Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции

Рассматривается задача управления информационными процессами при автоматизации технологии тепловой обработки металла. В качестве источника информации исследуется математическая модель, основанная на пространственной задаче Стефана, с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Существование гладког...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Сыпко, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2013
Назва видання:	Искусственный интеллект
Теми:	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85415
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции / И.А. Сыпко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 80–85. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85415
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-854152015-08-05T03:01:33Z Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции Сыпко, И.А. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Рассматривается задача управления информационными процессами при автоматизации технологии тепловой обработки металла. В качестве источника информации исследуется математическая модель, основанная на пространственной задаче Стефана, с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Существование гладкого решения проблемы доказывается посредством двух не слишком ограничительных допущений, касающихся исходных данных проблемы. Приближенное решение построено при помощи метода малого параметра. Построено приближенное решение задачи. Розглядається задача управління технологічним процесом теплової обробки металу. В якості джерела інформації досліджується математична модель, базована на просторовій задачі Стефана, з урахуванням конвективного руху у рідинній фазі. Наближене рішення побудоване за допомогою методу малого параметра. Крім того, автором позначена проста умова, що забезпечує існування відповідного стаціонарного рішення і його стійкості, при цьому остання розуміється в звичайному сенсі. Побудовано наближений розв’язок задачі. The problem of control of technologies process of metals thermal processing is considered. As information resource the three dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. The approximate solution is constructed by using the method of small parameter. Moreover, the author indicates a simple condition guaranteeing the existence of the corresponding stationary solution and its stability, the latter being understood in its usual sense. The approximate solution is considered. 2013 Article Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции / И.А. Сыпко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 80–85. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85415 517.988:004.89 ru Искусственный интеллект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
spellingShingle	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Сыпко, И.А. Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции Искусственный интеллект
description	Рассматривается задача управления информационными процессами при автоматизации технологии тепловой обработки металла. В качестве источника информации исследуется математическая модель, основанная на пространственной задаче Стефана, с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Существование гладкого решения проблемы доказывается посредством двух не слишком ограничительных допущений, касающихся исходных данных проблемы. Приближенное решение построено при помощи метода малого параметра. Построено приближенное решение задачи.
format	Article
author	Сыпко, И.А.
author_facet	Сыпко, И.А.
author_sort	Сыпко, И.А.
title	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
title_short	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
title_full	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
title_fullStr	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
title_full_unstemmed	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
title_sort	приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85415
citation_txt	Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции / И.А. Сыпко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 80–85. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Искусственный интеллект
work_keys_str_mv	AT sypkoia približennoemodelirovanieprocessakristallizaciiprinaličiikonvekcii
first_indexed	2025-07-06T12:37:45Z
last_indexed	2025-07-06T12:37:45Z
_version_	1836901168623648768
fulltext	ISSN 1561-5359 «Искусственный интеллект» 2013 № 2 80 3С УДК 517.988:004.89 И.А. Сыпко Донецкий национальный технический университет, Украина Украина, 83050, г. Донецк, пр. Богдана Хмельницкого, 84, sypko_i@i.ua Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции I.A. Sypko Donetsk National Technical University, Ukraine Ukraine, 83050, c. Donetsk, Bogdana Khmelnitskogo av. 84, sypko_i@i.ua Approximate Modeling of the Crystallization Process in the Presence of Convection І.О. Сипко ДВНЗ Донецький національний технічний університет, Україна 83650, м. Донецьк, пр. Б. Хмельницького, 84, sypko_i@i.ua Наближене моделювання процесу кристалізації при наявності конвекції Рассматривается задача управления информационными процессами при автоматизации технологии тепловой обработки металла. В качестве источника информации исследуется математическая модель, основанная на пространственной задаче Стефана, с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Существование гладкого решения проблемы доказывается посредством двух не слишком ограничительных допущений, касающихся исходных данных проблемы. Приближенное решение построено при помощи метода малого параметра. Построено приближенное решение задачи. Ключевые слова: процесс кристаллизации, математическая модель, задача Стефана, жидкая фаза, конвекция. The problem of control of technologies process of metals thermal processing is considered. As information resource the three dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. The approximate solution is constructed by using the method of small parameter. Moreover, the author indicates a simple condition guaranteeing the existence of the corresponding stationary solution and its stability, the latter being understood in its usual sense. The approximate solution is considered. Key words: process of crystallization, mathematical model, the task of Stephen, the liquid phase convection. Розглядається задача управління технологічним процесом теплової обробки металу. В якості джерела інформації досліджується математична модель, базована на просторовій задачі Стефана, з урахуванням конвективного руху у рідинній фазі. Наближене рішення побудоване за допомогою методу малого параметра. Крім того, автором позначена проста умова, що забезпечує існування відповідного стаціонарного рішення і його стійкості, при цьому остання розуміється в звичайному сенсі. Побудовано наближений розв’язок задачі. Ключові слова: процес кристалізації, математична модель, завдання Стефана, рідка фаза, конвекція. Главной тенденцией в автоматизации является интенсивная разработка высоко- организованных систем управления технологическими процессами на базе совре- менных методов управления и средств вычислительной техники. Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции «Штучний інтелект» 2013 № 2 81 3С Стохастический характер функционирования производственных процессов, об- условленный случайным характером возмущающих воздействий и полезных сигналов, сложность математических моделей и критериев оптимизации приводит к существенным трудностям теоретического обоснования и решения практических проблем оптимальных автоматических и автоматизированных систем управления. На стадии проектирования АСУ ТП для уже существующих и строящихся печей возрастает важность обоснован- ности принимаемых инженерных решений. Разработка АСУ ТП должна опираться на исчерпывающие знания свойств процесса, изучаемого с точки зрения проблем автома- тизации управления. В этой связи рассматриваемая задача построения математической модели как источника информации о процессе является актуальной. Целью данной работы является обоснование математической модели как источ- ника информации для решения вопросов всестороннего анализа и управления инфор- мационными потоками при автоматизации технологических процессов нагрева металла в проходных печах прокатного производства непрерывной разливки стали на основе математического и имитационного моделирования, анализа статистических данных и теплофизических экспериментальных измерений. Работа посвящена изучению процессов кристаллизации двухкомпонентных сред в случае, когда распространение тепла связано не только с теплопроводностью, но и с конвективным переносом, присутствующим в жидкой фазе вещества. Рассматриваемая задача включает в себя как двухфазную задачу Стефана, так и начально-краевую задачу для системы Навье-Стокса, описывающую движение вязкой несжимаемой жидкости в нецилиндрической области. При изучении задачи учитывается скачек плотности вещества на границе раздела фаз. Для описания поля скоростей в зоне поступления перегретого металла исполь- зуется математическая модель затопленной струи вязкой жидкости, основанная на известном в теоретической гидродинамике точном решении нелинейной системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса, а поскольку в затопленной струе пере- мешивание можно охарактеризовать так называемой свободной турбулентностью, характеризующейся одним числовым параметром – коэффициентом «кажущейся» или турбулентной вязкости T V , полученные формулы можно интерпретировать как в ламинарном, так и в турбулентном приближениях. Постановка задачи Теплофизические процессы в кристаллизаторе, сопровождающиеся фазовыми переходами вещества, описываются математической моделью, в которой температура каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла со своими теплофизическими коэффициентами. На границе раздела фаз обе температуры постоянны и равны тем- пературе фазового перехода (для химической однородной среды), а на заданных частях границы – стенках кристаллизатора, поддоне – поддерживается определенный режим (теплоотвод, теплоизоляция др.). Поверхность раздела фаз (фронт кристаллизации) является неизвестной, или «свободной», границей, и для ее определения дополнительно задается «условие Стефана», означающее, что тепловой поток через фронт кристаллизации в сторону твердой фазы равен тепловому потоку со стороны жидкой фазы плюс скрытая теплота фазового перехода. Жидкая фаза рассматриваемого процесса заслуживает специального исследования ввиду априорной возможности существования поля скорос- тей, вызывающего интенсивную теплопередачу путем конвекции. Усиленная циркуляция в расплавленной шлаковой ванночке была обнаружена в исследовании академика Б.Е. Патона и его сотрудников [1]. Цель состоит в изучении гидродинамических явлений в жидкой фазе. Сыпко И.А. «Искусственный интеллект» 2013 № 2 82 3С 1 Рассмотрим область { }):,,( 22 3 2 2 2 1 2 321 Rxxxrxxx <++<=Ω и через − Γ и + Γ обозначим следующие сферы: }.:),,{(},:),,{( 22 3 2 2 2 1321 22 3 2 2 2 1321 Rxxxxxxrxxxxxx =++=Γ=++=Γ +− Далее, пусть 0 Γ гладкая, связная поверхность без самопересечений, держащая внутри Ω , которая разбивает ее на две подобласти + Ω и − Ω , т.е. −+ ΩΩ=Ω U причем сфера − Γ лежит внутри ограниченной области, границей которой является 0 Γ . Рассмотрим краевую задачу со свободной границей 0 Γ . Требуется определить тройку )),(( 0 Γ ± xu по следующим условиям: );(\|)(;,0)(2 xBxuxxu ± Γ ±±± =Ω∈=∇ ± .,0)()(,1)( 0 Γ∈=∇−∇= +−± xxuxuxu (1) При этом, )(xB ± и )(xu ± – гладкие функции, а 0 Γ принадлежит классу ∞ C [2]. Затем введем в рассмотрение функцию )(xu , заданную следующим образом )(xuu − = , при − Ω∈x и )(xuu + = при + Ω∈x . Тогда функцию )(xu можно найти из условия минимума функционала 321 2 0 ),( dxdxdxuuI ∫∫∫ Ω ∇=Γ на соответствующем множестве R допустимых функций [2]. Это следует из формулы первой вариации интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования [3]. Далее, удобно представить функционал I в сферических координатах: ∫ ∫ ∫ ++=Γ π π ϕθρ ρθϕθρ θρρ 2 0 0 22 22 2 2 2 0 .sin) sin 11 (),( R r ddduuuuI (2) Пусть тройка ),( 0 Γ ± u является классическим решением задачи (1). Тогда эта тройка будет стационарной для функционала (2) множества R . Обратно, каждая стационарная тройка )),(( 0 Γ ± xu функционала на множестве R , где 0 Γ – достаточно гладкая, связная поверхность, является решением задачи (1). Сформулированная задача (1) получается из задачи, изученной в [2], в случае 0=V , т.е. в случае бесконечно большой вязкости, 0Re = . Поэтому в дальнейшем под решением задачи (1) при 0Re = будем понимать функции )(,0)( xuxV + = и )(xu − , заданные в ± Ω . Из условий (1) следует, что 0 Γ – не что иное, как линия уровня функции )(xu , то есть: }1)(:{ 0 =Ω∈=Γ xux . Далее, если предположить выполнение следующего условия: ,,0)1)(( 0 ±± Γ∈>≥−± xxB ε где 0 ε – некоторая постоянная, тогда поверхность 0 Γ лежит внутри области Ω и представляет собой поверхность класса ∞ C , не имеющую самопересечений и рас- полагающуюся относительно + Γ и − Γ аналогично поверхности t Γ (свободная по- верхность), изученной в [2]. Следовательно, рассматривая функцию )(xu в одной из областей ± Ω , и принимая во внимание лемму о нормальной производной, находим что ,,0 0 Γ∈>≥∇= ∂ ∂ xu n u ε Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции «Штучний інтелект» 2013 № 2 83 3С где n – нормаль к 0 Γ направленная в сторону + Ω 0 , а ε – некоторая постоянная. Отсюда, применяя теорему о неявной функции, следует, что 0 Γ принадлежит классу ∞ C , так как этому классу в некоторой окрестности 0 Γ принадлежит гармоническая функция )(xu . 2 Минимум функционала (2) на множестве R будем искать при помощи сумм: ),,())(()( 0 2222 22 22 θϕρρρ ρ k k n k kn yCrRBB rR R Bu ∑ = +−+ −−+− − − = где ),( θϕ k y – сферические функции. Неизвестные коэффициенты k C опре- деляют при помощи метода Ритца. Тогда поверхность ),(: 00 θϕρρ =Γ определяется из уравнения 1)),(,,( 0 =θϕρθϕ n u . При этом, необходимо учесть, что 0)( 0 >≥∇ εxu , в Ω , где 0 ε – некоторая постоянная [3]. При малых t справедливо представление: .),((Re),0 ,( ),,( Re),(),,(: 0 1 0 Γ∈+ ∇ −=Γ ± ± θϕ θϕ θϕ θϕρθϕρ A tu t t Здесь Re – число Рейнольдса, а ),,( 1 tu θϕ± – первое приближение исходной задачи, изученной в [2]. В частности для нулевого приближения ),( 0 θϕu из уравнения: 1))(()( 0 2222 22 22 0 =−−+− − − += +−+ CRrBB rR R Bu ρρ ρ легко найти поверхность . 2 4))((4))())(( ),( 0 22 022 2 2 22 22 022 22 0 0 C rRCBBB rR R rR BB rRC rR BB rRC −+− − + − − −+± − − −+ = ++− +−+− θϕρ При этом коэффициент 0 C находим методом Ритца. Имеем: ,)( 222 22 FBB rR R u =− − − = +− θθθ ρ ).,,(,)(2,)(24,)( 43 223 122 22 tBBFBBFrRFBB rR R u θϕρρρ ρ ϕϕρ ±±+−+− ==−−=−+−=− − − = Таким образом, получим .sin sin 11 )()( 2 0 0 2 12222 2 430∫ ∫ ∫       +++= π π θϕθρ θρρ R r dyddFFFFCuI Построим уравнение Ритца: .0sin)(2 2 0 0 22 3430 0 ∫ ∫ ∫ =+= ∂ ∂ π π ρθϕθρ dddFFFC C I R r Отсюда получим ,sin 2 0 0 2 340 ρθϕθρ π π dddFFC R r ∫ ∫ ∫−= ρθϕθρρθϕθρ π ππ π dddFdddFFC R r R r ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫−= 2 0 0 22 3 2 0 0 2 340 sinsin Сыпко И.А. «Искусственный интеллект» 2013 № 2 84 3С или [ ] . sin](24[ sin)()(24 2 0 0 2222 2 0 0 2223 0 ρθϕθρρ ρθϕθρρρ π π π π dddrR dddBBRprR C R r R r ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+− −−+−− = +− На рис. 1 представлена поверхность t Γ , которая расположена между сферами радиусов R и r при следующих значениях параметров: ,8,0,200 == rt ,1,0]cos[cos35,0],cos[cos3,2/2/,3/2/ 2222 −+−=+=≤≤−≤≤− + ϕθϕθπϕππθπ BB .),( 6 1 ),,( 2 01 ttu += θϕρθϕ Рисунок 1 – Алгоритм построения поверхности t Γ Предложенный алгоритм построения поверхности t Γ позволяет исследовать численно эту поверхность в зависимости от основных параметров задачи. Литература 1. Патон Б.Е. Избранные труды / Патон Б.Е. – Киев : Институт электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, 2008. – 893 с. 2. Миненко А.С. Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана / А.С. Миненко, А.И. Шевченко // Доповіді НАН України. – 2010. – № 4. – С. 30-34. (фахове наукове видання України, включене до затвердженого ВАК переліку). 3. Миненко А.С. Методы исследования нелинейных математических моделей / А.С. Миненко, А.И. Шевченко. – Київ : Наукова думка, 2012. – 130 с. Literaturа 1. Paton B.E. Selected works / Paton B.E. – Kiev : Electric Welding Institute named E.O. Paton of the NAS of Ukraine, 2008. – 893 s. 2. Minenko A.S. Approximate analysis of multi-dimensional convection of Stefan / A.S. Minenko, A.I. Shevchenko // Reports of NAS of Ukraine. – 2010. – № 4 – S. 30-34. (professional journals Ukraine included in the list of approved HAC). 3. Minenko A.S. Methods for the study of nonlinear mathematical models / A.S. Minenko, A.I. Shev- chenko. – Kiev : Naukova Dumka, 2012. – 130 s. Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции «Штучний інтелект» 2013 № 2 85 3С RESUME I.A. Sypko Approximate Modeling of the Crystallization Process in the Presence of Convection This paper extend to time-dependent case some result obtained by the author for steady-state Stefan problem with convection. Referring to the ice-water system, water is assumed to be incompressible and to obey the Stokes equation )( )(+ =∇+∆− ∂ ∂ ufpv t v x ν ( v – velocity, ν – kinematic viscosity, p – pressure, f – buoyancy force, )(+u – water temperature), while temperature )(+u satisfies the heat conduction-convection equation with temperature- dependent thermophysical properties. The temperature field )(+u in the solid phase is governed by diffusion only. At the ice-water interface, 0 )()( == −+ uu and the Stefan condition holds. The sheme is completed by initial and boundary conditions. The author present an existence theorem for the case of three space dimensions. The main difficulty consists in the fact that, to interpret the Stokes equation in the weak sense, some information is needed on the region where the temperature is positive, which is in turn influenced by the velocity field itself. The precise formulation of the problem requires a technical choice on function spaces. Existence of solution is proved by introducing a temperature dependent penalty term in the fluid flow equation in order to define both the approximating temperature ε u and approximation velocity ε v in the whole domain. Com- pactness arguments are used to get a convergent subsequence, whose limit is shown to solve the original problem. The question of uniqueness is left open. Статья поступила в редакцию 09.04.2013.

Приближенное моделирование процесса кристаллизации при наличии конвекции

Репозитарії

Схожі ресурси