Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности

Предложена новая классификация ситуаций принятия решений, в основе которой лежит понятие неопределенности в матричной схеме ситуации. Такой подход к классификации ситуаций принятия решений отличается от известного, согласно которому разделяют ситуации с риском и неопределенностью в зависимости от на...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Иваненко, Я.В., Пасичниченко, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2014
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85501
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности / Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 86-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85501
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-855012015-08-07T03:02:06Z Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Иваненко, Я.В. Пасичниченко, И.А. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Предложена новая классификация ситуаций принятия решений, в основе которой лежит понятие неопределенности в матричной схеме ситуации. Такой подход к классификации ситуаций принятия решений отличается от известного, согласно которому разделяют ситуации с риском и неопределенностью в зависимости от наличия распределения вероятностей на множестве значений неизвестного параметра. Установлены необходимые и достаточные условия существования неопределенности в матричной схеме. Предложенная классификация применена в анализе финансовых рынков. Показано, что отсутствие арбитражной возможности на финансовом рынке в модели Эрроу–Дебре с безрисковым активом есть частным случаем существования неопределенности в матричной схеме ситуации принятия решений. Этот результат даёт возможность рассматривать теорию безарбитражного оценивания финансовых инструментов как ветвь общей теории решений. Запропоновано нову класифікацію ситуацій прийняття рішень, в основі якої знаходиться поняття невизначеності в матричній схемі ситуації. Такий підхід до класифікації ситуацій прийняття рішень відрізняється від відомого, згідно з яким розрізняють ситуації з ризиком та невизначеністю в залежності від наявності розподілу ймовірностей на множині значень невідомого параметра. Встановлено необхідні й достатні умови існування невизначеності в матричній схемі. Запропоновану класифікацію застосовано в аналізі фінансових ринків. Показано, що відсутність арбітражної можливості на фінансовому ринку в моделі Ерроу–Дебре з безризиковим активом є частковим випадком існування невизначеності в матричній схемі ситуації прийняття рішень. Цей результат дає можливість розглядати теорію безарбітражного оцінювання фінансових інструментів як галузь загальної теорії рішень. A new classification of the decision-making situations is proposed. It is based on the notion of uncertainty in matrix scheme of the situation. Such an approach to the classification of the decision-making situations differs from known approach, according to which the situations with risk and uncertainty are distinguished depending on the presence of probability distribution on the values of an unknown parameter. The necessary and sufficient conditions for existence of uncertainty in matrix scheme are established. The proposed notion of uncertainty is applied to the analysis of the financial markets. It is shown that the absence of an arbitrage opportunity on the financial market in the Arrow–Debreu model with a riskless asset is a particular case of the existence of uncertainty in the decision-making situation. This result gives an opportunity to view the no–arbitrage pricing theory for financial instruments as a branch of the general decision theory. 2014 Article Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности / Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 86-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85501 519.816:330.42 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Иваненко, Я.В. Пасичниченко, И.А. Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предложена новая классификация ситуаций принятия решений, в основе которой лежит понятие неопределенности в матричной схеме ситуации. Такой подход к классификации ситуаций принятия решений отличается от известного, согласно которому разделяют ситуации с риском и неопределенностью в зависимости от наличия распределения вероятностей на множестве значений неизвестного параметра. Установлены необходимые и достаточные условия существования неопределенности в матричной схеме. Предложенная классификация применена в анализе финансовых рынков. Показано, что отсутствие арбитражной возможности на финансовом рынке в модели Эрроу–Дебре с безрисковым активом есть частным случаем существования неопределенности в матричной схеме ситуации принятия решений. Этот результат даёт возможность рассматривать теорию безарбитражного оценивания финансовых инструментов как ветвь общей теории решений.
format	Article
author	Иваненко, Я.В. Пасичниченко, И.А.
author_facet	Иваненко, Я.В. Пасичниченко, И.А.
author_sort	Иваненко, Я.В.
title	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
title_short	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
title_full	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
title_fullStr	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
title_full_unstemmed	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
title_sort	неопределённость и отсутствие арбитражной возможности
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85501
citation_txt	Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности / Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 86-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT ivanenkoâv neopredelënnostʹiotsutstviearbitražnojvozmožnosti AT pasičničenkoia neopredelënnostʹiotsutstviearbitražnojvozmožnosti
first_indexed	2025-07-06T12:46:40Z
last_indexed	2025-07-06T12:46:40Z
_version_	1836901729167212544
fulltext	 Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко, 2014 86 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 УДК 519.816:330.42 НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И ОТСУТСТВИЕ АРБИТРАЖНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ Я.В. ИВАНЕНКО, И.А. ПАСИЧНИЧЕНКО Предложена новая классификация ситуаций принятия решений, в основе кото- рой лежит понятие неопределенности в матричной схеме ситуации. Такой подход к классификации ситуаций принятия решений отличается от известного, согласно которому разделяют ситуации с риском и неопределенностью в зави- симости от наличия распределения вероятностей на множестве значений неизвестного параметра. Установлены необходимые и достаточные условия существования неопределенности в матричной схеме. Предложенная класси- фикация применена в анализе финансовых рынков. Показано, что отсутствие арбитражной возможности на финансовом рынке в модели Эрроу–Дебре с без- рисковым активом есть частным случаем существования неопределенности в матричной схеме ситуации принятия решений. Этот результат даёт возмож- ность рассматривать теорию безарбитражного оценивания финансовых инст- рументов как ветвь общей теории решений. 1. ВВЕДЕНИЕ В теории решений представление о неопределённости как о чём-то проти- воположном риску было инициировано Найтом [3]. При этом наличие рас- пределения вероятностей на последствиях или на состояниях природы име- новалось риском, а отсутствие такого распределения — неопределённостью. Такая точка зрения во многом повлияла на дальнейшее развитие так называе- мой описательной теории решений [4–5]. Так теории, объясняющие пара- докс Элсберга, существенным образом использовали данное Найтом опре- деление [6–7]. Существует, однако, несколько аргументов в пользу альтернативного взгляда на проблему формализации понятия неопределённости. Одним из таких аргументов есть возможность построения такого определения только на основании того, что М. Алле назвал «принципом внутренней согласован- ности для социальных наук» [8, с. 504]. Полагая, следуя М. Алле, что раци- ональность заключается в том, что решения принимаются ради достижения целей [8, с. 504], можно определить неопределённость в схеме ситуации принятия решений как существование нескольких различных отношений предпочтения на множестве действий совместимых с некоторым фиксиро- ванным отношением предпочтения на множестве последствий [2], [9]. Мож- но показать, что существование хотя бы одной пары действий, на которых отношение предпочтения на действиях не единственно, уже необходимо и достаточно для существования неопределённости. Если потребовать большего, чтобы неопределённость в схеме ситуации (определяемая таким образом) существовала для любой пары действий, то приходим к понятию отсутствия возможности арбитража [10–12], которое является одним из основных в анализе финансовых рынков. Таким образом, отсутствие возможности арбитража можно считать частным случаем суще- Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 87 ствования неопределённости. Следовательно, это даёт возможность гово- рить о многих темах, которые традиционно считались прерогативой исклю- чительно финансовой теории и, в частности, финансовой математики, с еди- ных позиций теории решений и не выходя за её рамки. Заметим, что теория решений, основанная на таком определении, ведет к следующему различию между риском и неопределённостью. Риск стано- вится свойством одного отдельно взятого действия и означает лишь множе- ственность возможных последствий этого действия безотносительно нали- чия распределения вероятностей. Неопределенность же есть свойством системы решений в целом и зависит от отношения предпочтения на множе- стве последствий, множеств последствий, соответствующих каждому реше- нию, и правила вывода отношения предпочтения на множестве действий из отношения предпочтения на множестве последствий. Такой подход к риску и неопределенности хорошо согласуется с понятием меры неопределенно- сти [13–14], [9]. При фиксированном отношении предпочтения на множест- ве последствий неопределенность есть свойством схемы ситуации принятия решений. Таким образом, в такой системе понятий неопределенность может быть или не быть присуща ситуации с рискованными действиями. Поэтому имеет смысл называть развиваемый здесь подход к неопределённости и рис- ку нормативным [5] или операционным. Таким образом, цель работы — построение классификации ситуаций принятия решений на основании нового понятия неопределенности в схеме ситуации и применение этой классификации в анализе финансовых рынков. Статья организована следующим образом. В разделе 2 вводится опре- деление и дается критерий существования неопределённости в схеме ситуа- ции принятия решений. Некоторые из результатов этого раздела аналогичны результатам из [16], хотя и получены независимо. Там же рассмотрено более общее понятие неопределенности в матричной схеме. При таком подходе матричная схема содержит неопределенность относительно определенного класса правил выбора предпочтений. В разделе 3 показывается, что, с одной стороны, отсутствие возможно- сти арбитража на финансовом рынке является частным случаем существо- вания неопределённости в схеме ситуации принятия решений и что, с дру- гой стороны, можно распространить понятие отсутствия арбитражной возможности с финансового рынка на общую ситуацию решения. Таким об- разом, раздел 3 можно рассматривать как конкретное, хотя и теоретическое, приложение абстрактной теории из раздела 2. 2. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И КРИТЕРИЙ ЕЁ CУЩЕСТВОВАНИЯ Продолжая исследование условий существования неопределённости, нача- тое в [2], [9], и развитое в [15], [16], рассмотрим задачу формального описа- ния класса ситуаций принятия решений, в которых предпочтение индивида относительно последствий не «полностью определяют» его предпочтения относительно действий или, иными словами, совместимы со сразу несколь- кими отношениями предпочтения на действиях. Для этого необходимо уточнение интуитивного представления о том, как одни предпочтения могут определять другие в виде формального условия, налагаемого на связь отно- Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 88 шений предпочтения на последствиях и действиях, или, другими словами, правила вывода отношения предпочтения на множестве действий из отно- шения предпочтения на множестве последствий. Это условие должно быть слабым, чтобы охватывать как можно более широкий класс возможного по- ведения. В данной статье используется условие доминирования на множест- ве действий, которое есть математической формой вышеупомянутого прин- ципа внутренней согласованности. В связи с неоднозначностью терминологии, используемой в современ- ной литературе, напомним здесь свойства некоторых бинарных отношений. Определение 1. Отношение ),( X называется отношением предпочте- ния, если оно:  асимметрично: xyyx  не для любых ;, Xyx   негативно транзитивно: zxzyyx  нене,не  для любых .,, Xzyx  Так определенное отношение предпочтения есть иррефлексивной вер- сией обычного слабого порядка. Имея отношение предпочтения, можно оп- ределить отношение безразличия стандартным путем, положив ) не и не( xyyxyx  для любых ., Xyx  Легко видеть, что отношение безразличия есть эквивалентность. Определение 2. Отношение ),( X называется строгим частичным по- рядком, если оно:  иррефлексивно: xx  не для любого ;Xx  транзитивно: zxzyyx  , для любых .,, Xzyx  Если строгий частичный порядок вдобавок еще и  связный: xyyxyx  или для любых ,, Xyx  то его называют строгим линейным порядком. Очевидно, что строгий ли- нейный порядок есть также отношением предпочтения. Отношение предпочтения на множестве последствий отражает их же- лательность для лица, принимающего решения, или, иными словами, его интересы. Для простоты последствиями будем считать действительные чис- ла с обычным упорядочением в качестве отношения предпочтения. Здесь для чисел, являющихся последствиями, единственной операцией есть срав- нение по порядку. Такое рассмотрение подходит для всех случаев, в кото- рых выполнены условия теоремы существования функции полезности [17, с. 47]. Ясно, что для разных индивидов одна реальная ситуация c по- следствиями произвольной природы может иметь вид различных ситуаций с числовыми последствиями в зависимости от предпочтения последствий этих индивидов. Определение 3. Пару ),,( D где D — некоторое множество действи- тельных функций, определенных на , будем называть матричной схемой, D — множеством действий этой схемы,  — множеством значений пара- метра. Множество действий схемы отражает действия, доступные в соответст- вующей ситуации принятия решений. Последствия этих действий в общем Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 89 случае неоднозначны, чему в матричной схеме соответствует зависимость последствий, т.е. значений функций из ,D от параметра  , который обычно называют состоянием природы [4]. Матричная схема не содержит какой-либо дополнительной информации о закономерности появления по- следствий, например, распределения вероятностей на множестве . Именно поэтому для обозначения этого объекта уместно слово «схема». Определение 4. Отношение ),( D , заданное на множестве действий, будем называть доминированием, если для любых Ddd 21, . ] и )()([ 212121 dddddd   Очевидно, доминирование есть строгий частичный порядок. Нас инте- ресуют только те отношения предпочтения на множестве действий, которые совместимы с доминированием в смысле следующего определения. Определение 5. Отношение предпочтения ),( DP , заданное на мно- жестве действий матричной схемы ),( D , будем называть проекцией пред- почтения последствий в схеме ),( D (или кратко — проекцией), если 2121 dddd P  для любых ,, 21 Ddd  (1) где ),( D — доминирование. Определение 6. Матричная схема ),( D содержит неопределенность, если в ней проекция предпочтения последствий неединственная. Таким образом, предлагается правило вывода отношения предпочтения на множестве действий из отношения предпочтений на множестве последс- твий на основании доминирования. Это правило заключается в том, что от- ношение предпочтения на множестве действий есть проекцией предпочте- ния последствий. Тогда неопределенность в матричной схеме есть неоднозначностью правила вывода. В определении 6 осуществляется разделение матричных схем и, соот- ветственно, ситуаций принятия решений, на два класса: содержащие и не содержащие неопределённость. Следующая теорема отвечает на различные вопросы касательно существования и единственности проекции. Теорема 1. В любой матричной схеме: 1) существует проекция предпочтения последствий; 2) для единственности проекции предпочтения последствий необходи- мо и достаточно связности доминирования; 3) из единственности проекции предпочтения последствий следует её тождество с доминированием. Доказательство. Зафиксируем произвольную матричную схему .),( D 1. Существование проекции следует сразу же из теоремы Шпильрайна о продолжении порядка [17, с. 31], согласно которой любой строгий частич- ный порядок может быть продолжен до строгого линейного порядка. При- менив её к доминированию ,),( D получим такой строгий линейный поря- док ,),( DP что 2121 dddd P  для любых Ddd 21, (2) и тем самым гарантируем выполнение условий определения 5. Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 90 2. Достаточность. Если доминирование ),( D связно, то оно есть от- ношением предпочтения и, следовательно, проекцией предпочтения послед- ствий. Допустим, существует проекция ,),( DP отличная от доминирова- ния, т.е. найдутся такие Ddd 21, , что 21 dd P и не 21 dd  . Но по связности доминирования из не 21 dd  следует либо 1 2d d= , либо 12 dd  . Во втором случае условие (1) влечет 12 dd P , что, как и в первом случае, вместе с асимметричностью дает противоречие с допущением 21 dd P . Необходимость. Допустим, что доминирование не связно, и построим две различные проекции. Пусть ни одно из соотношений ,21 dd  ,21 dd  12 dd  не выполнено для некоторых ., 21 Ddd  Построим проекцию ,),( 1 DP описанным в п.1 способом. Она к тому же будет строгим линейным порядком, поэтому либо ,211 dd P либо .112 dd P Пусть, например, имеет место первый случай. Теперь построим проекцию ,),( 2 DP для которой бу- дет .122 dd P Для этой цели сначала подходящим образом продолжим до- минирование с ),( D до ,),( D положив для любых Dyx , .]) или ( и ) или [( или 1122 dyyddxdxyxyx   (3) Очевидно, что 12 dd  и yxyx   для любых ., Dyx  (4) Также несложно проверить, что ),( D — строгий частичный порядок, что устанавливается перебором всех возможностей в правой части (3). По- вторим рассуждения п.1 для ),( D вместо ),( D и получим строгий линей- ный порядок ),( 2 DP с 122 dd P . Условие (1) удовлетворено в силу (4) и (2). Следовательно, мы получили проекцию, отличную от предыдущей. Утверждение 3 теоремы следует сразу из утверждения 2, так как связ- ность доминирования превращает это отношение из строгого частичного порядка в строгий линейный, что делает его проекцией предпочтения по- следствий. Теорема доказана. В определении 6 мы попытались воплотить интуитивные представле- ния о наличии неопределенности в матричной схеме. Утверждение 2 теоре- мы указывает на способ, которым можно упростить формальное использо- вание этого понятия. Этот способ реализован в следующем утверждении, которое даёт критерий существования неопределённости в матричной схеме. Следствие. Матричная схема ),( D содержит неопределенность тогда и только тогда, когда существуют такие Ddd 21, и ,,  что )()( 21  dd  и )()( 12   dd . Доказательство. По определению матричная схема ),( D содержит неопределенность тогда и только тогда, когда в ней проекция предпочтения последствий неединственная, что в свою очередь по утверждению 2 теоре- мы 1 равносильно тому, что доминирование ),( D не связно, т.е. найдутся Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 91 различные Ddd 21, , для которых неверно 12 dd  и неверно 21 dd  . Это, в свою очередь, по определению доминирования равносильно наличию та- ких  , , что )()( 21  dd  и )()( 12   dd . Таким образом, даже если ситуация принятия решений будет содер- жать всего лишь два состояния природы, возможны два такие действия, по- следствия которых так зависят от этих состояний, что соответствующая матричная схема содержит неопределенность. 3. НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И ОТСУТСТВИЕ ВОЗМОЖНОСТИ АРБИТРАЖА Понятие неопределенности в матричной схеме находит свое непосредствен- ное применение в финансовой теории. Оказывается, что понятие отсутствия арбитражной возможности на финансовом рынке можно рассматривать как пример существования неопределенности в матричной схеме принятия ре- шений. В случае схем финансовых ситуаций условность, связанная с числен- ной оценкой последствий принимающим решения индивидом не играет ро- ли, так как исходная ситуация содержит только денежные последствия, и мы вправе допустить, что все принимающие решения предпочитают большие денежные суммы меньшим. Следовательно, уже сами значения денежных сумм можно принять в качестве последствий. Воспользуемся следующим формальным описанием финансового рын- ка, восходящим к модели рынка ценных бумаг Эрроу-Дебре [10–12]. Определение 7. Пара ),( pA , mnA  , np  называется финансо- вым рынком с безрисковым активом (или просто рынком), если 11 jA для любого },...,1{ mj и 11 p . Элементы множества },...,2,1{ m будем называть состояниями рынка. Матрица A содержит платежи по n базовым активам для каждого состоя- ния рынка, так что iA есть платеж по активу i в состоянии рынка . Актив с номером 1 называется безрисковым. Вектор p составлен из цен базовых активов. Без потери общности можно считать 11 p . Действительно, если ,11 p можно преобразовать исходные цены в цены расчетного периода, умножив p на 11 1 11 1 pp p         , и тем самым включить затраты на пользо- вание деньгами в цены базовых активов. Портфель есть вектор nx  , пла- тежи по портфелю x для каждого состояния рынка есть элементы вектора .xAT Далее, для векторов nyx , yx  обозначает ii yx  для всех  ni ,...,1 , x y< обозначает yx  и .yx  Определение 8. Портфель nx  называется арбитражным на рынке ),( pA , если )0 и 0(  xAxp TT или .)0 и 0(  xAxp TT Обычно, за этим определением следует теорема об отсутствии арбит- ражной возможности, которая устанавливает, что на рынке не существует Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 92 арбитражного портфеля тогда и только тогда, когда найдется вектор m с положительными компонентами, для которого Ap  [10–12]; компо- ненты  называют ценами состояний. Однако, данная теорема не является предметом внимания настоящей статьи, польку здесь наша цель состоит в установлении связи между отсутствием возможности арбитража и сущест- вованием неопределённости в матричной схеме. Представим рынок с помощью матричной схемы ),( D . Пусть матри- ца mnB  , ] ... [ pppAB  , содержит прибыли от базовых активов в раз- личных состояниях рынка. Множество действий mnT xxBD   }:{ состоит из векторов прибылей, доступных на рынке. Такую матричную схе- му ),( D назовем соответствующей рынку .),( pA Лемма. На рынке ),( pA существует арбитражный портфель тогда и только тогда, когда в соответствующей матричной схеме ),( D найдется такое действие Dd  , что 0d > . Доказательство. Для арбитражного портфеля x в обоих случаях из определения имеем 0 xpxa TT  для любого  и 0*  xpxa TT  для некоторого  , поэтому Td B x= удовлетворяет условию .0d Об- ратно, если есть в наличии 0d > , то для некоторого портфеля x имеем 0TB x d= > . Определим nx  как ,]0 ... 0 [ xpxx TTT  тогда ,0]... [  xBxpxpxpxAxA TTTTTTT .0xpT Таким образом, портфель x является арбитражным по первому усло- вию из определения. Лемма доказана. Заметим, что x отличается от x лишь тем, что средства на его приобретение взяты в долг. Теорема 2. На рынке ),( pA не существует арбитражного портфеля тогда и только тогда, когда для соответствующей матричной схемы ),( D и для любого DD  , для которого 2D , матричная схема ),( D содер- жит неопределенность. Доказательство. Будем оперировать с отрицаниями утверждений, ло- гическую эквивалентность которых устанавливает теорема. Заметим, что доминирование из определения 4 для векторов тождественно с .),( D Если на рынке ),( pA существует арбитражный портфель, тогда по лемме 0 d< для некоторого .Dd  Но тогда матричная схема })0,{,( d не содержит неопределенности, поскольку в ней существует лишь одна проекция пред- почтения последствий ,),( DP а именно: для любых }0,{, dyx  yx P тогда и только тогда, когда dyx  ,0 . Обратно, если для некоторого DD  , 2D матричная схема ),( D не содержит неопределенности, тогда, по утверждению 2 теоремы 1, доминирование в ней связно, и воз- можно выбрать различные ,, 21 Ddd  для которых, скажем, .21 dd  Если Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 93 1 1Td B x= и ,22 xBd T где nxx 21, , то DxxBd T  )( 12 и ,0d что, согласно лемме, означает существование арбитражного портфеля. Теорема доказана. Условие отсутствия арбитражной возможности на рынке ),( pA можно ослабить, считая портфель x арбитражным лишь в случае )0 и 0(  xAxp TT . Для рынка, на котором отсутствуют такие портфели (его еще называют сла- бо-безарбитражным [11]), теорема об отсутствии арбитражной возможности гарантирует лишь неотрицательность цен состояний. Для такого определе- ния арбитражного портфеля утверждение, аналогичное теореме 2, получает- ся, если в определении проекции предпочтения последствий в матричной схеме отношение доминирования заменить усиленным вариантом: для лю- бых Ddd 21, )()( 212 1  dddd  для любого .  Теорема 2 утверждает, что отсутствие арбитражной возможности на финансовом рынке эквивалентно наличию неопределенности в любой мат- ричной схеме, полученной путем сужения множества действий из матрич- ной схемы, соответствующей этому рынку. Другими словами, в этом случае неопределенность в соответствующей рынку матричной схеме не искореня- ется путем удаления из неё каких-либо действий. Если на рынке имеется арбитражный портфель, то найдется множество действий, которое образует матричную схему, не содержащую неопределенность. Таким образом, теорема 2 дает возможность говорить об одном из фун- даментальных понятий финансовой теории не выходя за рамки теории ре- шений и, в то же время, не обращаясь к понятию отношения принимающего решения к риску. С другой стороны, основываясь на определении 6 и теоре- ме 2, можно распространить понятие о возможности арбитража с финансо- вых рынков на общую ситуацию принятия решений. А именно, любую мат- ричную схему, которая не удовлетворяет условия теоремы 2, можно называть содержащей возможность арбитража. Иными словами, понятие «арбитраж» отождествляется с однозначным переносом предпочтения по- следствий на предпочтение действий. Возможность арбитража означает возможность такого однозначного переноса для некоторой пары действий в схеме .),( D 4. ВЫВОДЫ Таким образом, в этой статье дано определение понятия «неопределён- ность» в матричной схеме ситуации принятия решений и доказана теорема о критерии её существования. Эта формализация понятия неопределённости является развитием соответствующих определения и теоремы, предложен- ных в [2] для лотерейной схемы ситуации принятия решений. Совокупность этих результатов составляет альтернативу Найтовскому подходу к формали- зации понятия неопределённости и, в то же время, соответствует принципу внутренней согласованности М. Алле. Предлагаемый подход к понятию неопределённости в схеме ситуации принятия решений тесно связан с понятием отсутствия арбитражной воз- Я.В. Иваненко, И.А. Пасичниченко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 94 можности на финансовом рынке. Показано, что, с одной стороны, отсутст- вие арбитражной возможности (т.е. отсутствие арбитражного портфеля) на финансовом рынке есть частным случаем существования неопределённости в матричной схеме ситуации принятия решений, и что, с другой стороны, можно распространить понятие арбитражной возможности на общую, не обязательно финансовую, ситуацию принятия решений. Авторы благодарны профессору В.И. Иваненко за плодотворные дис- куссии, замечания и комментарии. ЛИТЕРАТУРА 1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах приня- тия решений. — К.: Наукова думка, 1990. — 136 с. 2. Иваненко В.И., Михалевич В.М. К вопросу о неопределенности в задачах при- нятия решения // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 116–120. 3. Knight F.H. Risk, uncertainty and profit. — Boston: Houghton Mifflin, 1921. — 381 p. 4. Savage L.J. The foundations of statistics. — NY: Wiley & Sons, 1954. — 294 p. 5. Bell D.E., Raiffa H., Tversky A. (eds.) Decision making: descriptive, normative, and prescriptive interactions. — NY: Cambridge University Press, 1988. — 623 p. 6. Ellsberg D. Risk, ambiguity and the Savage axioms // Quarterly Journal of Eco- nomics. — 1961. — № 75. — P. 643–669. 7. Bouyssou D., Dubois D., Prade H., Pirlot M. (eds.) Decision-Making Process: Con- cepts and methods. — NY: John Wiley & Sons, 2010. — 928 p. 8. Allais M. Le comportement de l’homme rationel devant le risque // Econometrica. — 1953. — № 21 (4). — P. 503–546. 9. Ivanenko V.I. Decision systems and nonstochastic randomness. — NY: Springer, 2010. — 272 p. 10. Avellaneda M., Laurence P. Quantitative modeling of derivative securities: from theory to practice. — NY: Chapman and Hall /CRC, 2000. — 322 p. 11. Duffie D. Dynamic asset pricing theory, 3rd ed. — Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 2010. — 472 p. 12. Varian H.R. The arbitrage principle in financial economics // The Journal of Eco- nomic Perspectives. — 1987. — 1, № 2. — P. 55–72. 13. DeGroot M.H. Uncertainty, information, and sequential experiments // Annals of Mathematical Statistics. — 1962. — 33, № 2. — P. 404–419. 14. Marschak J. Towards an economic theory of organization and information. — 1954. — http://cowles.econ.yale.edu/P/cp/p00b/p0095.pdf. 15. Михалевич В.М., Иваненко В.И. К неопределенности в непараметрических схе- мах ситуаций задач принятия решения // Системні дослідження та інформа- ційні технології. — 2012. — № 1. — С. 61–76. 16. Иваненко В.И., Михалевич В.М. К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2012. — № 3. — С. 30–42. 17. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978. — 352 с. Поступила 18.11.2013

Неопределённость и отсутствие арбитражной возможности

Репозитарії

Схожі ресурси