Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85735 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона / А.С. Сердюк, В.В. Боденчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 31–36. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85735 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-857352015-08-15T03:01:31Z Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона Сердюк, А.С. Боденчук, В.В. Математика 2013 Article Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона / А.С. Сердюк, В.В. Боденчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 31–36. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85735 517.51 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сердюк, А.С. Боденчук, В.В. Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона Доповіді НАН України |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. Боденчук, В.В. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. Боденчук, В.В. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_short |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_full |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_fullStr |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_full_unstemmed |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_sort |
оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів пуассона |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85735 |
| citation_txt |
Оцінки колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона / А.С. Сердюк, В.В. Боденчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 31–36. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas ocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona AT bodenčukvv ocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona |
| first_indexed |
2025-07-06T13:05:22Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:05:22Z |
| _version_ |
1836902906433896448 |
| fulltext |
УДК 517.51
А.С. Сердюк, В.В. Боденчук
Оцiнки колмогоровських поперечникiв класiв iнтегралiв
Пуассона
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Доведено, що ядро Пуассона Pq,β(t) =
∞
∑
k=1
qk cos(kt − βπ/2), q ∈ (0, 1), β ∈ R задоволь-
няє умову Cy,2n починаючи з деякого номера nq, залежного лише вiд q. Як наслiдок, для
всiх n > nq встановлено оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв у просторi C кла-
сiв Cq
β,∞ iнтегралiв Пуассона вiд функцiй, що належать одиничнiй кулi в просторi L∞.
Отриманi оцiнки збiгаються з найкращими рiвномiрними наближеннями зазначених
класiв тригонометричними полiномами. Знайдено точнi значення поперечникiв класiв
Cq
β,∞ i показано, що пiдпростори тригонометричних полiномiв порядку n − 1 є опти-
мальними для поперечникiв розмiрностi 2n − 1.
Через L = L1 позначимо простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй f з нормою ‖f‖1 =
=
π
∫
−π
|f(t)|dt, через L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй
з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t∈R
|f(t)|, C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй f , у якому
норма задається рiвнiстю ‖f‖C = max
t∈R
|f(t)|.
Нехай Ψβ(t) — фiксоване сумовне ядро вигляду
Ψβ(t) =
∞
∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R,
∞
∑
k=1
ψ(k) <∞. (1)
Через Cψβ,p, p = 1, ∞, позначимо клас функцiй f , що зображуються у виглядi згортки
з ядром Ψβ
f(x) = A+
1
π
π
∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t) dt = A+ (Ψβ ∗ ϕ)(x), A ∈ R, (2)
де
‖ϕ‖p 6 1, ϕ ⊥ 1.
Функцiю ϕ в рiвностi (2) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ .
Важливим частковим випадком ядер Ψβ(t) вигляду (1) при ψ(k) = qk, q ∈ (0, 1) є ядра
Пуассона Pq,β(t) з параметрами q i β, тобто функцiї вигляду
Pq,β(t) =
∞
∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R.
© А.С. Сердюк, В. В. Боденчук, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 31
Функцiї f , якi допускають зображення у виглядi згортки (2) з ядром Ψβ(t) = Pq,β(t), на-
зивають iнтегралами Пуассона. У цьому випадку класи Cψβ,p позначатимемо через Cqβ,p,
а (ψ, β)-похiднi fψβ функцiї f ∈ Cψβ,p при ψ(k) = qk — через f qβ.
Через En(C
ψ
β,p)X , де X = L або C, p = 1, ∞, позначимо найкраще наближення в прос-
торi X класу Cψβ,p пiдпростором T2n−1 тригонометричних полiномiв tn−1 порядку n − 1,
тобто величину вигляду
En(C
ψ
β,p)X = sup
f∈Cψ
β,p
inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖X , (3)
а через dm(C
ψ
β,p,X) — поперечник за Колмогоровим порядку m класу Cψβ,p в просторi X,
тобто величину вигляду
dm(C
ψ
β,p,X) = inf
Fm⊂X
sup
f∈Cψ
β,p
inf
y∈Fm
‖f − y‖X , (4)
де зовнiшнiй inf розглядається по всiх m-вимiрних лiнiйних пiдпросторах Fm iз X.
Задача про знаходження колмогоровських поперечникiв для рiзноманiтних функцiо-
нальних компактiв у рiзних функцiональних просторах має багату iсторiю (див. [1, 2]).
У данiй роботi розглядається задача про знаходження точних значень поперечникiв
d2n(C
q
β,∞, C), d2n−1(C
q
β,∞, C) та d2n−1(C
q
β,1, L) для усiх натуральних n, бiльших деякого но-
мера, залежного лише вiд q.
Для величин вигляду (3) i (4) має мiсце спiввiдношення
d2n−1(C
ψ
β,p,X) 6 En(C
ψ
β,p)X .
Як випливає з [3–6], для довiльних q ∈ (0, 1), β ∈ R i n ∈ N
En(C
q
β,∞)C = En(C
q
β,1)L = ‖Pq,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∣
∣
∣
∣
∣
∞
∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
∣
∣
∣
∣
∣
,
де
ϕn(t) = sign sinnt,
а θn = θn(q, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞
∑
ν=0
q(2ν+1)n cos
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
= 0. (5)
Тому для розв’язання задачi про точнi значення вказаних поперечникiв залишається
встановити оцiнки знизу
d2n(C
q
β,∞, C) > ‖Pq,β ∗ ϕn‖C , (6)
d2n−1(C
q
β,1, L) > ‖Pq,β ∗ ϕn‖C . (7)
Отримання оцiнок (6) та (7) спряжене з принциповими труднощами, якi викликанi
тим, що ядра Пуассона Pq,β(t) можуть збiльшувати осциляцiї (зокрема, як показано в [8,
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
с. 1318–1319], Pq,β 6∈ CVD при q = 1/7 i β = 0). Тому для класiв згорток з ядрами Pq,β(t) не-
можливо отримати точнi оцiнки знизу поперечникiв, користуючись методами i пiдходами,
якi розвинуто А. Пiнкусом [1]. До цього часу оцiнки (6) i (7) були вiдомi у таких випадках:
для довiльних n ∈ N i β ∈ R у випадку, коли 0 < q 6 q(β), де q(β) = 0,2 при β ∈ Z
i q(β) = 0,196881 при β ∈ R \ Z (див. [6]);
при β = 2kl, l ∈ Z, довiльних 0 < q < 1 i всiх номерiв n, бiльших деякого номера n∗ (при
цьому доведено iснування n∗, але не вказано конструктивного способу його вiдшукання) [7].
У перелiчених випадках результати вдалось одержати на базi застосування започатко-
ваного О.К. Кушпелем [8] методу знаходження оцiнок знизу поперечникiв класiв зготок iз
твiрними ядрами Ψβ, що задовольняють так звану умову Cy,2n. У рамках даної роботи ми
також притримувались цього пiдходу. Наведемо точнi означення i вiдомi твердження, якi
будуть використовуватись для викладу результатiв роботи.
Нехай ∆2n = {0 = x0 < x1 < · · · < x2n = 2π}, xk = kπ/n — розбиття промiжку [0, 2π].
Розглянемо функцiю
Ψβ,1(t) = (Ψβ ∗B1)(t) =
∞
∑
k=1
ψ(k)
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
,
де B1 =
∞
∑
k=1
k−1 sin kt — ядро Бернуллi. Через SΨβ,1(∆2n) позначатимемо простiр SK-сплай-
нiв SΨβ,1(·) за розбиттям ∆2n, тобто множину функцiй вигляду
SΨβ,1(·) = α0 +
2n
∑
k=1
αkΨβ,1(· − xk),
2n
∑
k=1
αk = 0,
αk ∈ R, k = 0, 1, . . . , 2n.
(8)
Фундаментальним SK-сплайном називають функцiю SΨβ,1(·) = SΨβ,1(y, ·) вигляду (8), що
задовольняє спiввiдношення
SΨβ,1(y, yk) = δ0,k =
{
0, k = 1, 2n − 1,
1, k = 0,
де yk = xk+y, xk = kπ/n, y ∈ [0, π/n). Сплайн SΨβ,1(y, ·) породжує систему фундаменталь-
них сплайнiв вигляду SΨβ,1(y, ·−xk), k = 0, 2n − 1, яка утворює базис в просторi SΨβ,1(∆2n).
Необхiднi i достатнi умови iснування i єдиностi фундаментального сплайну SΨβ,1(y, ·) в за-
лежностi вiд спiввiдношення мiж y — зсувом вузлiв iнтерполяцiї та параметрами ψ i β
твiрного ядра Ψβ,1 дослiджувались у роботах [8–12].
Оскiльки на пiдставi означення (ψ, β)-похiдної для ядра Ψβ,1 виконується рiвнiсть
(Ψβ,1(·))ψβ = B1(·), (9)
то внаслiдок (8) маємо
(SΨβ,1(·))ψβ =
2n
∑
k=1
αkB1(· − xk). (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 33
Рiвностi в (9) та (10) розумiють як рiвностi мiж двома функцiями з L (тобто майже скрiзь).
На пiдставi леми 2.3.4 роботи [2, с. 76] функцiя, що знаходиться в правiй частинi рiвнос-
тi (10) є сталою на кожному iнтервалi (xk, xk+1). Отже, серед (ψ, β)-похiдних будь-якого
сплайну вигляду (8), а значить, i для фундаментального сплайну SΨβ,1(·) iснує функцiя,
яка є сталою на кожному iнтервалi (xk, xk+1). Надалi саме таку функцiю будемо розумiти
пiд записом (SΨβ,1(·))ψβ .
Означення. Будемо казати, що для деякого дiйсного числа y i розбиття ∆2n ядро Ψβ(·)
вигляду (1) задовольняє умову Cy,2n (i записувати Ψβ ∈ Cy,2n), якщо для цього ядра iснує
єдиний фундаментальний сплайн SΨβ,1(y, ·) i для нього виконуються рiвностi
sign(SΨβ,1(y, tk))
ψ
β = (−1)kεek, k = 0, 2n − 1,
де tk = (xk+xk+1)/2, ek дорiвнює або 0, або 1, а ε набуває значення ±1 i не залежить вiд k.
Нижченаведена теорема дозволяє знаходити оцiнки знизу колмогоровських поперечни-
кiв класiв згорток, породжених ядрами, що задовольняють умову Cy,2n.
Теорема (О.К. Кушпель [8, 13]). Нехай при деякому n ∈ N функцiя Ψβ вигляду (1), що
породжує класи Cψβ,p, p = 1, ∞, задовольняє умову Cy,2n, коли y — точка, в якiй функцiя
|(Ψβ ∗ ϕn)(t)|, ϕn(t) = sign sinnt набуває максимального значення. Тодi
d2n(C
ψ
β,∞, C) > ‖Ψβ ∗ ϕn‖C ,
d2n−1(C
ψ
β,1, L) > ‖Ψβ ∗ ϕn‖C .
У роботах [6–8, 10, 14, 15] були встановленi достатнi умови включення Ψβ ∈ Cy,2n для
ядер вигляду (1). Це дозволило авторам зазначених робiт застосувати наведену вище теоре-
му i одержати в рядi нових випадкiв точнi оцiнки поперечникiв dm(C
ψ
β,∞, C) та dm(C
ψ
β,1, L).
Сформулюємо основнi результати роботи. Для кожного фiксованого q ∈ (0, 1) позначимо
через nq найменший з номерiв n > 9, для яких виконується нерiвнiсть
43
10(1 − q)
q
√
n +
8
3n − 7
√
n
q
(1− q)2
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
)4/(1−q2)
.
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1). Тодi для довiльного β ∈ R i усiх номерiв n > nq вико-
нуються нерiвностi (6) та (7).
Доведення теореми 1 базується на нижченаведеному твердженнi, яке мiстить зображен-
ня (q, β)-похiдної фундаментального сплайну SΨβ,1(y, ·) = SP q,β,1(y, ·), породженого ядром
Пуассона Pq,β.
Лема. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R, y = θnπ/n, θn — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (5). Тодi
для довiльного t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n при всiх натуральних n > nq виконується
рiвнiсть
(SP q,β,1(y, t))
q
β = (−1)k+1
sign sin
(
ny − βπ
2
)
4nqn
(Pq(tk − y) + r
(y)
n,β),
в якiй
Pq(t) =
1
2
+ 2
∞
∑
j=1
cos jt
qj + q−j
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
та справджується нерiвнiсть
|r(y)n,β| 6 min
t∈R
Pq(t).
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1). Тодi для довiльного β ∈ R та усiх номерiв n > nq мають
мiсце рiвностi
d2n(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) = En(C
q
β,∞)C = En(C
q
β,1)L =
= ‖Pq,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∣
∣
∣
∣
∣
∞
∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
∣
∣
∣
∣
∣
,
де θn = θn(q, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (5).
Зокрема, при n > nq i β ∈ Z виконуються рiвностi
d2n(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) = En(C
q
β,∞)C =
= En(C
q
β,1)L =
4
π
arctg qn, β = 2k, k ∈ Z;
d2n(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) = En(C
q
β,∞)C =
= En(C
q
β,1)L =
2
π
ln
1 + qn
1− qn
, β = 2k − 1, k ∈ Z.
Теорема 2 дозволяє записати асимптотичнi при n → ∞ рiвностi для поперечникiв
d2n(C
q
β,∞, C), d2n−1(C
q
β,∞, C) та d2n−1(C
q
β,1, L).
Теорема 3. Нехай q ∈ (0, 1) та β ∈ R. Тодi при n → ∞
d2n(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) = En(C
q
β,∞)C = En(C
q
β,1)L =
= qn
(
4
π
+O(1)
q2n
1 − q2n
)
,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена за n, q та β.
1. Pinkus A. n-widths in approximation theory. – Berlin: Springer, 1985. – 291 p.
2. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – Москва: Наука, 1987. – 424 с.
3. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. – 1938. –
18, № 4–5. – С. 245–249.
4. Никольский С.М. Приближения функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1946. – 10. – С. 207–256.
5. Бушанский А.В. О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций // Ис-
следования по теории приближения функций и их приложения. – Киев: Ин-т математики АН УССР,
1978. – С. 29–37.
6. Шевалдин В.Т. Поперечники классов сверток с ядром Пуассона // Мат. заметки. – 1992. – 51, № 6. –
С. 126–136.
7. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. Экстремальные задачи на некоторых классах гладких периодических функций:
Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук / Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. – Москва, 1994. –
219 c.
8. Кушпель А.К. Точные оценки поперечников классов сверток // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1988. –
52, № 6. – С. 1305–1322.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 35
9. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов истокообразно представимых функций // Тр.
Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – С. 185–201.
10. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов периодических функций с ограниченной дробной
производной // Мат. заметки. – 1993. – 53, № 2. – С. 145–151.
11. Степанец А.И., Сердюк А.С. О существовании интерполяционных SK-сплайнов // Укр. мат. журн. –
1994. – 46, № 11. – С. 1546–1554.
12. Сердюк А.С. Про iснування та єдинiсть розв’язку задачi рiвномiрної SK-сплайн iнтерполяцiї // Там
само. – 1999. – 51, № 4. – С. 486–492.
13. Кушпель А.К. Оценки поперечников классов сверток в пространствах C и L // Там само. – 1989. –
41, № 8. – С. 1070–1076.
14. Степанец А.И., Сердюк А.С. Оценки снизу поперечников классов сверток периодических функций
в метриках C и L // Там само. – 1995. – 47, № 8. – С. 1112–1121.
15. Сердюк А.С. Поперечники та найкращi наближення класiв згорток перiодичних функцiй // Там
само. – 1999. – 51, № 5. – С. 674–687.
Надiйшло до редакцiї 23.10.2012Iнститут математики НАН України, Київ
А.С. Сердюк, В.В. Боденчук
Оценки колмогоровских поперечников классов интегралов Пуассона
Доказано, что ядро Пуассона Pq,β(t) =
∞
∑
k=1
qk cos(kt− βπ/2), q ∈ (0, 1), β ∈ R удовлетворяет
условию Cy,2n начиная с некоторого номера nq, зависимого только от q. Как следствие,
для всех n > nq установлены оценки снизу колмогоровских поперечников в пространстве C
классов Cq
β,∞ интегралов Пуассона от функций, принадлежащих единичному шару в про-
странстве L∞. Полученные оценки совпали с наилучшими равномерными приближениями
указанных классов тригонометрическими полиномами. Найдены точные значения попереч-
ников классов Cq
β,∞ и показано, что подпространства тригонометрических полиномов по-
рядка n− 1 являются оптимальными для поперечников размерности 2n − 1.
A. S. Serdyuk, V.V. Bodenchuk
Estimates for Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals
We prove that the Poisson kernel Pq,β(t) =
∞
∑
k=1
qk cos(kt− βπ/2), q ∈ (0, 1), β ∈ R satisfies condi-
tion Cy,2n beginning from some number nq that depends only on q. As a consequence, the lower
bounds for Kolmogorov widths in the space C of classes Cq
β,∞ of Poisson integrals of functions
from a unit ball in space L∞ are found for all n > nq. These estimates coincide with the best uni-
form approximation of the mentioned classes by trigonometric polynomials. As a result, the exact
values of the widths of classes Cq
β,∞ are found, and it is shown that the subspaces of trigonometric
polynomials of order n − 1 are optimal for the widths of dimension 2n − 1.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
|