Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично
Розглянуто задачу iнтерполяцiї функцiї двох змiнних в обмеженiй областi за вiдомими значеннями на множинi кривих, якi заданi параметрично. За допомогою теорiї операторного iнтерполювання побудовано операторний полiном, який має вiдповiднi iнтерполяцiйнi властивостi. Наведено приклади чисельних експ...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85385 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично / К.Є. Бабенко, В.Л. Макаров, Р.С. Хапко, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 7–12. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85385 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-853852015-08-02T03:02:01Z Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично Бабенко, К.Є. Макаров, В.Л. Хапко, Р.С. Хлобистов, В.В. Математика Розглянуто задачу iнтерполяцiї функцiї двох змiнних в обмеженiй областi за вiдомими значеннями на множинi кривих, якi заданi параметрично. За допомогою теорiї операторного iнтерполювання побудовано операторний полiном, який має вiдповiднi iнтерполяцiйнi властивостi. Наведено приклади чисельних експериментiв. Рассмотрена задача интерполяции функции двух переменных в ограниченной области по известным значениям на множестве кривых, которые заданы параметрически. С помощью теории операторного интерполирования построен операторный полином, владеющий соответствующими интерполяционными свойствами. Приведены примеры численных экспериментов. We consider the interpolation problem for a function of two variables in a bounded domain from the given values on a set of curves with parametric representation. On the basis of the theory of operator interpolation, the operator polynomial, which has corresponding interpolation properties, is constructed. The examples of numerical experiments are presented. 2013 Article Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично / К.Є. Бабенко, В.Л. Макаров, Р.С. Хапко, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 7–12. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85385 519.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бабенко, К.Є. Макаров, В.Л. Хапко, Р.С. Хлобистов, В.В. Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто задачу iнтерполяцiї функцiї двох змiнних в обмеженiй областi за вiдомими
значеннями на множинi кривих, якi заданi параметрично. За допомогою теорiї операторного iнтерполювання побудовано операторний полiном, який має вiдповiднi iнтерполяцiйнi властивостi. Наведено приклади чисельних експериментiв. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, К.Є. Макаров, В.Л. Хапко, Р.С. Хлобистов, В.В. |
| author_facet |
Бабенко, К.Є. Макаров, В.Л. Хапко, Р.С. Хлобистов, В.В. |
| author_sort |
Бабенко, К.Є. |
| title |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| title_short |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| title_full |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| title_fullStr |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| title_full_unstemmed |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| title_sort |
про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85385 |
| citation_txt |
Про інтерполяцію функції двох змінних в обмеженій області за її значеннями на множині кривих, заданих параметрично / К.Є. Бабенко, В.Л. Макаров, Р.С. Хапко, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 7–12. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT babenkokê proínterpolâcíûfunkcíídvohzmínnihvobmeženíjoblastízaííznačennâminamnožiníkrivihzadanihparametrično AT makarovvl proínterpolâcíûfunkcíídvohzmínnihvobmeženíjoblastízaííznačennâminamnožiníkrivihzadanihparametrično AT hapkors proínterpolâcíûfunkcíídvohzmínnihvobmeženíjoblastízaííznačennâminamnožiníkrivihzadanihparametrično AT hlobistovvv proínterpolâcíûfunkcíídvohzmínnihvobmeženíjoblastízaííznačennâminamnožiníkrivihzadanihparametrično |
| first_indexed |
2025-07-06T12:35:59Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:35:59Z |
| _version_ |
1836901056906264576 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
К.Є. Бабенко, академiк НАН України В. Л. Макаров, Р.С. Хапко,
В.В. Хлобистов
Про iнтерполяцiю функцiї двох змiнних в обмеженiй
областi за її значеннями на множинi кривих, заданих
параметрично
Розглянуто задачу iнтерполяцiї функцiї двох змiнних в обмеженiй областi за вiдомими
значеннями на множинi кривих, якi заданi параметрично. За допомогою теорiї опера-
торного iнтерполювання побудовано операторний полiном, який має вiдповiднi iнтерпо-
ляцiйнi властивостi. Наведено приклади чисельних експериментiв.
1. Постановка задачi. Питанню вiдновлення промiжних значень функцiї мiж вiдомими
значеннями присвячено багато праць, основнi iнтерполяцiйнi формули добре вiдомi та на-
лежним чином дослiдженi, особливо в одновимiрному випадку. Але задача побудови ефек-
тивних алгоритмiв вiдновлення значень невiдомої функцiї в областi за її значеннями на
кривих у цiй областi належить до проблемних завдань. Основнi труднощi при цьому ви-
кликанi тим, що часто функцiя є вiдомою на певних лiнiях всерединi областi, а класичнi
iнтерполянти, що застосовуються для наближення, задовольняють iнтерполяцiйнi умови
лише на дискретному наборi вузлiв.
Розв’язування задачi iнтерполювання при заданнi значень функцiї на лiнiях розгля-
далося в рядi робiт. Зокрема, в [1] запропоновано алгоритм, що використовує сингулярнi
iнтеграли. В результатi отримано функцiю, що має “кращi” порiвняно з вiдновлюваною
функцiєю диференцiальнi властивостi. У роботi [2] для випадку прямих iнтерполянт побу-
довано з використанням допомiжних функцiй з компактними носiями, що задовольняють
на заданих прямих iнтерполяцiйнi умови. У [3] подано розв’язок задачi без використан-
ня сингулярних iнтегралiв та допомiжних функцiй. Цей розв’язок мiстить, як частинний
випадок, формулу Даламбера.
Проблема побудови наближення функцiї двох змiнних на основi вiдомих її значень на
заданих лiнiях може бути вирiшена також в рамках теорiї R-функцiй [4]. Цей спосiб було
розвинено та використано при розв’язаннi задачi за допомогою операторiв iнтерлiнацiї [5].
Застосування цих методiв у випадку довiльних кривих, заданих параметрично, є пробле-
матичним.
© К.Є. Бабенко, В. Л. Макаров, Р.С. Хапко, В. В. Хлобистов, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 7
У данiй роботi пропонується принципово iнший пiдхiд, який грунтується на теорiї по-
лiномiального операторного iнтерполювання, розвиненiй в [6, 7]. Сформулюємо задачу iн-
терполювання в абстрактнiй постановцi. Нехай задано оператор F : X → Y , де X — перед-
гiльбертiв простiр i Y — лiнiйний простiр. Нехай γk ∈ X, k = 1, . . . , N , — заданi елементи
(вузли), на яких вiдомо значення fk = Fγk ∈ Y , k = 1, . . . , N . Необхiдно знайти наближення
F̃ для оператора F , для якого виконуються iнтерполяцiйнi умови F̃ γk = Fγk, k = 1, . . . , N .
Будемо шукати F̃ у формi операторного полiнома i поставлену задачу називатимемо зада-
чею полiномiального операторного iнтерполювання.
2. Наближення на основi операторної iнтерполяцiї. Операторним полiномом сте-
пеня n називають оператор виду
Pnγ =
n∑
k=0
Lkγ
k,
де Lkγ
k = Lk(γ, γ, . . . , γ) i Lk(γ1, γ2, . . . , γk) — неперервна симетрична k-лiнiйна операторна
форма. Нехай Γ =
∥∥∥
n∑
p=0
{(γi, γj)
p}
∥∥∥
N
i,j=1
, 00 = 1 i Γ+ — псевдообернена матриця Мура–
Пенроуза до Γ. В [7] встановлено вигляд iнтерполяцiйних операторних полiномiв.
Теорема 1. Нехай виконується умова
(I − Γ+Γ)~F = ~0, (1)
де ~F = (f1, . . . , fN ) — заданий вектор. Тодi множина всiх iнтерполяцiйних операторних
полiномiв для F з вузлами γk, k = 1, . . . , N , описується формулою
Fnγ = Pnγ +
〈
~F − ~Pn,Γ
+
∥∥∥∥∥
n∑
p=0
(γi, γ)
p
∥∥∥∥∥
N
i=1
〉
, (2)
де Pn — довiльний операторний полiном степеня n та 〈~F, ~β〉 =
N∑
k=1
fkβk, ~β ∈ R
N .
Як бачимо з теореми 1, задача iнтерполяцiї є розв’язною для будь-яких векторiв ~F у ви-
падку невиродженостi матрицi Γ. Така ситуацiя названа в [7] iнварiантною розв’язнiстю.
Теорема 2. Нехай N 6 n + 1 i вузли γi, i = 1, . . . , N , рiзнi. Тодi операторна iнтерпо-
ляцiйна задача в передгiльбертовому просторi X iнварiантно розв’язна.
Доведення. Оскiльки головний мiнор другого порядку матрицi (Γ0 + Γ1), де Γk =
= ‖{(γi, γj)
k}‖Ni,j=1, k = 0, 1, не дорiвнює нулю, то rg(Γ0 + Γ1) > 2. Маємо
rg(Γ0 + Γ1) + n− 1 > 2 + n− 1 = n+ 1 > N. (3)
Вiдповiдно до [6] нерiвнiсть (3) є достатньою умовою iнварiантної розв’язностi операторної
iнтерполяцiйної задачi. Теорема доведена.
Оскiльки задача полiномiального операторного iнтерполювання має безлiч розв’язкiв,
виберемо як F̃n операторний полiном з множини (2) з Pn ≡ 0. Тодi F̃n — полiном мiнiмальної
норми на множинi всiх iнтерполянтiв степеня n [7].
Зауваження 1. З теореми 2 та формули (1) безпосередньо випливає, що коли N 6 n+1,
то матриця Γ має обернену.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi формула (2) (Pn ≡ 0) перетво-
рюється на формулу типу Лагранжа.
Доведення. Формулу (2) перепишемо у виглядi
F̃nγ =
〈
~F,Γ−1
∥∥∥∥∥
n∑
p=0
(γi, γ)
p
∥∥∥∥∥
N
i=1
〉
=
N∑
i=1
fiℓi(γ), (4)
де ℓi — полiноми степеня n вiдносно скалярних добуткiв (γj , γ)
n. Оскiльки операторна iн-
терполяцiйна задача iнварiантно розв’язна (теорема 2), то
F̃nγk =
N∑
i=1
fiℓi(γk) = fk, k = 1, . . . , N, (5)
для будь-яких fi. Нехай вони лiнiйно незалежнi. Тодi з (5) маємо
∑
i 6=k
fiℓi(γk) + fk[ℓk(γk)− 1] = 0
i, як наслiдок лiнiйної незалежностi fi, отримуємо
ℓi(γk) = δik,
де δik — символ Кронекера. Теорема доведена.
Очевидно, що функцiонали ℓi можна отримати, лише зробивши вiдповiднi перетворення
в (4).
3. Частиннi випадки. Iнтерес у цьому сенсi становить задача вiдшукання значень
функцiї в обмеженiй областi на площинi по її слiдах на деяких замкнених кривих, розмiще-
них всерединi цiєї областi. Така проблема цiкава як самостiйне питання теорiї наближень i
є актуальною в прикладних застосуваннях. Зокрема, вона виникає при чисельному розв’я-
зуваннi граничних задач для елiптичних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами за допомогою
граничних iнтегральних рiвнянь [8], при зведеннi крайових задач до задач з нульовими
граничними умовами [9], при аналiзi лiнiй рiвня полiв рiзної фiзичної природи тощо.
Нехай D ⊂ R
2 — обмежена область i нехай γ0 — границя областi D. Позначимо через Q
множину кривих, розмiщених в областi D i заданих параметрично (наприклад, рис. 1).
Нехай γk ∈ Q, k = 1, . . . , N , N ∈ N — фiксований набiр кривих. Припустимо, що деяка
дiйснозначна достатньо гладка функцiя f визначена в областi D i вiдомi її звуження (слiди)
на кривих γk, тобто функцiї fk = f |γk , k = 1, . . . , N . Нехай γ ∈ Q — деяка крива i необхiдно
побудувати наближення f̃ |γ , для якого виконуються iнтерполяцiйнi умови f̃ |γk = fk, k =
= 1, . . . , N .
Узагальнимо поставлену задачу в такому сенсi. Нехай Q ⊂ X, де X — множина всiх
параметричних кривих, розмiщених в R
2. Будемо розумiти пiд сумою двох таких кривих
криву, яка утворюється шляхом додавання вiдповiдних координат точок кривих-доданкiв.
Очевидно, X є лiнiйним простором i його можна зробити передгiльбертовим, ввiвши для
кривих з параметричним поданням γ = {x(t) = (x1(t), x2(t)), t ∈ [0, T ]} i θ = {y(t) =
= (y1(t), y2(t)), t ∈ [0, T ]} скалярний добуток, наприклад, за таким правилом
(γ, θ) =
1
T
∫ T
0
[x1(t)y1(t) + x2(t)y2(t)] dt. (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 9
Рис. 1. Розмiщення кривих-вузлiв при R = 1 i r = 0,25. a — кривi-вузли при N = 5 для множини Q1; б —
кривi-вузли при N = 5 для множини Q2
Елементи γk ∈ Q будемо називати iнтерполяцiйними вузлами. Позначимо Y — простiр
достатньо гладких функцiй, визначених на кривих з X. Функцiя f : D → R визначає нелi-
нiйний оператор F : Q ⊂ X → Y . Задача iнтерполяцiї може бути переформульована в такий
спосiб: знайти наближення F̃n для оператора F , для якого F̃nγk = Fγk, k = 1, . . . , N . Таким
чином, проблема побудови iнтерполяцiйного наближення функцiї f може бути вирiшена за
допомогою операторної iнтерполяцiї, тобто наближення будується у виглядi (2) зi скаляр-
ним добутком (6).
Будемо розглядати випадок параметрично заданих замкнених кривих, тобто в (6) T =
= 2π.
П р и к л ад 1 . Нехай двозв’язна область D1 обмежена колом радiуса R з центром у початку
координат i колом радiуса r < R з центром у точцi (r, r). Однопараметричне сiмейство кривих Q1
утворюють кола
γ(1)(α) = {x(t, α) = (αr + ϕ(α) cos t, αr + ϕ(α) sin t), t ∈ [0, 2π]},
де ϕ(α) = αr + (1 − α)R, α ∈ [0, 1]. Розглянемо також двозв’язну область D2, утворену двома
концентричними колами з радiусами R i r, R > r, i центрами у початку координат. Вiдповiдне
однопараметричне сiмейство кривих Q2 утворюють концентричнi кола
γ(2)(α) = {x(t, α) = ϕ(α)(cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]}.
Виберемо в кожнiй з множин iнтерполяцiйнi кривi-вузли (див. рис. 1)
γk,1 = γ(1)
(
k − 1
N − 1
)
i γk,2 = γ(2)
(
3
8
cos
π(2k − 1)
2N
+
5
8
)
, k = 1, . . . , N.
Нехай необхiдно iнтерполювати функцiї u1(x) = sin(x2
1 + x2) та u2(x) = exp(x1 + x2
2), x ∈ D. Як
iнтерполянт на кривiй γ з вiдповiдної множини виберемо згiдно з (2) функцiю ũ = F̃nγ. У табл. 1
наведено значення похибок
e2 =
√√√√
Nr∑
i=1
Nt−1∑
j=0
(u(x(tj , ci))− ũ(x(tj , ci)))2
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
i
e∞ = max
i=1,...,Nr, j=0,...,Nt−1
|u(x(tj , ci))− ũ(x(tj , ci))|
для рiзної кiлькостi вузлiв iнтерполяцiї N .
Обчислення здiйснено в середовищi Matlab при tj = 2πj/Nt, ci = (i − 1)/(Nr − 1), i = 1, . . . , Nr,
з R = 1 i r = 0,25 та значеннями параметрiв Nr = Nt = 64, N = n + 1. Вiдзначимо, що похибки
наближення за допомогою полiномiального операторного iнтерполювання при порiвняно невеликiй
кiлькостi вузлiв є доволi малими.
Наведемо вигляд iнтерполянта для часткового випадку N = 2 для множини кривих Q2
F̃1γ
(2) = f1
ϕ(α)− r
R− r
+ f2
R− ϕ(α)
R− r
.
Зауваження 2. При N = n + 1 у випадку однопараметричного сiмейства кривих, зале-
жних вiд параметра α, де α входить лiнiйно в рiвняння кривих, функцiї ℓi(α) в (4) можна
побудувати окремо як звичайнi фундаментальнi полiноми Лагранжа n-го степеня.
П р и к л ад 2 . Нехай область D обмежена кривою γ0 = {x0(t) = (0,2 cos t, 0,4 sin t+0,3 sin2 t), t ∈
∈ [0, 2π]}. Виберемо однопараметричне сiмейство кривих в областi D у виглядi
γ(α) = {x(t, α) = αx0(t), t ∈ [0, 2π]}, α ∈ (0, 1],
i визначимо iнтерполяцiйнi кривi-вузли
γk = γ
(
0,5
(
cos
π(2k − 1)
2N
+ 1
))
, k = 1, . . . , N.
Розглядається наближення функцiй u1 i u2, аналогiчних наведеним у попередньому прикладi.
В табл. 2 наведено результати чисельних експериментiв при рiзнiй кiлькостi вузлiв N .
Зауважимо, що отриманi результати можуть бути узагальненi на випадок задач iнтер-
поляцiї за вiдомими слiдами на параметрично заданих поверхнях в R
3 або гiперповерхнях
в R
d, d > 3.
Таблиця 1. Похибки при рiзних значеннях N для прикладу 1
N
Iнтерполяцiя на множинi Q1 Iнтерполяцiя на множинi Q2
Функцiя u1 Функцiя u2 Функцiя u1 Функцiя u2
e2 e∞ e2 e∞ e2 e∞ e2 e∞
3 0,497673 0,036489 1,582603 0,115820 0,782693 0,091018 2,365314 0,275488
5 0,011288 0,001084 0,040102 0,004513 0,033600 0,005426 0,167213 0,025642
7 0,000310 0,000047 0,000985 0,000150 0,002963 0,000555 0,009050 0,001656
9 0,000004 0,000001 0,000022 0,000004 0,000046 0,000010 0,000391 0,000082
11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000004 0,000001 0,000015 0,000003
Таблиця 2. Похибки при рiзних значеннях N для прикладу 2
N
Функцiя u1 Функцiя u2
e2 e∞ e2 e∞
3 0,026327 0,001695 0,154409 0,014053
5 0,000035 0,000003 0,050000 0,008143
7 0,0 0,0 0,000024 0,000002
9 0,0 0,0 0,000001 0,0
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 11
1. Стейн Н. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – Москва: Мир, 1973. –
342 с.
2. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1957. – 255 с.
3. Литвин О.М., Рвачов В.Л. Класична формула Тейлора i її узагальнення та застосування. – Київ:
Наук. думка, 1973. – 122 с.
4. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1979. – 193 с.
5. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Институт математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 407 с.
8. Бабенко К., Хапко Р. Про чисельне розв’язування однiєї прямої задачi ЕIТ методом граничних iнте-
гральних рiвнянь // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. Прикл. математика та iнформатика. – 2012. – Вип. 18. –
С. 22–30.
9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – Москва: Наука, 1973. – 408 с.
Надiйшло до редакцiї 19.07.2012Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
Iнститут математики НАН України, Київ
Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
К.Е. Бабенко, академик НАН Украины В.Л. Макаров, Р.С. Хапко,
В.В. Хлобыстов
Об интерполяции функции двух переменных в ограниченной
области по ее значениям на множестве кривых, заданных
параметрически
Рассмотрена задача интерполяции функции двух переменных в ограниченной области по
известным значениям на множестве кривых, которые заданы параметрически. С помо-
щью теории операторного интерполирования построен операторный полином, владеющий
соответствующими интерполяционными свойствами. Приведены примеры численных экс-
периментов.
C.Y. Babenko, Academician of the NAS of Ukraine V. L. Makarov, R. S. Chapko,
V.V. Khlobystov
On the interpolation of a function of two variables in a bounded domain
from its values on a set of parametric curves
We consider the interpolation problem for a function of two variables in a bounded domain from
the given values on a set of curves with parametric representation. On the basis of the theory of
operator interpolation, the operator polynomial, which has corresponding interpolation properties,
is constructed. The examples of numerical experiments are presented.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
|