Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости
Получено полное аналитическое решение задачи о дроблении капли в скоростном потоке газа. На основе механизма градиентной неустойчивости течения в погранслое на поверхности капли выведены общие дифференциальные уравнения кинетики дробления. Их интегрирование в приближении сферичности капли позволило...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85863 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости / А.Г. Гирин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 55–64. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85863 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-858632015-08-27T03:02:05Z Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости Гирин, А.Г. Механіка Получено полное аналитическое решение задачи о дроблении капли в скоростном потоке газа. На основе механизма градиентной неустойчивости течения в погранслое на поверхности капли выведены общие дифференциальные уравнения кинетики дробления. Их интегрирование в приближении сферичности капли позволило найти закон изменения ее массы, условия и время ее полного разрушения. С применением эмпирического закона движения капли найдена нестационарная функция распределения количества диспергированных капелек по размерам. Рассчитаны промежуточные и окончательные распределения и описаны общие особенности диспергирования. Для случая, когда эмпирический закон движения капли неизвестен, получено совместное решение системы дифференциальных уравнений кинетики дробления и движения капли и найдена функция распределения капелек по размерам. Отримано повний аналiтичний розв’язок задачi про дроблення краплi у швидкiсному потоцi газу. На основi механiзму градiєнтної нестiйкостi течiї в примежовому шарi на поверхнi краплi виведенi загальнi диференцiйнi рiвняння кiнетики дроблення. Їх iнтегрування у наближеннi сферичностi краплi дозволило знайти закон змiни її маси, умови та час її повного руйнування. Iз застосуванням емпiричного закону руху краплi знайдено нестацiонарну функцiю розподiлу кiлькостi диспергованих крапельок за розмiрами. Розраховано промiжнi та остаточнi розподiли i описано загальнi особливостi диспергування. Для випадку, коли емпiричний закон руху краплi невiдомий, отримано спiльний розв’язок системи диференцiальних рiвнянь кiнетики дроблення i руху краплi та знайдено функцiю розподiлу крапельок за розмiрами. The entire analytical solution of the problem of drop shattering in a high-speed gas flow is obtained. The general differential equations of shattering kinetics are derived on a base of the mechanism of gradient instability action in conjugated boundary layers on the drop surface. Their integration in the spherical drop approximation allowed us to find the law of drop mass diminishing and the conditions and the time for the full drop breakup. The transient distribution function for stripped droplets by sizes are obtained with the use of an empirical law of drop motion. Intermediate and final distributions of stripped droplets by sizes are calculated, and some general peculiarities of the dispersion kinetics are described. When the empirical law of drop motion is unknown, the mutual solution of the system of differential equations of shattering kinetics and drop motion is obtained, and the transient distribution function for stripped droplets by sizes is found. 2013 Article Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости / А.Г. Гирин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 55–64. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85863 532.529.6 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Гирин, А.Г. Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости Доповіді НАН України |
| description |
Получено полное аналитическое решение задачи о дроблении капли в скоростном потоке
газа. На основе механизма градиентной неустойчивости течения в погранслое на поверхности капли выведены общие дифференциальные уравнения кинетики дробления. Их интегрирование в приближении сферичности капли позволило найти закон изменения ее массы, условия и время ее полного разрушения. С применением эмпирического закона
движения капли найдена нестационарная функция распределения количества диспергированных капелек по размерам. Рассчитаны промежуточные и окончательные распределения и описаны общие особенности диспергирования. Для случая, когда эмпирический
закон движения капли неизвестен, получено совместное решение системы дифференциальных уравнений кинетики дробления и движения капли и найдена функция распределения капелек по размерам. |
| format |
Article |
| author |
Гирин, А.Г. |
| author_facet |
Гирин, А.Г. |
| author_sort |
Гирин, А.Г. |
| title |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| title_short |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| title_full |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| title_fullStr |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| title_full_unstemmed |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| title_sort |
теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85863 |
| citation_txt |
Теория дробления капли по механизму градиентной неустойчивости / А.Г. Гирин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 55–64. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT girinag teoriâdrobleniâkaplipomehanizmugradientnojneustojčivosti |
| first_indexed |
2025-07-06T13:12:47Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:12:47Z |
| _version_ |
1836903372400099328 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2013
МЕХАНIКА
УДК 532.529.6
А.Г. Гирин
Теория дробления капли по механизму градиентной
неустойчивости
(Представлено академиком НАН Украины В. Т. Гринченко)
Получено полное аналитическое решение задачи о дроблении капли в скоростном потоке
газа. На основе механизма градиентной неустойчивости течения в погранслое на по-
верхности капли выведены общие дифференциальные уравнения кинетики дробления. Их
интегрирование в приближении сферичности капли позволило найти закон изменения
ее массы, условия и время ее полного разрушения. С применением эмпирического закона
движения капли найдена нестационарная функция распределения количества дисперги-
рованных капелек по размерам. Рассчитаны промежуточные и окончательные распре-
деления и описаны общие особенности диспергирования. Для случая, когда эмпирический
закон движения капли неизвестен, получено совместное решение системы дифферен-
циальных уравнений кинетики дробления и движения капли и найдена функция распре-
деления капелек по размерам.
1. Исследования разрушения капель и струй жидкости в потоке газа актуальны в связи
с разработкой форсунок энергетических установок, определением условий взрывобезопас-
ности проведения технологических процессов в промышленности и др. [1–4]. Кинетические
параметры дробления — размеры, количество и периодичность отрыва дочерних капелек —
контролируют последующие движение и испарение сорванной массы, уносимой потоком
в след родительской капли и образующей там горючую смесь. Необходимыми элементами
описания подготовительных для формирования и воспламенения горючей смеси процессов
являются закон убыли массы капли (закон абляции) m(t), размеры срывающихся капелек r
и распределения их количества n по размерам.
Экспериментальное изучение дробления осложнено быстрым протеканием, большим ко-
личеством и малыми размерами капелек, наличием паров, скрывающих процесс от наблю-
дателя. Поэтому достоверные сведения о законе абляции капли и о распределении капелек
по размерам отсутствуют, а поиск закономерностей дробления следует связать с развитием
адекватных математических моделей [5].
© А.Г. Гирин, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 55
Рис. 1. Диспергирование на произвольной площадке ∆l поверхности капли
Исследование устойчивости поверхности капли с учетом непрерывного изменения ско-
рости в сопряженных (газ–жидкость) погранслоях [6, 7] выявило для слабовязких жид-
костей новый тип неустойчивости — градиентную неустойчивость, которая отлична от
классических случаев Кельвина–Гельмгольца и Релея–Тейлора, так как вызвана силами
инерции в градиентном (105 − 107 с−1) скоростном течении возмущенного погранслоя жид-
кости. Теория градиентной неустойчивости объясняет разрушение капли по типу “сдир”
как квазинепрерывное высокочастотное диспергирование с неустойчивой части ее поверх-
ности [7]. Численная реализация модели градиентной неустойчивости показала ее адеква-
тность явлению при достаточно больших значениях критерия Вебера We∞ = ρ∞V 2
∞
2R0/σ
и критерия существования градиентной неустойчивости GN = We∞Re−0,5
∞
, и позволила
в замкнутом виде решить основную задачу теории детонации аэрозолей, произведя расчет
течения двухфазной пятикомпонентной дробящейся реагирующей смеси в стационарной
зоне детонационной волны [8].
Последовательный анализ закономерностей градиентной неустойчивости позволяет раз-
вить аналитический подход и получить в настоящей работе дифференциальные уравнения
абляции и количества дочерних капелек. Их интегрирование дает возможность найти за-
кон движения дробящейся капли w(t), закон изменения ее массы m(t), условия и время
полного разрушения, а также нестационарную функцию распределения сорванных капелек
по размерам fn(r, t).
2. Уравнение производства дочерних капелек. Закономерности диспергирования
определены изменением вдоль поверхности капли параметров доминантного возмущения —
волнового числа ∆m и инкремента нарастания амплитуды Im(zm), зависящих от “поверх-
ностного” числа Вебера Weп = ρжV 2
п δж/σ [7]. В скоростных потоках при GN ≫ GNкр ≃ 0,3
критическая точка ϕкр(t), которая делит поверхность капли на устойчивую и неустой-
чивую части, расположена вблизи передней точки торможения: ϕкр ≪ π (ϕ — поляр-
ный угол произвольной площадки ∆l поверхности капли, рис. 1), поэтому значения ∆m,
Im(zm) на большей части поверхности постоянны [7]. Принимая распределение толщины
погранслоя в газе вдоль поверхности в форме Рэнджера δг(ϕ, t) = 2,2R(t)Re(t)−0,5Ψ(ϕ),
Ψ = ((6ϕ−4 sin 2ϕ+0,5 sin 4ϕ)/ sin5 ϕ)0,5 [9] и полагая обтекание капли потенциальным, для
скорости на границе раздела Vп и толщины погранслоя в жидкости δж, имеем: Vп(ϕ, t) =
= 1,5(αµ)1/3(1 + (αµ)1/3)−1(V∞ − w(t)) sinϕ, δж(ϕ, t) = 2,2α1/3µ−2/3R(t)Re−0,5(t)Ψ(ϕ). То-
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
гда условие существования градиентной неустойчивости Weп(ϕ) > Weп.кр = 0,004 [7] на
поверхности капли запишется так:
2,475α
(1 + (αµ)1/3)2
√
R̃(τ)(1 −W (τ))3 sin2 ϕΨ(ϕ)GN > K, (1)
где w, V∞ — скорости капли и газового потока; ρг,ж, µг,ж — плотности и вязкости сред;
α = ρг/ρж, µ = µг/µж, W = w/V∞, R̃ = R/R0, R0 — начальный радиус капли; τ = t/tх,
tх = 2R0/α
0,5V∞ — характерное время процесса. Равенство в (1) при K = Weп.кр определяет
значение ϕкр; при GN > GNкр имеем ϕкр < π/2 и часть поверхности, прилегающая к ободку
капли, неустойчива к периодическим возмущениям, что определяет возможность диспер-
гирования механизмом градиентной неустойчивости. В интенсивных потоках за ударными
и детонационными волнами GN ≫ GNкр, поэтому ϕкр ≪ π/2 и большая часть поверхности
капли подвержена действию механизма неустойчивости.
Положим значения радиусов капелек, срываемых с произвольной площадки ∆l = R(t)×
× ∆ϕ (рис. 1), пропорциональными длине волны доминантного возмущения: r = krλm,
а периодов их отрыва — инкременту нарастания амплитуды: tи = ktIm
−1(zm)δж/Vп. В си-
лу осесимметричности обтекания количество неустойчивых волн на площадке определяет
количество торов радиуса R(t) sinϕ, срываемых с соответствующего сферического пояска:
nт = ∆l/λm. Полагая, что тор разрушается в потоке на капельки радиуса r и относя объем
всех торов ∆υ = nтυт = πk2rλm2πR sinϕ∆l, срываемых за время tи, к объему капельки,
получаем уравнение скорости производства капелек ṅ′ на площадке ∆ϕ:
∆n(ϕ, τ) = ṅ′(ϕ, τ)∆ϕ∆τ = B2
√
R̃(τ)(1−W (τ))5
sin2 ϕ
Ψ3(ϕ)
∆ϕ∆τ ; (2)
r̃(ϕ, τ) = B1T (τ)Ψ(ϕ), T (τ) =
(
R̃(τ)
1−W (τ)
)0,5
, (3)
где точка означает дифференцирование по τ , штрих — по ϕ,
B1 =
4,4πkr
∆m(Weп)
α1/3
µ2/3(2Re∞)1/2
, B2 =
0,21∆2
m(Weп) Im(z(Weп))
πkrkt(1 + (αµ)1/3)
µ7/3(2Re3
∞
)1/2
α7/6
.
3. Уравнение абляции капли. Отнеся теперь сорванную массу к периоду ее отрыва
tи, получим для скорости уноса массы с рассматриваемой площадки:
∆m
∆t
(ϕ, t) =
ρж∆υ(ϕ, t)
tи(ϕ, t)
=
4π3k2r
kt
F (ϕ, t)ρжR(t)Vп(ϕ, t) sinϕ∆l. (4)
На большей части поверхности величина F ≡ Im(zm)/∆m слабо зависит от Weп [7].
В окрестности критической точки значения F резко падают, так что скоростью массо-
уноса можно пренебречь при Weп.кр < Weп < Weп(ϕл) ≈ 0,006. Кроме того, в диапазоне
ϕкр < ϕ < ϕл длина волны доминантного возмущения больше размера капли, а время
его срабатывания — больше времени ее полного разрушения tb. Возмущения не успева-
ют реализоваться до момента tb, и диспергирование обусловлено таким значением ϕл(t),
для которого tи(ϕл) < tb, krλm(ϕл) < R(t). Выбрав в качестве среднего значения F = 0,18
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 57
Рис. 2. Семейство кривых r̃(ϕ, τ ) = const (сплошные линии) при h = 1,50 (а) и при h = 0,50 (б ); кривая 1 —
ϕ = ϕл(τ ); кривая 2 — r̃(ϕ, τ ) = r̃0л в случае (а) и r̃(ϕ, τ ) = r̃0пр — в случае (б )
и проинтегрировав в интервале ϕл < ϕ < π/2, получим уравнение кинетики уноса массы
капли:
dM
dτ
= −1,62
π2k2r
kt(1 + (αµ)1/3)
α−1/6µ1/3R̃2(τ)(1 −W (τ))
(
π
4
− ϕл(τ)
2
+
sin 2ϕл(τ)
4
)
, (5)
где M = m/m0. Уравнение (5) требует одновременного интегрирования уравнения дви-
жения центра масс капли для нахождения W (τ), и уравнения (1) при K = 0,006 — для
определения ϕл(t). Положим в (5) (π/4 − 0,5ϕ + 0,25 sin 2ϕ) ≈ π/4, поскольку при GN > 3
вплоть до момента окончания диспергирования выполняется ϕл(τ) ≪ π, sin 2ϕл ≈ 2ϕл
(кривая 1, рис. 2). Для капли сферической формы M(τ) = R̃3(τ) получим:
dM
dτ
= −AM2/3(τ)(1 −W (τ)), A ≡ 0,405
π3k2r
kt(1 + (αµ)1/3)
α−1/6µ1/3, (6)
где A — характерная (начальная) скорость уноса массы. Интегрируя при начальном условии
M(0) = 1 и учитывая W = α1/2dXк/dτ , где Xк = xк/d0, находим:
M(τ) =
(
1− A
3
(τ − α1/2Xк(τ))
)3
, R̃(τ) = 1− A
3
(τ − α1/2Xк(τ)). (7)
Закон изменения массы капли и закон ее ускорения газовым потоком Xк(τ) взаимосвя-
заны. Воспользуемся экспериментальными данными [4], которые можно аппроксимировать
в виде α1/2Xк(τ) = τ − (1− exp(−Hτ))/H, где H = 2α1/2; тогда получим закон изменения
массы и радиуса капли в процессе диспергирования
M(τ) = R̃3(τ) = (1− h(1− exp(−Hτ)))3, W = 1− exp(−Hτ). (8)
Отметим, что аппроксимация Xk ∼ τ2 [1, 4] также дает возможность получить закон
абляции и функцию распределения и приводит к близким результатам [10].
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Параметр h ≡ A/3H является ключевым в описании дробления, поскольку характе-
ризует соотношение темпов двух конкурирующих в этом явлении процессов: уноса массы
(∼A) и релаксационного выравнивания скоростей фаз (∼H). При опережающем дисперги-
ровании h > 1 капля дробится полностью за время τb = τдис = H−1 ln(h/(h − 1)). При h < 1
диспергирование прекращается до момента полного разрушения τдис < τb, так как опере-
жающее ускорение капли ведет к быстрому уменьшению главного фактора разрушения —
относительной скорости; остаток может дробиться иным механизмом, например, неустойчи-
востью Релея–Тейлора [7]. Анализ показывает, что значения h, несколько большие единицы,
отвечают условиям за ударными и детонационными волнами, h > 4 — дроблению жидких
метеороидов, а h < 1 — диспергированию капель вязких жидкостей.
Результаты расчета [10] зависимости (8) для условий, близких к эксперименту [4] (d0 =
= 2,05 мм, We0 = 1,18 · 103), согласуются с экспериментальными данными.
4. Уравнение для функции распределения. Интегрирование уравнения (2) во всей
области диспергирования ϕл(τ) < ϕ < π/2, 0 < τ < τдис дает общее число сорванных
капелек N . В прикладных задачах необходимо знать распределение капелек по размерам
∆n(r̃) = fn(r̃)∆r̃. С целью найти функцию распределения fn(r̃) исключим Ψ(ϕ) из урав-
нения (2) с помощью (3):
∆n = ṅ′∆ϕ∆τ = B3
1B2
R̃2(τ)(1 −W (τ))
r̃3
sin2 ϕ∆ϕ∆τ (9)
и проинтегрируем (9) в полосе шириной ∆r̃(ϕ, τ), окружающей линию r̃(ϕ, τ) = const =
= r̃c. Вид этих линий различен для h < 1, h > 1 (рис. 2). При h > 1 все кривые имеют
положительный наклон к оси ϕ. Кривая r̃ = r̃0л(ϕ, τ) делит всю область диспергирования
на две части: в области А (ниже этой линии) пределами интегрирования являются ϕ∗ =
= ϕ0 = ϕ(0)|r̃c , ϕ∗ = π/2, а значение ϕ0(r̃c) находится из уравнения кривой r̃(ϕ, τ) = r̃c при
τ = 0. В области Б (выше этой линии) — ϕ∗ = ϕл(τл), ϕ
∗ = π/2, где τл — момент пересечения
кривых ϕл(τ) и r̃ = r̃c. Отметим, что при h > 1 в области Б всегда r̃ < r̃0л = B1Ψ(ϕл0) ≈
≈
√
3,2B1, что следует из (2). При h < 1 кривые имеют отрицательный наклон. В области
А ниже линии r̃ = r̃0пр(ϕ, τ) пределами интегрирования являются ϕ∗ = ϕ0, ϕ
∗ = ϕл(τл),
а в области Б (выше этой линии) — ϕ∗ = π/2, ϕ∗ = ϕл(τл); эти значения находятся из
уравнений (1), (3), причем для области Б всегда r̃ > r̃0пр = B1Ψ(π/2) =
√
3πB1.
Выразим из (3) ∆r̃ через ∆τ и заменим в (9) ∆τ на ∆τ = (B1Ṫ (τ)Ψ(ϕ))−1∆r̃, где
Ṫ (τ) = −(h−1)H/2
√
R̃(τ)(1 −W (τ)). Проинтегрировав (9) от ϕ∗ до ϕ∗, получим уравнение
для функции распределения fn(r̃):
∆n = fn∆r̃ = 2
B3
1B2
(h − 1)Hr̃4
ϕ∗∫
ϕ∗
R̃3(τ(ϕ))(1 −W (τ(ϕ))) sin2 ϕdϕ∆r̃. (10)
Вычисление интеграла в (10) в общем случае затруднительно. Рассмотрим случай, когда
это можно сделать точно.
5. Функция распределения при h = 1. Случай h = 1 характерен тем, что для закона
движения капли вида W = 1−exp(−Hτ) из (8) следует R̃(τ) = exp(−Hτ) = 1−W (τ), тогда
T (τ) ≡ 1, поэтому зависимость от τ в (3) исчезает, т. е. линии r̃ = const параллельны оси τ .
В случае h = 1 равенства темпов уноса массы и выравнивания скоростей капли и газа,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 59
уменьшение во времени размера срываемых капелек из-за уменьшения размера родительс-
кой капли на каждой фиксированной площадке в точности компенсируется его увеличением
за счет уменьшения относительной скорости. Поэтому, несмотря на нестационарность про-
цесса, размер капелек, срывающихся с фиксированной площадки, остается неизменным,
и r̃ является функцией только ϕ0, изменяясь в диапазоне r̃л0 = r̃(ϕл0) 6 r̃ 6 r̃пр0 = r̃(π/2),
а r̃(ϕ0) = B1Ψ(ϕ0) определяется из (3) при τ = 0.
Заменив в (9) ∆ϕ на ∆ϕ = ∆r̃/B1Ψ
′(ϕ) и проинтегрировав по τ , получим
∆n = fn(r̃)∆r̃ =
B2
1B2
r̃3
sin2 ϕ0(r̃)
Ψ′(ϕ0(r̃))
τ∫
0
R̃2(τ)(1−W (τ)) dτ∆r̃. (11)
Вычислив Ψ′ = (8− 2,5Ψ2 cosϕ)/Ψsinϕ и
τ∫
0
R̃2(1−W ) dτ = (1− exp(−3Hτ))/A, найдем
распределение количества капелек, сорванных к моменту времени τ :
∆n(r̃, τ) = fn(r̃, τ)∆r̃ =
1− exp(−3Hτ)
Ar̃2
B3
1B2 sin
3 ϕ0(r̃)
(8B2
1 − 2,5r̃2 cosϕ0(r̃))
∆r̃. (12)
Формула (12) применима в базовом диапазоне r̃л0 6 r̃ 6 r̃пр0; при h = 1 он является
полным диапазоном изменения размеров сорванных частичек. Значение модального радиу-
са r̃mod ≈ 2B1, соответствующего max(∆n), при GN > 3,0 близко к r̃л0 ≈ 1,8B1. Общее
количество сорванных капелек N ≡ ∑
∆r
∆n выражается [10] таким образом:
N = 0,047
B2
A
(1− exp(−Aτдис))(1,45− 0,76ϕл0 + 0,25 sin(3,05ϕл0)). (13)
Формулы (12), (13) работают в интервале значений 0,85 / h / 1,15, вне которого на
границах базового диапазона сказывается отличие наклона кривых r̃ = const от вертикаль-
ного.
6. Функция распределения в общем случае. Вычисление интеграла (10) представ-
ляет трудности и может быть выполнено приближенно. Аппроксимируем кривые r̃(ϕ, τ) =
= r̃c прямыми τ − τ∗ = (ϕ − ϕ∗)/aэф с некоторым эффективным значением наклона aэф
и подставим эту зависимость, а также (8) в (10). Использовав табличный интеграл, после
преобразований получим [11]:
∆n(r̃) = fn(r̃)∆r̃ =
B3
1B2
(h− 1)r̃4
aэф(r̃)
H2
4∑
i=1
Ai[Φi∗(r̃)− Φ∗
i (r̃)]∆r̃, (14)
где Φi(r̃) = Ci(r̃)(sin2 ϕ(r̃) + sin2(ϕ(r̃) + θi(r̃))), C(r̃) = (h − 1)/(h − (r̃/B1Ψ(ϕ))2), θi =
= π − arcsin((νiH/aэф)
2 + 1)−0,5 при h < 1 и θi = arcsin((νiH/aэф)
2 + 1)−0,5 при h > 1,
Ai = 0,25Ci
4h
i−1(1 − h)4−i, νi = 0,5i. Анализ поведения кривых r̃ = r̃c(ϕ, τ) позволил най-
ти выражение для aэф, пригодное в широком диапазоне значений h. Так как количество
срываемых капелек убывает со временем (см. (2)), эффективный наклон учитывает боль-
шее влияние начальных значений и меньшее — средних aср = (ϕ∗−ϕ∗)/(τ
∗−τ∗). Кроме того,
необходимо поставить естественное условие получить при h → 1 точное выражение (12),
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Рис. 3. Распределение ∆n(r̃; h) при различных Re∞: 1 — h = 0, 70, Re∞ = 1, 97 · 106, B1 = 1, 32 · 10−3,
R0 = 5·10−4
m; 2 — h = 1, 00, Re∞ = 1, 58·105 , B1 = 2, 41·10−3, R0 = 1·10−4
m; 3 — h = 2, 00, Re∞ = 1, 12·105 ,
B1 = 1, 26 · 10−3, R0 = 1 · 10−4
m; 4 — h = 4, 03, Re∞ = 3, 06 · 104, B1 = 1, 68 · 10−3, R0 = 1 · 10−4
m
найденное для случая h = 1. Выполнив эти требования, получим следующие выражения
для aэф в областях A, Б:
aэф.A =
(h− 1 + h−2 + k(h)|h − 1|0,5h−1)aсрa∗
(h− 1)a∗ + h−2aср + (aср + a∗)|h− 1|0,5h−1
,
aэф.Б =
(k1h+ k2h
−3)aсрa∗
ha∗ + h−3aср
,
(15)
где k(h) = 0,93(2h − 1)h−1, k1 = 1,13, k2 = 0,87 для h > 1 и k(h) = 1,33h−0,5, k1 = 0,80,
k2 = 1,13 для h < 1. Распределения ∆n(r̃), вычисленные по формулам (12), (14), (15) для
различных h, Re∞, приведены на рис. 3.
7. Особенности распределения капелек по размерам. Бóльшая часть сорванных
капелек образуется в базовом диапазоне r̃0л 6 r̃ 6 r̃0пр, где скорость их производства ṅ′
наибольшая. При h > 1, подобно распределению Нукиямы–Танасавы для распыла в фор-
сунках, функция ∆n(r̃) имеет восходящую и нисходящую ветви, образующие характерный
максимум вблизи левой границы базового диапазона. Он вызван тем, что слева от линии
r̃(ϕ, τ) = r̃mod малой является скорость производства капелек ṅ′, а справа — промежу-
ток времени существования условий на поверхности капли для их производства (рис. 2).
Общий вид ∆n(r̃) зависит от значения h (рис. 3), а размеры всей совокупности капелек
определены значением параметра B1 ∼ α1/3µ−2/3 Re−1/2
∞
, играющего в соответствии с (3)
роль характерного масштаба размеров капелек. Аналогично, B2 ∼ α−7/6µ7/3 Re3/2
∞
задает
характерный масштаб количества сорванных капелек.
Диспергирование начинается в базовом диапазоне, который соответствует области A.
В области Б формируется дополнительный диапазон: при h < 1 он примыкает к базово-
му справа, r̃0пр < r̃, и образует грубодисперсную часть распыла, а при h > 1 — слева,
0 < r̃ < r̃0л, и образует его мелкодисперсную часть. При увеличении h доля мелкодиспер-
сной части возрастает, и при h ≃ 2 она становится сравнимой с грубодисперсной частью
(см. рис. 3).
Формулы (14), (15) позволяют получить не только окончательное распределение всех
сорванных к моменту прекращения диспергирования τдис капелек, но и сформированное
к произвольному моменту времени τc < τдис. Для этого достаточно определить значения
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 61
Рис. 4. Распределение количества сорванных капелек ∆n(r̃, τ ) по формулам (14), (15) для моментов времени
τ = 1,0; 2,0; 3,5 (1, а, б, в) и окончательное распределение для τ = τдис = 5,48 (2 ); вертикальные линии —
границы базового диапазона r̃0л = 2,26 · 10−3, r̃0пр = 3,87 · 10−3; h = 2,00
ϕ∗(r̃, τc), aэф(r̃, τc), θi(r̃, τc), C(r̃, τc) для ∀ r̃, что осуществляется по той же схеме. Динамика
изменения распределения количества сорванных капелек при разрушении капли радиусом
R0 = 2 · 10−4 м в потоке V∞ = 1400 м/с, ρ∞ = 4,0 кг/м3 при h = 2,0, Re∞ = 1,12 · 105,
GN = 64,2 иллюстрируется зависимостями ∆n(r̃; τc) для различных моментов времени, при-
веденными на рис. 4. В отличие от случая h = 1, когда изменение функции распределения
во времени автомодельно, при h > 1 грубодисперсная фракция быстро формируется в нача-
ле процесса, а мелкодисперсная фракция набирается на заключительной стадии дробления,
когда размер родительской капли и толщина погранслоя δж становятся малыми. При h < 1
формирование распределения происходит в обратном порядке, начиная с мелкой фракции.
8. Функция распределения в общем случае движения капли. Функция распреде-
ления (14) получена на основе эмпирического закона движения капли. С целью исключить
произвольное влияние формы этого закона, процедура получения fn(r̃) была проделана
подобным образом, но теперь она была основана на одновременном интегрировании сис-
темы (6), (9) и уравнения движения капли, что для натуральных η = 3h/(h − 1) привело
к соотношениям [12]:
fn(r̃) = − 3hB3
1B2
A(h− 1)r̃4
[
1
b(η + 1)
Pη+1(x) + Fη(x)
]ϕ∗
ϕ∗
, R̃(τ) = Dh, W (τ) = 1−D, (16)
где
Fη(x) ≡
sin 2x
2
E(η/2)∑
k=0
(−1)k
P
(2k)
η (x)
22k
+
cos 2x
2
E((η+1)/2)∑
k=1
(−1)k−1P
(2k−1)
η (x)
22k−1
;
Pη = (a− bx)η;
P (k)
η — k-я производная; a = 1− b(τ∗aэф −ϕ∗); b = C(h− 1)/aэф; D = (1− (h− 1)Cτ)1/(h−1);
C = 3/4
√
αCd, Cd — коэффициент сопротивления. Натуральным η > 3 отвечает ряд
дискретных значений h: 1 < h 6 4; целочисленным η < 0 — значения h из интервала
0,25 6 h < 1 режимов неполного дробления; в этом случае fn(r̃) выражается через ин-
тегральные синус и косинус. Указанная совокупность значений η покрывает достаточно
плотно весь практически важный диапазон значений h. Случай h = 1 вновь приводит к за-
висимостям R̃(τ), fn(r̃), W (τ), полученным в п. 5.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Сравнение расчетов, выполненных по формулам (14) и (16), показало [12], что два спосо-
ба определения закона движения капли, основанные на эмпирическом и теоретическом ме-
тодах, в результате дают близкие функции распределения. Отсутствие базы эксперимен-
тальных данных о зависимости xк(t) позволяет отдать предпочтение формулам (16), ко-
торые могут быть использованы для всего многообразия сочетаний физико-механических
свойств систем газ–капли.
Таким образом, в рамках теории диспергирования, основанной на действии механиз-
ма градиентной неустойчивости, получены общие дифференциальные уравнения кинетики
дробления капли в скоростных потоках и аналитически найдены основные закономернос-
ти этого явления. Полученные соотношения дают возможность провести полный анализ
влияния свойств системы газ — капли на кинетические параметры дробления и получить
количественную информацию, необходимую при решении практических задач. На основе
найденных закономерностей построена математическая модель испарительной баллистики
аэрозольной массы сорванных капелек и описаны количественно последующие процессы их
ускорения, испарения и формирования паровоздушной смеси в следе дробящейся капли [13].
1. Гельфанд Б.Е. Современное состояние и задачи исследований детонации в системе капли жидкости–
газ // Химическая физика процессов горения и взрыва. Детонация. – Черноголовка: ИХФ АН СССР,
1977. – С. 28–39.
2. Arai M. Physics behind diesel sprays // Book of abstracts of the 12th ICLASS – 2012. – Heidelberg,
Germany, Sept. 2–6. – P. 129.
3. Гирин А. Г. Абляция метеороида диспергированием пленки расплава // Астроном. вестник. – 1992. –
26, № 5. – С. 85–93.
4. Reinecke W.G., Waldman G.D. Shock layer shattering of cloud drops in reentry flight // AIAA Paper. –
1975. – No 152. – P. 22.
5. Herrmann M. On using detailed simulations to study primary atomization // Book of abstracts of the 12th
ICLASS – 2012. – Heidelberg, Germany, Sept. 2–6. – P. 67.
6. Асланов С.К., Гирин А.Г. Об основных факторах гидродинамической неустойчивости при модели-
ровании процесса диспергирования в двухфазной детонации // Докл. АН УССР. Сер А. – 1981. –
№ 12. – С. 25–28.
7. Гирин А. Г. Гидродинамическая неустойчивость и режимы дробления капель // Инж.-физ. журн. –
1985. – 48, № 5. – С. 771–776.
8. Асланов С.К., Гирин А. Г. К определению скорости детонации в аэрозолях // Докл. АН СССР. –
1985. – 282, № 1. – С. 72–75.
9. Ranger A.A. Shock wave propagation through a two-phase medium // Astron. Acta. – 1972. – 17, No 4–5. –
P. 675–683.
10. Гирин А.Г. Уравнения кинетики дробления капли в скоростном потоке газа // Инж.-физ. журн. –
2011. – 84, № 2. – С. 248–254.
11. Гирин А.Г. Распределение диспергированных капелек при дроблении капли в скоростном потоке
газа // Там же. – 2011. – 84, № 4. – С. 805–812.
12. Гирин А.Г. О закономерностях дробления капли в скоростном потоке газа // Там же. – 2011. – 84,
№ 5. – С. 938–943.
13. Girin A.G. Wake of shattering fuel drop // Combustion science and technology. – 2012. – 184, No 10–11. –
P. 1412–1426.
Поступило в редакцию 27.12.2012Одесский национальный морской университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 63
О.Г. Гiрiн
Теорiя дроблення краплi за механiзмом градiєнтної нестiйкостi
Отримано повний аналiтичний розв’язок задачi про дроблення краплi у швидкiсному потоцi
газу. На основi механiзму градiєнтної нестiйкостi течiї в примежовому шарi на поверхнi
краплi виведенi загальнi диференцiйнi рiвняння кiнетики дроблення. Їх iнтегрування у на-
ближеннi сферичностi краплi дозволило знайти закон змiни її маси, умови та час її пов-
ного руйнування. Iз застосуванням емпiричного закону руху краплi знайдено нестацiонарну
функцiю розподiлу кiлькостi диспергованих крапельок за розмiрами. Розраховано промiжнi
та остаточнi розподiли i описано загальнi особливостi диспергування. Для випадку, коли
емпiричний закон руху краплi невiдомий, отримано спiльний розв’язок системи диференцi-
альних рiвнянь кiнетики дроблення i руху краплi та знайдено функцiю розподiлу крапельок
за розмiрами.
A.G. Girin
Theory of drop shattering by the gradient instability mechanism
The entire analytical solution of the problem of drop shattering in a high-speed gas flow is obtained.
The general differential equations of shattering kinetics are derived on a base of the mechanism
of gradient instability action in conjugated boundary layers on the drop surface. Their integration
in the spherical drop approximation allowed us to find the law of drop mass diminishing and the
conditions and the time for the full drop breakup. The transient distribution function for stripped
droplets by sizes are obtained with the use of an empirical law of drop motion. Intermediate and
final distributions of stripped droplets by sizes are calculated, and some general peculiarities of the
dispersion kinetics are described. When the empirical law of drop motion is unknown, the mutual
solution of the system of differential equations of shattering kinetics and drop motion is obtained,
and the transient distribution function for stripped droplets by sizes is found.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
|