Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек
Рассматривается задача о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек с различными граничными условиями на краях в уточненной постановке с использованием теории Миндлина–Тимошенко. Для расчета частот используется численно-аналитический подход, который основан на применении метод...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85864 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 65–70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85864 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-858642015-08-27T03:01:57Z Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. Механіка Рассматривается задача о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек с различными граничными условиями на краях в уточненной постановке с использованием теории Миндлина–Тимошенко. Для расчета частот используется численно-аналитический подход, который основан на применении метода сплайн-апроксимации, коллокации, а также метода дискретной ортогонализации совместно с методом пошагового поиска. Проводится сравнение частот свободных колебаний оболочек эллиптического сечения с различным отношением полуосей для различных граничных условий. Розглядається задача про вiльнi коливання нетонких некругових цилiндричних оболонок з рiзними граничними умовами на краях в уточненiй постановцi з використанням теорiї Мiндлiна–Тимошенка. Для розрахунку частот використовується чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї, колокацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї разом з методом покрокового пошуку. Проводиться порiвняння частот вiльних коливань оболонок елiптичного перерiзу з рiзним вiдношенням пiвосей для рiзних граничних умов. A problem of natural vibrations of nonthin noncircular cylindrical shells under various boundary conditions of its endfaces within the framework of the Mindlin–Timoshenko theory is considered. Using the spline-approximation, the problem is solved by the steady-state numerical method of discrete orthogonalization with incremental search. The comparison of the frequencies of open cylindrical shells with different ratios of semiaxes for different boundary conditions is performed. 2013 Article Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 65–70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85864 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек Доповіді НАН України |
| description |
Рассматривается задача о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических
оболочек с различными граничными условиями на краях в уточненной постановке с использованием теории Миндлина–Тимошенко. Для расчета частот используется численно-аналитический подход, который основан на применении метода сплайн-апроксимации, коллокации, а также метода дискретной ортогонализации совместно с методом пошагового поиска. Проводится сравнение частот свободных колебаний оболочек эллиптического сечения с различным отношением полуосей для различных граничных условий. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. |
| author_facet |
Григоренко, А.Я. Ефимова, Т.Л. Коротких, Ю.А. |
| author_sort |
Григоренко, А.Я. |
| title |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| title_short |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| title_full |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| title_fullStr |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| title_full_unstemmed |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| title_sort |
численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85864 |
| citation_txt |
Численное решение задачи о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических оболочек / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 65–70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoaâ čislennoerešeniezadačiosvobodnyhkolebaniâhnetonkihnekrugovyhcilindričeskihoboloček AT efimovatl čislennoerešeniezadačiosvobodnyhkolebaniâhnetonkihnekrugovyhcilindričeskihoboloček AT korotkihûa čislennoerešeniezadačiosvobodnyhkolebaniâhnetonkihnekrugovyhcilindričeskihoboloček |
| first_indexed |
2025-07-06T13:12:50Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:12:50Z |
| _version_ |
1836903375327723520 |
| fulltext |
УДК 539.3
А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю.А. Коротких
Численное решение задачи о свободных колебаниях
нетонких некруговых цилиндрических оболочек
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Рассматривается задача о свободных колебаниях нетонких некруговых цилиндрических
оболочек с различными граничными условиями на краях в уточненной постановке с ис-
пользованием теории Миндлина–Тимошенко. Для расчета частот используется числен-
но-аналитический подход, который основан на применении метода сплайн-апроксима-
ции, коллокации, а также метода дискретной ортогонализации совместно с мето-
дом пошагового поиска. Проводится сравнение частот свободных колебаний оболочек
эллиптического сечения с различным отношением полуосей для различных граничных
условий.
Цилиндрические оболочки с некруговым поперечным сечением находят широкое примене-
ние во многих областях современной техники. Важной задачей является определение ре-
зонансных частот таких оболочек, причем представление о резонансных частотах вынуж-
денных колебаний дают исследования частот свободных колебаний. Поскольку использова-
ние трехмерной модели для исследований свободных колебаний во многих случаях сопря-
жено со значительными трудностями, то при исследовании динамических характеристик
оболочек средней толщины следует применять уточненную теорию оболочек. В научной
литературе имеется большое количество работ, посвященных исследованию колебаний кру-
говых цилиндрических оболочек с переменной толщиной на основе различных механичес-
ких моделей [1, 2] и совсем немного работ, посвященных свободным колебаниям однородных
и неоднородных цилиндрических оболочек некругового поперечного сечения с переменной
толщиной [3–8].
В данном сообщении для исследования свободных колебаний нетонких цилиндричес-
ких оболочек с некруговым поперечным сечением в рамках уточненной теории оболочек
Миндлина–Тимошенко предлагается эффективная численно-аналитическая методика, ко-
торая базируется на применении сплайн-аппроксимации по одной из координат, а так-
же метода дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска [1, 2].
Сплайн-аппроксимация в сочетании с методом дискретной ортогонализации применена в ра-
боте [3] для расчета напряженно-деформированного состояния нетонких цилиндрических
оболочек эллиптического поперечного сечения по уточненной теории оболочек.
Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим задачу о свободных коле-
баниях некруговых цилиндрических оболочек в уточненной постановке, которая базируется
на гипотезе прямой линии. В соответствии с принятой гипотезой в системе координат s, t, γ,
(s, t, γ — координаты точек оболочки в направлении образующей, направляющей и норма-
ли к срединной поверхности, причем 0 6 s 6 L, t1 6 t 6 t2, −h/2 6 γ 6 h/2). Перемещения
© А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Ю. А. Коротких, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 65
можно записать в виде
us(s, t, γ, t) = u(s, t, t) + γψs(s, t, t),
ut(s, t, γ, t) = v(s, t, t) + γψt(s, t, t),
uγ(s, t, γ, t) = w(s, t, t),
(1)
где t — время; u(s, t, t), v(s, t, t), w(s, t, t) — перемещения координатной поверхности;
ψs(s, t, t), ψt(s, t, t) — функции, которые характеризуют полный поворот прямолинейного
элемента. В соответствии с (1) выражения для деформаций запишутся следующим образом:
es(s, t, γ, t) = εs(s, t, t) + γκs(s, t, t),
et(s, t, γ, t) = εt(s, t, t) + γκt(s, t, t),
est(s, t, γ, t) = εst(s, t, t) + 2γκst(s, t, t),
esγ(s, t, γ, t) = γs(s, t, t), etγ(s, t, γ, t) = γt(s, t, t),
(2)
где
εs =
∂u
∂s
, εt =
∂v
∂t
+ k(t)w, εst =
∂u
∂t
+
∂v
∂s
,
κs =
∂ψs
∂s
, κt =
∂ψt
∂t
− k(t)
(
∂v
∂t
+ k(t)w
)
,
2κst =
∂ψs
∂t
+
∂ψt
∂s
− k(t)
∂u
∂t
, γs = ψs +
∂w
∂s
, γt = ψt +
∂w
∂t
− k(t)v.
(3)
В (2), (3) εs, εt, εst — тангенциальные, κs, κt, κst — изгибные деформации координатной
поверхности; γs, γt — углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами.
Уравнения движения имеют вид
∂Ns
∂s
+
∂Nst
∂t
= ρh
∂2u
∂t
2
,
∂Nt
∂t
+
∂Nst
∂s
+ k(t)Qt = ρh
∂2v
∂t
2
,
∂Qs
∂s
+
∂Qt
∂t
− k(t)Nt = ρh
∂2w
∂t
2
,
∂Ms
∂s
+
∂Mts
∂t
−Qs = ρ
h3
12
∂2ψs
∂t
2
,
∂Mt
∂t
+
∂Mst
∂s
−Qt = ρ
h3
12
∂2ψt
∂t
2
,
(4)
причем Nst − k(t)Mts − Nts = 0.
В (4) Ns, Nt, Nst, Nts — тангенциальные усилия; Qs, Qt — перерезывающие усилия; Ms,
Mt, Mst, Mts — изгибные и скручивающие моменты; ρ — плотность материала оболочки;
h — толщина оболочки.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Соотношения упругости для ортотропных оболочек симметричной структуры по толщи-
не относительно срединной поверхности запишем в виде
Ns = C11εs + C12εt, Nt = C12εs + C22εt,
Nts = C66εts, Nst = C66εst + 2k(t)D66κst,
Ms = D11κs +D12κt, Mt = D11κs +D22κt,
Mts =Mst = 2D66κst, Qt = K2γt, Qs = K1γs,
(5)
где
K1 =
5
6
hG13, K2 =
5
6
hG23, Cij = Bijh, Dij =
Bijh
3
12
,
B11 =
E1
1− ν1ν2
, B22 =
E2
1− ν1ν2
, B12 =
ν2E1
1− ν1ν2
=
ν1E2
1− ν1ν2
, B66 = G12.
Здесь G13, G23, G12 — модули поперечных сдвигов; E1, E2 — модули упругости; ν1, ν2 —
коэффициенты Пуассона.
В случае изотропной оболочки имеем E1 = E2 = E, ν1 = ν2 = ν, G12 = G23 = G13 = G.
Так как все точки оболочки совершают гармонические колебания с частотой ω, переме-
щения и полные углы поворота можно представить в виде (далее знак̂опускается)
u(s, t, t) = û(s, t) exp(iωt); v(s, t, t) = v̂(s, t) exp(iωt);
w(s, t, t) = ŵ(s, t) exp(iωt); ψs(s, t, t) = ψ̂s(s, t) exp(iωt);
ψt(s, t, t) = ψ̂t(s, t) exp(iωt).
(6)
Выбрав в качестве неизвестных функций компоненты вектора перемещений срединной
поверхности и полные углы поворота, разрешающую систему уравнений в частных произ-
водных можно записать в виде
Lig = 0, (7)
где Li (i = 1, 5) — линейные дифференциальные операторы второго порядка, а g =
= {u(s, t), v(s, t), w(s, t), ψs(s, t), ψt(s, t)}.
На криволинейных контурах s = 0, L рассмотрим такие граничные условия:
1) жесткое защемление
u = v = w = ψs = ψt = 0;
2) шарнирное опирание (контур свободен в направлении образующей)
∂u
∂s
= v = w =
∂ψs
∂s
= ψt = 0.
Для рассмотрения замкнутых оболочек при t = t1 = 0, t = t2 задаются условия сим-
метрии:
∂u
∂t
= v =
∂w
∂t
=
∂ψs
∂t
= ψt = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 67
Система уравнений (7) с соответствующими граничными условиями на контурах s = 0,
L и t = t1, t2 представляет собой двумерную краевую задачу на собственные значения.
Методика решения. Для оболочек некругового поперечного сечения удобно рассмат-
ривать уравнение направляющей для срединной поверхности, заданное либо параметри-
чески x = f1(θ), y = f2(θ), где θ — параметр направляющей, либо в полярной систе-
ме координат — r = r(θ). Тогда элемент дуги направляющей может быть представлен
в виде dt = n(θ)dt, причем в случае параметрического задания направляющей n(θ) =
=
√
(x′(θ))2 + (y′(θ))2, а в случае полярной системы координат n(θ) =
√
r2 + r′2. Произ-
водные по дуге выражаются через производные по θ следующим образом:
∂
∂t
=
1
n
∂
∂θ
,
∂2
∂t2
=
1
n2
∂2
∂θ2
−
n′
n3
∂
∂θ
.
Тогда уравнения (7) перепишутся в виде
Lig(s, θ) = 0. (8)
Задачу (8) с соответствующими граничными условиями можно решить с применением
метода сплайн-коллокации [2, 3]. Разрешающие функции u(s, θ), v(s, θ), w(s, θ), ψs(s, θ),
ψθ(s, θ) представим в виде
u(s, θ) =
N∑
i=0
ui(θ)ϕ1i(s); v(s, θ) =
N∑
i=0
vi(θ)ϕ2i(s);
w(s, θ) =
N∑
i=0
wi(θ)ϕ3i(s); ψθ(s, θ) =
N∑
i=0
ψθi(s)ϕ4i(θ);
ψz(s, θ) =
N∑
i=0
ψzi(s)ϕ5i(θ),
(9)
где u(θ), v(θ), w(θ), ψθ(θ), ψz(θ) — искомые функции переменной θ; ϕji(z) (j = 1, 5, i =
= 0, N ) — линейные комбинации В-сплайнов на равномерной сетке ∆: 0 = z0 < z1 < · · · <
< zN = L с учетом граничных условий при z = 0 и z = L. Подставляя представление (9)
в уравнения (8), требуем их удовлетворения в заданных точках коллокации ξk ∈ [0, L],
k = 0, N [2, 3]. В результате получаем одномерную краевую задачу
dY
dθ
= A(θ, ω)Y, (10)
B1Y = 0 при θ = θ1, B2Y = 0 при θ = θ2, где Y = {u, u′, v, v′, w,w′, ψθ, ψ
′
θ, ψz , ψ
′
z}, u =
= {u0, u1, . . . , uN}, v = {v0, v1, . . . , vN}, w = {w0, w1, . . . , wN}, ψθ = {ψθ0, ψθ1, . . . , ψθN}, ψz =
= {ψz0, ψz1, . . . , ψzN}; A — квадратная матрица порядка 10(N + 1) × 10(N + 1), B1, B2 —
прямоугольные матрицы граничных условий порядка 5(N + 1) × 10(N + 1).
Задача на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (10) с соответствующими граничными условиями решалась методом дискретной ор-
тогонализации в сочетании с методом пошагового поиска [1].
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Решение задачи. Анализ результатов. На основе данной методики были рассчита-
ны частоты свободных колебаний замкнутых некруговых цилиндрических оболочек с элли-
птическим поперечным сечением. Полуоси эллипса выбирались так, чтобы масса эллипти-
ческой оболочки и круговой цилиндрической оболочки были одинаковыми. Введем обозна-
чения: R — радиус срединной круговой цилиндрической оболочки; a, b — полуоси элипса
в сечении некруговой цилиндрической оболочки; ∆ = (b− a)/(b+ a). Тогда a = R(1−∆)/f ,
b = R(1+∆)/f , где f = 1+∆2/4+∆4/64+∆6/256. При ∆ = 0 некруговая цилиндрическая
оболочка вырождается в круговую. В этом частном случае частоты свободных колебаний
оболочки, полученные с использованием изложенной выше методики, можно сравнить с уже
известными результатами, полученными по трехмерной и уточненной теории [2]. Сравнение
первых трех обезразмеренных частот ωi = ωiH
√
ρ/G, колебаний цилиндрической изотро-
пной оболочки эллиптического поперечного сечения при ∆ = 0 проводилось (табл. 1) для
случаев: А) замкнутая цилиндрическая оболочка с шарнирным опиранием торцов в рамках
уточненной теории (расчеты проводились по данной методике при ∆ = 0); В) круговая
цилиндрическая оболочка с k(t) = 1/R и условиями симметрии при θ1 = 0 и θ2 = π и шар-
нирным опиранием торцов в рамках теории Миндлина-Тимошенко; С) круговая цилиндри-
ческая оболочка в рамках трехмерной модели [2]. Геометрические параметры оболочки —
H = 2l0, R = 10l0, L = 20l0. Коэффициент Пуассона материала оболочки ν = 0,3. При
сравнении соответствующих частот наблюдалось их практическое совпадение для оболо-
чек в рамках модели Миндлина–Тимошенко и незначительное расхождение с частотами
оболочки в рамках трехмерной теории.
Исследовалось влияние характера изменения поперечного сечения оболочки (∆ = 0;
0,1; 0,2; 0,3) при сохранении массы на частоты ωi = ωih0
√
ρ/G0 замкнутой оболочки с эл-
липтическим круговым сечением и шарнирно опертыми торцами при z = 0, L (табл. 2).
Геометрические параметры оболочки — (H = 2, R = 10, L = 20). Рассматривались гра-
ничные условия двух типов: шарнирное опирание (S-S) и жесткое зарепление (С-С) торцов
оболочки.
Анализ результатов расчетов показывает незначительное отличие частот колебаний ци-
линдрических оболочек с эллиптическим сечением для различных отношений полуосей.
При этом с возрастанием отношения полуосей частоты колебаний уменьшаются. Предла-
Таблица 1
ωi A B C
ω1 0,0707 0,0707 0,0694
ω2 0,0939 0,0919 0,0938
ω3 0,0987 0,0987 0,0990
Таблица 2
Тип граничных
условий ωi ∆ = 0 ∆ = 0,1 ∆ = 0,2 ∆ = 0,3
S-S ω1 0,0707 0,0683 0,0645 0,0584
ω2 0,0939 0,0923 0,0907 0,0876
ω3 0,0987 0,0962 0,0903 0,0870
C-C ω1 0,0890 0,0876 0,0854 0,0832
ω2 0,1221 0,1200 0,1186 0,1174
ω3 0,1432 0,1387 0,1375 0,1356
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 69
гаемая в работе методика позволяет производить расчеты частот свободных колебаний не-
круговых цилиндрических оболочек переменной толщины.
1. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле-
ментов оболочечных конструкций. – Киев: Наук. думка, 1986. – 172 с.
2. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Соколова Л.В. Свободные колебания круговых цилиндрических
оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Теорет. и прикл. механика. – 2008. –
Вып. 43. – С. 111–117.
3. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S. N. Influence of orthotropy on displacements and stresses in nonthin
cylindrical shells with elliptic cross section // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, Is. 6. – P. 654–661.
4. Kumar V., Singh A.V. Vibration analysis of non-circular cylindrical shells with elliptic cross section //
J. Sound and Vibr. – 1993. – 161, Is. 2. – P. 333–354.
5. Soldatos K. Z. Mechanics of shells with non-circular cross section // Appl. Mech. Rev. – 1999. – 52, Is. 8. –
P. 297–274.
6. Srinivasan R. S., Robby W. Free vibration of non-circular cylindrical shell panels // J. Sound and Vibr. –
1976. – 46, Is. 1. – P. 117–126.
7. Suzuki K., Leissa A.W. Exact solution for free vibrations of open cylindrical shells with circumferentially
varying curvature and thickness // Ibid. – 1986. – 107, Is. 1. – P. 1–15.
8. Yamada G., Irie T., Tagawa Y. Free vibration of non-circular cylindrical shells with variable circumferential
profile // Ibid. – 1984. – 95, Is. 1. – P. 117–126.
Поступило в редакцию 21.01.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
О.Я. Григоренко, Т. Л. Єфiмова, Ю.А. Коротких
Числове розв’язання задачi про вiльнi коливання нетонких
некругових цилiндричних оболонок
Розглядається задача про вiльнi коливання нетонких некругових цилiндричних оболонок
з рiзними граничними умовами на краях в уточненiй постановцi з використанням тео-
рiї Мiндлiна–Тимошенка. Для розрахунку частот використовується чисельно-аналiтичний
пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї, колокацiї та методу дискрет-
ної ортогоналiзацiї разом з методом покрокового пошуку. Проводиться порiвняння частот
вiльних коливань оболонок елiптичного перерiзу з рiзним вiдношенням пiвосей для рiзних
граничних умов.
A.Ya. Grigorenko, T. L. Efimova, Yu.A. Korotkih
Free vibrations of nonthin noncircular cylindrical shells
A problem of natural vibrations of nonthin noncircular cylindrical shells under various boundary
conditions of its endfaces within the framework of the Mindlin–Timoshenko theory is considered.
Using the spline-approximation, the problem is solved by the steady-state numerical method of
discrete orthogonalization with incremental search. The comparison of the frequencies of open cy-
lindrical shells with different ratios of semiaxes for different boundary conditions is performed.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
|