Про деякі питання теорії фаззі-груп

Довiльну фаззi-групу можна розглядати як сукупнiсть її фаззi-точок. Запропоновано “точковий” пiдхiд до вивчення структури довiльної фаззi-групи, визначеної на абстрактнiй групi. Розглянуто нормальнi, зростаючi та переставнi фаззi-пiдгрупи довiльної фаззi-групи, отримано їх характеристики та властив...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Курдаченко, Л.А., Субботін, І.Я., Чупордя, В.А., Гринь, К.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85889
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про деякі питання теорії фаззі-груп / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя, К.О. Гринь // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 33–37. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85889
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-858892015-09-01T03:02:02Z Про деякі питання теорії фаззі-груп Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Гринь, К.О. Математика Довiльну фаззi-групу можна розглядати як сукупнiсть її фаззi-точок. Запропоновано “точковий” пiдхiд до вивчення структури довiльної фаззi-групи, визначеної на абстрактнiй групi. Розглянуто нормальнi, зростаючi та переставнi фаззi-пiдгрупи довiльної фаззi-групи, отримано їх характеристики та властивостi. Произвольную фаззи-группу можна рассматривать как совокупность ее фаззи-точек. Предложен “точечный” подход к изучению структуры произвольной фаззи-группы, определенной на абстрактной группе. Рассмотрены нормальные, возрастающие и перестановочные фаззи-подгруппы произвольной фаззи-группы, получены их характеристики и свойства. It is possible to consider an arbitrary fuzzy group as the union of its fuzzy points. The authors propose a “point” approach to the study of the structure of an arbitrary fuzzy group defined on an abstract group. Normal, ascendant, and permutable fuzzy subgroups of an arbitrary fuzzy group are considered, and their characteristics and properties have been obtained. 2013 Article Про деякі питання теорії фаззі-груп / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя, К.О. Гринь // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 33–37. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85889 512.544 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Гринь, К.О. Про деякі питання теорії фаззі-груп Доповіді НАН України
description	Довiльну фаззi-групу можна розглядати як сукупнiсть її фаззi-точок. Запропоновано “точковий” пiдхiд до вивчення структури довiльної фаззi-групи, визначеної на абстрактнiй групi. Розглянуто нормальнi, зростаючi та переставнi фаззi-пiдгрупи довiльної фаззi-групи, отримано їх характеристики та властивостi.
format	Article
author	Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Гринь, К.О.
author_facet	Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Гринь, К.О.
author_sort	Курдаченко, Л.А.
title	Про деякі питання теорії фаззі-груп
title_short	Про деякі питання теорії фаззі-груп
title_full	Про деякі питання теорії фаззі-груп
title_fullStr	Про деякі питання теорії фаззі-груп
title_full_unstemmed	Про деякі питання теорії фаззі-груп
title_sort	про деякі питання теорії фаззі-груп
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85889
citation_txt	Про деякі питання теорії фаззі-груп / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя, К.О. Гринь // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 33–37. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT kurdačenkola prodeâkípitannâteoríífazzígrup AT subbotíníâ prodeâkípitannâteoríífazzígrup AT čupordâva prodeâkípitannâteoríífazzígrup AT grinʹko prodeâkípitannâteoríífazzígrup
first_indexed	2025-07-06T13:14:14Z
last_indexed	2025-07-06T13:14:14Z
_version_	1836903463734214656
fulltext	УДК 512.544 Л.А. Курдаченко, I. Я. Субботiн, В.А. Чупордя, К.О. Гринь Про деякi питання теорiї фаззi-груп (Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним) Довiльну фаззi-групу можна розглядати як сукупнiсть її фаззi-точок. Запропоновано “точковий” пiдхiд до вивчення структури довiльної фаззi-групи, визначеної на абст- рактнiй групi. Розглянуто нормальнi, зростаючi та переставнi фаззi-пiдгрупи довiльної фаззi-групи, отримано їх характеристики та властивостi. Нехай G — група, на якiй задана мультиплiкативна бiнарна операцiя. Одиничний елемент G позначатимемо через e, щоб уникнути плутанини з числом 1. Нагадаємо, що фаззi-групою на G називається вiдображення γ : G → [0, 1], яке задовольняє такi умови: (FSG 1) γ(xy) > γ(x) ∧ (y) для довiльних x, y ∈ G; (FSG 2) γ(x−1) > γ(x) для довiльних x ∈ G (див., наприклад, [1, 1.2]). У росiйськомовнiй лiтературi використовується термiн нечiтка група, але, на наш погляд, вiн не зовсiм вiдображає суть, тому ми вважаємо за краще використовувати кальку з англiйського термiну. Тут i далi якщо W є пiдмножиною [0, 1], то ∧W позначає найбiльшу нижню границю W , а ∨W — найменшу верхню границю W . У випадку, коли W = {a, b}, замiсть ∧W (вiдповiдно ∨W ) будемо писати a ∧ b (вiдповiдно a ∨ b). Якщо γ, κ — фаззi-групи на G та γ ⊆ κ, то говоритимемо, що γ є фаззi-пiдгрупою κ i позначатимемо це символом γ � κ. Якщо Y — пiдмножина G та a ∈ [0, 1], то через χ(Y, a) позначатимемо функцiю, визна- чену за правилом χ(Y, a) = { a, якщо x ∈ Y, 0, якщо x /∈ Y. Якщо H — пiдгрупа G, то χ(H, a) — фаззi-група на G. Якщо Y = {y}, то замiсть χ({y}, a) використовуватимемо коротший запис χ(y, a); χ(y, a) називається фаззi-точкою. Нехай L — пiдгрупа G i γ — фаззi-група на G. Визначимо функцiю L\|γ : G → [0, 1] за правилом L\|γ(x) = { γ(x), якщо x ∈ L, 0, якщо x /∈ L. Якщо x, y — довiльнi елементи G, то не важко перевiрити, що L\|γ(xy) > L\|γ(x)∧L\|γ(y). Звiдси випливає, що L\|γ буде фаззi-групою на G. Теорiя фаззi-груп, як i iнших алгебраїчних фаззi-структур, виникла зразу пiсля виник- нення теорiї фаззi-множин. У рамках цiєї теорiї працювало досить багато алгебраїстiв, отри- мано дуже багато рiзноманiтних результатiв. Деякi з них були зiбранi в книзi [1]. Але це, скорiше, механiчне зiбрання, результати не систематизовано, їх подання досить хаотичне. © Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В. А. Чупордя, К.О. Гринь, 2013 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 33 З нашої точки зору, однiєю з головних задач теорiї фаззi-груп є вивчення алгебраїчних влас- тивостей довiльних фаззi-груп, якi визначенi на абстрактнiй групi G. Тут отримано цiлий масив результатiв, якi стосуються будови найбiльшої фаззi-групи χ(G, 1). Але мiж χ(G, 1) та довiльною фаззi-групою на G iснує велика вiдмiннiсть. Якщо λ — фаззi-пiдгрупа фаз- зi-групи γ, яка визначена на G, має деякi властивостi по вiдношенню до γ, то вона далеко не завжди має тi ж самi властивостi по вiдношенню до χ(G, 1), i навпаки. Якщо розглядати довiльну фаззi-групу γ як множину своїх фаззi-точок, то вона є напiвгрупою з одиницею вiдносно операцiї множення фаззi-множин. I якщо множина тих елементiв найбiльшої фаз- зi-групи χ(G, 1), якi мають оберненi, є досить великою (усi фаззi-точки χ(g, 1), g ∈ G, мають оберненi), що дає можливiсть застосування природної дiї групи G на χ(G, 1), то цього вже не скажеш про довiльну фаззi-групу, у якої множина елементiв, що мають оберненi, може бути дуже малою. Це i пояснює таку велику рiзницю мiж кiлькiстю результатiв про структуру фаззi-групи χ(G, 1) та структуру довiльної фаззi-групи, що визначена на тiй самiй групi G. Нашою метою якраз i є розпочати систематичне вивчення будови довiльної фаззi-групи, визначеної на абстрактнiй групi G. Почнемо з необхiдних та достатнiх умов для того, щоб фаззi-множина була фаззi-групою. Дуже корисним виявився нижченаведений “точковий” критерiй. Але спочатку нагадаємо визначення добутку фаззi-множин. Нехай µ, ν — фаззi-множини на групi G, визначимо операцiю • за таким правилом: (µ • ν)(x) = ∨ y,z∈G, yz=x (µ(y) ∧ ν(z)). Зазначимо, що (µ • ν)(x) = ∨ y∈G (µ(y) ∧ ν(y−1x)) = ∨ z∈G (µ(xz−1) ∧ ν(z). В книзi [1] для позначення цiєї операцiї використовується символ ◦, тобто той символ, що стандартно використовується для позначення добутку функцiй. Щоб уникнути будь-яких непорозумiнь, ми використовуватимемо для операцiї множення фаззi-множин iнший сим- вол. Твердження 1. Нехай G — група. Фаззi-множина γ, визначена на G, тодi i тiльки тодi є фаззi-групою, коли виконуються такi двi умови: (FSG 3) з включень χ(x, a), χ(y, b) ⊆ γ випливає, що χ(x, a) • χ(y, b) ⊆ γ для всiх x, y ∈ ∈ Supp(γ); (FSG 4) χ(x, a) ⊆ γ тягне за собою χ(x−1, a) ⊆ γ для кожного x ∈ Supp(γ). Розглянемо тепер iнше важливе поняття. Нехай γ, κ — фаззi-групи на групi G i κ � γ. Будемо говорити, що κ є нормальною фаззi-пiдгрупою γ, якщо κ(yxy−1) > κ(x) ∧ γ(y), для всiх елементiв x, y ∈ G [1, 1.4]. Ми позначатимемо це таким чином: κ E γ. Для цього поняття ми також отримали “точковий” критерiй, який уточнює твердження 3 роботи [2]. Твердження 2. Нехай G — група, γ, κ — фаззi-групи на G та κ � γ. Якщо κ — нормальна фаззi-пiдгрупа γ, то χ(x, γ(x)) • κ • χ(x−1, γ(x)) = κ для кожного елемента x ∈ G. Навпаки, якщо χ(x, γ(x))•κ•χ(x−1 , γ(x)) � κ для кожного x ∈ G, то κ — нормальна фаззi-пiдгрупа в γ. Нехай γ, κ — фаззi-групи на групi G. Будемо говорити, що γ та κ можна переставити, якщо γ • κ = κ • γ. Слiд зауважити, що у загальному випадку добуток двох фаззi-груп не є фаззi-групою. Має мiсце таке твердження: добуток двох фаззi-груп γ та κ буде фаззi-гру- пою тодi i тiльки тодi, коли γ • κ = κ • γ (див., нарпиклад, [1, 4.3]). Якщо κ � γ, то будемо говорити, що κ є переставною в γ, якщо λ • κ = κ • λ для кожної λ � γ. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9 Як ми побачимо далi, важливим прикладом переставних фаззi-пiдгруп є нормальнi фаз- зi-пiдгрупи γ. У теорiї абстрактних груп властивостi переставних пiдгруп вивчаються до- сить довгий час. Iснує великий масив статей, в яких отриманi змiстовнi результати. Багато з них вiдображенi в монографiї [3]. Для переставних фаззi-пiдгруп ситуацiя кардинально вiдрiзняється. Як i для багатьох iнших властивостей, вивчення переставних фаззi-пiдгруп проводилось тiльки в χ(G, 1). У роботах [4–7] та [1, 4.3] можна знайти деякi початковi ре- зультати для випадку, коли група G є скiнченною. Вивчення переставних фаззi-пiдгруп χ(G, 1), коли G є довiльною (не обов’язково скiнченною), було iнiцiйовано в [8, 9]. У да- нiй роботi ми починаємо вивчати переставнiсть у довiльнiй фаззi-групi. Наведений нижче результат дає iнформацiю про структуру добутку γ • κ. Теорема 1. Нехай G — група, γ, κ — фаззi-множини на G. Тодi γ • κ = ⋃ y∈Supp(γ),z∈Supp(κ) χ(y, γ(y)) • χ(z, κ(z)). Наслiдок. Нехай G — група. Якщо γ, λ, κ — фаззi-множини на G, причому λ ⊆ κ, то γ • λ ⊆ γ • κ та λ • γ ⊆ κ • γ. Якщо γ, λa — фаззi-множини на G, a ∈ A, то γ• ( ⋃ a∈A λa ) = ⋃ a∈A (γ•λa) та ( ⋃ a∈A λa ) •γ = = ⋃ a∈A (λa • γ). Нижчеподаний результат дає “точковий” критерiй для переставностi фаззi-пiдгрупи в до- вiльнiй фаззi-групi. Теорема 2. Нехай G — група та γ — фаззi-група на G. Якщо κ � γ, то κ буде пе- реставною в γ тодi i тiльки тодi, коли χ(〈x〉, γ(x)) • κ = κ • χ(〈x〉, γ(x)) для кожного x ∈ Supp(γ). Нехай λ — фаззi-множина на G, a ∈ [0, 1]. Покладемо La(λ) = {x \| x ∈ G i λ(x) > a}. Пiдмножина La(λ) називається a-рiвнем λ. Нагадаємо, що якщо γ — фаззi-група на G, то або La(γ) є пiдгрупою в G, або La(γ) = ∅. За допомогою рiвнiв можна дати таку харак- теризацiю фаззi-групи: γ є фаззi-групою на G тодi i тiльки тодi, коли La(γ) є пiдгрупою G для кожного a 6 γ(e) (див., наприклад, [1, тeoрeма 1.2.6]). За допомогою поняття рiвня отримуємо такий критерiй переставностi. Теорема 3. Нехай G — група та γ — фаззi-група на G. Якщо κ � γ, то κ є переставною в γ тодi i тiльки тодi, коли La(κ) є переставною пiдгрупою в La(γ), для кожного a 6 γ(e). Зазначимо, що ця теорема є суттєвим узагальненням головного результату статтi [8], у якiй були отриманi умови переставностi фаззi-пiдгрупи в χ(G, 1) за деяких додаткових обмежень (так званий sup-property). Наслiдок 1. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Якщо її фаззi-пiдгрупа κ є пе- реставною в γ, то Supp(κ) є переставною пiдгрупою в Supp(γ). Наслiдок 2. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Якщо її фаззi-пiдгрупа κ є нор- мальною в γ, то κ є переставною пiдгрупою в γ. Нехай γ — фаззi-група на G, а µ — фаззi-множина на G та µ ⊆ γ. Нагадаємо, що фаззi-пiдгрупа, породжена µ, це перетин всiх фаззi-пiдгруп γ, що мiстять у собi µ. Цю фаззi-пiдгрупу позначатимемо через 〈µ〉. Ми вже зазначали вище, що у випадку, коли γ, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 35 κ — такi фаззi-групи, для яких γ •κ = κ•γ, то їх добуток γ •κ = κ•γ також є фаззi-групою. Але на вiдмiну вiд абстрактних груп γ • κ та 〈γ, κ〉 не обов’язково збiгаються. Наслiдок 3. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Якщо її фаззi-пiдгрупи λ, κ є пе- реставними в γ, то 〈λ, κ〉 є переставною пiдгрупою в γ. Як i для абстрактних груп, для фаззi-груп має мiсце тотожнiсть Дедекiнда. Теорема 4. Нехай G — група, γ, κ, λ — фаззi-групи на G. Припустимо, що κ � γ та κ • λ = λ • κ. Тодi γ ⋂ (κ • λ) = κ • (γ ⋂ λ) та γ ⋂ 〈κ, λ〉 = 〈κ, γ ⋂ λ〉. Наслiдок. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Тодi решiтка всiх нормальних фаззi-пiдгруп γ є модулярною. У випадку, коли γ = χ(G, 1), останнє твердження було отримано в роботах [10, 11]. Теорема 5. Нехай G — група та γ — фаззi-група на G. Пiдгрупа L з Supp(γ) переставна в Supp(γ) тодi i тiльки тодi, коли L\|γ переставна в γ. Наслiдок 1. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Кожна фаззi-пiдгрупа з γ переставна в γ тодi i тiльки тодi, коли кожна пiдгрупа Supp(γ) є переставною в Supp(γ). Цей результат є суттєвим узагальненням теореми 3.2 роботи [8]. Наслiдок 2. Нехай G — група i γ — фаззi-група на G. Якщо кожна фаззi-пiдгрупа з γ переставна в γ, то G є групою одного з таких типiв: (I) G — абелева група. (II) G = ×p∈Π(G)Gp, де Gp — силовська p-пiдгрупа G, яка задовольняє такi умови: (i) якщо p 6= 2, то Gp = Bp〈ap〉, де Bp — нормальна абелева пiдгрупа експоненти pk, та iснує таке натуральне число t, що t = 1 + pm, m 6 k 6 m + d, де pd = \|Gp/Bp\| та a−1 p bap = bt для всiх b ∈ Bp; (ii) якщо p = 2, то або Gp — дедекiндова група, або Gp = Bp〈ap〉, де Bp — нормальна абелева пiдгрупа експоненти pk, та iснує таке натуральне число t, що t = 1+pm, 2 6 m 6 6 k 6 m + d, де pd = \|Gp/Bp\| та a−1 p bap = bt для всiх b ∈ Bp. В обох випадках Gp є нiльпотентною та обмеженою. (III) G мiстить у собi таку нормальну абелеву перiодичну пiдгрупу T , що G/T — вiльна вiд скруту та локально циклiчна. Бiльш того, кожна пiдгрупа T є G-iнварiантною. Нехай γ, κ — фаззi-групи на G та κ � γ. Визначимо нормалiзатор Nγ(κ) фаззi-пiд- групи κ в γ як об’єднання всiх фаззi-точок χ(x, a) ⊆ γ, якi задовольняють таку умову: χ(x−1, a) • κ • χ(x, a) = κ. Теорема 6. Нехай G — група, γ, κ — фаззi-групи на G та κ � γ. Тодi нормалiзатор Nγ(κ) буде фаззi-пiдгрупою γ. Твердження 2 показує, що κ є нормальною фаззi-пiдгрупою у своєму нормалiзаторi Nγ(κ). Нехай γ — фаззi-група на G. Будемо говорити, що γ задовольняє нормалiзаторну умову, якщо Nγ(κ) 6= κ для будь-якої фаззi-пiдгрупи κ з γ. Теорема 7. Нехай G — група та γ — фаззi-група на G. Якщо γ задовольняє нормалi- заторну умову, то її носiй Supp(γ) також задовольняє нормалiзаторну умову. Зокрема, Supp(γ) є локально нiльпотентною групою. Нехай γ — фаззi-група на G. Її фаззi-пiдгрупа κ називається зростаючою пiдгрупою в γ, якщо iснує зростаючий ряд κ = κ0 E κ1 E · · · κα E κα+1 E · · · κβ = γ. Теорема 8. Нехай G — група та γ — фаззi-група на G. Кожна фаззi-пiдгрупа γ є зрос- таючою тодi i тiльки тодi, коли γ задовольняє нормалiзаторну умову. 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9 1. Mordeson J. N., Bhutani K.R., Rosenfeld A. Fuzzy group theory. – Berlin: Springer, 2005. – 300 p. 2. Kurdachenko L.A., Grin K.O., Turbay N.A. On hypercentral fuzzy groups // Algebra and Discrete Mathematics. – 2012. – 13, No 1. – P. 92–106. 3. Schmidt R. Subgroups lattices of groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p. 4. Asaad M. Groups and fuzzy subgroups // Fuzzy Sets and Systems. – 1991. – 39. – P. 323–328. 5. Asaad M., Abou-Zaid S. Groups and fuzzy subgroups II // Ibid. – 1993. – 56. – P. 375–377. 6. Asaad M., Abou-Zaid S. Characterization of fuzzy subgroups // Ibid. – 1996. – 77. – P. 247–251. 7. Asaad M., Abou-Zaid S. A contribution to the theory of fuzzy subgroups // Ibid. – 1996. – 77. – P. 355–369. 8. Ajmal N., Thomas K.V. Quasinormality and fuzzy subgroups // Ibid. – 1993. – 58. – P. 217–225. 9. Hassan N.H. On permutable and mutually permutable fuzzy groups // Int. J. Appl. Math. and Statistic. – 2009. – 15. – P. 556–558. 10. Ajmal N., Thomas K.V. The lattice of fuzzy subgroups and fuzzy normal subgroups // Inform. Sci. – 1994. – 76. – P. 1–11. 11. Ajmal N. The lattice of fuzzy normal subgroups is modular // Ibid. – 1995. – 83. – P. 199–209. Надiйшло до редакцiї 15.02.2013Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм. Олеся Гончара Л.А. Курдаченко, И. Я. Субботин, В.А. Чупордя, Е.А. Гринь О некоторых вопросах теории фаззи-групп Произвольную фаззи-группу можна рассматривать как совокупность ее фаззи-точек. Пред- ложен “точечный” подход к изучению структуры произвольной фаззи-группы, определенной на абстрактной группе. Рассмотрены нормальные, возрастающие и перестановочные фаз- зи-подгруппы произвольной фаззи-группы, получены их характеристики и свойства. L.A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, V. A. Chupordya, K.O. Grin On some questions in the theory of fuzzy groups It is possible to consider an arbitrary fuzzy group as the union of its fuzzy points. The authors propose a “point” approach to the study of the structure of an arbitrary fuzzy group defined on an abstract group. Normal, ascendant, and permutable fuzzy subgroups of an arbitrary fuzzy group are considered, and their characteristics and properties have been obtained. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 37

Про деякі питання теорії фаззі-груп

Institution

Ähnliche Einträge