ek = S(N) \ Ek. Внаслiдок рiвностi потокiв iмовiрностей через замкнений контур у стацiо-
нарному режимi [3, с. 49] матимемо для k = 0, 1, . . . ,m − 1
Nνπ̃0N+Nνπ̃1N+ · · ·+Nνπ̃k−1N+(Nν+λN )π̃kN = (k + 1)µπ̃k+1N . (12)
Для G̃ij = π̃ij/π̃0N з перших (m − 1) рiвнянь системи (12) маємо
G̃1N
. . .
G̃m−1N
= D−1(N)(Nν1(m − 1) + λNe1(m − 1)),
що дає нам (11). З (12) при k = m − 1 знаходимо
G̃mN =
1
mµ
G̃(N)′(Nν1 + λNem). (13)
Знайдемо тепер G̃mj , коли j = 0, 1, . . . , N − 1. Розiб’ємо S(N) на двi пiдмножини S
(N)
j =
= {(α, β) ∈ S(N) : β 6 j} i S
(N)
j = S(N) \ S
(N)
j . Знову використовуючи рiвнiсть потокiв
iмовiрностi через замкнений контур, маємо
λjπ̃mj = (j + 1)νπ̃0j+1 + · · · + (j + 1)νπ̃m−1j+1, (14)
звiдки отримаємо
G̃mj =
(j + 1)ν
λj
G̃(j + 1)′1, j = 0, 1, . . . , N − 1. (15)
Розглянемо тепер m × N замкнених контурiв, якi мiстять точку (i, j) з областi S̃(N) =
= {0, 1, . . . ,m−1}×{0, 1, . . . , N−1}. Вiдповiднi рiвняння для G̃ij , (i, j) ∈ S̃(N) мають вигляд
(λj + jν)G̃0j = µG̃1j , i = 0, (16)
(λj +iµ+jν)G̃ij = (j+1)νG̃i−1j+1+λjG̃i−1j +(i + 1)µG̃i+1j , i = 1, 2, . . . ,m − 2. (17)
При i = m − 1 з урахуванням (15)
(λj +(m − 1)µ+jν)G̃m−1j = (j + 1)νG̃m−2j+1+λjG̃m−2j +
(j + 1)mµν
λj
G̃(j + 1)′1. (18)
Систему (16)–(18) можна подати у векторно-матричному виглядi
G̃(j)′ = (j + 1)νG̃(j + 1)′
[
B +
mµ
λj
C
]
A−1(j) = (j + 1)νG̃(j + 1)′T (j),
j = 0, 1, . . . , N − 1.
Звiдси знаходимо
G̃(j)′ =
N !νN−j
j!
G̃(N)′T (N − 1) × · · · × T (j), j = 0, 1, . . . , N − 1. (19)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Пiдставляючи праву частину (19) в (15), маємо
G̃mj =
N !νN−j
j!λj
G̃(N)′T (N − 1) × · · · × T (j + 1)1, j = 0, 1, . . . , N − 1.
Умова нормування для стацiонарних iмовiрностей π̃ij дозволяє знайти π̃0N , що i дає нам
формулу (10). Спiввiдношення (7)–(9) є безпосереднiм наслiдком (13), (19) та (10). Теорему
доведено.
При виконаннi умов леми 1 i N → ∞ стацiонарнi ймовiрностi π
(N)
ij наближають вiд-
повiднi ймовiрностi для системи MQ/M/m/∞. Результати роботи [7] щодо похибки такого
наближення можуть бути поширенi i на випадок моделей з керованою iнтенсивнiстю вхiд-
ного потоку. Таким чином, теорема 1 мiстить ефективний алгоритм рекурентного типу для
пiдрахунку стацiонарних характеристик.
Розглянемо тепер клас моделей типу MQ/M/2/∞. У даному випадку можна провести
бiльш детальний аналiз i отримати явнi формули.
Не порушуючи загальностi, будемо вважати µ = 1. Позначимо
Ai(j) =
j−1∏
k=i
1 + ρk + λk+1 + (k + 1)ν
ρk[(λk + kν)2 + kν]
, i < j,
1, i = j,
де ρk = λk/2µ = λk/2 — завантаження системи первинними викликами.
Наслiдок 1. Якщо для MQ/M/2/∞ — системи з повторними викликами µ = 1, λj > 0,
j = 0, 1, . . . , sup
j
λj < 2, то для неї iснує стацiонарний режим i стацiонарнi ймовiрностi
дорiвнюють
π0j =
Pj
νjj!
, π1j =
(λj + jν)Pj
νjj!
,
π2j =
(1 + λj+1 + (j + 1)ν)Pj
νjλjj!
ρj [(λj + jν)2 + jν]
1 + ρj + λj+1 + (j + 1)ν
,
(20)
де
Pj =
{
j∑
i=0
(1 + λi + iν)Ai(j)
νii!
+
∞∑
i=j+1
1 + λi + iν
Aj(i)νii!
+
+
j−1∑
i=0
(1 + λi+1 + (i + 1)ν)Ai+1(j)
νiλii!
+
∞∑
i=j
1 + λi+1 + (i + 1)ν
Aj(i + 1)νiλii!
}−1
. (21)
Доведення. Сам факт iснування ергодичного розподiлу випливає з леми 1 i умов на-
слiдку. Для того щоб отримати формули для ергодичного розподiлу, використаємо наступ-
ний спосiб. Розглянемо спочатку систему MQ/M/2/N . До такої системи ми можемо засто-
сувати результати теореми 1, яка дає явнi формули для ергодичного розподiлу.
Оскiльки тепер
B =
(
0 1
0 0
)
, C =
(
0 1
0 1
)
, A(j) =
(
λj + jν −λj
−1 1 + λj + jν
)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 57
то
T (j) =
1
ρj [(λj + jν)2 + jν]
(
1 + ρj (1 + ρj)(λj + jν)
1 λj + jν
)
.
Тепер з формул (7)–(11) пiсля вiдповiдних перетворень отримаємо
π
(N)
0j = π
(N)
0N
N !νN−jAj(N)
j!
, π
(N)
1j = π
(N)
0N
N !νN−j(λj + jν)Aj(N)
j!
,
π
(N)
2j = π
(N)
0N
N !νN−j(1 + λj+1 + (j + 1)ν)Aj+1(N)
j!λj
, j = 0, 1, . . . , N − 1,
π
(N)
1N = π
(N)
0N (λN + Nν), π
(N)
2N = π
(N)
0N
(λN + Nν)2 + Nν
2
,
де
π
(N)
0N =
{
1 + λN + Nν + N !
N−1∑
j=0
νN−j(1 + λj + jν)Aj(N)
j!
+
+ N !
N−1∑
j=0
νN−j(1 + λj+1 + (j + 1)ν)Aj+1(N)
j!λj
+
1
2
((λN + Nν)2 + Nν)
}−1
.
Перейшовши в цих формулах до границi при N → ∞, одержимо зображення (20), (21).
Наслiдок доведено.
Розглянемо випадок керування системою MQ/M/2/20, коли змiна iнтенсивностi вхiдно-
го потоку пов’язана з пересуванням одного порогу H1 = H. Параметри системи дорiвнюють
h1 = 2,5; h2 = 0,5; µ = 1; ν = 0,1, а коефiцiєнти вартостi C1 = 6, C2 = 2, C3 = 4.
Пiдрахунок за формулами (4)–(6) з використанням наслiдку 1 дає такi значення:
W (H) = 3,295; 3,427; 3,533; 3,619; 3,689; 3,749; 3,800; 3,844; 3,883;
3,917; 3,948; 3,976; 4,001; 4,024; 4,044; 4,057; 4,052; 3,978; 3,617,
або в графiчному зображеннi (рис 1).
Для H = 16 значення цiльової функцiї буде максимальним.
Пiдсумовуючи одержанi результати, можна зробити наступний висновок. В данiй робо-
тi знайдено умови iснування стацiонарного режиму, отримано явнi формули та ефективнi
Рис. 1
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
алгоритми розрахунку стацiонарних iмовiрностей для систем з повторними викликами i ке-
рованою iнтенсивнiстю вхiдного потоку. Запропонованi алгоритми можуть бути використанi
для розв’язання оптимiзацiйних задач в класi багатопорогових стратегiй.
Робота виконана за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (про-
ект Ф25.1/094).
1. Falin G. I., Templeton J.G. C. Retrial queues. – London: Chapman & Hall, 1997. – 331 p.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. – Москва: Рос. ун-т дружбы народов,
1995. – 529 с.
3. Уолрэнд Дж. Введение в теорию массового обслуживания. – Москва: Мир, 1993. – 336 с.
4. Anisimov V.V., Artalejo J. R. Analysis of Markov multiserver retrial queues with negative arrivals //
Queuing Systems. – 2001. – 39. – P. 157–182.
5. Клименок В.И. Оптимизация динамического управления режимом работы информационно-вычи-
слительных систем с повторными вызовами // Автоматика и вычислит. техника. – 1990. – № 1. –
С. 25–30.
6. Дудин А.Н., Клименок В.И. Оптимизация динамического управления входной нагрузкой в узле
информационно-вычислительной сети // Там же. – 1991. – № 2. – С. 25–31.
7. Степанов С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами. – Москва: Наука, 1983. –
232 с.
Надiйшло до редакцiї 05.12.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
E.A. Lebedev, I. Ya. Usar
On retrial queues with controlled input flow
Markov retrial queues with the controlled rate of the input flow are investigated. For such models, the
existence conditions of a stationary regime are obtained. To calculate the stationary probabilities,
explicit formulas and effective algorithms are constructed. The obtained results are used to solve
optimization problems in a class of multithreshold strategies.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 59
|