Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини
Дослiджуються коливання iзотропних пружних цилiндрiв в околi частоти запирання другої нормальної моди цилiндричного хвилеводу. Застосовується метод суперпозицiї, який використовує можливiсть побудови частинних розв’язкiв рiвнянь руху в цилiндричних координатах для задоволення граничних умов на боков...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8514 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини / М.С. Якименко, В.В. Мелешко, А.Ф. Улiтко, В.Т. Грiнченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 83-86. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8514 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-85142010-06-08T12:01:21Z Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини Якименко, М.С. Мелешко, В.В. Улітко, А.Ф. Грінченко, В.Т. Механіка Дослiджуються коливання iзотропних пружних цилiндрiв в околi частоти запирання другої нормальної моди цилiндричного хвилеводу. Застосовується метод суперпозицiї, який використовує можливiсть побудови частинних розв’язкiв рiвнянь руху в цилiндричних координатах для задоволення граничних умов на боковiй поверхнi та на торцях цилiндра. Аналiзується вплив коефiцiєнта Пуассона на кривизну вiток поблизу частоти запирання та зв’язок iз появою “терасоподiбних” структур на частотних спектрах. Наводяться приклади форм перемiщень на границi. Vibrations of isotropic elastic cylinders near the second cut-off frequency of a cylindrical waveguide are studied. The method of superposition that uses the possibility of constructing the partial solutions of the equations of motion in cylindrical coordinates to satisfy the boundary conditions both at the ends and on the lateral surface of a cylinder is used. Dependence on Poisson’s ratio for the curvature of branches near the cut-off frequency is analyzed in connection with the appearance of the “terrace”-like structures in frequency spectra. Examples of eigenmodes are given. 2009 Article Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини / М.С. Якименко, В.В. Мелешко, А.Ф. Улiтко, В.Т. Грiнченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 83-86. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8514 539.3 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Якименко, М.С. Мелешко, В.В. Улітко, А.Ф. Грінченко, В.Т. Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| description |
Дослiджуються коливання iзотропних пружних цилiндрiв в околi частоти запирання другої нормальної моди цилiндричного хвилеводу. Застосовується метод суперпозицiї, який використовує можливiсть побудови частинних розв’язкiв рiвнянь руху в цилiндричних координатах для задоволення граничних умов на боковiй поверхнi та на торцях цилiндра. Аналiзується вплив коефiцiєнта Пуассона на кривизну вiток поблизу частоти запирання та зв’язок iз появою “терасоподiбних” структур на частотних спектрах. Наводяться приклади форм перемiщень на границi. |
| format |
Article |
| author |
Якименко, М.С. Мелешко, В.В. Улітко, А.Ф. Грінченко, В.Т. |
| author_facet |
Якименко, М.С. Мелешко, В.В. Улітко, А.Ф. Грінченко, В.Т. |
| author_sort |
Якименко, М.С. |
| title |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| title_short |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| title_full |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| title_fullStr |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| title_full_unstemmed |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| title_sort |
високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8514 |
| citation_txt |
Високочастотні коливання циліндрів скінченної довжини / М.С. Якименко, В.В. Мелешко, А.Ф. Улiтко, В.Т. Грiнченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 83-86. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT âkimenkoms visokočastotníkolivannâcilíndrívskínčennoídovžini AT meleškovv visokočastotníkolivannâcilíndrívskínčennoídovžini AT ulítkoaf visokočastotníkolivannâcilíndrívskínčennoídovžini AT grínčenkovt visokočastotníkolivannâcilíndrívskínčennoídovžini |
| first_indexed |
2025-07-02T11:13:48Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:13:48Z |
| _version_ |
1836533498022723584 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
М. С. Якименко, В.В. Мелешко, член-кореспондент НАН України
А.Ф. Улiтко, академiк НАН України В.Т. Грiнченко
Високочастотнi коливання цилiндрiв скiнченної
довжини
Дослiджуються коливання iзотропних пружних цилiндрiв в околi частоти запирання
другої нормальної моди цилiндричного хвилеводу. Застосовується метод суперпозицiї,
який використовує можливiсть побудови частинних розв’язкiв рiвнянь руху в цилiн-
дричних координатах для задоволення граничних умов на боковiй поверхнi та на торцях
цилiндра. Аналiзується вплив коефiцiєнта Пуассона на кривизну вiток поблизу часто-
ти запирання та зв’язок iз появою “терасоподiбних” структур на частотних спектрах.
Наводяться приклади форм перемiщень на границi.
Дослiдження особливостей спектра власних частот та форм коливань цилiндрiв скiнчен-
ної довжини становлять актуальну наукову та прикладну задачу. Якщо в областi низьких
частот моди коливань скiнченного цилiндра та тонкого диска давно i детально вивченi,
то високочастотний спектр коливань i сьогоднi викликає значний iнтерес. В роботi [1] до-
сконально дослiдженi частотнi спектри пружних дискiв в районi частот першого товщин-
ного резонансу (або в дiапазонi мiж частотами запирання другої та третьої нормальних
мод нескiнченного шару, що поширюються). Досить цiкавим є розгляд особливостей часто-
тних спектрiв зв’язаних задач для довгих цилiндрiв в областi частоти першого радiального
або зсувного резонансу нескiнченного цилiндра, що задаються рiвнянням Похгаммера–Крi.
В цьому напрямi можна видiлити лише статтi [1, 2], в яких, зокрема, були детально вивче-
нi властивостi крайової моди цилiндра та пояснена природа “дублетiв” та “триплетiв”, якi
експериментально спостерiгались в частотних спектрах.
В данiй роботi дослiджується явище ущiльнення високочастотного спектра власних ча-
стот iзотропного пружного цилiндра (iз модулем зсуву G та коефiцiєнтом Пуассона ν) ви-
сотою 2H та дiаметром 2a на графiках залежностi безрозмiрних власних частот Ω = ωa/c2
(c2 — швидкiсть зсувних хвиль в пружному середовищi) вiд вiдношення розмiрiв h = H/a
при декiлькох типових значеннях коефiцiєнта Пуассона ν. Це явище проявляється у вини-
кненнi “терасоподiбних” спектрiв поблизу частоти запирання другої моди, що поширюється.
Нижче це явище розглянуто лише для поздовжнiх типiв (симетричних вiдносно середин-
ної площини z = 0) власних коливань цилiндра. Однак аналогiчний терасоподiбний спектр
з тими самими граничними значеннями частот спостерiгається i для згинних (антисиме-
тричних вiдносно серединної площини) коливань.
Аналiтичний розв’язок граничної задачi будується методом суперпозицiї [2–5]. Точний
розв’язок рiвнянь руху Ламе для компонент вектора перемiщень вибирається у виглядi
суми двох рядiв по повних системах тригонометричних функцiй та функцiй Бесселя по по-
здовжнiй та радiальнiй координатах вiдповiдно. Довiльнi коефiцiєнти в цих рядах визнача-
ються при виконаннi всiх граничних умов, що через неортогональнiсть функцiй призводить
до нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Нескiнченна система розв’язується
методом покращеної редукцiї, використовуючи асимптотичний закон поведiнки невiдомих.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 83
Рис. 1. Дисперсiйний спектр осесиметричних нормальних хвиль в цилiндрi. Першi три дiйснi вiтки: a —
ν = 0,00; б — ν = 0,34; в — ν = 0,45
Рiвнiсть нулю редукованого визначника системи дає рiвняння для визначення безрозмiр-
них частот Ω для фiксованого значення h. Такий пiдхiд є досить простим при чисельнiй
реалiзацiї i потребує малих затрат часу на обчислення.
Високочастотною областю спектра власних частот скiнченного цилiндра ми будемо на-
зивати область частот, яка знаходиться мiж критичною частотою i частотою запирання
другої i третьої осесиметричних нормальних мод, що поширюються, у вiдповiдному не-
скiнченному цилiндрi iз вiльною поверхнею. Таке розповсюдження на заданiй частотi Ω
описується значеннями постiйної розповсюдження ξ — коренями рiвняння Похгаммера–Крi
(Ω2
− 2ξ2)2J0(α)J1(β) + 4ξ2αβJ0(β)J1(α) − 2Ω2αJ1(α)J1(β) = 0
iз введеними позначеннями
α2 =
Ω2
k2
− ξ2, β2 = Ω2
− ξ2, k =
√
2
1 − ν
1 − 2ν
.
Дисперсiйнi кривi для спектра поздовжнiх осесиметричних мод нескiнченного цилiндра
наведено на рис. 1 для трьох типових значень коефiцiєнта Пуассона ν. На рисунку ΩLS та ΩR
позначають, вiдповiдно, частоти запирання поздовжньо-зсувних та радiальних нормальних
мод; Ω∗ — так звана критична (мiнiмальна) частота, вище якої друга та третя нормальнi
моди переходять вiд нерозповсюджуваних хвиль з комплексними значеннями хвильового
числа до хвиль, що поширюються.
Аналiтичнi вирази для кривизни другої дiйсної вiтки на частотах запирання ξ = 0, якi
визначають наявнiсть чи вiдсутнiсть частоти Ω∗ в дисперсiйному спектрi, знаходяться згiд-
но зi спiввiдношеннями, вперше встановленими в [6]:
1) для поздовжньо-зсувної частоти запирання ΩLS — кореня рiвняння J1(Ω) = 0:
lim
ξ→0
d2Ω
dξ2
=
λ2
1
Ω
[
1 −
8J1(Ω/k)
kΩJ0(Ω/k) − 2J1(Ω/k)
]
;
2) для радiальної частоти запирання ΩR — кореня рiвняння ΩJ0(Ω/k)−2/kJ1(Ω/k) = 0:
lim
ξ→0
d2Ω
dξ2
=
λ1k
3
Ω
[
1 +
4((k2
− 4)J1(Ω) + 2ΩJ0(Ω))
(k2Ω2
− 4(k2
− 1))J1(Ω)
]
,
де λ1 — перший корiнь рiвняння J1(λ) = 0.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Рис. 2. Частотний спектр поздовжнiх коливань скiнченного цилiндра: a — ν = 0,00; б — ν = 0,34; в —
ν = 0,45
Рис. 3. Форми коливань для B-мод в точках 1, 2 (а) та 8, 10 (б )
Частота ΩLS не залежать вiд ν, в той час, як для частоти ΩR має мiсце складна за-
лежнiсть вiд коефiцiєнта Пуассона. При ν = νc = 0,283412 вiдбувається змiна типу руху на
другiй частотi запирання iз радiального (який залежить вiд ν) на поздовжньо-зсувний (на
частотi Ω = λ1). Незважаючи на змiну типу руху на другiй частотi запирання частотний
мiнiмум Ω∗ спостерiгається до значень ν < ν∗ = 0,416937.
На рис. 2, а наведено частотний спектр для ν = 0,00. В цьому випадку частково усуває-
ться зв’язок мiж рiзними типами руху, наслiдком чого є точки двократного та трикратного
перетину кривих. На цьому рисунку штриховою лiнiєю позначенi типи рухiв, що вiдповiда-
ють чисто поздовжнiм (гiперболи) та чисто радiальним (горизонтальна пряма) коливанням
цилiндра. Третє сiмейство, що позначене суцiльною лiнiєю, не може бути виведене iз еле-
ментарних розв’язкiв i пов’язане iз здатнiстю пружного твердого тiла опиратися зсуву.
На рис. 2, б наведено частотний спектр для коефiцiєнта Пуассона ν = 0,34. Точками
1–7 та 8–14 на спектрi позначенi першi двi вiтки, що вiдповiдають так званим B-модам, якi
характеризуються зростанням частоти iз збiльшенням довжини цилiндра.
Для характеризацiї форм коливань на рис. 3 наведено радiальнi перемiщення ur вздовж
бокової поверхнi цилiндра, побудованi в точках 1, 2 та 8, 10, якi вiдповiдають першiй та
другiй B-модам. Незважаючи на неiдентичнiсть форм (що викликається зв’язком з iншими
типами руху) чiтко вiдслiдковується збiльшення на одиницю кiлькостi вузлiв у розподiлi
перемiщень при збiльшеннi порядку вiтки.
При значеннi коефiцiєнта Пуассона ν > ν∗ = 0,416937 зникає мiнiмум на другiй диспер-
сiйнiй вiтцi. Вигляд частотного спектра в цьому випадку значно простiший (рис. 2, в).
Водночас стає неможливим видiлення типiв руху, подiбних B-модам, частоти яких збiль-
шуються iз зростанням лiнiйних розмiрiв цилiндра.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 85
Причина такої цiкавої перебудови структури високочастотного спектра власних частот
скiнченного цилiндра, коли при ν > ν∗ зникає “терасоподiбна” структура спектра, потребує
подальшого детального вивчення.
1. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Анализ мод колебаний круглого диска в окрестности толщинного
резонанса // Прикл. механика. – 1979. – 15, № 6. – С. 3–19.
2. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. Анализ частотного спектра и форм колебаний длинных цилин-
дров // Там же. – 1980. – 16, № 1. – С. 3–7.
3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Осесимметричные колебания упругого цилиндра конечной длины //
Акуст. журн. – 1978. – 24. – С. 861–866.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 284 с.
5. Ebenezer D.D., Ravichandran K., Padmanabhan C. Forced vibrations of solid elastic cylinders // J. Sound
Vibr. – 2005. – 282. – P. 991–1007.
6. Onoe M., McNiven H.D., Mindlin R.D. Dispersion of axially symmetric waves in elastic rods // J. Appl.
Mech. – 1962. – 29. – P. 729–734.
Надiйшло до редакцiї 26.12.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
M.S. Yakymenko, V. V. Meleshko, Corresponding Member of the NAS of Ukraine
A.F. Ulitko, Academician of the NAS of Ukraine V. T. Grinchenko
High-frequency vibrations of finite cylinders
Vibrations of isotropic elastic cylinders near the second cut-off frequency of a cylindrical waveguide
are studied. The method of superposition that uses the possibility of constructing the partial solutions
of the equations of motion in cylindrical coordinates to satisfy the boundary conditions both at
the ends and on the lateral surface of a cylinder is used. Dependence on Poisson’s ratio for the
curvature of branches near the cut-off frequency is analyzed in connection with the appearance of
the “terrace”-like structures in frequency spectra. Examples of eigenmodes are given.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
|