Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики

Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Шевченко, А.И., Миненко, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Інформатика та кібернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85768
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85768
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-857682015-08-20T03:01:57Z Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Інформатика та кібернетика Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹. Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метрицi C i W₂¹. Solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is constructed, using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one in the metric C and W₂¹ is proved. 2013 Article Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85768 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики Доповіді НАН України
description	Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹.
format	Article
author	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_facet	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_sort	Шевченко, А.И.
title	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
title_short	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
title_full	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
title_fullStr	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
title_full_unstemmed	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
title_sort	моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85768
citation_txt	Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ševčenkoai modelirovaniepotencialʹnovihrevogotečeniâsosvobodnojgranicejsprimeneniemnečetkojlogiki AT minenkoas modelirovaniepotencialʹnovihrevogotečeniâsosvobodnojgranicejsprimeneniemnečetkojlogiki
first_indexed	2025-07-06T13:07:22Z
last_indexed	2025-07-06T13:07:22Z
_version_	1836903031581442048
fulltext	УДК 517.9 Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближен- ное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W 1 2 . Постановка задачи. Обозначим через D область, ограниченную снизу отрезком A = (0 6 6 x 6 a, y = 0), сверху кривой P : y = g(x), 0 6 x 6 a, где g(0) = b1, g(a) = b2, b1 6 b2, а g(x) — аналитическая, монотонно возрастающая функция при x ∈ [o, a], причем g′(0) = 0, g′(a) = 0. Боковую часть границы области D, состоящую из вертикалей, обозначим через Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 b1) и Q2 = (x = a, 0 6 y 6 b2). Пусть γ — жорданова дуга в D, концы которой лежат на вертикалях Q1 и Q2, причем все точки γ, включая и концы, расположены ниже кривой P . Кривая γ разбивает областьD на две односвязные области Gγ , находящиеся выше γ и Ωγ . Такие дуги будем называть допустимыми. Концы γ разбивают вертикали Q1 и Q2 на два открытых множества R1 — боковую часть границы области Gγ и R2 — боковую часть границы области Ωγ . Рассматривается задача: определить функции тока ψ1(x, y), ψ2(x, y) и свободную гра- ницу γ по условиям ∆ψ1 = ω, (x, y) ∈ Gγ , (1) ψ1x = 0, (x, y) ∈ R1; ψ1 = C, (x, y) ∈ P ; ψ1 = 1, (x, y) ∈ γ, (2) ∆ψ2 = 0, (x, y) ∈ Ωγ , (3) ψ2x = 0, (x, y) ∈ R2; ψ2 = 0, (x, y) ∈ A; ψ2 = 1, (x, y) ∈ γ, (4) \|∇ψ1\| = \|∇ψ2\|, (x, y) ∈ γ. (5) Здесь ω = const > 0, а C = const > 1. Ранее, в работах [1–3] отдельно изучались слу- чаи потенциального и вихревого течения, когда на свободной границе задавалось условие Бернулли в виде неравенства. Вариационная постановка задачи. Рассмотрим функционал I(ψ1, ψ2, γ) = ∫∫ Gγ [\|∇ψ1\| 2 + 2ω(ψ1 − 1)] dxdy + ∫∫ Ωγ \|∇ψ2\| 2dxdy (6) на множестве V допустимых троек (ψ1, ψ2, γ), обладающих следующими свойствами: γ — допустимая дуга; функция ψ1(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Gγ , кусочно-непрерывно дифференцируема в Gγ , равна единице на γ и постоянной C при © А.И. Шевченко, А.С. Миненко, 2013 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 47 (x, y) ∈ P ; функция ψ2(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Ωγ , кусоч- но-непрерывно дифференцируема в Ωγ , равна единице на γ и нулю при (x, y) ∈ A, причем Y (ψ1, ψ2, γ) < ∞. Лемма 1. Пусть тройка (ψ1, ψ2, γ) является классическим решением задачи (1)–(5). Тогда эта тройка будет стационарной для функционала (6) на множестве V . Обратно, каждая стационарная тройка (ψ1, ψ2, γ) функционала (6) на множестве V , где γ — дос- таточно гладкая кривая, является решением задачи (1)–(5). Лемма 1 позволяет свести разрешимость нелинейной задачи (1)–(5) к проблеме мини- мума функционала (6) на множестве V . Симметризация областей Gγ и Ωγ. Пусть Vγ — подмножество множества V , со- стоящее из всех троек (ψ1, ψ2, γ), где γ — фиксированная допустимая кривая. С помощью вариационного подхода доказывается лемма. Лемма 2. Существует единственная тройка (ψ1, ψ2, γ) ∈ Vγ, на которой функцио- нал (6) достигает своего наименьшего значения. При этом функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) являются единственными решениями соответственно задач (1), (2) и (3), (4). Пусть теперь γ — произвольная допустимая кривая, ψ1(x, y) — решение задачи (1), (2) в заданной области Gγ , а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4) в Ωγ . Введем в рассмотрение множества G1 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) < 1}, L1 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) < 1}, G2 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) > 1}, L2 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) > 1}. Лемма 3. Пусть (ψ1, ψ2, γ) — допустимая тройка, причем ψ1(x, y) — решение задачи (1), (2), а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4). Просимметризуем область G2 относитель- но осей координат. Полученную область обозначим через G∗, а ее свободную границу че- рез γ∗. Пусть ψ∗ 1(x, y) — решение задачи (1), (2) в G∗, а ψ∗ 2(x, y) — решение задачи (3), (4) в Ω∗ = int(D \ G∗). Тогда I(ψ∗ 1 , ψ ∗ 2 , γ ∗) 6 I(ψ1, ψ2, γ), причем ψ∗ 1y > 0 в G∗, а ψ∗ 2y > 0 в Ω∗ и γ∗ задается уравнением x = x(t), y = y(t), 0 6 t 6 T, (7) где x(t) и y(t) — неубывающие функции параметра t. Теорема существования. Пусть d — точная нижняя грань функционала (6) на мно- жестве V и (ψ1n, ψ2n, Gn,Ωn) — минимизирующая последовательность. На основании лем- мы 3 можно считать, что Gn и Ωn имеют свободную границу γn, заданную уравнениями типа (7). В силу леммы 2 в качестве функций ψ1n и ψ2n можно брать решения задач (1), (2) и (3), (4) соответственно в областях Gn и Ωn. Применяя затем метод внутренних вариаций Шиффера и симметризацию Штейнера [1], докажем теорему. Теорема 1. Пусть функция g(x) монотонно возрастает в [0, a], является аналитичес- кой функцией переменной x при 0 6 x 6 a и, кроме того, g′(0) = 0, g′(a) = a. И пусть так- же выполнено условие 1 − ωb22/2 > 0. Тогда существует единственное решение (ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(5), удовлетворяющее условиям ψ1y > 0 в Gγ , а ψ2y > 0 в Ωγ. При этом γ является монотонно-возрастающей дугой, аналитической в окрестности каждой своей внутренней точки, причем γ не имеет общих точек с кривой P и отрезком A. Функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) непрерывны в Gγ и Ωγ, непрерывно дифференцируемы вплоть до грани- цы всюду, за исключением концевых точек γ. 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6 Решение задачи (1)–(5) методом Ритца. Функционал (6) в классе функций ψ1y > 0 в Gγ и ψ2y > 0 в Ωγ представим следующим образом: I1(z1, z2) = ∫∫ ∆1 [( z1x + gx g z1 )2 + 1 g2 + 2ω(ϕ− 1)z21ϕ ] g z1ϕ dxdϕ+ + ∫∫ ∆2 [( z2x + gx g z2 )2 + 1 g2 ] g z2ϕ dxdϕ, (8) где ∆1 = (0 < x < a, 1 < ϕ < C), ∆2 = (0 < x < a, 0 < ϕ < 1), z1(x, ϕ) и z2(x, ϕ) — функции, определенные, соответственно, в ∆1 и ∆2 и являющиеся решениями уравнений: ϕ1(x, z)−ϕ1 = 0, ϕ2(x, z)−ϕ2 = 0, ψ1(x, zg(x)) = ϕ1(x, z), ψ2(x, zg(x)) = ϕ. Функционал (8) будем минимизировать на множестве допустимых функций Gz = { (z1, z2) : z1 ∈ C 1(∆1), z2 ∈ C1(∆2), z2(x, 0) = 0, z1(x, c) = 1; z1(x, 1) = z2(x, 1), min (x,ϕ)∈∆1 z1ϕ > 0, min (x,ϕ)∈∆2 z2ϕ > 0 } . (9) Обозначим через w1(x, ϕ), w2(x, ϕ) функции, соответствующие классическому решению (ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(4) и можно считать, что (w1, w2) ∈ Gz. Применим теперь формулу Фридрихса [1] I1(zz , z2) = I1(w1, w2) + d dε I1(z1ε, z2ε) ∣ ∣ ∣ ∣ ε=0 + 1 ∫ 0 (1− ε) d2 dε2 I1(z1ε, z2ε)dε, (10) d2I1 dε2 (z1ε, z2ε)=2 ∫∫ ∆1 {[ z1ε ( δz1x+ gx g δz1 ) −δz1ϕ ( z1xε+ gx g z1ε )]2 + δz21ϕ g2 } g z31ϕε dxdϕ+ + 2 ∫∫ ∆2 {[ z2ε ( δz2x + gx g δz21 ) − δz2ϕ ( z2xε + gx g z2ε )]2 + δz22ϕ g2 } g z32ϕε dxdϕ, (11) где z1ε = w1 + ε(z1 − w1), z2ε = w2 + ε(z2 − w2), δz1 = z1 − w1, δz2 = z2 − w2, 0 6 ε 6 1, z1, z2 — произвольная пара из Gz. Тогда получим I1(w1, w2) 6 I1(z1, z2). Лемма 4. Пара (w1, w2) ∈ Gz, соответствующая решению задачи (1)–(5), доставляет наименьшее значение функционалу (8) на множестве (9). Будем минимизировать функционал (8) на множестве (9) при помощи сумм z1n(x, ϕ) = 1 + c− ϕ c− 1 L ∑ k=0 Mj ∑ j=0 bkjx jϕk, z2n(x, ϕ) = L ∑ k=1 Mj ∑ j=0 akjx jϕk, (12) где n = sup(j + Mj) при 0 6 j 6 L. Включение (z1nz2n) ∈ Gz выделяет в евклидовом пространстве Er коэффициентов akj, bkj область допустимости Gr, где r = L ∑ k=0 (1 + 2Mk); G2 = G+ r ⋂ E0; G+ r = G1 r ⊕G2 r ; E0 = E0 0 ⊕ E0 1 ⊕ · · · ⊕ E0 L; ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 49 G1 r = { bkj : min z1nϕ (x,ϕ)∈∆1 > 0 } , G2 r = {akj : min z2nϕ (x,ϕ)∈∆2 > 0}; E0 0 : M0 ∑ k=1 ak0 = M0 ∑ k=0 bk0 + 1; E0 j : Mj ∑ k=1 akj = Mj ∑ k=0 bkj, j = 1, 2, . . . , L; L = maxLk 06k6M . Неизвестные коэффициенты akj, bkj определяются из нелинейной системы Ритца [4–6]: Теорема 2. Функция I2(akj , bkj) принимает свое наименьшее значение в некоторой внутренней точке множества Gr, лежащей на конечном расстоянии от начала коор- динат. При этом нелинейная система Ритца имеет по крайней мере одно решение на множестве Gr. Сходимость приближений Ритца.Решив систему Ритца при каждом фиксирован- ном n, можно затем построить последовательность приближений (12) в виде z1n(x, ϕ) = z∗1n, z2n(x, ϕ) = z∗2n. Лемма 5. Приближения (12), построенные по методу Ритца, образуют минимизи- рующую последовательность для функционала (8) на множестве (9). Перейдем теперь непосредственно к доказательству сходимости приближений Рит- ца (12). Лемма 6. Пусть w1(x, ϕ) ∈ W l 2(∆1), w2(x, ϕ) ∈ W l 2(∆2), где l > 4. Тогда можно по- строить допустимые многочлены u1n = 1 + c− ϕ c− 1 L ∑ j=0 Mj ∑ k=0 bkjx jϕk, u2n = L ∑ j=0 Mj ∑ k=1 akjx jϕk, такие, что ‖w1 − u1n‖ 2 w1 2 (∆1) = O ( 1 n2(l−1) ) , ‖w2 − u2n‖ 2 = O ( 1 n2(l−1) ) . Доказательство. В основу доказательства положена методика работы [6]. Теорема 3. Пусть выполнены все предположения теоремы 1 и леммы 6. Тогда после- довательность приближений (12), построенных по методу Ритца, сходится к точному решению w1, w2 по норме в C(∆1), C(∆2). Замечание. Предложенный метод исследования задачи может быть применен при изу- чении морских проливов. В задачах управления свободной границей γ может применяться нечеткая логика. 1. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 354 с. 2. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей. – Киев: Наук. думка, 2012. – 130 с. 3. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 4. – С. 477–487. 4. Friedrich K.O. Ube rein Minimumproblem für Potential stromungen mit freiem Rande // Math. Ann. – 1933. – 109, No 1. – P. 60–82. 5. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294. 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6 6. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1358–1394. Поступило в редакцию 23.11.2012Институт информатики и искусственного интеллекта ДонНТУ, Донецк Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, О.С. Мiненко Моделювання потенцiально-вихрової течiї з вiльною межею з застосуванням нечiткої логiки Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метри- цi C i W 1 2 . Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko Modeling a potentially rotational current with free boundary with the use of the fuzzy logic Solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is constructed, using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one in the metric C and W 1 2 is proved. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 51

Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики

Institution

Ähnliche Einträge