Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями
Розглянуто i розв’язано три новi типи парних iнтегральних рiвнянь: з r-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з τ-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з (τ, β)-узагальненою гiпергеометричною функцiями. Запроваджено новi узагальнення дробових iнтегральних операторiв типу Ердеї–Кобера i...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85760 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями / Н.О. Вірченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 7–12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85760 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-857602015-08-20T03:01:05Z Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями Вірченко, Н.О. Математика Розглянуто i розв’язано три новi типи парних iнтегральних рiвнянь: з r-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з τ-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з (τ, β)-узагальненою гiпергеометричною функцiями. Запроваджено новi узагальнення дробових iнтегральних операторiв типу Ердеї–Кобера i доведено композицiйнi спiввiдношення з вiдповiдними модифiкованими iнтегральними перетвореннями Лапласа. Розв’язок розглянутих парних iнтегральних рiвнянь отримано в замкненiй формi. Рассмотрены и решены три новых типа парных интегральных уравнений: с r-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической, с τ-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической, с (τ, β)-обобщенной гипергеометрической функциями. Введены новые обобщения дробных интегральных операторов типа Эрдейи–Кобера и доказаны композиционные соотношения с соответствующими модифицированными интегральными преобразованиями Лапласа. Решение рассмотренных парных интегральных уравнений получено в замкнутой форме. This paper is devoted to the solution of new types of dual integral equations. Three types of dual integral equations, respectively, with r-generalized confluent, r-generalized confluent, and with the (τ, β)-generalized hypergeometric functions are considered. Introducing the new generalizations of fractional operators of the Erdelyi–Kober type, some composition relations with the corresponding modified integral Laplace transforms are proved. The solutions of the considered dual integral equations in the closed form are obtained. 2013 Article Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями / Н.О. Вірченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 7–12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85760 517.968/968.78 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вірченко, Н.О. Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто i розв’язано три новi типи парних iнтегральних рiвнянь: з r-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з τ-узагальненою конфлюентною гiпергеометричною, з (τ, β)-узагальненою гiпергеометричною функцiями. Запроваджено новi узагальнення дробових iнтегральних операторiв типу Ердеї–Кобера i доведено композицiйнi
спiввiдношення з вiдповiдними модифiкованими iнтегральними перетвореннями Лапласа. Розв’язок розглянутих парних iнтегральних рiвнянь отримано в замкненiй формi. |
| format |
Article |
| author |
Вірченко, Н.О. |
| author_facet |
Вірченко, Н.О. |
| author_sort |
Вірченко, Н.О. |
| title |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| title_short |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| title_full |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| title_fullStr |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| title_full_unstemmed |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| title_sort |
парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85760 |
| citation_txt |
Парні інтегральні рівняння з узагальненими гіпергеометричними функціями / Н.О. Вірченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 7–12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vírčenkono parnííntegralʹnírívnânnâzuzagalʹnenimigípergeometričnimifunkcíâmi |
| first_indexed |
2025-07-06T13:06:52Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:06:52Z |
| _version_ |
1836903000508989440 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968/968.78
Н.О. Вiрченко
Парнi iнтегральнi рiвняння з узагальненими
гiпергеометричними функцiями
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто i розв’язано три новi типи парних iнтегральних рiвнянь: з r-узагальне-
ною конфлюентною гiпергеометричною, з τ-узагальненою конфлюентною гiпергеомет-
ричною, з (τ, β)-узагальненою гiпергеометричною функцiями. Запроваджено новi уза-
гальнення дробових iнтегральних операторiв типу Ердеї–Кобера i доведено композицiйнi
спiввiдношення з вiдповiдними модифiкованими iнтегральними перетвореннями Лапла-
са. Розв’язок розглянутих парних iнтегральних рiвнянь отримано в замкненiй формi.
В останнi десятирiччя для розв’язання достатньо широкого класу змiшаних крайових задач
застосовується метод парних, потрiйних i бiльшого числа iнтегральних (суматорних) рiв-
нянь. Цей метод виявився одним iз ефективних сучасних аналiтичних методiв розв’язання
змiшаних крайових задач. Вiн допомiг розв’язати i ряд нових складних задач, наприклад,
змiшанi крайовi задачi для рiзного роду клиноподiбних областей, деякi задачi теорiї пруж-
ностi для пiвпростору, простору з трiщинами i т. п. [1].
Парнi (N -арнi) iнтегральнi рiвняння широко використовуються як механiками-теорети-
ками, так й iнженерами, спецiалiстами у рiзних роздiлах прикладної математики. Огляд
лiтератури про застосування методу парних рiвнянь див., наприклад, у [1–3].
Завдяки великiй практичнiй вагомостi методу парних рiвнянь, його ефективностi пи-
тання подальшого розвитку теорiї парних (N -арних) iнтегральних рiвнянь, розв’язання та
дослiдження нових типiв такого роду рiвнянь становлять актуальну задачу успiшного ви-
користання цiєї областi теорiї iнтегральних рiвнянь.
Серед парних iнтегральних рiвнянь з рiзними спецiальними функцiями в ядрах викли-
кають iнтерес парнi iнтегральнi рiвняння з гiпергеометричними функцiями, оскiльки вони
виникають при розв’язаннi змiшаних крайових задач з теорiї фiльтрацiї, гiдродинамiки,
теорiї пружностi та iн. (див., наприклад, [3–6]). Новi узагальнення спецiальних функцiй гi-
пергеометричного типу дозволяють використовувати цi функцiї в теорiї та практицi нових
типiв парних iнтегральних рiвнянь.
© Н.О. Вiрченко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 7
У данiй роботi розглядаються парнi iнтегральнi рiвняння з узагальненими гiпергеомет-
ричними функцiями, а саме з r-конфлюентною гiпергеометричною функцiєю, з 1Φ
τ
1(a; c;x),
2F
τ
1 (a; b; c;x).
1. Розглянемо парнi iнтегральнi рiвняння вигляду
∞
∫
0
ωa1−1 r
1Φ
τ,β
1 (a1; b1;−xω)ϕ(ω) dω = p1(x), 0 < x < 1, (1)
∞
∫
0
ωa2−1 r
1Φ
τ,β
1 (a2; b2;−xω)ϕ(ω) dω = p2(x), 1 < x < ∞, (2)
Тут ϕ(x) — шукана функцiя; pi(x), i = 1, 2, — заданi на своєму промiжку функцiї;
r
1Φ
τ,β
1 (. . .) — r-узагальнена конфлюентна (вироджена) гiпергеометрична функцiя [7]:
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
1
B(a, c− a)
1
∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext1Φ
τ,β
1
(
δ; γ;−
r
t(1 − t)
)
dt, (3)
де Re c > Re a > 0, {τ, β} ⊂ R, τ − β < 1, r > 0, B(a, c − a) — класична бета-функцiя [8],
Re γ > Re δ > 0, {δ, γ} ⊂ R, δ > 0, γ > 0, 1Φ
τ,β
1 (. . .) − (τ, β)-узагальнена конфлюентна
гiпергеометрична функцiя [9]:
1Φ
τ,β
1 (a; c; z) =
1
B(a, c− a)
1
∫
0
ta−1(1− t)c−a−1
1Ψ1
[
(c; τ)
(c;β)
∣
∣
∣
∣
∣
ztτ
]
dt, (4)
де 1Ψ1[. . .] — узагальненa Fox–Wright функцiя [8].
Запровадимо iнтегральний оператор Na
c,λ вигляду
(Na
c,λf)(x) ≡ xλ
∞
∫
0
(xt)a−1 r
1Φ
τ,β
1 (a; c;−xt)f(t) dt, (5)
де x > 0, {τ, β} ⊂ R, Re c > Re a > 0, τ − β < 1, r > 0, r
1Φ
τ,β
1 (. . .) — функцiя вигляду (3).
Справедлива така теорема.
Теорема 1. При 0 < 1/p 6 1, 0 6 λ+ (2/p) − 1 < c− a, 1/p < a, 1/q = 1− (1/p) − λ > 0
для iнтегрального оператора (5) має мiсце таке композицiйне спiввiдношення:
(Na
c,λf)(x) =
Γ(c)
Γ(a)
Ic−a
2
p
−1,λ+ 2
p
−1
T af(x), (6)
де T a — оператор модифiкованого iнтегрального перетворення Лапласа:
(T af)(x) = xa−
2
p
∞
∫
0
ta−1extf(t) dt, x > 0, (7)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
Ic−a
2
p
−1,λ+ 2
p
−1
— дробовий iнтегральний оператор типу Ердеї–Кобера:
Ic−a
2
p
−1,λ+ 2
p
−1
f(x) =
xλ−c+a
Γ(c− a)
x
∫
0
(x− t)c−a−1t
2
p
−1
1Φ
τ,β
1
(
δ; γ;−
r
(t/x)(1 − t/x)
)
f(t) dt, (8)
тут 1Φ
τ,β
1 (. . .) — функцiя вигляду (4).
Доведення. Застосуємо оператор (8) до (6):
Ic−a
2
p
−1,λ+ 2
p
−1
(Na
c,λf) =
xλ−c+a
Γ(c− a)
x
∫
0
(x− t)c−a−1t
2
p
−1 ×
× 1Φ
τ,β
1
(
δ; γ;−
r
(t/x)(1 − t/x)
)
tc−a− 2
pdt
∞
∫
0
ξc−a−1e−tξf(ξ) dξ =
=
xλ−c+a
Γ(c− a)
∞
∫
0
ξc−a−1f(ξ) dξ
x
∫
0
(x− t)c−a−1tc−a−1e−tξ ×
× 1Φ
τ,β
1
(
δ; γ;−
r
(t/x)(1 − t/x)
)
dt =
=
xλ−c+a
Γ(c− a)
∞
∫
0
ξc−a−1f(ξ) dξ
1
∫
0
x2c−2a−1(1− ω)c−a−1ωc−a−1e−ω(ξx) ×
× 1Φ
τ,β
1
(
δ; γ;−
r
ω(1 − ω)
)
dω.
Тут було використано можливiсть перестановки порядку iнтегрування та здiйснено за-
мiну t = ωx.
Врахувавши iнтегральне зображення r-узагальненої конфлюентної гiпергеометричної
функцiї (3), остаточно дiстанемо (6).
Теорема 2 (формула обернення для оператора Na
c,λ). При x > 0, a > 1/p, c − a > 0,
0 < 1/p 6 1, λ + (2/p) − 1 < c − a < λ + 1/p справедлива формула
f(x) =
Γ(a)
Γ(c)
x1−aL−1
(
t1−a d
dt
[
t
2
p I1+a−c
c−a−λ,1− 2
p
−λ
g(t)
])
, (9)
де g(x) = (Na
c,λf(x)), L−1 — обернене перетворення Лапласа.
Доведення теореми виконується безпосереднiм застосуванням операторiв вигляду (8)
та L−1.
Повернемося до розв’язання парних iнтегральних рiвнянь (1), (2). Застосувавши до рiв-
няння (1) оператор Ia
c−λ,λ+ 2
p
(див. (8)), композицiйне спiввiдношення (6), одержимо, що
парнi iнтегральнi рiвняння (1), (2) зводяться до розв’язання одного iнтегрального рiвняння:
∞
∫
0
(xt)c−1 r
1Φ
τ,β
1 (a; c + α;−xt) dt = R(x), (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 9
де
R(x) =
Γ(a+ c)
Γ(c)
Ia
c−λ,λ+ 2
p
xλp1(x), 0 < x < 1,
xa+λ−1p2(x), 1 < x < ∞.
(11)
Розв’язок рiвняння (10) за допомогою формули (9) записуємо в замкненiй формi:
ϕ(x) =
(
Na
c+λ,λ+ 2
p
)
−1
R(x). (12)
2. Аналогiчно розв’язуємо такi парнi iнтегральнi рiвняння з τ -узагальненою конфлю-
ентною функцiєю 1Φ
τ
1(a; c;−xt):
∞
∫
0
ξα1−1
1Φ
τ
1(α1;β1;−xξ)ϕ(ξ) dξ = r1(x), 0 < x < 1, (13)
∞
∫
0
ξα2−1
1Φ
τ
1(α2;β2;−xξ)ϕ(ξ) dξ = r2(x), 1 < x < ∞, (14)
де ri(x), i = 1, 2, — заданi функцiї, ϕ(x) — шукана функцiя, 1Φ
τ
1(. . .) — τ -узагальнена
конфлюентна гiпергеометрична функцiя [9]:
1Φ
τ
1(a; c;x) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(c− a)
1
∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext
τ
dt, (15)
або
1Φ
τ
1(a; c;x) =
1
B(a, c− a)τ
1
∫
0
t
a
τ
−1(1− t
1
τ )extdt,
Re c > Re a > 0, τ ∈ R, τ > 0.
Нехай α2 = α1 = (a/τ) − 1, β2 = β1 + α, ϕ(x) ∈ Lp, 0 < 1/p 6 1, x > 0, c > a > 0,
a > 1/p, τ > 0.
Застосувавши до рiвняння (13) дробовий iнтегральний оператор типу Ердеї–Кобера
(
τI
β1−α1
2
p
−1, 2
p
−1
f
)
(x) =
xa−c
Γ(c− a)
x
∫
0
(x
1
τ − t
1
τ )c−a−1t
2
p
−1f(t) dt (16)
та оператор модифiкованого iнтегрального перетворення Лапласа
(τK
a
p f)(x) = x
a
τ
−
2
p
∞
∫
0
t
a
τ
−1e−xtf(t) dt, (17)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
врахувавши вiдповiдне композицiйне спiввiдношення, отримаємо з (13), (14) одне iнтеграль-
не рiвняння
∞
∫
0
(xξ)α1−1ϕ(ξ)1Φ
τ
1(α1;β1 + α;−xξ) dξ = M(x), (18)
розв’язком якого буде
ϕ(x) =
Γ(a)
Γ(c)
x1−
a
τ L−1
{
x1−
a
τ
d
dx
(
x
2
p
d
dx
[
x
2
p
τI
1−c+a
c−a,1− 2
p
x
c
τ
+a−c−1M(x)
])}
, (19)
де M(x) виражається через r1(x), r2(x).
Легко отримати i розв’язок парних iнтегральних рiвнянь з (τ, β)-узагальненою гiпергео-
метричною функцiєю 2F
τ,β
1 (a, b; c; (−xt)β) [11] в ядрi. У даному випадку потрiбне компози-
цiйне спiввiдношення матиме вигляд
Iαc−λ−b,β
(
xλ
∞
∫
1
(xt)b−1
2F
τ,β
1 (a, b; c; (−xt)β)f(t) dt
)
=
=
Γ(c)
Γ(c+ α)
xλ+β
∞
∫
1
(xt)b−1
2F
τ,β
1 (a, b; c + α; (−xt)β)f(t) dt. (20)
1. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
2. Попов Г.Я. Метод парных уравнений // Развитие теории контактных задач в СССР. – Москва: Наука,
1976. – С. 56–87.
3. Вiрченко Н.О. Парнi (N-арнi) iнтегральнi рiвняння. – Київ: Задруга, 2009. – 476 с.
4. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному
уравнению на системе отрезков // Теория функций, функц. анализ и их приложения. – 1983. –
Вып. 40. – С. 33–36.
5. Мандрик П.А. Парные интегральные уравнения для решения задачи нагрева полупространства через
бесконечно длинную полосу // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. – 2000. – № 1. – С. 75–76.
6. Eнтов В.М. О парных интегральных уравнениях, возникающих в задачах фильтрации с предельным
градиентом // Прикл. математика и механика. – 1970. – 34, No 3. – С. 532–542.
7. Вiрченко Н.О. Узагальнення конфлюентних гiпергеометричних функцiй // Доп. НАН України. –
2012. – № 5. – С. 7–11.
8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T. 1. – Москва: Наука, 1965. – 296 с.
9. Virchenko N. On the generalized confluent hypergeometric function and its application // Fract. Calc. and
Appl. Anal. – 2006. – 9, No 2. – P. 101–108.
10. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – London: Chapman and Hall, 2004. – 390 p.
11. Virchenko N.O. On some generalizations of the function hypergeometric type // Fract. Calc. and Appl.
Anal. – 1999. – 2, No 3. – P. 233–244.
Надiйшло до редакцiї 26.12.2012НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 11
Н.А. Вирченко
Парные интегральные уравнения с обобщенными
гипергеометрическими функциями
Рассмотрены и решены три новых типа парных интегральных уравнений: с r-обобщенной
конфлюэнтной гипергеометрической, с τ-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической,
с (τ, β)-обобщенной гипергеометрической функциями. Введены новые обобщения дробных ин-
тегральных операторов типа Эрдейи–Кобера и доказаны композиционные соотношения с со-
ответствующими модифицированными интегральными преобразованиями Лапласа. Реше-
ние рассмотренных парных интегральных уравнений получено в замкнутой форме.
N.O. Virchenko
Dual integral equations with generalized hypergeometric functions
This paper is devoted to the solution of new types of dual integral equations. Three types of dual
integral equations, respectively, with r-generalized confluent, r-generalized confluent, and with the
(τ, β)-generalized hypergeometric functions are considered. Introducing the new generalizations of
fractional operators of the Erdelyi–Kober type, some composition relations with the correspon-
ding modified integral Laplace transforms are proved. The solutions of the considered dual integral
equations in the closed form are obtained.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
|