Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины
Исследуется квазирегулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений для прогиба тонкой прямоугольной пластины, сжимаемой двумя равномерными нормальными к границам усилиями в плоскости пластины. Численное сканирование достаточных условий существования ограниченного решения бесконечной...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85321 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85321 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-853212017-11-06T19:39:47Z Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины Папков, С.О. Чехов, В.Н. Механіка Исследуется квазирегулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений для прогиба тонкой прямоугольной пластины, сжимаемой двумя равномерными нормальными к границам усилиями в плоскости пластины. Численное сканирование достаточных условий существования ограниченного решения бесконечной системы позволяет локализовать область критических значений сжимающих усилий. Построена уточненная зависимость между критическими значениями сжимающих усилий в частном случае квадратной пластины. Дослiджується квазiрегулярна нескiнченна система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь щодо прогину тонкої прямокутної пластини, яка стискається двома рiвномiрними перпендикулярними до границь зусиллями в площинi пластини. Числове сканування достатнiх умов iснування обмеженого розв’язку нескiнченної системи дозволяє локалiзувати область критичних значень зусиль, що стискають пластину. Побудовано уточнену залежнiсть мiж критичними зусиллями в частинному випадку квадратної пластини. The quasiregular infinite system of linear algebraic equations for the bending of a thin rectangular plate compressed by two uniform forces in a plane of the plate is investigated. Numerical scanning of sufficient conditions for the existence of a bounded solution of the infinite system allows us to localize the area of critical forces. The refined dependence between the critical values of forces in the partial case of a square plate is constructed. 2012 Article Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85321 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Папков, С.О. Чехов, В.Н. Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины Доповіді НАН України |
| description |
Исследуется квазирегулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений
для прогиба тонкой прямоугольной пластины, сжимаемой двумя равномерными нормальными к границам усилиями в плоскости пластины. Численное сканирование достаточных условий существования ограниченного решения бесконечной системы позволяет
локализовать область критических значений сжимающих усилий. Построена уточненная зависимость между критическими значениями сжимающих усилий в частном случае квадратной пластины. |
| format |
Article |
| author |
Папков, С.О. Чехов, В.Н. |
| author_facet |
Папков, С.О. Чехов, В.Н. |
| author_sort |
Папков, С.О. |
| title |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| title_short |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| title_full |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| title_fullStr |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| title_full_unstemmed |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| title_sort |
исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85321 |
| citation_txt |
Исследование регулярности бесконечной системы алгебраических уравнений и определение критических нагрузок в задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластины / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT papkovso issledovanieregulârnostibeskonečnojsistemyalgebraičeskihuravnenijiopredeleniekritičeskihnagruzokvzadačeobustojčivostisžatojprâmougolʹnojplastiny AT čehovvn issledovanieregulârnostibeskonečnojsistemyalgebraičeskihuravnenijiopredeleniekritičeskihnagruzokvzadačeobustojčivostisžatojprâmougolʹnojplastiny |
| first_indexed |
2025-07-06T12:31:56Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:31:56Z |
| _version_ |
1836900801888387072 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2012
С.О. Папков, В.Н. Чехов
Исследование регулярности бесконечной системы
алгебраических уравнений и определение критических
нагрузок в задаче об устойчивости сжатой
прямоугольной пластины
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
Исследуется квазирегулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений
для прогиба тонкой прямоугольной пластины, сжимаемой двумя равномерными нор-
мальными к границам усилиями в плоскости пластины. Численное сканирование доста-
точных условий существования ограниченного решения бесконечной системы позволяет
локализовать область критических значений сжимающих усилий. Построена уточнен-
ная зависимость между критическими значениями сжимающих усилий в частном слу-
чае квадратной пластины.
Проблемы устойчивости тонкостенных элементов конструкций остаются актуальными. По-
становка задач, различные обобщения и обзоры представлены в работах [1–3].
Ниже предлагается новый подход к исследованию устойчивости на примере класси-
ческой задачи об устойчивости защемленной тонкой пластины (x, y) ∈ {[−a; a] × [−b; b]},
равномерно сжатой усилиями Nx и Ny в своей плоскости. Прогиб w(x, y) должен [3] удовле-
творять линеаризованному уравнению устойчивости (D — изгибная жесткость пластины):
D∆∆w +Nx
∂2w
∂x2
+Ny
∂2w
∂y2
= 0. (1)
На границе пластины Γ заданы условия жесткого защемления:
w|Γ = 0;
∂w
∂n
∣
∣
∣
∣
Γ
= 0. (2)
Точное решение дифференциального уравнения (1) получаем методом разделения перемен-
ных и с учетом симметрии представляем в виде ряда с неопределенными коэффициентами
An, Bn
w =
∞
∑
n=1
An ch p1,nb
(
chp1,ny
ch p1,nb
−
ch p2,ny
ch p2,nb
)
cosαnx+
+
∞
∑
n=1
Bn ch q1,na
(
ch q1,nx
ch q1,na
−
ch q2,nx
ch q2,na
)
cos βny. (3)
Здесь αn = (n− 1/2)π/a, βn = (n− 1/2)π/b; величины p1,n, p2,n, q1,n, q2,n являются корнями
характеристических уравнений (Q = Nx/D; P = Ny/D):
p1,n =
√
α2
n −
P
2
+
√
(Q− P )α2
n +
P 2
4
, q1,n =
√
β2n −
Q
2
+
√
(P −Q)β2n +
Q2
4
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 55
p2,n =
√
α2
n −
P
2
−
√
(Q− P )α2
n +
P 2
4
, q2,n =
√
β2n −
Q
2
−
√
(P −Q)β2n +
Q2
4
.
Подстановка решения (3) в краевые условия (2) приводит к бесконечной системе однород-
ных линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов An, Bn:
Xm∆x
m =
∞
∑
n=1
2αnYn
(α2
n + q21,m)(α2
n + q22,m)
,
Ym∆y
m =
∞
∑
n=1
2βnXn
(β2n + p21,m)(β2n + p22,m)
(m = 1, 2, . . .),
(4)
где Xn = Bn
(−1)n
a
(q21,n − q22,n) ch q1,na, Yn = An
(−1)n+1
b
(p21,n − p22,n) ch p1,nb;
∆x
m
a
=
q1,m th q1,ma− q2,m th q2,ma
βm(q21,m − q22,m)
;
∆y
m
b
=
p1,m th p1,mb− p2,m th p2,mb
αm(p21,m − p22,m)
.
Систему (4) можно записать в канонической форме
zm =
∞
∑
n=1
Mmn(P,Q)zn (m = 1, 2, . . .), (5)
обозначив z2m−1 = Xm, z2m = Ym.
Если в некоторой области параметров (P,Q) система (5) является вполне регулярной,
т. е. найдется такая константа θ ∈ (0, 1), что все ряды из абсолютных значений коэффи-
циентов (5) удовлетворяют неравенствам
Sm =
∞
∑
n=1
|Mmn(P,Q)| 6 θ < 1, (6)
то существует [4] единственное ограниченное решение системы (5), которое в силу однород-
ности системы является тривиальным zm ≡ 0. Очевидно, что в такой области параметров
не могут находиться значения критических сил.
Ряды в условиях регулярности (6) вычисляются при помощи дигамма-функции ψ(z):
S2m−1 =
a
(
ψ
(
1
2
+ i
aq1m
π
)
− ψ
(
1
2
+ i
aq2m
π
)
+ ψ
(
1
2
− i
aq1m
π
)
− ψ
(
1
2
− i
aq2m
π
))
|∆x
m|π(q21m − q22m)
,
S2m =
b
(
ψ
(
1
2
+ i
bp1m
π
)
− ψ
(
1
2
+ i
bp2m
π
)
+ ψ
(
1
2
− i
bp1m
π
)
− ψ
(
1
2
− i
bp2m
π
))
|∆y
m|π(p21m − p22m)
.
(7)
Переходя здесь к пределу, получаем для любых значений P и Q:
lim
m→∞
Sm =
2
π
.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Таким образом, система (5) удовлетворяет условиям (6), начиная с некоторого номера
m > NR, т. е. является квазирегулярной.
В работе [2] были предложены следующие условия существования ограниченного реше-
ния для квазирегулярной бесконечной системы.
Теорема 1. Бесконечная система zk =
∞
∑
n=1
aknzn + bk (k = 1, 2, . . .) имеет ограниченное
решение, если ее коэффициенты и свободные члены при заданном значении N удовлетво-
ряют условиям:
a) det[δkn − akn]
N
k,n=1 6= 0,
б) max
j=1..N
N
∑
i=1
|cji|
∞
∑
n=N+1
|ain| < 1 + inf
k>N
ρk
N
∑
n=1
|akn|
,
в) |bk| 6 BN
N
∑
n=1
|akn| (k = N + 1, N + 2, . . .),
где {cji}
N
j,i=1 — матрица, обратная к матрице {δkn − akn}
N
k,n=1; δkn — символы Кронекера;
ρk = 1 −
∞
∑
n=1
|akn|.
Применение теоремы 1 к системе (5) сводится к проверке условия
max
j=1,...,N
N
∑
i=1
|cji|
(
1− ρi −
N
∑
n=1
|Min|
)
< 1 + inf
m>N
ρm
N
∑
n=1
|Mmn|
, (8)
достаточного для регулярности бесконечной системы
zm =
∞
∑
n=N+1
(
Mmn +
N
∑
i,j=1
MmicijMjn
)
zn (m = N + 1, N + 2, . . .), (9)
получающейся после исключения из системы (5) первых N неизвестных.
В силу оценки
SN
m =
∞
∑
n=N+1
∣
∣
∣
∣
∣
Mmn +
N
∑
i,j=1
MmicijMjn
∣
∣
∣
∣
∣
6
∞
∑
n=N+1
|Mmn|+
N
∑
i=1
|Mmi|µi
(
µi =
N
∑
j=1
|cij |
(
1− ρj −
N
∑
n=1
|Mjn|
))
и асимптотического поведения элементов бесконечной матрицы lim
m→∞
Mmi = 0, следует, что
при m → ∞ ряды в условиях регулярности для систем (5) и (9) эквиваленты, т. е.
lim
m→∞
SN
m =
2
π
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 57
Рис. 1. Локализация области критических нагрузок
Следовательно, бесконечная система (9) является [4] вполне регулярной. Таким образом,
выполнение критерия (8) в некоторой области параметров (P,Q) гарантирует отсутствие
критических нагрузок в этой области.
Реализация условия (8) сводится к аналитическому суммированию рядов с помощью
формул (7) и обращению конечной матрицы порядка N .
На рис. 1 представлена область (Pa2/π2, Qb2/π2) ∈ {[0; 3] × [0; 3]} в случае квадратной
пластины (a = b). Белым цветом окрашены подобласти параметров, удовлетворяющие усло-
вию существования нулевого решения системы (9). На рис. 1, а условие (8) совпадает с про-
веркой регулярности системы (5) на основе (7). Увеличением порядка N удается сузить
область критических нагрузок настолько, что в значениях критических сил начинают сов-
падать несколько первых значащих цифр. В табл. 1 это показано для случая одноосного
сжатия (P = 0).
Из таблицы следует критическое значение QC = 2,518(π/a)2. По приближенной формуле
для критических нагрузок
Q+ P =
8
3
(π/a)2, (10)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Таблица 1
N 4 10 20 30 50
Интервал для
(
b
π
)
2
Q 2,456–2,586 2,507–2,530 2,515–2,522 2,517–2,520 2,518–2,518
приведенной в [5], ему соответствует Q0 = 2,667(π/a)2. В [6] дается уточненное значение
Q1 = 2,517(π/a)2, которое отлично согласуется с найденным значением.
Аппроксимация кривой на рис. 1, г позволяет заменить приближенную зависимость (10)
на следующую уточненную зависимость между критическими значениями параметров на-
грузки при двухосном сжатии квадратной пластины:
Q+ P + 0,0211
a2
π2
(Q− P )2 = 2,652
π2
a2
. (11)
Для определения формы потери устойчивости остается с учетом найденных значений
критических нагрузок PC и QC выполнить численные оценки нетривиального ограничен-
ного решения квазирегулярной бесконечной системы (4) и воспользоваться аналитическим
представлением прогиба в форме бесконечного ряда (3).
1. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – Киев: Наук. думка, 1971. – 276 с.
2. Папков С.О., Чехов В.Н. О локализации собственных частот прямоугольной призмы посредством
исключения неизвестных в квазирегулярной бесконечной системе // Доп. НАН України. – 2004. –
№ 10. – С. 57–62.
3. Timoshenko S. P., Gere J.M. Theory of elastic stability. – New York: McGraw-Hill, 1961. – 541 p.
4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – 5-е изд. – Москва; Ле-
нинград: Физматгиз, 1962. – 695 с.
5. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник / Под общ. ред. И.А. Биргера, Я. Г. Пановко. –
Москва: Машиностроение, 1968. – Т. 3. – 508 с.
6. Levy S. Buckling of rectangular plates with built-in edges // J. Appl. Mech. ASME. – 1942. – 9. – P. A171–
A174.
Поступило в редакцию 04.04.2012Севастопольский национальный
технический университет
Таврический национальный университет
им. В.И. Вернадского, Симферополь
С.О. Папков, В.М. Чехов
Дослiдження регулярностi нескiнченної системи алгебраїчних
рiвнянь та знаходження критичних зусиль в задачi про стiйкiсть
прямокутної пластини, що стискається
Дослiджується квазiрегулярна нескiнченна система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь щодо
прогину тонкої прямокутної пластини, яка стискається двома рiвномiрними перпендику-
лярними до границь зусиллями в площинi пластини. Числове сканування достатнiх умов
iснування обмеженого розв’язку нескiнченної системи дозволяє локалiзувати область кри-
тичних значень зусиль, що стискають пластину. Побудовано уточнену залежнiсть мiж
критичними зусиллями в частинному випадку квадратної пластини.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 59
S.O. Papkov, V.N. Chekhov
Research of a regularity for the infinite system of algebraic equations
and the buckling problem for a compressed rectangular plate
The quasiregular infinite system of linear algebraic equations for the bending of a thin rectangular
plate compressed by two uniform forces in a plane of the plate is investigated. Numerical scanning
of sufficient conditions for the existence of a bounded solution of the infinite system allows us to
localize the area of critical forces. The refined dependence between the critical values of forces in
the partial case of a square plate is constructed.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
|