Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева
Вивчаються узагальнено розв’язнi групи з обмеженнями на нормальнi замкнення циклiчних пiдгруп.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85354 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 14-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85354 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-853542016-04-14T15:20:51Z Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Математика Вивчаються узагальнено розв’язнi групи з обмеженнями на нормальнi замкнення циклiчних пiдгруп. Изучаются обобщенно разрешимые группы с ограничениями на нормальные замыкания циклических подгрупп. We study the generalized soluble groups with restriction on normal closures of cyclic subgroups. 2013 Article Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 14-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85354 512.544 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева Доповіді НАН України |
| description |
Вивчаються узагальнено розв’язнi групи з обмеженнями на нормальнi замкнення циклiчних пiдгруп. |
| format |
Article |
| author |
Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. |
| author_sort |
Курдаченко, Л.A. |
| title |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева |
| title_short |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева |
| title_full |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева |
| title_fullStr |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева |
| title_full_unstemmed |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева |
| title_sort |
групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги хірша–зайцева |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85354 |
| citation_txt |
Групи, у яких нормальні замкнення циклічних підгруп мають обмежені скінченні ранги Хірша–Зайцева / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 14-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola grupiuâkihnormalʹnízamknennâciklíčnihpídgrupmaûtʹobmeženískínčennírangihíršazajceva AT semkomm grupiuâkihnormalʹnízamknennâciklíčnihpídgrupmaûtʹobmeženískínčennírangihíršazajceva |
| first_indexed |
2025-07-06T12:34:04Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:34:04Z |
| _version_ |
1836900936386084864 |
| fulltext |
УДК 512.544
Л. A. Kурдаченко, М. М. Семко
Групи, у яких нормальнi замкнення циклiчних пiдгруп
мають обмеженi скiнченнi ранги Хiрша–Зайцева
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Вивчаються узагальнено розв’язнi групи з обмеженнями на нормальнi замкнення цик-
лiчних пiдгруп. Вважаємо, що група G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, якщо G
має зростаючий ряд, фактори якого або нескiнченнi циклiчнi, або перiодичнi, та кiль-
кiсть нескiнченних циклiчних факторiв є скiнченною. Неважко побачити, що кiлькiсть
нескiнченних циклiчних факторiв у кожному з таких рядiв є iнварiантом групи. Цей
iнварiант називатимемо рангом Хiрша–Зайцева групи G та позначаємо через rhz(G).
Дослiджуються групи, у яких нормальне замкнення кожної циклiчної пiдгрупи має ранг
Хiрша–Зайцева, що не перевищує b (b — деяке натуральне число). При деяких природних
обмеженнях знайдена така функцiя κ1(b), що rhz([G/Tor(G), G/Tor(G)]) 6 κ1(b).
Якщо G — група та x — її елемент, то клас спряженостi елемента x в G позначатимемо
через xG, тобто xG = {xg | g ∈ G}. Групи з рiзноманiтними обмеженнями на класи спря-
жених елементiв вивчаються вже досить давно. Перше обмеження, яке тут виникає, — це
обмеження на порядок класу спряжених елементiв. Наприклад, якщо |xG| = 1 для кожного
елемента x ∈ G, то група G буде абелевою. Це показує, що групи, у яких порядки кла-
сiв спряжених елементiв скiнченнi та обмеженi (тобто iснує таке натуральне число b, що
|xG| 6 b для кожного x ∈ G), мусять бути досить близькими до абелевих. Групи з такою
властивiстю називаються BFC-групами. Б. Нейман довiв [1], що комутатор кожної BFC-гру-
пи є скiнченним. Бiльш того, iснує така функцiя ν, що |[G,G]| 6 ν(b). Природно, що знайти
значення такої функцiї значно важче, нiж довести її iснування. Знаходженню найкращого
наближення для функцiї ν(b) присвячено велику серiю статей. Останньою в цiй серiї була
стаття Р. Гуральника i А. Маротi [2], якi довели, що ν(b) = (7 + log2 b)/2.
Наведений вище результат Б. Неймана став вихiдним пунктом для багатьох цiкавих
узагальнень. Якщо xG є скiнченним, то або 〈x〉G є скiнченним, або 〈x〉G мiстить у собi та-
ку скiнченну нормальну пiдгрупу Tx, що фактор 〈x〉G/Tx — скiнченно породжена вiльна
абелева група. Зокрема, 〈x〉G є майже полiциклiчною. Тому природно виникає питання про
структуру груп, у яких нормальне замкнення 〈x〉G буде майже полiциклiчною пiдгрупою.
Якщо припустити, що 〈x〉G є нескiнченною циклiчною для кожного элемента x ∈ G, то не-
важко показати, що група G є абелевою. Якщо припустити, що 〈x〉G нециклiчна, але вiльна
абелева, то комутант групи вже може i не бути вiльною абелевою пiдгрупою. Покажемо
це на такому прикладi. Нехай Dn = (〈an〉 × 〈bn〉)λ 〈cn〉, де an, bn, cn мають нескiнченнi
порядки та c−1
n bncn = anbn, n ∈ N. Покладемо K = Drn∈NDn, H = 〈ana
−2
n+1 | n ∈ N〉 та
нехай G = K/H. Неважко упевнитись у тому, що 〈x〉G — це вiльна абелева пiдгрупа, яка
має 0-ранг, що не перевищує 2, але [G,G] ∼= Q2, зокрема, комутант не може бути вiльною
абелевою пiдгрупою.
© Л. A. Kурдаченко, М. М. Семко, 2013
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Нагадаємо деякi поняття. Будь-яка майже полiциклiчна група G має скiнченний суб-
нормальний ряд
〈1〉 = G0 ⊳G1 ⊳ · · · ⊳Gn−1 ⊳Gn = G,
фактори Gj/Gj−1, 1 6 j 6 n − 1, якого є нескiнченними циклiчними, а останнiй фак-
тор Gn/Gn−1 є скiнченним. Число нескiнченних циклiчних факторiв цього ряду є iнварiан-
том групи G, який називається числом Хiрша групи G.
А. I. Мальцев [3] ввiв до розгляду нижчеподаний клас груп. Але спочатку введемо деякi
позначення. Якщо G — група, то через Tor(G) позначатимемо максимальну нормальну
перiодичну пiдгрупу G. Зазначимо, що якщо група G є локально нiльпотентною, то Tor(G)
є її характеристичною пiдгрупою, бiльш того, фактор-група G/Tor(G) уже не має скруту.
Нехай G — абелева група, що не має скруту. Число елементiв у максимальнiй незалежнiй
пiдмножинi G називається 0-рангом G та позначатиметься r0(G). Якщо ж G — довiльна
абелева група, то покладемо r0(G) = r0(G/Tor(G)).
Будемо говорити, що G — розв’язна A1-група, якщо G має скiнченний субнормальний
ряд, фактори якого є абелевими групами скiнченного 0-рангу. Неважко побачити, що якщо
G — розв’язна A1-група, то G має скiнченний субнормальний ряд, фактори якого є або
нескiнченними циклiчними, або перiодичними групами, причому кiлькiсть нескiнченних
циклiчних факторiв є iнварiантом G. У випадку полiрацiональної групи цей iнварiант був
названий рацiональним рангом [4]. Це поняття було розширено на клас локально майже
полiциклiчних груп [5], а в работi [6] цей iнварiант вже розглядався для довiльних груп.
Вiн був названий рангом без скруту, або 0-рангом. Але термiн ранг без скруту не можна
вважати досить точним. Наприклад, не кожна група без скруту має ранг без скруту (скiн-
ченний або нескiнченний). Для неабелевих груп iснує поняття секцiйного 0-рангу, який
також позначається через r0(G). Тому краще буде використовувати iнший термiн. Бiльш
того, розглянемо таке узагальнення.
Будемо говорити, що група G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, якщо G має зрос-
таючий ряд, фактори якого або є нескiнченними циклiчними, або перiодичними групами,
та кiлькiсть нескiнченних циклiчних факторiв є скiнченною. Неважко побачити, що кiль-
кiсть нескiнченних циклiчних факторiв у кожному такому рядi є iнварiантом групи G. Цей
iнварiант називається рангом Хiрша–Зайцева групи G i позначатиметься через rhz(G).
Нагадаємо, наслiдуючи А. I. Мальцева [7], що група G має скiнченний спецiальний
ранг r, якщо кожна скiнченно породжена пiдгрупа G може бути породжена r елементами,
та r — це найменше натуральне число, що має таку властивiсть.
Проiлюструємо зв’язки, що iснують мiж групами скiнченного рангу Хiрша–Зайцева та
групами скiнченного спецiального рангу.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо G має зростаючий ряд, фактори
якого є локально нiльпотентними або локально скiнченними. Узагальнено радикальна гру-
па G має зростаючу локально нiльпотентну або зростаючу локально скiнченну пiдгрупу.
У першому випадку її локально нiльпотентний радикал Lnr(G) є неодинчним. У другому
випадку неважко побачити, що G мiстить у собi неодиничну нормальну локально скiнчен-
ну пiдгрупу. Неважко показати, що у кожнiй групi G пiдгрупа Lfr(G), породжена усiма її
нормальними локально скiнченними пiдгрупами, буде найбiльшою її нормальною локаль-
но скiнченною пiдгрупою, її називають локально скiнченним радикалом G. Таким чином,
кожна узагальнено радикальна група має зростаючий ряд нормальних пiдгруп з локально
нiльпотентними або локально скiнченними факторами.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 15
Зазначимо також, що перiодична узагальнено радикальна група є локально скiнченною,
а тому i перiодична локально узагальнено радикальна група також є локально скiнченною.
Якщо G — група скiнченного рангу Хiрша–Зайцева, то rhz(Tor(G)) = 0 i rhz(G) =
= rhz(G/Tor(G)). Iнакше кажучи, ми можемо говорити тiльки про структуру фактор-групи
G/Tor(G). Локально узагальнено радикальнi групи скiнченного рангу Хiрша–Зайцева ма-
ють таку структуру [8].
Нехай G — локально узагальнено радикальна група скiнченного рангу Хiрша–Зайцева
та припустимо, що Tor(G) = 〈1〉. Тодi G є майже розв’язною та мiстить такi нормальнi
пiдгрупи L 6 K 6 S 6 G, що:
(i) L є нiльпотентною пiдгрупою без скруту;
(ii) K/L — скiнченно породжена абелева група без скруту;
(iii) G/K є скiнченною, а S/K — розв’язний радикал G/K.
Бiльш того, якщо rhz(G) = r, то iснують такi функцiї f1, f2, що |G/K| 6 f1(r) та scl(S/T ) 6
6 f2(r).
Якщо G — розв’язна група, то через scl(G) будемо позначати її клас розв’язностi.
Якщо n — натуральне число, то нехай
a(n) = max{|Aut(G)| | G — скiнченна група, що має порядок, який не перевищує n}.
Очевидно a(n) 6 n!.
Нехай A — пiдгрупа прямого добутку A1×· · ·×An, де Aj
∼= Q, 1 6 j 6 n, i T — перiодична
група автоморфiзмiв A. Tодi T буде скiнченною (див., наприклад, [9, тeoрeма 9.33]). Бiльш
того, iснує така функция τ , що |T | 6 τ(n).
Вiдзначимо, що f1(r) = ((a(r)r2r+2)r · a(τ(r))r)!.
За класичною теоремою Цассенхауза (див., наприклад, [9, тeoрeма 3.7]) iснує така функ-
цiя ζ, що scl(G) 6 ζ(r) для кожної розв’язної пiдгрупи G iз загальної лiнiйної групи GLr(F ).
Будемо мати f2(r) = r + ζ(r).
Можемо бачити, що структура G iстотно визначається заданням числа r.
Наведений вище результат показує, що якщо G — локально узагальнено радикальна
група скiнченного рангу Хiрша–Зайцева та Tor(G) = 〈1〉, то G має скiнченний спецiальний
ранг. Зазначимо також, що у випадку, коли G є локально узагальнено радикальною групою
скiнченного спецiального рангу, то G/Tor(G) має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева.
У статтях [10, 11] були розглянутi групи, у яких нормальне замкнення кожної циклiч-
ної пiдгрупи має скiнченний спецiальний ранг, який не перевищує деякого натурального
числа b. Було доведено, що комутант таких груп має скiнченний спецiальний ранг. Нехай
тепер G — локально узагальнено радикальна група та припустимо, що iснує таке натураль-
не число b, що rhz(〈x〉
G) 6 b для кожного елемента x ∈ G. Якщо використати наведений
вище результат X. Смiта та взаємнi зв’язки, що iснують мiж спецiальним рангом та ран-
гом Хiрша–Зайцева, то можна отримати, що комутант фактор-групи G/Tor(G) має скiн-
ченний ранг Хiрша–Зайцева. Але X. Смiт не отримав функцiю, що обмежує спецiальний
ранг комутанта. Тому метою даної роботи i є отримання функцiї вiд b, яка обмежує ранг
Хiрша–Зайцева комутанта [G/Tor(G), G/Tor(G)]. Основний результат роботи сформулює-
мо у виглядi теореми.
Teoрeма. Нехай G — локально узагальнено радикальна група, у якiй нормальне замк-
нення кожної циклiчної пiдгрупи має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева, який не перевищує
натурального числа b. Якщо Tor(G) = 〈1〉, то G мiстить у собi таку нормальну пiдгру-
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
пу K скiнченного рангу Хiрша–Зайцева, що G/K є вiльною вiд скруту абелевою групою.
Бiльш того, iснує така функцiя κ1, що rhz(K) 6 κ1(b).
Для функцiї κ1 отримано такий вираз:
κ1(b) = 3b2 +
2b(b+ 1)(b+ 2)(bb−1 − 1)
3(b− 1)
+ bτ(b2) + b3 + bτ(bν(bτ(b)) + b2ν(bτ(b)) +
+ b2τ
b(b+ 1)(b+ 2)(bb−1 − 1)
3(b − 1)
+ b2
b2 + b(b+ 1)(b+ 2)(bb−1 − 1)
3(b− 1)
+ bν(bτ(b)),
яка обмежує ранг Хiрша–Зайцева комутанта [G/Tor(G), G/Tor(G)].
1. Neumann B.H. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. – 1954. – 29. – P. 236–248.
2. Guralnick R.M., Maroti A. Average dimension of fixed point spaces with applications // Adv. Math. –
2001. – 226. – P. 298–308.
3. Maльцев A.И. O некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Maт. сб. – 1951. – 28, № 3. –
С. 567–588.
4. Зайцев Д.И. O разрешимых группах конечного ранга // Группы с ограничениями на подгруппы. –
Киев: Наук. думка, 1971. – С. 115–130.
5. Зайцев Д.И. Группы с дополняемыми нормальными подгруппами // Некоторые проблемы теории
групп. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. – С. 30–74.
6. Зайцев Д.И. Произведения абелевых групп // Aлгебра и логика. – 1980. – 19, № 2. – С. 94–106.
7. Maльцев A.И. O группах конечного ранга // Maт. сб. – 1948. – 22, № 2. – С. 351–352.
8. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Polyakov N.V. On some ranks of infinite groups // Ric. Mat. – 2007. –
56, No 1. – P. 43–59.
9. Wehrfritz B. A.F. Infinite linear groups. – Berlin: Springer, 1973. – 229 p.
10. Smith H. A finiteness condition on normal closures of cyclic subgroups // Math. Proc. Royal Irish Aca-
demy. – 1999. – 99A. – P. 179–183.
11. Longobardi P., Maj M., Smith H. Groups in which normal closures of elements have boundedly finite
rank // Glasgow Math. J. – 2009. – 51. – P. 341–345.
Надiйшло до редакцiї 21.11.2011Днiпропетровський нацiональний унiверситет
Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
Л.A. Kурдаченко, Н. Н. Семко
Группы, в которых нормальные замыкания циклических подгрупп
имеют ограниченные конечные ранги Хирша–Зайцева
Изучаются обобщенно разрешимые группы с ограничениями на нормальные замыкания цик-
лических подгрупп. Полагаем, что группа G имеет конечный ранг Хирша–Зайцева, если G
имеет восходящий ряд, факторы которого либо бесконечные циклические, либо периодиче-
ские, и число бесконечных циклических факторов конечно. Нетрудно усмотреть, что чис-
ло бесконечных циклических факторов в каждом из таких рядов является инвариантом
группы. Этот инвариант называем рангом Хирша–Зайцева группы G и обозначаем через
rhz(G). Рассматриваются группы, в которых нормальное замыкание каждой циклической
подгруппы имеет ранг Хирша–Зайцева, не превосходящий b (b — некоторое натуральное
число). При наличии некоторых естественных ограничений найдена такая функция κ1(b),
что rhz([G/Tor(G), G/Tor(G)]) 6 κ1(b).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 17
L.A. Kurdachenko, M. M. Semko
Groups in which the normal closures of cyclic subgroups have bounded
finite Hirsch–Zaitsev rank
We study the generalized soluble groups with restriction on normal closures of cyclic subgroups.
A group G is said to have finite Hirsch–Zaitsev rank if G has an ascending series, whose factors
are either infinite cyclic or periodic, and if the number of infinite cyclic factors is finite. It is not
hard to see that the number of infinite cyclic factors in every of such series is an invariant of the
group G. This invariant is called the Hirsch–Zaitsev rank of G and is denoted by rhz(G). We study
the groups, in which the normal closure of every cyclic subgroup has the Hirsch–Zaitsev rank of at
most b (b is some positive integer). For some natural restriction, we find the function κ1(b) such
that rhz([G/Tor(G), G/Tor(G)]) 6 κ1(b).
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
|