Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів
Для розв’язання вiсесиметричних задач розвинуто тензорно-матричну систему рiвнянь МСЕ, що описує великi деформацiї нестисливого пружного тiла, а також матрицю частинних похiдних цiєї системи....
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85638 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів / В.В. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 59–64. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85638 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-856382015-08-12T03:02:00Z Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів Чехов, В.В. Механіка Для розв’язання вiсесиметричних задач розвинуто тензорно-матричну систему рiвнянь МСЕ, що описує великi деформацiї нестисливого пружного тiла, а також матрицю частинних похiдних цiєї системи. Для решения осесимметричных задач развита тензорно-матричная система уравнений МКЭ, описывающая большие деформации несжимаемого упругого тела, а также получена матрица частных производных этой системы. A system of tensor-matrix equations describing the large strains of an incompressible elastic body and its Jacobian matrix of partial derivatives of this system have been obtained to solve axisymmetric problems. 2013 Article Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів / В.В. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 59–64. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85638 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Чехов, В.В. Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів Доповіді НАН України |
| description |
Для розв’язання вiсесиметричних задач розвинуто тензорно-матричну систему рiвнянь МСЕ, що описує великi деформацiї нестисливого пружного тiла, а також матрицю частинних похiдних цiєї системи. |
| format |
Article |
| author |
Чехов, В.В. |
| author_facet |
Чехов, В.В. |
| author_sort |
Чехов, В.В. |
| title |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| title_short |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| title_full |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| title_fullStr |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| title_full_unstemmed |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| title_sort |
співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85638 |
| citation_txt |
Співвідношення тензорно-матричного вісесиметричного розрахунку великих деформацій методом скінченних елементів / В.В. Чехов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 59–64. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT čehovvv spívvídnošennâtenzornomatričnogovísesimetričnogorozrahunkuvelikihdeformacíjmetodomskínčennihelementív |
| first_indexed |
2025-07-06T12:55:02Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:55:02Z |
| _version_ |
1836902255359426560 |
| fulltext |
УДК 539.3
В.В. Чехов
Спiввiдношення тензорно-матричного вiсесиметричного
розрахунку великих деформацiй методом скiнченних
елементiв
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
Для розв’язання вiсесиметричних задач розвинуто тензорно-матричну систему рiв-
нянь МСЕ, що описує великi деформацiї нестисливого пружного тiла, а також матри-
цю частинних похiдних цiєї системи.
На сьогоднi найбiльш поширеним пiдходом у розв’язаннi задач геометрично нелiнiйного
деформування твердих тiл за допомогою методу скiнченних елементiв (МСЕ) є iнкремен-
тальний пiдхiд з iтерацiйним уточненням [1, 2]. При цьому у деяких роботах застосовується
суто iтерацiйний пiдхiд [3, 4]. Зокрема, система рiвнянь МСЕ [4]
{
{ ~A({~R}, {p})} = { ~K({~R}, {p})} + 2([L] + ([4][M ]{~R}) · {~R}){~R} − {~f} = {~0},
{B({~R})} = {0}
(1)
дозволяє розв’язувати задачi статичного навантаження тiл з нестисливих матерiалiв з ура-
хуванням великих деформацiй. Тут {~f} — стовпець вузлових навантажень; {~R} i {p} —
невiдомi (стовпцi, вiдповiдно, вузлових радiус-векторiв деформованої конфiгурацiї i вели-
чин середнього тиску в скiнченних елементах (СЕ) згiдно з умовою нестисливостi); { ~K},
[L], [4][M ] та {B} — векторнi та матричнi величини, що мають такi компоненти:
~K[αi] = −p[α]
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇~r
)
−1
·
0
~∇N[αi] d
0
v, L[αij] =
∫∫∫
0
v[α]
1Ψ
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αi] d
0
v,
M[αijkl] =
∫∫∫
0
v[α]
2Ψ
(
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αk]
)(
0
~∇N[αl] ·
0
~∇N[αi]
)
d
0
v,
B[α] =
∫∫∫
0
v[α]
(
III
(
0
~∇~r
)
− 1
)
d
0
v,
(2)
де α — номер СЕ; i, j, k, l — номери вузлiв скiнченноелементної сiтки;
0
~∇~r — градiєнт мiс-
ця [5]; N[αi] — функцiя форми, що належить до α-го СЕ й i-го вузла; 1Ψ i 2Ψ — функцiї
вiд iнварiантiв мiри деформацiї з рiвняння стану матерiалу α-го СЕ у формi Фiнгера [5];
III — кубiчний iнварiант. Для системи (1) у роботi [4] аналiтично одержано матрицю час-
тинних похiдних, що необхiдна для ефективного вiдшукання її розв’язкiв. Цi результати
© В. В. Чехов, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 59
є застосовними до загального тривимiрного випадку, а також до випадку плоскої дефор-
мацiї. У данiй роботi наведено результати, якi розширюють дiю системи (1) на випадок
розв’язання вiсесиметричних задач.
Розглянемо формулювання задачi деформування, коли як матерiальнi координати
{q1, q2, q3} використовуються цилiндричнi координати
{0
ρ,
0
ϕ,
0
z
}
(нуликом згори позначе-
но величини, що належать до вiдлiкової конфiгурацiї тiла). Через них радiус-вектор
0
~r та
базиснi вектори
0
~ei= ∂
0
~r/∂qi вiдлiкової конфiгурацiї виражаються так:
0
~r
(0
ρ,
0
ϕ,
0
z
)
=~i1
0
ρ cos
0
ϕ +~i2
0
ρ sin
0
ϕ +~i3
0
z,
0
~eρ=~i1 cos
0
ϕ +~i2 sin
0
ϕ,
0
~eϕ=
0
ρ
(
−~i1 sin
0
ϕ +~i2 cos
0
ϕ
)
,
0
~ez=~i3,
де ~i1, ~i2, ~i3 — орти допомiжної декартової системи координат, якi звiдси можна виразити
таким чином:
~i1 =
0
~eρ cos
0
ϕ −
0
~eϕ
1
0
ρ
sin
0
ϕ, ~i2 =
0
~eρ sin
0
ϕ +
0
~eϕ
1
0
ρ
cos
0
ϕ, ~i3 =
0
~ez . (3)
Взаємний базис у цилiндричнiй системi:
0
~e ρ=
0
~eρ,
0
~e ϕ =
0
~eϕ /
0
ρ 2,
0
~e z=
0
~ez.
Радiус-вектор деформованої конфiгурацiї наведемо з урахуванням того, що у випадку
осьової симетрiї перемiщення не залежить вiд кутової координати:
~r
(0
ρ,
0
ϕ,
0
z, t
)
=
0
~r
(0
ρ,
0
ϕ,
0
z
)
+ ~u
(0
ρ,
0
z, t
)
=
(0
ρ +u
(0
ρ,
0
z, t
))
~i1 cos
( 0
ϕ +v
(0
ρ,
0
z, t
))
+
+
(0
ρ +u
(0
ρ,
0
z, t
))
~i2 sin
( 0
ϕ +v
(0
ρ,
0
z, t
))
+
(
0
z +w
(0
ρ,
0
z, t
))
~i3,
де u, v та w — компоненти перемiщення ~u в цилiндричних координатах. З цього, з пiдстав-
ленням (3), випливають вирази для базисних векторiв ~ei = ∂~r/∂qi деформованої конфiгу-
рацiї (другий вираз вiдповiдає як ~eρ, так i ~ez):
~eϕ = −ρ sin v
0
~eρ +
ρ
0
ρ
cos v
0
~eϕ, ~ei =
∂(ρ cos v)
∂qi
0
~eρ +
1
0
ρ
∂(ρ sin v)
∂qi
0
~eϕ +
∂z
∂qi
0
~ez .
Побудованi спiввiдношення дозволяють визначити градiєнт мiсця:
0
~∇~r =
0
~e s ~es =
0
~eρ ~eρ +
1
0
ρ2
0
~eϕ ~eϕ+
0
~ez ~ez =
∂(ρ cos v)
∂
0
ρ
0
~eρ
0
~eρ +
1
0
ρ
∂(ρ sin v)
∂
0
ρ
0
~eρ
0
~eϕ +
+
∂z
∂
0
ρ
0
~eρ
0
~ez −
ρ
0
ρ2
sin v
0
~eϕ
0
~eρ +
ρ
0
ρ3
cos v
0
~eϕ
0
~eϕ +
∂(ρ cos v)
∂
0
z
0
~ez
0
~eρ +
1
0
ρ
∂(ρ sin v)
∂
0
z
0
~ez
0
~eϕ +
+
∂z
∂
0
z
0
~ez
0
~ez .
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
Зведемо задачу до двовимiрної, заради чого задамо вiдповiднiсть координат q1 ≡
0
ρ, q2 ≡
0
z,
q3 ≡
0
ϕ й виключимо з розгляду деформацiю кручення:
0
~∇~r
∣
∣
∣
ϕ=
0
ϕ=const
=
∂ρ
∂
0
ρ
∂z
∂
0
ρ
0
∂ρ
∂
0
z
∂z
∂
0
z
0
0 0
ρ
0
ρ3
0
~es
0
~et=
∂ρ
∂
0
ρ
∂z
∂
0
ρ
0
∂ρ
∂
0
z
∂z
∂
0
z
0
0 0
ρ
0
ρ
0
~es
0
~e t.
При переходi до скiнченноелементної апроксимацiї в площинi двовимiрного СЕ компоненти
деформованого радiус-вектора виражаються за допомогою базисних функцiй через свої
вузловi значення: ~r[α] =
∑
i
N[αi]
~R[i], де α — номер СЕ, ~R[i] — радiус-вектор деформованого
стану i-го вузла скiнченноелементної сiтки. Через це МСЕ-апроксимацiя градiєнта мiсця
має такий вигляд:
0
~∇~r[α] =
∑
i
0
~∇N[αi]
~R[i] +
ρ
0
ρ
0
~e 3
0
~e3 . (4)
Оскiльки градiєнт мiсця присутнiй в усiх спiввiдношеннях (2), то застосування одержаного
виразу (4) дозволяє використовувати систему рiвнянь МСЕ (1) для вiсесиметричних обра-
хункiв. Зазначимо, що за винятком пiдкресленого множника вираз (4) збiгається з ана-
логiчним для випадку плоскої деформацiї [4]. Вкажемо також й iншi моменти, якi треба
враховувати при застосуваннi системи (1) у вiсесиметричному розрахунку, — теж з пiдкрес-
ленням вiдмiнностей вiд випадку плоскої деформацiї, що є зручним для реалiзацiї обох цих
випадкiв в одному спiльному доданку.
Iнтегрування по об’єму α-го СЕ зводиться до iнтегрування по його площi перерiзу s
в локальних координатах елемента:
∫∫∫
0
v[α]
d
0
v = 2π
∫∫
0
s[α]
0
ρd
0
s = 2π
∫∫
α
s[α]
0
ρ
d
0
s
α
s
d
α
s.
Мiра деформацiї Фiнгера та її перший iнварiант (1 — метричний тензор):
b[α] =
(
0
~∇~r
)T
[α]
·
(
0
~∇~r
)
[α]
=
∑
i
∑
k
(
0
~∇N[αi] ·
0
~∇N[αk]
)
~R[i]
~R[k]+
(
ρ
0
ρ
)2
0
~e3
0
~e 3,
I(b[α]) = 1 · ·b[α] =
∑
i
∑
k
(
0
~∇N[αi] ·
0
~∇N[αk]
)
(
~R[i] · ~R[k]
)
+
(
ρ
0
ρ
)2
.
(5)
Для вiсесиметричного випадку мають бути знову отриманi також компоненти матрицi
частинних похiдних системи (1). Диференцiювання додаткового члена
ρ
0
ρ
0
~e 3
0
~e3, наявного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 61
у виразi (4), проведемо з урахуванням апроксимацiї МСЕ ρ =
∑
i
N[αi]ρ[i], де ρ[i] — вузловi
ρ-компоненти радiус-вектора:
∂ρ
∂ ~R[n]
=
∑
i
N[αi]
∂(ρ[i])
∂ ~R[n]
= N[αn]
∂(ρ[n])
∂ ~R[n]
= N[αn]
0
~es
∂ρ[n]
∂Rs
[n]
= N[αn]
0
~e sδ1s = N[αn]
0
~e1.
Звiдси
∂
(
ρ
0
ρ
0
~e 3
0
~e3
)
∂ ~R[n]
=
0
~e3
1
0
ρ
∂ρ
∂ ~R[n]
·
0
~e s
0
~e3
0
~es=
0
~e3
1
0
ρ
N[αn]
0
~e 1·
0
~es
0
~e3
0
~es=
N[αn]
0
ρ
0
~e3
0
~e3
0
~e1. (6)
Матриця частинних похiдних системи (1) складається з чотирьох блокiв [4]
[
∂( ~A,B)
∂(~R, p)
]
=
[
∂ ~A
∂ ~R
] [
∂ ~A
∂p
]
[
∂B
∂ ~R
]
[0]
, (7)
де для загального тривимiрного розрахунку та випадку плоскої деформацiї блок
[
∂ ~A
∂p
]
має
компонентами
(
∂ ~A
∂p
)
[iα]
= −
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇~r
)
−1
[α]
·
0
~∇N[αi] d
0
v,
а доданки, що складають блок
[
∂ ~A
∂ ~R
]
, позначенi у такий спосiб
[
∂ ~A
∂ ~R
]
=
∑
α
([DK][α] + 2([DL][α] + [DM][α])),
мають такi компоненти:
DK[αin] = p[α]
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇~r
)
−1
[α]
·
0
~∇N[αn]
(
0
~∇~r
)
−1
[α]
·
0
~∇N[αi] d
0
v,
DL[αin] =
∑
j
~R[j]
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αi]
) ∂1Ψ
∂ ~R[n]
d
0
v + 1L[αin],
DM[αin] =
∑
k
∑
j
(
(
~R[k] · ~R[j]
)
(〈
∑
l
~R[l]
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇N[αl] ·
0
~∇N[αk]
)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
(
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αi]
) ∂2Ψ
∂ ~R[n]
d
0
v
〉
+ 1
∫∫∫
0
v[α]
2Ψ
(
0
~∇N[αn] ·
0
~∇N[αk]
)(
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αi]
)
d
0
v
)
+
+ ~R[k]
~R[j]
∫∫∫
0
v[α]
2Ψ
(
(
0
~∇N[αk] ·
0
~∇N[αn]
)(
0
~∇N[αj] ·
0
~∇N[αi]
)
+
+
(
0
~∇N[αk] ·
0
~∇N[αj]
)(
0
~∇N[αn] ·
0
~∇N[αi]
)
)
d
0
v
)
.
При уточненнi компонент матрицi (7) для вiсесиметричного розрахунку, з урахуванням (6),
вирази для
[
∂ ~A
∂p
]
i DK[αin] залишаться без змiн. Члени DL[αin] та DM[αin] для вiсесимет-
ричного випадку отримаємо на прикладi матерiалу Мунi–Ривлiна, у якого 1Ψ = 1C+I(b)2C,
2Ψ = −2C. Заради цього, пiсля диференцiювання 1-го iнварiанта мiри деформацiї Фiнгера
(5), знайдемо
∂1Ψ
∂ ~R[n]
i в результатi одержуємо
DL[αin] = 22C
∑
j
~R[j]
∫∫∫
0
v[α]
(
0
~∇N[αj]·
0
~∇N[αi]
)
( 0
~∇N [αn] · (
0
~∇~r)[α]+
ρN[αn]
0
ρ2
0
~e1
)
d
0
v + 1L[αin],
а у виразi DM[αin] очевидно буде вiдсутнiм доданок, взятий у кутовi дужки.
Щоб отримати компоненти блоку
[
∂B
∂ ~R
]
, перепишемо (4) у виглядi
0
~∇~r = Sq
p
0
~e p
0
~eq +
ρ
0
ρ
0
~e3
0
~e3 (за iндексами з рискою пiдсумовувати до 2),
де позначено Sq
p =
∑
i
0
∇p N[αi]R
q
[i]. З цього III(
0
~∇~r) =
ρ
0
ρ
(S1
1S
2
2 − S2
1S
1
2). З урахуванням того,
що
∂Sq
p
∂ ~R[n]
=
0
∇p N[αn]
0
~e q, одержуємо:
∂
(
III
(
0
~∇~r
))
∂ ~R[n]
=
ρ
0
ρ
∑
i
( 0
∇1 N[αn]
0
∇2 N[αi]−
0
∇2 N[αn]
0
∇1 N[αi]
)(
R2
[i]
0
~e1 −R1
[i]
0
~e 2
)
+
+
N[αn]
0
ρ
0
~e 1(S1
1S
2
2 − S2
1S
1
2).
Через це
[
∂B
∂ ~R
]
[αn]
=
∂(B[α])
∂ ~R[n]
=
∑
i
∫∫∫
0
v[α]
ρ
0
ρ
(
0
~∇[αn] ×
0
~∇N[αi]
)
3
d
0
v
(
R2
[i]
0
~e1 −R1
[i]
0
~e2
)
+
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 63
+
0
~e1
∫∫∫
0
v[α]
N[αn]
0
ρ
(S1
1S
2
2 − S2
1S
1
2) d
0
v.
Таким чином, отримано розвиток системи рiвнянь МСЕ (1) та аналiтичних виразiв ком-
понент матрицi її частинних похiдних, який дозволяє розв’язувати задачi геометрично не-
лiнiйного деформування вiсесиметричних тiл.
1. Гузь А.Н., Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Нелинейные двумерные задачи статики тонких обо-
лочек с подкрепленными криволинейными отверстиями // Прикл. механика – 2009. – 45, № 12. –
С. 4–42.
2. Bauer S., Schafer M., Grammenoudis P., Tsakmakis Ch. Three-dimensional finite elements for large
deformation micropolar elasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2010. – 199. – P. 2643–2654.
3. Korelc J. Semi-analytical solution of path-independent nonlinear finite element models // Finite Elements
in Analysis and Design. – 2011. – 47, Nо 3. – P. 281–287.
4. Чехов В.В. Диференцiювання рiвняння МСЕ для великих деформацiй у тензорно-матричнiй фор-
мi // Доп. НАН України. – 2012. – № 5. – С. 72–77.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – Москва: Наука, 1980. – 512 с.
Надiйшло до редакцiї 17.09.2012Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
В.В. Чехов
Соотношения тензорно-матричного осесимметричного расчета
больших деформаций методом конечных элементов
Для решения осесимметричных задач развита тензорно-матричная система уравнений
МКЭ, описывающая большие деформации несжимаемого упругого тела, а также получе-
на матрица частных производных этой системы.
V.V. Chekhov
Relations for the tensor-matrix axisymmetric analysis of large strains
by the finite element method
A system of tensor-matrix equations describing the large strains of an incompressible elastic body
and its Jacobian matrix of partial derivatives of this system have been obtained to solve axi-
symmetric problems.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|