Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем
Исследована абсолютная параметрическая устойчивость системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Построена матричнозначная функция, которая позволяет установить указанное свойство системы. Определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из которой абсолютная...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85637 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 53–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85637 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-856372015-08-12T03:01:59Z Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем Хорошун, А.С. Механіка Исследована абсолютная параметрическая устойчивость системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Построена матричнозначная функция, которая позволяет установить указанное свойство системы. Определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из которой абсолютная параметрическая устойчивость рассматриваемой системы имеет место. Дослiджено абсолютну параметричну стiйкiсть системи сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь. Побудовано матричнозначну функцiю, яка дозволяє встановити вказану властивiсть системи. Визначено область у просторi параметрiв для всiх значень параметрiв, з якої абсолютна параметрична стiйкiсть системи, що розглядається, має мiсце. The absolute parametric stability of a singularly perturbed system of differential equations is investigated. A matrix-valued function which gives an ability to hold such property of the system is built. A region in the space of parameters, where the absolute parametrical stability of the investigated system holds for all values of parameters is determined. 2013 Article Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 53–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85637 517.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Хорошун, А.С. Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем Доповіді НАН України |
| description |
Исследована абсолютная параметрическая устойчивость системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Построена матричнозначная функция, которая
позволяет установить указанное свойство системы. Определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из которой абсолютная параметрическая устойчивость рассматриваемой системы имеет место. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, А.С. |
| author_facet |
Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Хорошун, А.С. |
| title |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| title_short |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| title_full |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| title_fullStr |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| title_full_unstemmed |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| title_sort |
об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85637 |
| citation_txt |
Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 53–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT horošunas obabsolûtnojparametričeskojustojčivostisingulârnovozmuŝennyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-06T12:54:58Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:54:58Z |
| _version_ |
1836902251833065472 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2013
МЕХАНIКА
УДК 517.36
А.С. Хорошун
Об абсолютной параметрической устойчивости
сингулярно возмущенных систем
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Исследована абсолютная параметрическая устойчивость системы сингулярно возму-
щенных дифференциальных уравнений. Построена матричнозначная функция, которая
позволяет установить указанное свойство системы. Определена область в пространс-
тве параметров, для всех значений параметров из которой абсолютная параметричес-
кая устойчивость рассматриваемой системы имеет место.
Постановка задачи. Рассмотрим неточную сингулярно возмущенную систему дифферен-
циальных уравнений следующего вида:
{
ẋ = f1(x, y, p),
µẏ = f2(x, y, p),
(1)
где x(t) ∈ R
n, y(t) ∈ R
m — переменные, определяющие состояние системы в момент времени
t ∈ R+. Векторные функции f1(x, y, p) ∈ R
n, f2(x, y, p) ∈ R
m предполагаются непрерывно
дифференцироваными по переменным x и y и непрерывно зависящими от векторного па-
раметра p ∈ R
l, µ ∈ (0, 1] — малый параметр.
Приведем определение абсолютной параметрической устойчивости неточной системы.
Определение 1. Неточная cистема дифференциальных уравнений называется абсо-
лютно параметрически устойчивой относительно области P ⊆ R
l, если для всех p ∈ P
выполняются следующие условия:
1) существует единственное состояние равновесия xe(p) рассматриваемой системы;
2) xe(p) глобально асимптотически устойчиво.
Используя формулу конечных приращений Лагранжа для функций f1(x, y, p)
и f2(x, y, p), систему (1) приведем к виду
{
ẋ = A11(x̃, ỹ, p)x+A12(x̃, ỹ, p)y + C1(p),
µẏ = A21(˜̃x, ˜̃y, p)x+A22(˜̃x, ˜̃y, p)y + C2(p),
(2)
© А.С. Хорошун, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 53
где
A11(x̃, ỹ, p) =
∂f1(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣x=x̃
y=ỹ
; A12(x̃, ỹ, p) =
∂f1(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣x=x̃
y=ỹ
;
A21(˜̃x, ˜̃y, p) =
∂f2(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣x=˜̃x
y=˜̃y
; A22(˜̃x, ˜̃y, p) =
∂f2(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣x=˜̃x
y=˜̃y
;
C1(p) = f1(0, 0, p); C2(0, 0, p) = f2(0, 0, p); x̃ ∈ R
n; ˜̃x ∈ R
n; ỹ ∈ R
m; ˜̃y ∈ R
m — некоторые
точки соответствующих пространств.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Пусть система уравнений (1) такова, что
1) существует значение параметра p = p∗ такое, что при этом значении параметра су-
ществует состояние равновесия x = x∗, y = y∗ рассматриваемой системы;
2) существуют такие положительные числа α, β, γ, δ < +∞, что выполняются следую-
щие оценки:
‖A11(x, y, p)−A11(x
∗, y∗, p∗)‖ 6 α, ‖A12(x, y, p) −A12(x
∗, y∗, p∗)‖ 6 β,
‖A21(x, y, p)−A21(x
∗, y∗, p∗)‖ 6 γ, ‖A22(x, y, p)−A22(x
∗, y∗, p∗)‖ 6 δ
для всех x ∈ R
n, y ∈ R
m, p ∈ P ∈ R
l;
3) матрицы A11(x
∗, y∗, p∗) и
A = A22(x
∗, y∗, p∗)−A21(x
∗, y∗, p∗)A−1
11 (x
∗, y∗, p∗)A12(x
∗, y∗, p∗)
невырождены.
Замечание 1. Отметим, что здесь и далее по тексту используется спектральная норма
для матриц и евклидова норма для векторов.
Следует подчеркнуть, что в работе [1] рассматривалась система вида (1) с управлением,
для которой, на основании применения векторной функции Ляпунова, были получены дос-
таточные условия абсолютной параметрической устойчивости и определено управление,
позволяющее гарантировать эту характеристику системы. Если предположить, что управ-
ление отсутствует, то результаты работы [1] могут быть интерпретированы как достаточные
условия абсолютной параметрической устойчивости системы вида (1), которые, однако, тре-
буют устойчивости линейных приближений подсистем системы (1). В данной работе для ис-
следования устойчивости исходной системы будет использована матричнозначная функция
Ляпунова. Это позволит отказаться от требования устойчивости линейного приближения
медленной подсистемы, т. е. даст возможность расширить результаты работы [1]. Также
будет определена область P ⊆ R
l абсолютной параметрической устойчивости исходной сис-
темы и множество значений параметра µ, при которых указанное свойство системы (1)
сохраняется.
Анализ существования состояния равновесия исследуемой системы. Следуя
результатам п. 2 работы [1], получим, что если выбрать величины α, β, γ и δ так, чтобы
выполнялись соотношения
‖A−1
11 (x
∗, y∗, p∗)‖α < 1 (3)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
и
‖A−1‖δ + ‖A−1‖[γM(α)β + γ‖A−1
11 (x
∗, y∗, p∗)‖β + γM(α)‖A12(x
∗, y∗, p∗)‖+
+ γ‖A−1
11 (x
∗, y∗, p∗)‖‖A12(x
∗, y∗, p∗)‖+ ‖A21(x
∗, y∗, p∗)‖M(α)β +
+ ‖A21(x
∗, y∗, p∗)‖‖A−1
11 (x
∗, y∗, p∗)‖β +
+ ‖A21(x
∗, y∗, p∗)‖M(α)‖A12(x
∗, y∗, p∗)‖] < 1, (4)
то для всех p ∈ P и функций f1(x, y, p), f2(x, y, p) таких, что выполняются оценки из п. 2
предположения 1, где α, β, γ и δ выбраны выше, существует единственное состояние рав-
новесия системы (2), суть системы (1).
Замечание 2. Поскольку при α = β = γ = δ = 0 соотношения (3), (4) выполняются
и функции, входящие в эти соотношения, очевидно, непрерывны по α, β, γ и δ, то величины
α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0 всегда могут быть определены.
Достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости неточных
сингулярно возмущенных систем. Пусть для системы уравнений (1) выполняются усло-
вия предположения 1. Обозначим ((xe)T , (ye)T )T состояние равновесия системы (1), соо-
тветствующее некоторому значению параметра p.
Рассмотрим матричнозначную функцию следующего вида (см. [3–5]):
V (x, y, µ) =
(
v11(x) v12(x, y, µ)
v21(x, y, µ) v22(y, µ)
)
, (5)
где v11(x) = (x− xe)TP1(x− xe); v22(y, µ) = µ(y − ye)TP3(y − ye); v21(x, y, µ) = v12(x, y, µ) =
= µ(x − xe)TP2(y − ye); P1 ∈ R
n×n; P3 ∈ R
m×m — симметрические положительно опреде-
ленные матрицы; P2 ∈ R
n×m — постоянная матрица. Выбрав вектор ηT = (1, 1), следуя [3],
образуем скалярную функцию
v(x, y, µ) = ηTV (x, y, µ)η. (6)
Учитывая, что для элементов матричнозначной функции (5) имеют место оценки
v11(x) > λmin(P1)‖x− xe‖2 для всех x ∈ R
n,
v22(y, µ) > µλmin(P3)‖y − ye‖2 для всех y ∈ R
m, µ ∈ (0, 1],
v12(x, y, µ)>−µ(λmax(P2P
T
2 ))1/2‖x−xe‖‖y−ye‖ для всех x ∈ R
n, y ∈ R
m, µ ∈ (0, 1],
где λmin(·), λmax(·) — минимальное и максимальное собственные значения соответствующей
матрицы, для скалярной функции (6) имеет место следующая оценка:
v(x, y, µ) > uTA(µ)u, для всех (x, y, µ) ∈ R
n × R
m × (0, 1],
где
uT = (‖x− xe‖, ‖y − ye‖), A(µ) =
(
λmin(P1) −µ(λmax(P2P
T
2 ))1/2
−µ(λmax(P2P
T
2 ))1/2 µλmin(P3)
)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 55
Найдем производную функции (6) по времени в силу системы (1)
v̇(x, y, µ)
∣∣∣
(1)
6 (‖x− xe‖, ‖y − ye‖)D(α, β, γ, δ, µ)(‖x − xe‖, ‖y − ye‖)T ,
где
D(α, β, γ, δ, µ) =
(
A(α, γ) C(α, β, γ, δ, µ)
C(α, β, γ, δ, µ) B(β, δ, µ)
)
;
A(α, γ) = λmax(A
T
11(x
∗, y∗, p∗)P1 + P1A11(x
∗, y∗, p∗) +AT
21(x
∗, y∗, p∗)P T
2 +
+ P2A21(x
∗, y∗, p∗)) + 2‖P1‖α+ 2‖P2‖γ;
B(β, δ, µ) = λmax(A
T
22(x
∗, y∗, p∗)P3 + P3A22(x
∗, y∗, p∗)) + 2‖P3‖δ +
+ 2µ‖P2‖β + µλmax(A
T
12(x
∗, y∗, p∗)P2 + P T
2 A12(x
∗, y∗, p∗));
C(α, β, γ, δ, µ) = ‖P1A12(x
∗, y∗, p∗) + P2A22(x
∗, y∗, p∗) +AT
12(x
∗, y∗, p∗)P3‖+
+ ‖P1‖β + ‖P2‖δ + µ‖P2‖‖A11(x
∗, y∗, p∗)‖+ µ‖P2‖α+ ‖P3‖γ.
Используя полученные оценки, сформулируем теорему, которая определяет достаточные
условия абсолютной параметрической устойчивости неточной сингулярно возмущенной сис-
темы относительно некоторой области в пространстве параметров.
Теорема 1. Пусть для неточной сингулярно возмущенной системы (1) выполняются
условия предположения 1, построена матричнозначная функция (5) и для матриц P1, P2,
P3, величин α, β, γ, δ и всех 0 < µ 6 µ∗ <
λmin(P1)λmin(P3)
λmax(P2P
T
2 )
выполняются соотноше-
ния (3), (4),
A(α, γ) < 0, (7)
A(α, γ)B(β, δ, µ) − C2(α, β, γ, δ, µ) > 0. (8)
Тогда система (1) абсолютно параметрически устойчива относительно области P для
всех µ ∈ (0, µ∗].
Пример. В качестве примера применения предложенного подхода исследуем поведе-
ние решений неточной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений
четвертого порядка со скалярным параметром
ẋ1 = 2x1 − 20y1 − 0,2 cos(x1 + y1 + p) + 0,2,
ẋ2 = 0,8x2 − 20,2y2 + arctg(0,2(x2 + y2)) + πp5,
µẏ1 = x1 − 4y1 + 0,2 sin2(p) ln
x1 +
√
x21 + 1
y1 +
√
y21 + 1
,
µẏ2 = x2 − 4,2y2 − 0,2 cos(px2) + arctg(0,2y2) + 0,2.
(9)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Система (9) при p∗ = 0 имеет состояние равновесия x∗1 = 0, x∗2 = 0, y∗1 = 0, y∗2 = 0 и для
производных функций, входящих в ее состав, выполняются следующие равенства:
A11(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1 , y
∗
2 , p
∗) =
(
2 0
0 1
)
, A12(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1 , y
∗
2 , p
∗) =
(
−20 0
0 −20
)
,
A21(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1 , y
∗
2 , p
∗) =
(
1 0
0 1
)
, A22(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1 , y
∗
2 , p
∗) =
(
−4 0
0 −4
)
,
A(x∗1, x
∗
2, y
∗
1, y
∗
2 , p
∗) =
(
6 0
0 16
)
и также для всех x1 ∈ R, x2 ∈ R, y1 ∈ R, y2 ∈ R, p ∈ [−1, 1]
‖A11(x1, x2, y1, y2, p)−A11(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1, y
∗
2 , p
∗)‖ 6 α,
‖A12(x1, x2, y1, y2, p)−A12(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1, y
∗
2 , p
∗)‖ 6 β,
‖A21(x1, x2, y1, y2, p)−A21(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1, y
∗
2 , p
∗)‖ 6 γ,
‖A22(x1, x2, y1, y2, p)−A22(x
∗
1, x
∗
2, y
∗
1, y
∗
2 , p
∗)‖ 6 δ,
где α = β = γ = δ = 0,12. То есть все условия предположения 1 выполнены.
Построим матричнозначную функцию (5), где
P1 =
(
0,3 0
0 0,3
)
, P2 =
(
−1 0
0 −1
)
, P3 =
(
2 0
0 2
)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 57
и определим верхнюю оценку для величины малого параметра: µ < 0,6. Для системы (9)
выполняются соотношения (3), (4), (7), (8) для всех µ ∈ (0, 0,32]. Значит, согласно теореме 1,
система (9) абсолютно параметрически устойчива относительно области P = {p ∈ R | |p| 6
6 1}. На рис. 1–4 представлены графики, которые иллюстрируют поведение решений этой
системы при значениях параметра p = 0,9, µ = 0,23 и начальных значениях переменных
x10 = 70, x20 = 25, y10 = −30, y20 = −50.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента Украины для поддержки научных ис-
следований молодых ученых.
1. Мартынюк А. А, Хорошун А.С. К задаче стабилизации движения параметрической семьи нелиней-
ных сингулярно возмущенных систем // Нелинейные колебания. – 2011. – 14, № 2. – С. 238–254.
2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1989. – 655 с.
3. Martynyuk A.A. Stability by Lyapunov’s matrix function method with applications. – New York: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
4. Martynyuk A.A. Uniform asymptotic stability of a singularly perturbed system via the Lyapunov matrix-
function // Nonlin. Analusis – 1987. – No 11. – P. 1–4.
5. Martynyuk A.A., Miladzhanov V.G. Stability investigation of autonomous singularly perturbed systems
on the basis of matrix Lyapunov function // Diff. Uravn. – 1988. – No 24. – P. 416–424.
6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 223 с.
Поступило в редакцию 07.09.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
А.С. Хорошун
Про абсолютну параметричну стiйкiсть сингулярно збурених систем
Дослiджено абсолютну параметричну стiйкiсть системи сингулярно збурених диферен-
цiальних рiвнянь. Побудовано матричнозначну функцiю, яка дозволяє встановити вказану
властивiсть системи. Визначено область у просторi параметрiв для всiх значень парамет-
рiв, з якої абсолютна параметрична стiйкiсть системи, що розглядається, має мiсце.
A. S. Horoshun
On the absolute parametric stability of singularly perturbed systems
The absolute parametric stability of a singularly perturbed system of differential equations is investi-
gated. A matrix-valued function which gives an ability to hold such property of the system is built.
A region in the space of parameters, where the absolute parametrical stability of the investigated
system holds for all values of parameters is determined.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|