Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами
Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одновимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярними за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої похід...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85134 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами / І.С. Лазаренко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 4. — С. 52-58. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85134 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-851342015-07-20T03:02:32Z Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами Лазаренко, І.С. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одновимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярними за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої похідної, підпорядкованого крайовим умовам не утворює базис Ріса в L2(0,1) і не є повною. Для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами з дійсним параметром розглядається класична задача теорії оптимального керування системами з розподіленими параметрами — керування з мінімальною енергією в спеціальній нормі. В цій роботі вихідну двовимірну задачу з мінімальною енергією замінено двома одновимірними задачами, тобто дано квазіоптимальне наближення розв’язку в задачах із мінімальною енергією для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами у випадку розподіленого керування зі спеціальним критерієм якості. Застосовуючи метод відокремлення змінних, отримано розв’язок, який представлено у вигляді рядів по біортогональному базису Рісса, які збігаються до неперервних функцій. Проведено порівняльний аналіз оптимального та квазіоптимального керувань. Рассмотрено однопараметрическое семейство начально-краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями, содержащими вещественный параметр. Краевые условия данной задачи не являются усиленно регулярными ни при каком значении параметра. Система собственных функций оператора второй производной, подчиненного краевым условиям, не образует базис Рисса в L2(0,1) и не является полной. Для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями с вещественным параметром рассматривается классическая задача теории оптимального управления системами с распределенными параметрами — управление с минимальной энергией в специальной норме. В данной работе исходная двумерная задача с минимальной энергией заменена двумя одномерными задачами, т.е. дано квазиоптимальное приближение решения в задачах с минимальной энергией для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями в случае распределенного управления и специальным критерием качества. Применяя метод разделения переменных, получено решение, которое представлено в виде рядов по биортогональному базису Рисса, которые сходятся к непрерывным функциям. Проведен сравнительный анализ оптимального и квазиоптимального управления. One-parameter family of initial boundary-value problem for an one-dimensional heat equation with nonlocal boundary value conditions containing a real parameter was considered. Boundary conditions of this task are not strongly regular for any value of the parameter. The system of eigenfunctions of the operator of the second derivative, subjected to the boundary conditions, does not form the basis of Riesz in L2(0,1) and is not complete. Classic problem of optimal control theory with distributed parameters is considered for parabolic equation with nonlocal boundary value conditions – the control minimum energy in the special norm. In this article the initial two-dimensional problem with minimum energy is replaced by two one-dimensional problems, i.e. the quasioptimal approximate solution of the minimum energy problem is given for parabolic equation with nonlocal boundary value conditions in the distributed control case and special quality criterion. Applying the separation of variables method the solution, which is presented in the form of series by bi-orthogonal Riesz basis, which converge to continuous functions, is obtained. A comparative analysis of optimal and quasi-optimal control is carried out. 2013 Article Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами / І.С. Лазаренко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 4. — С. 52-58. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85134 517.977 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| spellingShingle |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Лазаренко, І.С. Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одновимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярними за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої похідної, підпорядкованого крайовим умовам не утворює базис Ріса в L2(0,1) і не є повною. Для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами з дійсним параметром розглядається класична задача теорії оптимального керування системами з розподіленими параметрами — керування з мінімальною енергією в спеціальній нормі. В цій роботі вихідну двовимірну задачу з мінімальною енергією замінено двома одновимірними задачами, тобто дано квазіоптимальне наближення розв’язку в задачах із мінімальною енергією для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами у випадку розподіленого керування зі спеціальним критерієм якості. Застосовуючи метод відокремлення змінних, отримано розв’язок, який представлено у вигляді рядів по біортогональному базису Рісса, які збігаються до неперервних функцій. Проведено порівняльний аналіз оптимального та квазіоптимального керувань. |
| format |
Article |
| author |
Лазаренко, І.С. |
| author_facet |
Лазаренко, І.С. |
| author_sort |
Лазаренко, І.С. |
| title |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| title_short |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| title_full |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| title_fullStr |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| title_full_unstemmed |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| title_sort |
квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85134 |
| citation_txt |
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами / І.С. Лазаренко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 4. — С. 52-58. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT lazarenkoís kvazíoptimalʹnekeruvannâvzadačahízmínímalʹnoûenergíêûdlâparabolíčnihrívnânʹíznelokalʹnimikrajovimiumovami |
| first_indexed |
2025-07-06T12:17:37Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:17:37Z |
| _version_ |
1836899901779214336 |
| fulltext |
© І.С. Лазаренко, 2013
52 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4
УДК 517.977
КВАЗІОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ В ЗАДАЧАХ
ІЗ МІНІМАЛЬНОЮ ЕНЕРГІЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ
РІВНЯНЬ ІЗ НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
І.С. ЛАЗАРЕНКО
Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одно-
вимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які
містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярни-
ми за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої
похідної, підпорядкованого крайовим умовам не утворює базис Ріса в )1,0(2L
і не є повною. Для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умова-
ми з дійсним параметром розглядається класична задача теорії оптимального
керування системами з розподіленими параметрами — керування з мінімаль-
ною енергією в спеціальній нормі. В цій роботі вихідну двовимірну задачу
з мінімальною енергією замінено двома одновимірними задачами, тобто дано
квазіоптимальне наближення розв’язку в задачах із мінімальною енергією для
параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами у випадку розпо-
діленого керування зі спеціальним критерієм якості. Застосовуючи метод відо-
кремлення змінних, отримано розв’язок, який представлено у вигляді рядів по
біортогональному базису Рісса, які збігаються до неперервних функцій. Про-
ведено порівняльний аналіз оптимального та квазіоптимального керувань.
ВСТУП
Для розподіленого керування розглянуто задачу з мінімальною енергією
в спеціальній нормі. В роботі [1] використання методу відокремлення змін-
них до цієї задачі дозволило: редукувати вихідну задачу до однієї одновимір-
ної та послідовності двовимірних задач із мінімальною енергією; отримати
аналітичні розв’язки вказаних скінченовимірних задач; знайти умови на ви-
хідні дані, які гарантують гладкість керування і класичну розв’язність керо-
ваної задачі. В цій роботі двовимірну задачу з мінімальною енергією замі-
нено двома одновимірними задачами з мінімальною енергією, що дає змогу
спростити обрахунки і знайти наближений розв’язок вихідної задачі.
Представимо основний результат [1].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
У роботі [2] розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових
задач для одновимірного рівняння теплопровідності.
Нехай керований процес описується функцією ),,( txy яка задовольняє
крайовій задачі
,),(),,(
02
2
T
tQtxtxu
x
y
t
y
∈+
∂
∂
=
∂
∂ (1)
,10),(),( 0 ≤≤= xxtxy ϕ (2)
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 53
.0),,1(),1(),0(,0),0( >+
∂
∂
=
∂
∂
= tty
x
ty
x
tyty α (3)
При 0=α задача (1)–(3) відома, як задача Самарского–Іонкіна. Остан-
ній у своїх роботах, використовуючи метод відокремлення змінних, довів
теорему єдиності розв’язку, представивши його у вигляді функціонального
ряду і тим самим отримав достатні умови існування класичного розв’язку.
Основна складність застосування методу відокремлення змінних поляга-
ла в тому, що система власних функцій оператора другої похідної, підпо-
рядкованого крайовим умовам, не утворює базис Рісса в )1,0(2L й навіть не
є повною. Для отримання необхідних результатів система власних функцій
поповнювалась приєднаними функціями.
В роботі [2] результати вказані вище розповсюджено на задачі (1)–(3).
Для оператора другої похідної )( uLu ′′−= з крайовими умовами (3) задача
на власні числа в роботі [2] має дві серії розв’язків:
,,2,1),2(sin)(,)2( )1(2)1( K=== kxkxuk kk ππλ
,,2,1),2(sin)(,)2( )2(2)2( K=== kxxu kkkk γγλ
де kγ — розв’язки рівняння
λγ
γ
αγ 5,0,5,0 ==tg .
При 0>α рівняння додатково має корінь 0γ . Йому відповідають влас-
не значення 2
00 )2( γλ = та власна функція ).2sin()( 00 xxu γ=
При 0>α від’ємних власних чисел не існує, а при 0<α існує єдине
власне число ,0)2( 2
00 <−= γλ де 0γ — корінь рівняння .5,0)(th
γ
αγ −=
Цьому власному значенню відповідає єдина з точністю до ненульового
множника власна функція ).2(sh)( 00 xxu γ=
Елементи допоміжної системи функцій },1,0),({ K== jxwW jα мають
вигляд:
),2(cos)csin()2))(()(()( 1)1()2(
12 xxkxxxuxuxw kkkkkk δπδδ +=−= −
−
,
2
)()(,,2,1),2(sin)()(
0
0
0
)1(
2 γ
π xuxwkxkxuxw kk ==== K
,kkk πγδ −= .sin csin
γ
γγ =
Таким чином, під час виконання умов (1)–(3) необхідно знайти керу-
вання ),(),(* QCtxu ∈ яке переводить вихідну систему в стан
)(),( xTxy ψ= (4)
і мінімізує функціонал
І.С. Лазаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 54
.)(
0
2
∫=
T
t
D dtuuI (5)
Відмітимо, що в задачах з мінімальною енергією у випадку локальних
крайових умов у якості критерію вибирається функціонал
,),()( 2
1 ∫=
Q
dtdxtxuuI
який асоціюється з повною енергією системи. Ці критерії еквівалентні у ро-
зумінні
.),(
0
22 ∑
∞
=
==
k
kD D φφφφ
Надалі будемо розглядати задачу з критерієм (5).
Справедлива наступна теорема.
Теорема. Нехай у задачі з мінімальною енергією (1)–(5) функції ),(xϕ
)(xψ належать області визначення оператора L та .0≠α
Крім того, припустимо, що )1,0()( 4Cx ∈ψ та ),1,0()( 3Cx ∈ϕ тоді
,0)0()1(,0)0()1(
3
3
3
3
2
2
2
2
=−==
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d ψψψψ (6)
,0)0()1(
2
2
2
2
=+
dx
d
dx
d ϕϕ (7)
а числа 0t та T обираються з умови
,
},{min
4)))}(,{min2(exp1( 2
)2(
1
)1(
1
2
0
)2(
1
)1(
1 ε
λλ
λλ ≥−−−− tT (8)
де 0>ε — достатньо мале число.
Тоді задача з мінімальною енергією має єдиний неперервний на Q
розв’язок і цей розв’язок можна представити у вигляді:
),()(),(
0
** xtutxu k
k
k ω∑
∞
=
= (9)
де
,
))(2(exp1
))((exp2
)(
00
000*
0 tT
tT
tu
−−−
−−
=
λ
λμλ (10)
),())((exp)( 2,
)2(
1,
*
12 tTtTtu kkkkk −−−−=− θβλβ (11)
,1)),(exp()( )1(
2,
*
2 ≥−−= ktTtu kkk λβ (12)
а числа ik,β єдиним чином визначаються із системи
,],[],[ 12
)2()1(
2,
)1()1(
1, −=+ kkkkkkk hhhh μββ
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 55
.],[],[ 2
)2()2(
2,
)2()1(
1, kkkkkkk hhhh μββ =+ (13)
У (10)–(13) позначено
)),(exp( 00000 tT −−−= λϕψμ (14)
)),((exp 0
)2(
121212 tTkkkk −−−= −−− λϕψμ (15)
,))((exp)( 0
)1(
212022 tTtT kkkkkk −−−−−= − λϕϕθψμ (16)
kk 22 , ψϕ — коефіцієнти розкладу функцій )(),( xx ψϕ у ряди по системі αW
,
2
)(exp)(exp
)(
)2()1(
k
kk
k
tt
t
δ
λλ
θ
−−−
= (17)
),0),(((exp))(( )2()1( tTth kk −−=′ λ
))),((exp),(())(( )1()2( tTtTth kkk −−−−=′ λθ (18)
.][., — скалярний добуток у гільбертовому просторі ×= ),(),( 020
2
2 TtLTtL
).,( 02 TtL×
Значення критерію дано збіжним рядом
,),()()(
1
*
2
*
12
*
00
* ∑
∞
=
−+=
k
kkk uuIuIuI (19)
де
,
))(2(exp1
2)(
00
2
00*
00 tT
uI
−−−
=
λ
μλ
(20)
∫ += −−
T
t
kkkkk dttutuuuI
0
.)))(())(((),( 2*
2
2*
12
*
2
*
12 (21)
Оптимальна траєкторія, що задається рядом
∑
∞
=
=
0
** ),()(),(
k
kk xwtytxy (22)
де функції )(* tyk визначаються як розв’язки задачі Коші
;)(),()()( 120
*
12
*
12
*
12
)2(*
12 −−−−− ==+ kkkkkk tytutyty ϕλ& (23)
,)()(
2
)()( *
2
*
12
)2()1(
*
2
)1(*
2 tutytyty kk
k
kk
kkk +
−
=+ −δ
λλ
λ& ,...;2,1,)( 20
*
2 == kty kk ϕ (24)
;)(),()()( 00
*
0
*
0
*
00
*
0 ϕλ ==+ tytutyty& (25)
є класичним розв’язком крайової задачі (1)–(3).
Ця задача редукується до послідовності скінченовимірних задач. При
0=k будемо мати таку задачу: мінімізувати функціонал
І.С. Лазаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 56
∫=
T
t
dttuuI
0
)()( 2
000 (26)
за обмеження
.)())((exp 000
0
μλ =−−∫
T
t
dttutT (27)
При 0>k слід мінімізувати функціонал
∫ += −−
T
t
kkkkk dttutuuuI
0
))()((),( 2
2
2
12212 (28)
за обмеження
,)())((exp 1212
)2(
0
−− =−−∫ k
T
t
kk dttutT μλ
.)]())((exp)()([ 22
)1(
12
0
k
T
t
kkkk dttutTtutT μλθ =−−+−−∫ − (29)
Задачі (26)–(29) представляють собою скінченновимірні задачі з мінімаль-
ною енергією.
Повне доведення теореми представлено в роботі [1].
ПОБУДОВА КВАЗІОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Редуковану двовимірну задачу (28)–(29) можемо наближено замінити двома
одновимірними задачами виду:
1) мінімізувати функціонал
∫ −−− =
T
t
kkk dttuuI
0
)(ˆ)ˆ(ˆ 2
121212 (30)
за обмеження
,ˆ)(ˆ))((exp 1212
)2(
0
−− =−−∫ k
T
t
kk dttutT μλ (31)
2) мінімізувати функціонал
∫=
T
t
kkk dttuuI
0
)(ˆ)ˆ(ˆ 2
222 (32)
за обмеження
,ˆ)(ˆ))((exp 22
)1(
0
k
T
t
kk dttutT μλ =−−∫ (33)
де ,ˆ 1212 −− = kk μμ
.)(ˆ)(ˆ 1222
0
dttutT k
T
t
kkk −∫ −+= θμμ
Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 57
Розв’язок задачі (30)–(31) має вигляд:
,
))(2(exp1
))((expˆ2
)(ˆ
0
)2(
)2(
12
)2(
12
tT
tT
tu
k
kkk
k
−−−
−−
= −
−
λ
λμλ
(34)
,
))(2(exp1
ˆ
2)ˆ(
0
)2(
2
12
)2(
1212
tT
uI
k
kk
kk
−−−
= −
−−
λ
μλ
(35)
а розв’язок задачі (32) – (33) задається формулами
,
))(2(exp1
))((expˆ2
)(ˆ
0
)1(
)1(
2
)1(
2
tT
tT
tu
k
kkk
k
−−−
−−
=
λ
λμλ
(36)
,
))(2(exp1
ˆ
2)ˆ(
0
)1(
2
12
)1(
22
tT
uI
k
kk
kk
−−−
= −
λ
μλ
(37)
.)ˆ()ˆ()ˆ( 221212 kkkkkk uIuIuI += −−
Тим самим формули (34)–(35) та (36)–(37), з одного боку, представ-
ляють собою розв’язки задач одновимірної оптимальної стабілізації 1) – 2),
а з іншого боку, ці розв’язки формують квазіоптимальну стабілізацію дво-
вимірної задачі.
Тепер слід оцінити помилку за функціоналом такої заміни:
.)()ˆ( ∗−=Δ uIuII kkk
Отримати теоретично таку оцінку для задачі, що розглядається, дуже
важко. Тому обмежимося числовим експериментом.
Зафіксуємо число N та обчислимо величину неузгодженості
.
2
1
∑
=
Δ=Δ
N
k
k
N II
Для 1,0,4,0 0 === Ttα візьмемо функцію ,32 23 xxx −+−=ϕ яка
підпорядковується крайовій умові (3), умові теореми (7) та функцію кінцевого
стану ,
102
3
5
3 345 xxxx −+−=ψ яка підпорядковується крайовій умові (3),
та умові теореми (6).
Розрахунки показали, що для всіх ,N починаючи з :1=N
-21071,71428569)ˆ( ×=kk uI ,
,10411,67287704)( -2×=∗uI
а .1014086531,4 -4×=Δ IN
І.С. Лазаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 58
ВИСНОВКИ
Для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами розглянуто
класичну задачу теорії оптимального керування з розподіленими парамет-
рами — керування з мінімальною енергією в спеціальній нормі, еквівалент-
ній 2L -нормі. Використання методу відокремлення змінних дозволило ре-
дукувати вихідну задачу до однієї одновимірної та послідовності
двовимірних задач з мінімальною енергією та отримати її аналітичний
розв’язок у вигляді рівномірно збіжного ряду. Для спрощення обчислень
редуковану двовимірну задачу заміняємо на дві одновимірні і досліджуємо
квазіоптимальні наближення даної задачі з мінімальною енергією. Оскільки
теоретично оцінити помилку такої заміни поки що не вдається, обмежуємося
в даному дослідженні числовим експериментом.
Таким чином, при фіксованих початкових даних, наведений приклад
ілюструє, що вихідна крайова задача, для якої виконуються умови наведеної
теореми, може бути замінена на сукупність більш простих в обрахунках за-
дач, які дають достатньо точний результат. А використання квазіоптималь-
ного керування в такому випадку дає розв’язок, який є наближенням для
розв’язку вихідної задачі з мінімальною енергією.
ЛІТЕРАТУРА
1. Капустян В.Е., Лазаренко И.С. Задачи с минимальной энергией для параболи-
ческих уравнений с нелокальными краевыми условиями // Вісник
Дніпропетровського університету. Серія: моделювання, вип. 1. — 2009. —
17. — № 8. — C. 47–60
2. Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теп-
лопроводности // Дифференциальные уравнения. — 2009. — 45. — № 1. —
C. 123–137.
Надійшла 23.08.2012
|