О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях
Найдены достаточные условия связной устойчивости трехкомпонентной энергосистемы с импульсами и запаздыванием в условиях наличия более мощного дополнительного генератора. Представлены оценки областей устойчивости в пространстве параметров системы....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85799 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 64–71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85799 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-857992015-08-23T03:02:14Z О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. Механіка Найдены достаточные условия связной устойчивости трехкомпонентной энергосистемы с импульсами и запаздыванием в условиях наличия более мощного дополнительного генератора. Представлены оценки областей устойчивости в пространстве параметров системы. Знайдено достатнi умови зв’язної стiйкостi трикомпонентної енергосистеми з iмпульсами та запiзненням в умовах наявностi бiльш потужного додаткового генератора. Наведено оцiнки областей стiйкостi у просторi параметрiв системи. The sufficient conditions for the connective stability of a three-machine energetic system with impulses and time-delay are found. The estimations of the stability regions in the space of parameters of the system are given. 2013 Article О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 64–71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85799 517.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях Доповіді НАН України |
| description |
Найдены достаточные условия связной устойчивости трехкомпонентной энергосистемы с импульсами и запаздыванием в условиях наличия более мощного дополнительного генератора. Представлены оценки областей устойчивости в пространстве параметров
системы. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| title_short |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| title_full |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| title_fullStr |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| title_full_unstemmed |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| title_sort |
о связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85799 |
| citation_txt |
О связной устойчивости трехмашинной энергетической системы при импульсных возмущениях / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 64–71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa osvâznojustojčivostitrehmašinnojénergetičeskojsistemypriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ivanovil osvâznojustojčivostitrehmašinnojénergetičeskojsistemypriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh |
| first_indexed |
2025-07-06T13:09:06Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:09:06Z |
| _version_ |
1836903140945821696 |
| fulltext |
УДК 517.36
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк, И. Л. Иванов
О связной устойчивости трехмашинной энергетической
системы при импульсных возмущениях
Найдены достаточные условия связной устойчивости трехкомпонентной энергосисте-
мы с импульсами и запаздыванием в условиях наличия более мощного дополнительного
генератора. Представлены оценки областей устойчивости в пространстве параметров
системы.
Настоящая работа посвящена исследованию связной устойчивости трехмашинной энерго-
системы при импульсных возмущениях с запаздыванием в условиях наличия эталонного
генератора, который моделируется шинами постоянного напряжения. Применяемый нами
подход для анализа устойчивости систем основан на некоторых результатах работ [1–4],
в которых рассматриваются общие вопросы устойчивости импульсных систем, систем с по-
следействием, устойчивости (в том числе связной) крупномасштабных систем, устойчивости
систем с запаздыванием и импульсным воздействием.
Постановка и анализ устойчивости. Рассмотрим математическую модель энерго-
системы, состоящую из трех генераторов в виде
Mi
d2xi
dt2
= Pmi − Pei, i = 1, 2, 3, (1)
где Mi — инерционная постоянная; Pmi — механическая мощность на валу машины; θi —
угол поворота ротора i-го генератора относительно некоторой синхронной оси вращения;
Pei — активные мощности, определяемые с помощью соотношения
Pei = EiUYi,4 sinxi +
3
∑
j=1
EiEjYij sin(xi − xj),
где Ei — э. д. с. i-й машины; Yii — собственные проводимости машины; Yij — взаимные
проводимости, причем Yij = Yji. Имеющиеся слагаемые EiUYi,4 sinxi соответствуют шинам
постоянного напряжения с U = E4. Модель с шинами постоянного напряжения может при-
меняться при описании динамики энергосистемы, в которой один из генераторов системы
имеет существенно большую мощность, чем все остальные [5].
Пусть Qij = EiEjYi,j, i, j = 1, 2, 3, Pmi = 0 и Qi = EiUYi,4, i = 1, 2, 3. Тогда уравнения (1)
принимают вид
Mi
d2xi
dt2
= −Qi sinxi −
3
∑
j=1
j 6=i
sin(xi − xj), i = 1, 2, 3. (2)
Предположим, что в математической модели трехмашинной энергосистемы учитываются
импульсные возмущения и последействие в цепи обратной связи. В этом случае в общей
постановке система принимает вид:
Mi
d2xi
dt2
+Di
dxi
dt
= Pmi − Pei + Pτi, t > t0, t 6= tk, (3)
© А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов, 2013
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
xi(tk) = Iki(xi(τ
−
k )), (4)
dxi
dt
(τk) = Jki(xi(τ
−
k )), (5)
xi(t) = ϕi(t), t0 − r 6 t 6 t0, (6)
где Pτi = αi sin(kixi(t − r)), αi, ki, r — некоторые постоянные; t0 < τ1 < · · · < τk < · · · ,
k ∈ N, lim
k→∞
τk = ∞, Iki, Jki, ϕi, ψi ∈ C(R,R) и Iki(0) = Jki(0) = 0, k ∈ N.
Из физических соображений будем считать, что в задаче (3)–(6) мгновенным измене-
ниям подвержены только скорости. Положим также Pmi = 0, тогда система (3)–(5) при-
обретет вид
Miẍi +Diẋi +Qi sinxi =
3
∑
j=1
j 6=i
sin(xj − xi) + αi sin kixi(t− r),
t ∈ [t0,+∞), t 6= τk, k ∈ N, i = 1, 2, 3,
ẋi(τ
+
k ) = Jki(xi(τk)), k ∈ N.
(7)
Будем считать, что данная система имеет место при E = Ef . Общий случай системы
будем подразумевать в виде:
Miẍi +Diẋi +Qi sinxi =
3
∑
j=1
j 6=i
Qij sin(xj − xi) + αi sin kixi(t− r), i = 1, 2, 3,
t ∈ [t0,+∞), t 6= τk, k ∈ N,
ẋi(τ
+
k ) = Jki(xi(τk)), k ∈ N.
(8)
Замечание 1. В системе (7) импульсы не зависят от матрицы взаимосвязи, поскольку
они лишены связей между системами.
После линеаризации получим систему
Miẍi +Diẋi +Qixi =
3
∑
j=1
j 6=i
(xj − xi) +Aixi(t− r), i = 1, 2, 3,
t ∈ [t0,+∞), t 6= τk, k ∈ N,
ẋi(τ
+
k ) = c1kixi(τk) + c2kiẋi(τk), k ∈ N,
(9)
где c1ki, c2ki — некоторые действительные постоянные, Ai = αiki, i = 1, 2, 3, k ∈ N.
С учетом линейного представления (9) матричную функцию Ляпунова будем брать в ви-
де
vii(xi) =Miẋ
2
i + 2Riẋixi +Qix
2
i , i = 1, 2, 3,
vij(xi,xj) =
1
2
Qij(xi − xj)
2, i, j = 1, 2, 3, i 6= j.
(10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 65
Матрица-функция (10) используется для построения скалярной функции
V (x) = βTU(x)β, β ∈ R
3
+. (11)
Взяв в (11) вектор β единичным, получим функцию Ляпунова в виде
v(x) =
3
∑
i=1
(ẋ2i + 2Rxiẋi +Qix
2
i ) +
3
∑
i=1
(xi − xj)
2.
Рассмотрим производную этой функции вдоль системы (9):
dv(x)
dt
∣
∣
∣
∣
(9)
=
3
∑
i=1
(
−Diẋi −Qixi +
3
∑
j=1
j 6=i
(xj − xi) +Aixi(t− r)
)
+ 2Riẋ
2
i +
+
2Ri
Mi
xi
(
−Diẋi −Qixi +
3
∑
j=1
j 6=i
(xj − xi) +Aixi(t− r)
)
+ 2
3
∑
i,j=1
i<j
(ẋj − ẋi)(xj − xi) 6
6 2
3
∑
i=1
((−Di +Ri)ẋ
2
i − R̃iQix
2
i − R̃iDixiẋi) + 2
3
∑
i=1
xi(t− r)(ẋi − R̃ixi)−
− 2
3
∑
j=1
j 6=i
Qijxi(xi − xj),
где введено обозначение R̃i = Ri/Mi.
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что
3
∑
i=1
Aixi(t− r)(ẋi +Rixi) 6
√
√
√
√
3
∑
i=1
A2
i
Mi
x2i (t− r)
√
√
√
√
3
∑
i=1
Mi(ẋi +Rixi)2.
Покажем далее, что выполняется оценка
√
√
√
√
3
∑
i=1
A2
i
Mi
x2i (t− r)
√
√
√
√
3
∑
i=1
Mi(ẋi +Rixi)2 6 max
i=1,2,3
|A1|
√
QiMi −R2
i
√
v(t)v(t − r). (12)
Поскольку
v(x) =
3
∑
i=1
(Miẋ
2
i + 2Rixiẋi +Qix
2
i ) +
3
∑
i=1
(Qixi − xj)
2
>
>
3
∑
i=1
(
Miẋ
2
i + 2Rixiẋi +
R2
i
Mi
x2i +
(
Qi −
R2
i
Mi
)
x2i
)
>
3
∑
i=1
(
Qi −
R2
i
Mi
)
x2i ,
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
то
inf
‖x‖=1
v
3
∑
i=1
Ai
Mi
x2i
= inf
‖x‖=1
3
∑
i=1
(
Qi −
R2
i
Mi
)
x2i
3
∑
i=1
Ai
Mi
x2i
= min
i=1,2,3
QiMi −R2
i
A2
i
откуда
3
∑
i=1
A2
i
Mi
x2i (t− r) 6 max
i=1,2,3
A2
i
QiMi −R2
i
v(t− r).
Аналогично можно показать, что
3
∑
i=1
Mi(ẋi + R̃ixi)
2
6 v.
Из этих двух неравенств следует неравенство (12).
Будем требовать, чтобы R̃i i = 1, 2, 3, были равны между собой и обозначим R̃i = R̃.
Пусть p(s) = (1 + q)2s, где q > 0 — некоторый параметр. Тогда при условии v(t − r) 6
6 p(v(t)) верным будет неравенство
v̇(x)|(9) 6 −2
3
∑
i=1
(
(Di −Ri)ẋ
2
i +
RiQi
Mi
x2i +
RiDi
Mi
xiẋi
)
+
+ 2(1 + q) max
i=1,2,3
|Ai|
√
QiMi −R2
i
v − 2
3
∑
i,j=1
i<j
R̃Qij(xj − xi)
2
6
6 2
3
∑
i=1
((−Di + R̃Mi + (1 + q)λMi)ẋ
2
i − R̃(Di − 2(1 + q)λMi)xiẋi −
−Qi(R̃− (1 + q)λ)x2i )− 2max{0, (1 + q)λ− R̃}
3
∑
i,j=1
i<j
(xj − xi)
2,
где λ = max
i=1,2,3
(
|Ai|/
(
Mi
√
Qi/Mi − R̃2
))
. Для отрицательной определенности этой квадра-
тичной формы необходимо, чтобы
R̃− (1 + q)λ > 0,
откуда следует равенство
max{0, (1 + q)λ− R̃} = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 67
Поэтому для полной производной функции Ляпунова будет иметь место оценка
v̇(x)|(9) 6 2
3
∑
i=1
((−Di + R̃Mi + (1 + q)λMi)ẋ
2
i − R̃(Di − 2(1 + q)λMi)xiẋi −
−Qi(R̃− (1 + q)λ)x2i ). (13)
Для того чтобы существовало q > 0, при котором квадратичная форма (13) будет отрица-
тельно определенной, необходимо и достаточно, чтобы эта форма была отрицательно опре-
деленной при q = 0. Получим условие отрицательной определенности этой формы в виде
системы неравенств:
R̃2(Di − 2λMi)
2 − 4(Di − R̃Mi − λMi)Qi(R̃− λ) < 0, i = 1, 2, 3,
R̃ > λ.
(14)
Рассмотрим дискретную часть системы. Требование v(τk+0,x(τk+0)) 6 v(τk,x(τk)), k ∈ N,
приводит к неравенству
3
∑
i=1
(Mi(c1ikxi + c2ikẋi)
2 + 2MiR̃(c1ikxi + c2ikẋi)xi) 6
3
∑
i=1
(Miẋ
2
i + 2MiR̃ẋixi)
или, что то же самое, к неравенствам
(c22ik − 1)ẋ2i + 2(c1ikc2ik + R̃(c2ik − 1))xiẋi + 2(R̃c1ik + c21ik)x
2
i 6 0, i = 1, 2, 3.
Отрицательная полуопределенность этой формы имеет место в случае выполнения условий
|c2ik| 6 1,
−R̃2(1− c2ik)
2 − 2R̃c1ik(1− c2ik)− c21ik > 0,
(15)
где i = 1, 2, 3, k ∈ N.
Если c2ik 6= 1, то второе неравенство в (15) позволяет однозначно определить параметр
R̃, поэтому условия (15) равносильны условиям
|c2ik| 6 1,
R̃ = −
c1ik
1− c2ik
,
(16)
где i = 1, 2, 3, k ∈ N. Из (16) также следует, что величины −c1ik/(1− c2ik) при разных зна-
чениях коэффициента i равны между собой. Случай c2ik = 1, c1ik = 0 соответствует отсут-
ствию импульсов и, очевидно, удовлетворяет требованию v(τk + 0,x(τk + 0)) 6 v(τk,x(τk)).
В этом случае на R̃ не налагаются ограничения. Если c2ik = 1, но c1ik 6= 0, то, как это видно
из второго неравенства в (16), данное требование удовлетворяться не будет.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
Рис. 1. Оценка области связной асимптотической устойчивости системы (8) в пространстве параметров D1,
A1 при A2 = A3 = 2, Mi = 1, Qi = 20, i = 1, 2, 3, D2 = D3 = 5, c1ik = −0,5, c2ik = 0, 5, i = 1, 2, 3, k ∈ N
и произвольных r, Qij , i, j = 1, 2, 3
Принимая во внимание неравенства (14), получим условия
c21ik
(1− c2ik)2
(Di − 2λMi)
2 − 4
(
Di +
c1ik
1− c2ik
Mi − λMi
)
Qi
(
−
c1ik
1− c2ik
− λ
)
< 0,
−
c1ik
1− c2ik
> λ,
|c2ik| 6 1,
c11k
1− c21k
=
c12k
1− c22k
=
c13k
1− c23k
,
i = 1, 2, 3, k ∈ N, λ = max
i=1,2,3
|Ai|
Mi
√
Qi
Mi
−
c21ik
(1− c2ik)2
.
(17)
Таким образом, воспользовавшись методами доказательства теоремы 1 работы [6], мож-
но установить, что система уравнений и неравенств (17) является достаточными условием
асимптотической устойчивости системы (9), а значит, и системы (8) при фундаментальной
матрице взаимосвязи.
Замечание 2. Если выполняются условия (17), то система (8) связно асимптотически
устойчива, поскольку в эти условия устойчивости не входят параметры Qij.
Численное построение оценки области устойчивости и анализ результатов.
Зафиксируем часть параметров и будем рассматривать устойчивость системы при помощи
условий (17) в пространстве остальных параметров. А именно, пусть в системе (8) зада-
ны следующие параметры: A2 = A3 = 2, Mi = 1, Qi = 5, i = 1, 2, 3, D1 = D2 = 5,
c1ik = −1, c2ik = 0,5, i = 1, 2, 3, k ∈ N. Параметры r, Qij , i, j = 1, 2, 3, можно считать
произвольными. Построение оценки области будет производиться в пространстве парамет-
ров D1 и A1. Область подана на рис. 1.
Отметим, что, согласно (17), зависимость условий устойчивости от импульсного воз-
действия выражается лишь в виде зависимости от параметра R̃ = −c2ik/(1− c1ik), поэтому
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 69
построенная для некоторого R̃ оценка области устойчивости будет также актуальной и при
всех иных комбинациях параметров c1ik, c2ik, i = 1, 2, 3, k ∈ N, которые соответствуют
этому значению R̃.
Покажем, что границы всех этих оценок областей устойчивости являются кусочно-ли-
нейными. Рассмотрим сперва случай, когда |Ai| и Di не зависят от i. Предположим также,
что от i не зависят константы Mi и Qi. Обозначим |Ai| = A, Di = D, Mi = M , Qi = Q,
µ = λ/A. Пусть R̃ = −c2ik/(1 − c1ik), тогда из условий (17) следует неравенство
R̃2(4µ2A2M2 − 4µAMD +D2)− 4Q(A2µ2M −AµD +DR̃− R̃2M) < 0,
−4A2 + 4
D
Mµ
A+ (DR̃− 2Q)2 − 4
Q
Mµ2
< 0,
откуда
A ∈
(
−∞,
D
2µM
−
Q
2M
|D − 2MR̃|
)
⋃
(
D
2µM
+
Q
2M
|D − 2MR̃|,∞
)
. (18)
Из (18) видно, что границы оценки области устойчивости являют собой линейную зависи-
мость Ai от Di.
Требование R̃ > λ приводит к исключению правого интервала в (18), и оценка области
устойчивости приобретает связный вид, изображенный, например, на рис. 1.
Отметим, что граница оценки области на рис. 1 содержит в том числе прямолинейные
участки, параллельные координатным осям: вертикальные и горизонтальный. Однако при
нулевых значениях амплитуд A2 и A3 вертикальных участков уже нет, поэтому их существо-
вание следует связывать с фигурирующим в условиях устойчивости параметром λ. Кроме
того, из проведенных анализов для промежуточных значений параметров A2 и A3 следует,
что имеет место следующий характер исчезновения вертикальных участков при стремя-
щихся к нулю параметрах A2 и A3. А именно, левый вертикальный участок постепенно
смещается влево, а правый удаляется вправо на бесконечность.
Таким образом, из полученных результатов следует, что стабилизация энергетической
системы с последействием при помощи демпфирования возможна лишь локально: начиная
с определенных достаточно больших значений такая стабилизация оказывается невозмож-
ной.
Полученные оценки области устойчивости в пространстве параметров демпфирования
и амплитуды запаздывания имеют вид полигонов. Такой характер этих оценок говорит
о том, что возможным здесь является расширение использования аналитических методов
исследований в сравнении с численными.
1. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных возмущениях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 308 с.
2. Ribbens-Pavella M. Transient stability of multimachine power systems by Lyapunov’s direct method. –
IEEE PES Winter Meeting. Conf. Paper. – New York, January–February, 1971. – P. 1–9.
3. Pai M.A., Narayana C. I. Stability of large scale power systems. – Proc. Sixth IFAC Congr., Boston, Mass.,
1975. – P. 1–10.
4. Jocič L., Ribbens-Pavella M., Šiljak D.D. Multimachine power systems stability decomposition and aggre-
gation // IEEE Trans. Autom. Contr. – 1978. – 23, No 2. – P. 325–332.
5. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. – Москва:
Машиностроение, 1981. – 126 с.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
6. Слынько В.И. Об условиях устойчивости движения линейных импульсных систем с запаздыванием //
Прикл. механика. – 2005. – 41, № 6. – С. 130–138.
Поступило в редакцию 25.12.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України А.А. Мартинюк, I.Л. Iванов
Про зв’язну стiйкiсть тримашинної енергетичної системи
при iмпульсних збуреннях
Знайдено достатнi умови зв’язної стiйкостi трикомпонентної енергосистеми з iмпульса-
ми та запiзненням в умовах наявностi бiльш потужного додаткового генератора. Наведено
оцiнки областей стiйкостi у просторi параметрiв системи.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk, I. L. Ivanov
On the connective stability of a three-machine energetic system with
impulsive disturbances
The sufficient conditions for the connective stability of a three-machine energetic system with
impulses and time-delay are found. The estimations of the stability regions in the space of para-
meters of the system are given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 71
|