К построению модели равновесия экономической макросистемы

Рассмотрены вопросы, связанные с равновесием и устойчивостью экономической макросистемы. Основной целью работы является построение такой модели экономического равновесия, которая позволяет оценивать устойчивость экономики государства на основании данных об основных макроэкономических показателях. Но...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Панкратова, Н.Д., Шелест, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2013
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85099
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К построению модели равновесия экономической макросистемы / Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 77-88. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85099
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-850992015-07-20T03:02:14Z К построению модели равновесия экономической макросистемы Панкратова, Н.Д. Шелест, А.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Рассмотрены вопросы, связанные с равновесием и устойчивостью экономической макросистемы. Основной целью работы является построение такой модели экономического равновесия, которая позволяет оценивать устойчивость экономики государства на основании данных об основных макроэкономических показателях. Новизна работы заключается в разработке чёткого формального критерия устойчивости экономической системы, который позволяет оценивать данный параметр и, согласно этому, делать вывод о текущей ситуации в экономике. В качестве примера выбрана экономическая система Украины. Результаты численного эксперимента подтверждают неустойчивый характер развития национальной экономики, что свидетельствует о возможности практического применения построенной модели для исследования экономических макросистем на устойчивость. Розглянуто питання, пов’язані з рівновагою та стійкістю економічної макросистеми. Основною метою роботи є побудова такої моделі економічної рівноваги, яка дозволяє оцінювати стійкість економіки держави на підставі даних про макроекономічні показники. Новизна роботи полягає в розробці чіткого формального критерію стійкості економічної системи, який дозволяє оцінювати даний параметр та згідно з цим робити висновок щодо поточної ситуації в економіці. Для прикладу обрано економічну систему України. Результати чисельного експерименту підтверджують нестійкий характер розвитку національної економіки, що свідчить про можливість практичного застосування побудованої моделі для дослідження стійкості економічних макросистем. The issues related to economic equilibrium and macroeconomic stability are considered. The main purpose of this work is to build a general equilibrium model, which allows to evaluate the stability of the national economy on the basis of key macroeconomic indicators. The novelty of the work is in developing a formal criterion of stability of the economic system, which allows to estimate this option and, accordingly, allows to make a conclusion about current situation in the economy. As an example, economic system of Ukraine was selected. The results of numerical experiments confirm the erratic nature of the development of the national economy, which suggests the possibility of practical application of the model to study the macroeconomic stability. 2013 Article К построению модели равновесия экономической макросистемы / Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 77-88. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85099 519.866 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Панкратова, Н.Д. Шелест, А.В. К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассмотрены вопросы, связанные с равновесием и устойчивостью экономической макросистемы. Основной целью работы является построение такой модели экономического равновесия, которая позволяет оценивать устойчивость экономики государства на основании данных об основных макроэкономических показателях. Новизна работы заключается в разработке чёткого формального критерия устойчивости экономической системы, который позволяет оценивать данный параметр и, согласно этому, делать вывод о текущей ситуации в экономике. В качестве примера выбрана экономическая система Украины. Результаты численного эксперимента подтверждают неустойчивый характер развития национальной экономики, что свидетельствует о возможности практического применения построенной модели для исследования экономических макросистем на устойчивость.
format	Article
author	Панкратова, Н.Д. Шелест, А.В.
author_facet	Панкратова, Н.Д. Шелест, А.В.
author_sort	Панкратова, Н.Д.
title	К построению модели равновесия экономической макросистемы
title_short	К построению модели равновесия экономической макросистемы
title_full	К построению модели равновесия экономической макросистемы
title_fullStr	К построению модели равновесия экономической макросистемы
title_full_unstemmed	К построению модели равновесия экономической макросистемы
title_sort	к построению модели равновесия экономической макросистемы
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85099
citation_txt	К построению модели равновесия экономической макросистемы / Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 77-88. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT pankratovand kpostroeniûmodeliravnovesiâékonomičeskojmakrosistemy AT šelestav kpostroeniûmodeliravnovesiâékonomičeskojmakrosistemy
first_indexed	2025-07-06T12:15:29Z
last_indexed	2025-07-06T12:15:29Z
_version_	1836899767530029056
fulltext	© Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест, 2013 Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 77 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 519.866 К ПОСТРОЕНИЮ МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МАКРОСИСТЕМЫ Н.Д. ПАНКРАТОВА, А.В. ШЕЛЕСТ Рассмотрены вопросы, связанные с равновесием и устойчивостью экономиче- ской макросистемы. Основной целью работы является построение такой моде- ли экономического равновесия, которая позволяет оценивать устойчивость экономики государства на основании данных об основных макроэкономиче- ских показателях. Новизна работы заключается в разработке чёткого формаль- ного критерия устойчивости экономической системы, который позволяет оце- нивать данный параметр и, согласно этому, делать вывод о текущей ситуации в экономике. В качестве примера выбрана экономическая система Украины. Результаты численного эксперимента подтверждают неустойчивый характер развития национальной экономики, что свидетельствует о возможности прак- тического применения построенной модели для исследования экономических макросистем на устойчивость. ВВЕДЕНИЕ Мировой финансово-экономический кризис выявил проблемы развития ми- ровой экономики, показал несостоятельность современной экономической теории адекватно осмыслить и описать принципы функционирования эко- номической системы и её элементов, их взаимодействие, понять природу происходящих в ней процессов и закономерностей. Несмотря на то, что многие симптомы свидетельствовали о приближении мирового кризиса, его масштабы и последствия для многих оказались неожиданными. Мировая экономика еще не полностью восстановилась от последствий мирового фи- нансового кризиса. Многие эксперты в этой области сходятся во мнениях о том, что перспективы выхода из кризиса продолжают оставаться доста- точно туманными, а рецептов его преодоления, рассчитанных на все случаи жизни, просто-напросто не существует. Высокий уровень безработицы, долги и низкие темпы роста в развитых странах, а также доступ к финансированию для развивающихся стран оста- ются основными угрозами для экономического развития. Помимо этого, в 2011 году отмечалась высокая волатильность цен на продукты питания, которые приблизились к их пиковому значению 2008 года. Засуха и конфлик- ты в странах Африки привели к тому, что миллионы людей нуждаются в безотлагательной помощи [1]. Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 78 Стало очевидным, что недостаточное владение проблемами экономики и пренебрежительное отношение к их объективному разрешению может привести к неизбежному краху экономической системы. В соответствии с этим, перед мировой общественностью остро стал вопрос об устойчивом развитии экономики, при котором бы риск дефолта был минимальным [1]. Цель работы — построение модели равновесия позволяющей оцени- вать степень экономической устойчивости государства. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ Исследованию равновесия экономических систем посвящено большое коли- чество научных трудов. Первые исследования в этой области появились ещё в XVIII веке — модель Ф. Кенэ (1694–1774 гг.) [2]. В данной модели эконо- мическое равновесие достигается путем установления обменных процессов между основными классами общества: классом фермеров (производствен- ный класс), классом собственников (дворяне, духовенство, чиновники) и бесплодным классом (ремесленники). В модели Ж.Б. Сэя (1767–1832 гг.) [2] экономическое равновесие достигается путём обмена одних продуктов на другие. Каждый продавец является одновременно и покупателем. К. Маркс (1818–1883 гг.) [2] рассматривал установление равновесия эконо- мической системы при обеспечении обмена при производстве между двумя подразделениями общества: I подразделение — производящее средства производства; II подразделение — производящее предметы потребления. В конце XIX века появились модели равновесия экономической систе- мы А. Маршалла, Л. Вальраса, Эрроу-Дебре, Эванса, паутинообразная мо- дель Самюэльсона и др. [3]. Указанные модели считаются классическими моделями экономического равновесия и предполагают достижение равно- весного состояния экономической системы при равенстве совокупного спроса и совокупного предложения. В теории Дж. М. Кейнса (30-х годов XX века) [4] экономическое равно- весие достигается при точном соответствии количества закупленных това- ров количеству произведенных товаров. Уже в эпоху кейнсианства стало очевидным, что развитие экономики происходит циклически (мультиплика- тор Кейнса [4], теория циклов Кондратьева [5]). И хотя до сих пор в совре- менной экономической теории состояние экономического равновесия считается естественным (модель экономического равновесия AD-AS [6]) (рисунок), реальные факты свидетельствуют о том, что экономическая сис- тема (как правило) не является равновесной [7]. Мировой финансово-экономический кризис (2008–2009 гг.) подтвердил факт того, что реальная экономическая система развивается циклично и не может находиться в состоянии равновесия продолжительное время (не бо- лее 50–60 лет, согласно теории больших циклов Кондратьева [5]). Большое значение в исследовании экономических циклов имеют выводы М.Д. Конд- ратьева, которые подтверждены анализом исторических фактов, о том, что полупериоды возрастающих волн больших циклов, как правило, намного богаче большими социальными потрясениями и переворотами в жизни об- щества (революции, войны и т.д.), чем полупериоды спадающих волн. К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 79 В настоящее время перед мировой экономической наукой возник вопрос о том, может ли макросистема благополучно развиваться, не находясь по- стоянно при этом в состоянии равновесия, насколько опасно отклонение от равновесного состояния, будет ли оно увеличиваться в продолжение време- ни и насколько данная экономическая система подвержена факторам, уси- ливающим это отклонение? Иначе, насколько экономическая система ус- тойчива? На данный момент существуют различные определения устойчивого развития экономической системы. В частности, под устойчивым развитием экономической системы понимается непрерывный процесс создания опти- мального прибыльного взаимодействия между всеми её элементами с про- явлением дочерних связей между ними, которые позволят максимально дол- го поддерживать жизненно важные параметры деятельности системы на развивающемся равновесном уровне, необходимом для достижения её це- лей, эффективно и своевременно противодействуя возмущающему воздей- ствию циклов внешней среды [8]. Несмотря на резкий рост в последние годы количества научных трудов в области устойчивого развития экономики, многие из них несут в основном описательный характер [8]. Вследствие этого, за исключением общих реко- мендаций, на данный момент существует недостаточно конкретных методик обеспечения устойчивости макросистемы и управления устойчивым разви- тием экономики государства. Задачей данной работы является формализация понятий равновесного состояния и устойчивого развития экономической системы, строгое ма- тематическое обоснование устойчивости/неустойчивости развития конкрет- ной экономики, разработка математической модели, описывающей динами- ку развития экономической системы с точки зрения устойчивости, а также апробация модели на основе использования реальных экономических данных. Уровень цен (P) Совокупный спрос (D) Реальный объем производства (Q) Равновесная цена (P*) Совокупное предложение (S) Рисунок. Схема модели макроэкономического равновесия AD-AS Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 80 ФОРМАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МАКРОСИСТЕМЫ Устойчивое развитие макросистемы предполагает либо невыход системы из состояния равновесия в течение времени (равновесная динамика), либо та- кое развитие, при котором система стремится к равновесному состоянию, но не находится в нём в каждый момент времени (неравновесная динамика). При исследовании устойчивости экономической системы возникает необхо- димость определения понятия экономического равновесия. В частности под экономическим равновесием понимается состояние экономической системы, при котором пропорции в народном хозяйстве обе- спечивают оптимальную согласованность цели экономического развития и доступных ресурсов, спроса и предложения, товарных и денежных пото- ков, накопления и потребления, сбережения и накопления и других элемен- тов и показателей системы, а, в конечном счете — отсутствие экономичес- ких кризисов [9]. Под макросистемой понимается экономическая система государства. При формализации понятия равновесного состояния макросистемы пола- гается, что равновесие макросистемы достигается при равенстве совокупно- го спроса и совокупного предложения (модель AD-AS [7]), а также при вы- полнении следующих трёх условий (модель IS-LM-BP [10]): • равенство валовых инвестиций и валового накопления ( ,SI = где I — валовые инвестиции, а S — валовое накопление); • равенство денежного спроса и денежного предложения ,( ML = где L — спрос на деньги, а M — денежная масса в макросистеме (денежное предложение); • равновесие платёжного баланса ( ,0=BP где BP — платёжный ба- ланс). В реальных условиях с приемлемой точностью определить спрос на де- нежную массу невозможно. В связи с тем, что при адаптации модели ис- пользуются реальные данные, аспект равновесия ,ML = намеренно опускает- ся по причине невозможности его применения для предлагаемой модели. С учетом вышеприведенного, равновесие макросистемы определяется одновременным выполнением следующих условий: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 0BP SI ASAD . (1) Пусть )},,,,(:{ BPSIASADωωω ==Ω — пространство состояний макросистемы. Пусть задано отображение ,: 3R→Ωϕ действующее по правилу: .)1(ln1ln)),,,,(( Yy BP SI ASAD BPSIASAD rrrr =+= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =ωϕ (2) К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 81 Тогда согласно определению (1) уравнение 0 rr =y (3) будет характеризовать состояние равновесия макросистемы. При этом есте- ственно считать, что вектор yr характеризует отклонение макросистемы от равновесного состояния. Зададим отображение Ω→⋅ R:)(ω , которое каждому моменту времени t ставит в соответствие состояние макросистемы в данный момент времени: ))(),(),(),(),(()( tBPtStItAStADt ωω = . (4) Тогда кривая Ttt ∈),(ω в пространстве Ω — траектория развития макро- системы, где T — исследуемый промежуток времени. При отображении TttYt ∈= ),())(( r ωϕ получаем кривую в простран- стве .3R Пусть кривая )(tY r — дифференцируемая в каждый момент времени ,Tt∈ а так же )(tY r является одним из решений линейной динамической системы дифференциальных уравнений )()()(' tftYAtY rrr += . (5) При этом, { })(inf)( 1 tftf Cf rr ∈= , где C — класс непрерывных функций, ,)()()()( 2 3 2 2 2 11 tftftftf ++= r \|})({\|max)( txtx t= . Согласно определению устойчивости по Ляпунову [11], решение )(tY r системы дифференциальных уравнений (5) устойчиво, если для любых Tt ∈0 и 0>ε существует 0>δ , зависящее только от ε и 0t и не завися- щее от t , такое, что для всякого 0Y r , для которого δ<0Y r , решение Y r сис- темы с начальными условиями 00 )( YtY rr = продолжается на всю полуось 0tt > и удовлетворяет неравенству .)( ε<tY r Линейная система (5) называется устойчивой (вполне неустойчивой), если все её решения устойчивы (соответственно — неустойчивы) по Ляпу- нову [11]: )()( tYAtY rr =′ . (6) Устойчивость линейной системы (5) эквивалентна устойчивости соот- ветствующей однородной системы (6). Однородная система (6) устойчива тогда и только тогда, когда устойчивым является её нулевое решение [11]. Линейная однородная система )()( tYAtY rr =′ Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 82 с постоянной матрицей 3 1,}{ == jiijaA устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения → = 3,1, jjλ матрицы A обладают неположитель- ными вещественными частями, т.е. ,3,1,0Re → =≤ jjλ причём собственные значения jλ , имеющие нулевые вещественные части, характеризуются тем свойством, что соответствующие им клетки Жордана сводятся к одному элементу (т.е. допускают лишь простые делители, что равносильно выполне- нию равенства jj kIAn =−− )(rang λ , где jk — кратность корня jλ ) [11]. Поскольку решение динамической системы )(tY r описывает траекто- рию развития макросистемы, то факт )()( eq tYtY rr → , где )(eq tY r — равновес- ное состояние системы (5) (выполняется при условии устойчивости систе- мы) будет означать, что данная макросистема стремится к некоторому устойчивому равновесному состоянию, характеризующемся кривой ,)(eq tY r и чем меньше норма )(eq tY r (и, соответственно 1 )(tf r ), тем ближе это сос- тояние к равновесному. Каждой макросистеме ставится в соответствие некоторая линейная ди- намическая система (5), исследование которой позволяет делать вывод об устойчивости/неустойчивости макросистемы. Корректность данных дейст- вий обусловлена тем, что для любой макросистемы существует динамиче- ская система дифференциальных уравнений (5), что будет подтверждено далее путем конструктивного построения указанной системы дифферен- циальных уравнений. РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МАКРОСИСТЕМЫ На практике исследовать в целом макросистему в непрерывном времени не представляется возможным. Поскольку большое количество макроэкономиче- ских показателей (ВВП, государственные расходы, валовые инвестиции и др.) измеряется поквартально, то целесообразно выбрать период квантования показателей — 3 месяца. Приведем систему (5) к разрешающему виду, привлекая конечно- разностное представление. В соответствии с этим производная в (5) за- меняется конечно-разностным отношением. При этом требование о диффе- ренцируемости траектории )(tY r снимается. Вводится функциональная зависимость ,)(XFy rr = описывающая влия- ние макроэкономических факторов на поведение траектории yr (3). Здесь },1,{ → == niXX i rr — вектор факторов, влияющих на развитие экономики, со следующими компонентами: },1,{ ikiki niXX == rr , },1,{ ikkikik niXX jj == rr . В таблице показана структура вектора X r макроэкономических показателей. К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 83 Т а б л и ц а 1X r — внешний сектор 11X r — государственный долг 111X — сектор государственного управления 112X — органы денежно-кредитного регулирования 113X — банки 114X — другие секторы 12X r — динамика международной инвестиционной позиции 121X — сальдо прямых инвестиций 122X — сальдо портфельных инвестиций 123X — другие инвестиции (сальдо) 124X — резервные международные активы 2X r — реальный сектор 21X — государственный бюджет 22X — инвестиции в основной капитал 23X r — доходы и затраты населения 231X — доходы 232X — затраты 24X — промышленное производство 25X r — рынок труда 251X — безработица 26X — население 27X r — цены и тарифы 271X — индекс потребительских цен 272X — индекс цен производителей промышленной продукции 28X — розничный товарооборот 3X r — финансовый сектор 31X r — денежно-кредитная политика 311X — чистые активы центрального банка 312X — другие депозитные корпорации 313X — валовые депозиты (кроме центрального банка) 314X — валовые кредиты (кроме центрального банка) 32X r — финансовые рынки 321X — ставка по кредитам (коммерческие банки) 322X — ставка по депозитам (коммерческие банки) 323X — курс национальной валюты Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 84 Для нахождения функции )(XF r применяется метод восстановления функциональных зависимостей в мультипликативном виде по дискретной выборке [12]. В результате этого получим следующую иерархию моделей: )(XFy ii r = , (7) где }3,1,{ iyy =r , },3,1,{ == iFF i ,)](1[)(1 1 ∏ = +=+ i ik n ik kikiki XFXF αβ rr (8) ,)](1[)(1 1 ∏ = +=+ ik ikj n ikj ikikjikjkikik XFXF αββ rr (9) ,)](1[)(1 1 ∏ = +=+ ikj ikjp n ikjp ikjikjpikjpikikjikj XFXF αββ rr (10) .)](1[)(1 1 ∏ = +=+ P q ikjqqikj qXFXF θ α θθθθ θββ rr (11) Здесь ikjp=θ в качестве )(⋅qθϕ выбираются смещенные полиномы Чебы- шева, P — степень смещенных полиномов Чебышева. Функция F находится по следующей схеме моделей [12]: .FFFFF iikikjq →→→→→ θθϕ (12) Путём последовательного нахождения коэффициентов: }{},{},{},{ ikikikjikjikjpq αβαβαβα θθ →→→ (13) получаем: [ ] ,)(11 1 1 1 1 ik i ik ikj ikj ikjp q n ik n ikj n ikjp P q ikjqi Xy ααα θ α θ θϕ∏ ∏ ∏ ∏ = = = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +=+ (14) ,)](1[1 ,,, ∏ ⋅⋅⋅+=+ qikjik ikjqi qikjikXy θθ αααα θ θθϕ (15) ∑=+ s sisi zcy )1(ln , (16) где )](1[, ikjqisqikjpikjikis Xzc θθ ϕαααα +=⋅⋅⋅= , (17) PnNNs ikj ikj ⋅== ∑,,1 при ,3,1=k .,1,,1,,1 Pqnnikj iki ==== θθ Перепишем (16) в матричном виде: ,)1(ln CZy =+ r (18) К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 85 где ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = N N cc cc C 331 111 L MOM L , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Nz z Z M 1 . (19) Рассмотрим следующую функциональную зависимость: )(~1 1 1exp ~ )1( XFy y y rr r r =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − . (20) Для нового вектора y ~r повторим процедуру (7)–(18). Получим уравнение: ,~)1 ~ (ln ZCy =+ r (21) где ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = N N cc cc C 331 111 ~~ ~~ ~ L MOM L — матрица, полученная аналогично матрице .C Используя (20), получим: .))1(ln( 1 1 1 1)1 ~ (ln )1( ′+=′ + ≈ + =+ − yy y y y y rr r r r r (22) Определим матрицу +C следующим образом: ,}min\|\|:\|\|{ 3 →−∈ + × + ICCMC N где 33×∈MI — единичная матрица, ∑== ji ij n jiij aa ,1, \|\|}{ . Помножим обе части уравнения (18) на матрицу +CC~ : ,~~~)1(ln~ ZCZCCZCCyCC δ+==+ ++ r (23) где .ICC −= +δ Из (21)–(23) имеем: ZCyCCy δ~)1(ln~))1((ln −+≈′+ + rr , (24) )(~)1(ln~))1((ln toZCyCCy Δ+−+=′+ + δ rr . (25) В результате, система (25) — конструктивное построение динамиче- ской системы дифференциальных уравнений (5) для траектории yr . Таким образом, для проверки устойчивости траектории yr достаточно исследовать собственные числа квадратной матрицы .~ +CC Приведенная в данной работе математическая модель позволяет опре- делить состояние экономической макросистемы с точки зрения устойчиво- сти развития, меру отклонения системы от равновесного состояния, природу влияния факторов экономической системы на устойчивость её развития. Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 86 ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПОИСКА РАЦИОНАЛЬНОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ Запишем систему (25) в следующем виде: )()())(()( tftYtXAtY rrrr +=′ , где )1(ln)( += ytY rr , )()(~)( totZCtf Δ+−= δ r , .~))(( += CCtXA r Приведенная модель позволяет оценивать прогноз устойчиво- сти/неустойчивости развития экономической системы, при прогнозиро- вании макроэкономических факторов X r и показателей ,,,,, BPSIASAD что, в свою очередь, делает возможной задачу поиска рационального управления ,)}(),(),(),(),(),({ BPUSUIUASUADUXUU r = такого, что сис- тема )(1 )( )()( )()( ln))((1 )( )()( )()( ln tf BPU SUIU ASUADU XUA BPU SUIU ASUADU rrrr + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − будет устойчивой, а, следовательно, устойчивой будет и исходная экономи- ческая система. АДАПТАЦИЯ МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МАКРОСИСТЕМЫ К ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ УКРАИНЫ Для адаптации предлагаемой модели к экономической системе Украины используются поквартальные данные с 2005 по 2012 год для макроэко- номических показателей },1,{ niXX i == rr , },1,{ niXX kiki == rr , ,{ jikik XX rr = },1 ni jk = (таблица) (32 значения для каждого показателя). В качестве совокупного предложения используется валовый внутрен- ний продукт (ВВП). Совокупный спрос рассчитывается по формуле: XnIGCAD +++= , (26) где C — совокупное потребление; G — государственные расходы; I — совокупные инвестиции; Xn — чистый экспорт. Для программной реализации модели используется пакет прикладных программ MATLAB. Значения макроэкономических показателей (таблица), значения ВВП, совокупного потребления, государственных расходов, совокупных инвести- ций и чистого экспорта взяты с сайта национального банка Украины [13]. На первом шаге при применении метода восстановления функциональ- ных зависимостей [12] получаются следующие значения матрицы :C К построению модели равновесия экономической макросистемы Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 87 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − −− = MMM 0089,00083,00019,0 079,00077,00049,0 0006,00001,00012,0 0006,00011,0058471,8 e C , ,4161626)1(,3 =⋅=+=∈ × PNumberNMC N где Number — количество макроэкономических показателей в векторе ,X r а P — степень полиномов Чебышева. На следующем шаге вычисляется матрица :+C ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −− −−− =+ L L L 0268,00593,00054,00045,0 6121,04284,00195,00750,0 3516,04436,01386,00096,0 C , 4163× + ∈MC . Далее вычисляется матрица :~C ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −−− −− = MMM 0097,00019,00020,0 0105,00063,00041,0 0088,0042804,50014,0 0036,00018,0054885,9 ~ e e C . После чего находится квадратная матрица :~ +CC . 9298,00060,00366,0 2460,11350,11967,0 2443,10565,01230,1~ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =+CC Затем вычисляются собственные числа матрицы :~ +CC .00835,1Re,00521,1Re,00521,1Re 321 >=>=>= λλλ Поскольку полученные действительные части собственных чисел мат- рицы +CC~ положительные, то, как следует из [11], система уравнения (6) является неустойчивой. Из приведенного следует, что экономическая систе- ма Украины не является устойчивой. ВЫВОДЫ Приведена формализация математической модели равновесия экономиче- ской макросистемы, позволяющая определить ее состояние с точки зрения устойчивости развития, меру отклонения системы от равновесного состоя- ния, природу влияния факторов экономической системы на устойчивость её развития. Данная модель имеет непосредственное практическое примене- ние для исследования устойчивости развития экономической макросистемы. Для адаптации приведенной модели использовались макроэкономические данные для Украины. Результаты работы модели согласовываются с другими исследования- ми в области экономической устойчивости стран мира [14], что свиде- тельствует о достоверности получаемых результатов при практическом при- менения модели. Н.Д. Панкратова, А.В. Шелест ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 88 Построенную модель можно применять для исследования устойчи- вости экономических систем других стран, для сравнительного анализа ус- тойчивости стран между собой. Данная модель может быть использована для поиска рационального управляющего воздействия на экономику со стороны государственного ре- гулирования. ЛИТЕРАТУРА 1. Сайт Всемирного банка. — http://www.worldbank.org/eca/russian/topics /financialcrisis/. 2. Журавлева Г.П. Экономика. — М.: Юрист, 2002. — 574 с. 3. Попов А.И. Экономическая теория: учебник для вузов. 4-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — 544 с. 4. Кейнс Дж. М. Общая теория занятости, процента и денег. — М.: Гелиос– АРВ, 2002. — 352 с. 5. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения: Избр. тр. — М.: Экономика, 2002. — 767 с. 6. Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика. В 2 т. — М.: Республика, 1993. — 400 с. 7. Нижегородцев Р.М. Неравновесная динамика макросистем и механизмы преодо- ления мирового кризиса. — Новочеркасск: НОК, 2011. — 100 с. 8. Гордеев С.С. Устойчивость как свойство экономических систем // Известия ИГЭА. 2010. № 3. — http://cyberleninka.ru/article/n/ustoychivost-kak-svoystvo- ekonomicheskih-sistem. 9. Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. — К.: Видавничий центр «Академія», 2000. — 864 с. 10. Каталог статей и учебных пособий «JourClub». — http://www.jourclub.ru /17/941/. 11. Ногин В.Д. Теория устойчивости движения. — СПбГУ: ф-т ПМ-ПУ, 2008. — 153 c. 12. Панкратова Н.Д. Рациональный компромисс в системной задаче концепту- альной неопределенности // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 4. — С. 162–180. 13. Сайт Национального банка Украины. — http://www.bank.gov.ua/control/uk/index. 14. Рейтинг стран мира по уровню устойчивости общества — информация об ис- следовании // Центр гуманитарных технологий. — http://gtmarket.ru/ratings /sustainable-society-index/info. Поступила 15.03.2013

К построению модели равновесия экономической макросистемы

Репозитарії

Схожі ресурси