Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов
Предложен новый метод решения вариационных неравенств на множестве неподвижных точек не более чем счетного семейства фейеровских операторов, действующих в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Доказаны теоремы сильной сходимости....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85796 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов / Ю.В. Малицкий, В.В. Семенов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 47–52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85796 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-857962015-08-23T03:02:04Z Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов Малицкий, Ю.В. Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика Предложен новый метод решения вариационных неравенств на множестве неподвижных точек не более чем счетного семейства фейеровских операторов, действующих в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Доказаны теоремы сильной сходимости. Запропоновано новий метод розв’язання варiацiйних нерiвностей на множинi нерухомих точок не бiльш нiж злiченної сiм’ї фейєрiвських операторiв, що дiють у нескiнченновимiрному гiльбертовому просторi. Доведено теореми сильної збiжностi. A new method for solving variational inequalities over the set of fixed points of a countable family of Fejer operators, which act in the infinite-dimensional Hilbert space, is proposed. Strong convergence theorems are proved. 2013 Article Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов / Ю.В. Малицкий, В.В. Семенов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 47–52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85796 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Малицкий, Ю.В. Семенов, В.В. Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов Доповіді НАН України |
| description |
Предложен новый метод решения вариационных неравенств на множестве неподвижных точек не более чем счетного семейства фейеровских операторов, действующих
в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Доказаны теоремы сильной сходимости. |
| format |
Article |
| author |
Малицкий, Ю.В. Семенов, В.В. |
| author_facet |
Малицкий, Ю.В. Семенов, В.В. |
| author_sort |
Малицкий, Ю.В. |
| title |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| title_short |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| title_full |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| title_fullStr |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| title_full_unstemmed |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| title_sort |
схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85796 |
| citation_txt |
Схема внешних аппроксимаций для вариационных неравенств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов / Ю.В. Малицкий, В.В. Семенов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 47–52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT malickijûv shemavnešnihapproksimacijdlâvariacionnyhneravenstvnamnožestvenepodvižnyhtočekfejerovskihoperatorov AT semenovvv shemavnešnihapproksimacijdlâvariacionnyhneravenstvnamnožestvenepodvižnyhtočekfejerovskihoperatorov |
| first_indexed |
2025-07-06T13:08:57Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:08:57Z |
| _version_ |
1836903130889977856 |
| fulltext |
УДК 517.9
Ю.В. Малицкий, В.В. Семенов
Схема внешних аппроксимаций для вариационных
неравенств на множестве неподвижных точек
фейеровских операторов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины С.И. Ляшко)
Предложен новый метод решения вариационных неравенств на множестве неподвиж-
ных точек не более чем счетного семейства фейеровских операторов, действующих
в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Доказаны теоремы сильной сходи-
мости.
Вариационные неравенства с монотонными операторами — один из центральных объектов
изучения в прикладном нелинейном анализе. Многие задачи исследования операций, ма-
тематической экономики и математической физики могут быть записаны в форме вариа-
ционных неравенств, для численного решения которых к настоящему времени предложено
и исследовано большое количество алгоритмов. Среди последних большое значение име-
ют итерационные процессы, порожденные фейеровскими и нерастягивающими оператора-
ми [1–7]. Эти операторы обладают очень важным свойством замкнутости относительно
композиций определенного типа, что открывает возможность естественной декомпозиции
задач и сборки алгоритмов из некоторого семейства более простых процедур.
В работе рассматривается вариационное неравенство на множестве неподвижных точек
не более чем счетного семейства фейеровских операторов, действующих в бесконечномер-
ном гильбертовом пространстве. Отталкиваясь от известного “гибридого метода” Takahashi–
Takeuchi–Kubota [8–9] поиска неподвижных точек, мы предлагаем так называемую схему
внешних аппроксимаций для решения рассматриваемой задачи с сильно монотонным и ли-
пшицевым оператором. Основной результат — теоремы сильной сходимости схемы внеш-
них аппроксимаций. Заметим, что наш анализ совсем не использует понятий, связанных со
слабой топологией (демизамкнутость, свойство Кадеца–Кли) (см. также [9, 10]). Все необ-
ходимые сведения по нелинейному анализу изложены в работах [1, 7].
Пусть H — действительное гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·)
и нормой ‖ · ‖.
Определение 1. Оператор T : H → H называют фейеровским (квазинерастягиваю-
щим), если
1) F (T ) = {x ∈ H : x = Tx} 6= ∅;
2) ‖Tx − y‖ 6 ‖x − y‖ ∀x ∈ H ∀ y ∈ F (T ).
Замечание 1. Для фейеровского оператора T множество неподвижных точек F (T ) замк-
нутое и выпуклое.
Для операторов A : H → H и множеств M ⊆ H обозначим
V I(A,M) = {x ∈ M : (Ax, y − x) > 0 ∀ y ∈ M}.
© Ю. В. Малицкий, В.В. Семенов, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 47
Рассмотрим абстрактную задачу:
найти x ∈ V I
(
A,
∞
⋂
n=1
F (Tn)
)
. (1)
Будем предполагать выполненными следующие условия: {Tn}n∈N — cчетное множество
фейеровских операторов, действующих в H; F =
∞
⋂
n=1
F (Tn) 6= ∅; A : H → H — сильно
монотонный и липшицевый оператор с константами l > 0, L > 0 соответственно.
Замечание 2. Решение вариационного неравенства (1) существует и единственно.
Замечание 3. При λ ∈ (0, 2l/L2) оператор I − λA является сжимающим.
Для произвольной пары элементов x, y ∈ H определим множество
H(x, y) = {z ∈ H : ‖z − y‖ 6 ‖z − x‖} = {z ∈ H : 2(x− y, z) 6 ‖x‖2 − ‖y‖2}.
Множество H(x, y) является замкнутым полупространством (совпадающим с H в случае
x = y).
Для аппроксимации решения вариационного неравенства (1) предлагаем
Алгоритм 1. Cтроим последовательность (xn) по схеме
x1 ∈ H, C1 = H,
Cn+1 = Cn
⋂
H(xn, Tnxn),
xn+1 = PCn+1
(I − λnA)xn,
где λn > 0.
Замечание 4. Алгоритм 1 — обобщение “гибридного метода” аппроксимации неподвиж-
ных точек нерастягивающих операторов [8]. В работах [9, 11] подобные схемы были исполь-
зованы для поиска неподвижных точек многозначных фейеровских операторов и решения
задач равновесного программирования.
Предположим, что Cn 6= ∅ и F ⊆ Cn. Имеем
‖Tnxn − z‖ 6 ‖xn − z‖ ∀ z ∈ F ⊆ F (Tn).
Следовательно, F ⊆ H(xn, Tnxn). Таким образом, F ⊆ Cn+1. Получили цепочку вложений
H = C1 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ Cn+1 ⊇ · · · ⊇ F 6= ∅
и корректность определения последовательности (xn).
Для доказательства основных результатов нам необходимы
Утверждение 1 [7]. Если Cn — замкнутые выпуклые подмножества гильбертова
пространства H, Cn ⊇ Cn+1 и C =
∞
⋂
n=1
Cn 6= ∅, то
PCn
x → PCx для всех x ∈ H.
Определение 2. Семейство операторов {Tn : H → H} назовем предельно замкнутым,
если
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
1)
∞
⋂
n=1
F (Tn) 6= ∅;
2) для любой последовательности (xn) имеем
xn → x,
xn − Tnxn → 0
}
⇒ x ∈
∞
⋂
n=1
F (Tn).
Замечание 5. Если Tn ≡ T и оператор T замкнут, то семейство {Tn} предельно замкнуто.
Имеет место
Теорема 1. Пусть A : H → H — сильно монотонный и липшицевый оператор с кон-
стантами l > 0, L > 0 соответственно; {Tn : H → H} — счетное предельно замкнутое
семейство фейеровских операторов. Предположим, что λn ∈ [λ, λ] ⊆ (0, 2l/L2) ∀n ∈ N
и λn → λ. Тогда порожденная алгоритмом 1 последовательность (xn) сильно сходится
к единственному решению вариационного неравенства (1).
Доказательство. Существует единственный элемент y ∈
∞
⋂
n=1
Cn, такой, что
y = P⋂
∞
n=1
Cn
(I − λA)y.
Покажем, что xn → y при n → ∞. Рассмотрим вспомогательную последовательность эле-
ментов yn = PCn
(I − λA)y. Известно, что yn → y при n → ∞. Имеет место оценка
‖xn+1 − yn+1‖ 6 ‖(I − λnA)xn − (I − λA)y‖ 6 q‖xn − yn‖+ q‖yn − y‖+ |λn − λ|‖Axn‖,
где q ∈ (0, 1). Предположим, что (xn) не сходится к y. Тогда
lim sup
n→∞
‖xn − yn‖ > 0.
Следовательно,
lim sup
n→∞
‖xn − yn‖ = lim sup
n→∞
‖xn+1 − yn+1‖ 6 q lim sup
n→∞
‖xn − yn‖ < lim sup
n→∞
‖xn − yn‖,
что абсурдно. Таким образом, ‖xn − y‖ → 0.
Покажем, что y — решение вариационного неравенства (1). Поскольку xn+1 = PCn+1
(I−
− λnA)xn, то
(xn+1 − xn + λnAxn, z − xn+1) > 0 ∀ z ∈ Cn+1.
Принимая во внимание вложение F ⊆ Cn+1, получим,
(xn+1 − xn + λnAxn, z − xn+1) > 0 ∀ z ∈ F ∀n ∈ N.
Совершив предельный переход, имеем
(Ay, z − y) > 0 ∀ z ∈ F =
∞
⋂
n=1
F (Tn).
Осталось доказать включение y ∈
∞
⋂
n=1
F (Tn). Поскольку xn+1 ∈ Cn+1, то
‖Tnxn − xn+1‖ 6 ‖xn − xn+1‖,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 49
откуда
‖Tnxn − xn‖ 6 ‖Tnxn − xn+1‖+ ‖xn − xn+1‖ 6 2‖xn − xn+1‖.
Следовательно, xn − Tnxn → 0. Учтя предельную замкнутость семейства операторов {Tn},
получим y ∈
∞
⋂
n=1
F (Tn).
Уточним предыдущий результат для вариационного неравенства с не более чем счетным
семейством операторов {Tn}n∈I :
найти x ∈ V I
(
A,
⋂
i∈I
F (Ti)
)
, (2)
где I ⊆ N.
Алгоритм 2. Строим последовательность (xn) по схеме
x1 ∈ H, C1 = H,
Cn+1 = Cn
⋂
H(xn, Tp(n)xn),
xn+1 = PCn+1
(I − λnA)xn,
где p : N → I , λn > 0.
Будем предполагать, что отображение p : N → I сюръективно и в случае счетного I
“достаточно часто” принимает каждое свое значение. А именно, для произвольного индекса
i ∈ I множество p−1(i) = {k ∈ N : p(k) = i} бесконечно.
Замечание 6. Если I = {1, 2, . . . , N}, то можно положить p(n) = (n − 1) mod N + 1
(циклическая стратегия).
Теорема 2. Пусть A : H → H — сильно монотонный и липшицевый оператор с кон-
стантами l > 0, L > 0 соответственно; {Tn : H → H}n∈I — не более чем счетное се-
мейство замкнутых фейеровских операторов,
⋂
n∈I
F (Tn) 6= ∅. Предположим, что λn ∈
∈ [λ, λ] ⊆ (0, 2l/L2) ∀n ∈ N, λn → λ, для произвольного индекса i ∈ I множество p−1(i) =
= {k ∈ N : p(k) = i} бесконечно. Тогда порожденная алгоритмом 2 последовательность
(xn) сильно сходится к единственному решению вариационного неравенства (2).
Доказательство. Необходимо лишь доказать утверждение:
xn → x,
xn − Tp(n)xn → 0
}
⇒ x ∈
⋂
i∈I
F (Ti).
Возьмем произвольный индекс i ∈ I . Существует возрастающая последовательность (nk),
такая, что p(nk) = i. Имеем
xnk
→ x, xnk
− Tp(nk)xnk
= xnk
− Tixnk
→ 0.
Замкнутость оператора Ti влечет x ∈ F (Ti). В силу произвольности i ∈ I получаем, что
x ∈
⋂
i∈I
F (Ti).
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
Замечание 7. Аналогичные теореме 2 результаты имеют место для схем
x1 ∈ H,
yn = Tp(n)xn,
C1 = {z ∈ H : ‖y1 − z‖ 6 ‖x1 − z‖}, Q1 = H,
Cn = Cn−1
⋂
Qn−1 ∩ {z ∈ H : ‖yn − z‖ 6 ‖xn − z‖},
Qn = Cn−1
⋂
Qn−1
⋂
{z ∈ H : ((I − λn−1A)xn−1 − xn, xn − z) > 0},
xn+1 = PCn∩Qn
(I − λnA)xn,
x1 ∈ H, Q1 = H,
yn = Tp(n)xn,
Cn = {z ∈ H : ‖yn − z‖ 6 ‖xn − z‖},
Qn = Qn−1
⋂
{z ∈ H : ((I − λn−1A)xn−1 − xn, xn − z) > 0},
xn+1 = PCn∩Qn
(I − λnA)xn,
где p : N → I , λn > 0.
Работа В.В. Семенова выполнена при финансовой поддержке Верховной Рады Украины (Имен-
ная стипендия ВР Украины для молодых ученых в 2013 году).
1. Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. (Теория и при-
ложения). – Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 200 с.
2. Нурминский Е.А. Использование дополнительных малых воздействий в фейеровских моделях итера-
тивных алгоритмов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2008. – 48, № 12. – С. 2121–2128.
3. Yamada I. The hybrid steepest descent method for the variational inequality over the intersection of
fixed point sets of nonexpansive mappings // D. Butnariu, Y. Censor, S. Reich (eds.), Inherently Parallel
Algorithm for Feasibility and Optimization and Their Applications. – Amsterdam: Elsevier, 2001. – P. 473–
504.
4. Малiцький Ю.В., Семенов В. В. Новi теореми сильної збiжностi проксимального методу для задачi
рiвноважного програмування // Журн. обчисл. та прикл. матем. – 2010. – № 3(102). – С. 79–88.
5. Малiцький Ю.В. Пошук нерухомої точки лiпшицевої напiвгрупи нерозтягуючих операторiв // Там
само. – 2012. – № 1(107). – С. 35–39.
6. Войтова Т.А., Денисов С.В., Семенов В. В. Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачi
дворiвневої опуклої мiнiмiзацiї // Доп. НАН України. – 2012. – № 2. – С. 56–62.
7. Bauschke H.H., Combettes P. L. Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces. – New
York: Springer, 2011. – xvi + 468 p.
8. Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. Strong convergence theorems by hybrid methods for families of
nonexpansive mappings in Hilbert spaces // J. Math. Anal. Appl. – 2008. – 341. – P. 276–286.
9. Семенов В. В. Сильно збiжний алгоритм пошуку нерухомої точки багатозначного фейєрiвського опе-
ратора // Журн. обчисл. та прикл. матем. – 2010. – № 4(103). – С. 89–93.
10. Bauschke H.H., Chen J., Wang X. A projection method for approximating fixed points of quasi nonexpansi-
ve mappings without the usual demiclosedness condition. – arXiv:1211.1639.
11. Войтова Т.А., Денисов С.В., Семенов В.В. Сильно збiжний модифiкований варiант методу Корпе-
левич для задач рiвноважного програмування // Журн. обчисл. та прикл. матем. – 2011. – № 1(104). –
С. 10–23.
Поступило в редакцию 04.02.2013Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 51
Ю.В. Малiцький, В. В. Семенов
Схема зовнiшнiх апроксимацiй для варiацiйних нерiвностей
на множинi нерухомих точок фейєрiвських операторiв
Запропоновано новий метод розв’язання варiацiйних нерiвностей на множинi нерухомих
точок не бiльш нiж злiченної сiм’ї фейєрiвських операторiв, що дiють у нескiнченновимiр-
ному гiльбертовому просторi. Доведено теореми сильної збiжностi.
Yu.V. Malitsky, V.V. Semenov
A scheme of outer approximations for variational inequalities over
a fixed point set of Fejer operators
A new method for solving variational inequalities over the set of fixed points of a countable family of
Fejer operators, which act in the infinite-dimensional Hilbert space, is proposed. Strong convergence
theorems are proved.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
|