Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень

У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Оліяр, Ю.І., Сторож, О.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85631
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85631
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-856312015-08-12T03:01:59Z Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. Математика У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення. В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряженности двух линейных отношений в гильбертовом пространстве, а также дано описание максимально диссипативных расширений симметрического отношения. In terms of abstract boundary operators, the criteria of mutual adjointness for two relations in a Hilbert space are established. The description of maximally dissipative extensions of a given symmetric relation is given. 2013 Article Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85631 513.88 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень Доповіді НАН України
description	У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення.
format	Article
author	Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г.
author_facet	Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г.
author_sort	Оліяр, Ю.І.
title	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
title_short	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
title_full	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
title_fullStr	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
title_full_unstemmed	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
title_sort	абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85631
citation_txt	Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT olíârûí abstraktníkrajovíoperatoritadeâkíklasilíníjnihrozširenʹlíníjnihvídnošenʹ AT storožog abstraktníkrajovíoperatoritadeâkíklasilíníjnihrozširenʹlíníjnihvídnošenʹ
first_indexed	2025-07-06T12:54:37Z
last_indexed	2025-07-06T12:54:37Z
_version_	1836902230130688000
fulltext	УДК 513.88 Ю. I. Олiяр, О. Г. Сторож Абстрактнi крайовi оператори та деякi класи лiнiйних розширень лiнiйних вiдношень (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженос- тi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення. Теорiя лiнiйних вiдношень (“багатозначних операторiв”) у гiльбертових просторах була за- початкована, мабуть, у статтi Р. Аренса [1] i знайшла свiй подальший розвиток в [2, 3] та в працях багатьох iнших математикiв. Нагадаємо, що якщо H — гiльбертiв простiр (зi ска- лярним добутком (· \| ·)), то (замкненим) лiнiйним вiдношенням у H називають (замкнений) лiнiйний многовид у H2 def = H ⊕H. Для кожного лiнiйного вiдношення T ⊂ H2 iснує спря- жене T ∗ ⊂ H2 вiдношення, яке визначається так: T ∗ = ĴT⊥ = T ∗(= (ĴT )⊥), де ∀ (y, y′) ∈ T Ĵ(y, y′) = (−iy′, iy) (тут ⊥ — символ ортогонального доповнення в H2). Вiдношення T ⊂ H2 називають симетричним (самоспряженим), якщо T ⊂ T ∗ (вiдповiдно T = T ∗). Це вiдно- шення називається дисипативним (акумулятивним), якщо ∀ (y, y′) ∈ T Im(y′ \| y) > 0 (6 0) i максимально дисипативним (максимально акумулятивним), якщо, крiм цього, воно не має в H2 нетривiальних дисипативних (акумулятивних) розширень. Зазначимо, що лiнiйнi вiдношення, породженi диференцiальними рiвняннями (вираза- ми), були об’єктами дослiдження, наприклад, у [4–6] i що нижче систематично застосовую- ться такi позначення: D(T ), R(T ), kerT — вiдповiдно область визначення, область значень та многовид нулiв оператора T; (· \| ·)X — символ скалярного добутку в гiльбертовому просто- рi X; IX — оператор тотожного перетворення в просторi X; ⊕, ⊖ — символи ортогональної суми та ортогонального доповнення вiдповiдно; якщо Ai : X → Yi(1, . . . , n) — лiнiйнi опера- тори, то запис A = A1 ⊕ · · · ⊕ An означає, що для будь-якого x ∈ X Ax = (A1x, . . . , Anx); E — замикання множини E; T ∗ — оператор, спряжений з оператором T . Роль вихiдного об’єкта вiдiграє пара (L,L0) замкнених лiнiйних вiдношень таких, що L0 ⊂ L ⊂ H2. Критерiй взаємної спряженостi двох замкнених лiнiйних вiдношень. Покладе- мо M0 = L∗, M = L∗ 0. Будь-яке замкнене лiнiйне вiдношення L1(M1) таке, що L0 ⊂ L1 ⊂ L (вiдповiдно M0 ⊂ M1 ⊂ M) називатимемо власним розширенням L0(M0). Нижче встанов- лено критерiй взаємної спряженостi вiдношень L1 та M1. Означення 1. Нехай G — (допомiжний) гiльбертiв простiр, а U ∈ B(L,G). Пара (G,L) називається крайовою парою для (L,L0), якщо R(U) = G, kerU = L0. Теорема 1. Нехай (GL, U) та (GM , U) — крайовi пари (L,L0) та (M,M0) вiдповiдно. Тодi iснує єдине вiдображення E : GL → GM таке, що E ∈ B(GL, GM ), E−1 ∈ B(GM , GL), (1) © Ю. I. Олiяр, О. Г. Сторож, 2013 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 19 ∀ ŷ = (y, y′) ∈ L, ∀ ẑ = (z, z′) ∈ MU (y′ \| z)− (y \| ź) = (iĴ ŷ \| ẑ)H2 = = (EU (̂y) \|V ẑ)GM = (Uŷ \|E∗V ẑ)GL . (2) Наслiдок 1. Нехай G1, G2 — гiльбертовi простори, Ui ∈ B(L,Gi) (i = 1, 2), G = G1 ⊕ ⊕G2, U = U1⊕U2. Припустимо, що (G,U) — крайова пара для (L,L0). Тодi iснують єдинi Ũ1 ∈ B(M,G2), Ũ2 ∈ B(M,G1) такi, що (G̃, Ũ), де G̃ = G2 ⊕ G1, Ũ = Ũ1 ⊕ Ũ2, є крайовою парою для (M,M0) i (∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ M) (iĴ ŷ \| ẑ)H2 = (iJUŷ \| Ũ ẑ) G̃ = (U1ŷ \| Ũ2ẑ)G1 − (U2ŷ \| Ũ1ẑ)G2 , (3) де (∀h1 ∈ G1) (∀h2 ∈ G2) J(h1, h2) = (ih2,−ih1). (4) Зауваження 1. Мiркуючи так, як у [7], неважко переконатися, що в умовах наслiдку 1 U1Ĵ Ũ ∗ 1 = 0, U1Ĵ Ũ ∗ 2 = iIG1 , U2Ĵ Ũ ∗ 1 = −iIG2 , U2Ĵ Ũ ∗ 2 = 0. (5) Твердження 1. Нехай Gi, Ui, Ũi (i = 1, 2) такi, як у наслiдку 1, а L1 def = kerU1. Тодi L∗ 1 def = ker Ũ1. Теорема 2. Припустимо, що L0 ⊂ L1 = L1 ⊂ L, G — гiльбертiв простiр, причому dimG = dim(L ⊖ L0). Тодi: a) iснують ортогональний розклад G = G1 ⊕ G2 та оператори U1 ∈ B(L,G1), V1 ∈ B(M,G2) (6) такi, що L1 = kerU1, L∗ 1 = kerV1, (7) а отже, kerU1 ⊃ L0, ker V1 ⊃ M0; (8) б) не зменшуючи загальностi, можна вважати, що R(U1) = G1, R(V1) = G2. (9) Беручи до уваги теорему 2, бачимо, що природним чином постає така задача. Нехай: а) G = G1 ⊕G2 (де G1, G2 — гiльбертовi простори), dimG = dim(L ⊖ L0), а оператори U1, V1 задовольняють (6) та (8); б) L1 = kerU1, M1 = ker V1. (10) Встановити критерiй взаємної спряженостi вiдношень L1 та M1. Вiдповiдь на це питання дає така теорема. 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4 Теорема 3. Вiдношення L1 та M1 (див. (6), (8) та (10)) є взаємно спряженими тодi i тiльки тодi, коли kerU1 = L0 ⊕ ĴR(V ∗ 1 ). Максимально дисипативнi розширення симетричних вiдношень. Розглянемо ситуацiю, коли L0 — симетричне вiдношення в H, а L = L∗ 0, i опишемо максимально ди- сипативнi розширення вiдношення L0. У випадку, коли L0 — щiльно визначений оператор з однаковими дефектними числами (в теорiї лiнiйних вiдношень оператор ототожнюють з його графiком), такий опис наведено у [8–10]. Випадок, коли оператор є скiнченновимiр- ним звуженням (щiльно визначеного) симетричного оператора, дослiджено в [11, 12]. Перш нiж переходити до конкретних формулювань, зазначимо, що нижче використо- вуються такi позначення: ĤL = L⊖ L0, H± L = ker(L∓ iIH)(= {y ∈ H : (y,±iy) ∈ L}), Ĥ± L = {(y,±iy) ∈ H2 : y ∈ Ĥ± L }, m± = dim(H± L )(= dim Ĥ± L ). Вiдомо [2], що ĤL = Ĥ+ L ⊕ Ĥ− L , тобто L = L0 ⊕ Ĥ+ L ⊕ Ĥ− L . Означення 2. Нехай G+, G− — (допомiжнi) гiльбертовi простори, δ± ∈ B(L,G±), G def = G+ ⊕ G−, δ = δ+ ⊕ δ−. Набiр (G+, G−, δ+δ−) називається граничною четвiркою для L0 якщо: а) dimG± = m±; б) ker δ = L0; в) R(δ) = G; г) (∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ L) (iĴ ŷ \| ẑ)H2 = i[(δ+ŷ \| δ+ẑ)G+ − (δ−ŷ \| δ−ẑ)G− ]. Зрозумiло, що (G, δ) є крайовою парою для (L,L0) i (∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ L) (iĴ ŷ \| ẑ)H2 = = (iIδŷ \| δẑ)G, де I = ( IG+ 0 0 −IG− ) . Теорема 4. Нехай G — гiльбертiв простiр такий, що dimG = dim(L ⊖ L0). Тодi iснують ортогональний розклад G = G+ ⊕ G− та оператори δ± ∈ B(L,G±) такi, що (G+, G−, δ+, δ−) — гранична четвiрка для L0. Теорема 5. Нехай (G+, G−, δ+, δ−) — гранична четвiрка для L0, G = G+ ⊕ G−, A± 1 ∈ ∈ B(G±, G−) (вiдповiдно A± 1 ∈ B(G±, G+)), L1 = {y ∈ L : A+ 1 δ+y +A− 1 δ−y = 0}. Такi твердження еквiвалентнi: а) L1 — максимально дисипативне (максимально акумулятивне) вiдношення; б) A± 1 (A ± 1 ) ∗ 6 A− 1 (A − 1 ) ∗, kerA− 1 = {0} (вiдповiдно A± 1 (A ± 1 ) ∗ > A− 1 (A − 1 ) ∗, kerA+ 1 = {0}); в) iснує стиск K ∈ B(G+, G−) такий, що L1 = {y ∈ L : δ−y = Kδ+y} (вiдповiдно iснує стиск K ∈ B(G−, G+) такий, що L1 = {y ∈ L : δ+y = Kδ−y}). Зауваження 1. Припустимо, що L0 має однаковi дефектнi числа (m+ = m−), а G+ = G− (таке припущення не зменшує загальностi). В умовах теореми 4 вiдношення L1 є самоспря- женим тодi i тiльки тодi, коли A± 1 (A ± 1 ) ∗ = A− 1 (A − 1 ) ∗, kerA± 1 = {0}. Зауваження 2. Як доведено в [11] (див. також [12]), будь-яке дисипативне (акумулятив- не) розширення симетричного лiнiйного вiдношення L0 є звуженням вiдношення L = L∗ 0, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 21 тому в теоремi 5 фактично дано опис усiх максимально дисипативних та максимально аку- мулятивних (а в деяких випадках i самоспряжених) розширень симетриного вiдношення в термiнах абстрактних крайових умов. 1. Arens R. Operational calculus of linear relations // Pacif. J. Math. – 1961. – 11, No 1. – P. 9–23. 2. Coddington E.A. Stlf-adjoint subspace extensions of nondensely defined linear operators // Bull. Amer. Math. Soc. – 1973. – 79, No 4. – P. 712–715. 3. Dijksma A., de Snoo H. S. V. Self-adjoint extensions of symmetric subspaces // Pacif. J. Math. – 1974. – 54, No 1. – P. 71–100. 4. Hassi S., de Snoo H. S.V., Sterk A., Winkler H. Finite-dimensional graph perturbations of selfadjoint Sturn–Liouville operators // Operator Theory, Structured Matrices, and Dilations: Tiberiu Constantinescu Memorial Volume. – Theta Foundation, 2007. – P. 205–226. 5. Bruk V.M. On linear relations generated by nonnegative operator function and degenerate elliptic dif- ferential operator extension // J. Math. Physics, Analysis, Geometry. – 2009. – 5, No 2. – P. 123–144. 6. Bruk V.M. On linear relations generated by a differential expression and by a Nevanlinna operator func- tion // Ibid. – 2011. – 7, No 2. – P. 115–140. 7. Лянце В.Э., Сторож О.Г. Методы теории неограниченных операторов. – Киев: Наук. думка, 1983. – 210 с. 8. Кочубей А.Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений // Мат. заметки. – 1975. – 17, № 1. – С. 41–48. 9. Брук В.М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии // Мат. сборник. – 1976. – 100, № 2. – С. 210–216. 10. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 248 с. 11. Кочубей А.Н. О расширениях неплотно заданного симметрического оператора // Сиб. мат. журн. – 1977. – 18, № 2. – С. 314–320. 12. Сторож О.Г. Зв’язок мiж двома парами лiнiйних вiдношень та дисипативнi розширення деяких нещiльно визначених операторiв // Карпат. мат. публ. – 2009. – 1, № 2. – С. 207–213. Надiйшло до редакцiї 15.10.2012Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка Ю.И. Олияр, О. Г. Сторож Абстрактные краевые операторы и некоторые классы расширений линейных отношений В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряжен- ности двух линейных отношений в гильбертовом пространстве, а также дано описание максимально диссипативных расширений симметрического отношения. Yu. I. Olijar, O.G. Storozh Abstract boundary operators and some classes of extensions of linear relations In terms of abstract boundary operators, the criteria of mutual adjointness for two relations in a Hilbert space are established. The description of maximally dissipative extensions of a given symmetric relation is given. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4

Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень

Репозитарії

Схожі ресурси