Про визначення початкового наближення для контактної задачі
Запропоновано аналiтичнi моделi гравiтацiйного поля i горизонтально-шаруватого геологiчного середовища. Перша модель отримана з плоского нормального потенцiалу сили тяжiння в локальнiй точцi. Iнша модель — клас Чорного контактних поверхонь — отримана з вiдомого класу Страхова. Подано новi числовi а...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85901 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про визначення початкового наближення для контактної задачі / Ю.І. Дубовенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 115–121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85901 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-859012015-09-01T03:02:08Z Про визначення початкового наближення для контактної задачі Дубовенко, Ю.І. Науки про Землю Запропоновано аналiтичнi моделi гравiтацiйного поля i горизонтально-шаруватого геологiчного середовища. Перша модель отримана з плоского нормального потенцiалу сили тяжiння в локальнiй точцi. Iнша модель — клас Чорного контактних поверхонь — отримана з вiдомого класу Страхова. Подано новi числовi алгоритми для визначення початкового наближення густинного контакту та його асимптот у цьому класi. Предложены аналитические модели гравитационного поля и горизонтально-слоистой геологической среды. Первая модель получена из плоского нормального потенциала силы тяжести в локальной точке. Другая модель — клас Черного контактных поверхностей — получена из известного класса Страхова. Даны новые численные алгоритмы для определения начального приближения плотностного контакта и его асимптот в этом классе. Analytical models for the gravity field and the horizontally layered geological medium are offered. The first model is derived from the 2-D normal gravity potential at a local point. The last model — a Chorny contact surfaces class — is derived from the known Strakhov class. New numerical algorithms for the definition of the start approximation of a density interface and its asymptotes in that class are given. 2013 Article Про визначення початкового наближення для контактної задачі / Ю.І. Дубовенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 115–121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85901 550.831+550.8 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Дубовенко, Ю.І. Про визначення початкового наближення для контактної задачі Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано аналiтичнi моделi гравiтацiйного поля i горизонтально-шаруватого геологiчного середовища. Перша модель отримана з плоского нормального потенцiалу сили тяжiння в локальнiй точцi. Iнша модель — клас Чорного контактних поверхонь —
отримана з вiдомого класу Страхова. Подано новi числовi алгоритми для визначення
початкового наближення густинного контакту та його асимптот у цьому класi. |
| format |
Article |
| author |
Дубовенко, Ю.І. |
| author_facet |
Дубовенко, Ю.І. |
| author_sort |
Дубовенко, Ю.І. |
| title |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| title_short |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| title_full |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| title_fullStr |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| title_full_unstemmed |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| title_sort |
про визначення початкового наближення для контактної задачі |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85901 |
| citation_txt |
Про визначення початкового наближення для контактної задачі / Ю.І. Дубовенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 115–121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT dubovenkoûí proviznačennâpočatkovogonabližennâdlâkontaktnoízadačí |
| first_indexed |
2025-07-06T13:14:56Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:14:56Z |
| _version_ |
1836903507973636096 |
| fulltext |
УДК 550.831+550.8
Ю. I. Дубовенко
Про визначення початкового наближення
для контактної задачi
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Запропоновано аналiтичнi моделi гравiтацiйного поля i горизонтально-шаруватого гео-
логiчного середовища. Перша модель отримана з плоского нормального потенцiалу сили
тяжiння в локальнiй точцi. Iнша модель — клас Чорного контактних поверхонь —
отримана з вiдомого класу Страхова. Подано новi числовi алгоритми для визначення
початкового наближення густинного контакту та його асимптот у цьому класi.
Сучаснi методи обробки геофiзичних даних потребують створення цифрових аналiтичних
моделей поля i геологiчного середовища, якi нацiленi на застосування в ГIС. Для цього
слiд виробити вiдповiднi аналiтичнi конструкцiї. Одну з них — модель середовища типу
контакту пропонуємо до розгляду.
Визначення контакту у вiдомих моделях середовища Страхова, Нумерова, Маловичка [1]
означає обчислення рiзницi ундуляцiй теоретичної моделi середовища та деякого опорного
її елемента, вiд якого цi ундуляцiї не дуже ухиляються. Але при цьому слiд заздалегiдь
знати елементи геометрiї (глибину, форму, орiєнтацiю) опорного елемента (моделi тiла)
як початкового наближення iтерацiй. Для горизонтально-шаруватого середовища виведено
аналiтичнi моделi поля i геологiчного середовища, в яких цi опорнi елементи розраховують
у процесi iтерацiй.
Аналiтична модель поля i середовища. Розглядаємо горизонтально-шаруватий
простiр E(3) з двома густинними межами ∂G1 й ∂G2 роздiлу шарiв G1 й G2, вiдстань мiж
якими dist(∂G1, ∂G2) > 0 при 2G1
⋂
G2 = G2. В областi G2ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) — точки облас-
тi G− = G1
⋃
G2, G2 = G2
⋃
∂G2, x = (x1, x2x3) — точки замкнутої необмеженої областi
G+ = E(3) \ G, ∂G+ = ∂G1, а вiдстань мiж ними дорiвнює γ(x, ξ) =
( 3
∑
i=1
(xi − ξi)
2
)1/2
.
Якщо область G2 заповнена масами з густиною δ2(ξ), а область G0 = G1 \ G2 — з гус-
тиною δ1(ξ) (рис. 1), де n(x) — одинична нормаль до поверхнi ∂G+, зовнiшньої щодо G−,
то нормальна сила тяжiння дорiвнює
u(x) ≡
∂V (x)
∂n(x)
= f
∫
G−
δ(ξ)
∂
∂n(x)
1
γ(x, ξ)
dξ, (1)
де δ(ξ) = δ2(ξ) − δ1(ξ), ξ ∈ G2; δ(ξ) = 0, ξ ∈ G0; f — гравiтацiйна стала.
Силу тяжiння описує функцiя
u(x) = | gradV (x)| = f
∫
G−
δ(ξ)| gradx γ
−1(x, ξ)| dξ, (2)
оскiльки значення сили тяжiння — це значення модуля градiєнта потенцiалу [2], а не її
складовi, в тому числi й (1). Але для малої областi Ω можна використати вираз (1).
© Ю. I. Дубовенко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 115
Рис. 1. Модель контактного середовища в класi Чорного
У цiй областi Ω, з вiдомою мiрою наближення [3] дiлянку ∂G = Ω
⋂
∂G+ межi ∂G+
вважаємо “необмеженою” площиною: ∂G = {x : x3 = x3(x1, x2) = const, (x1, x2) ∈ S0}, де
S0 = Ω
⋂
∂G+. Нехай в околi Ω− функцiї δ1(ξ) = const, ξ ∈ G2 ⊂ Ω−, δ2(ξ) = const,
ξ ∈ Ω−
⋂
G1, i δ = δ2 − δ1, а G2 — власна пiдмножина Ω−. Межу Ω обираємо достатньо
гладкою, для якої ∂G2 = {x : xi = xi(xj , xk), (xj , xk) ∈ ∂Si, i, j, k = 1, 2, 3;
⋃
∂Si = ∂G2; xi ∈
∈ C(1,α)(∂Si)}.
За таких умов стосовно середовища викладених вище, отримуємо потенцiал тяжiння:
u(x1,2,3) ≡
∂V (x1,2,3)
∂x3
= fσ
∫
Ω−
∂
∂x3
dξ1dξ2dξ3
γ2(x, ξ)
. (3)
Нерiдко маси, що зосередженi в Ω−, генерують аномалiї u(xi), якi витягнутi, скажiмо,
уздовж осi Ox2. Їх доцiльно вимiрювати по профiлях, паралельних Oξ1. Формула (3) не-
придатна для обробки таких вимiрiв. Але, iнтегруючи вираз (3) за ξ2 при умовi, що x3 = 0,
ξ3 = ξ3(ξ1), a 6 ξ1 6 b, отримаємо аналiтичну модель поля:
u(x, 0) = fσ
b
∫
a
dξ1
ξ
(2)
3
∫
ξ
(1)
3
2ξ3
(ξ1 − x1)2 + ξ
(2)
3
dξ3 = fσ
b
∫
a
ln
(ξ1 − x1)
2 + ξ
(2)
3 (ξ1)
(ξ1 − x1)2 + ξ
(1)
3 (ξ1)
dξ1, (4)
де ξ
(1)
3 = ξ
(1)
3 (ξ1) i ξ(2)3 = ξ
(2)
3 (ξ1), a 6 ξ1 6 b — кривi, що обмежують знизу i згори тяжiючу
плоску область S.
Аналiтична модель середовища є пiдкласом одного з класiв контактних поверхонь, для
яких гарантовано єдинiсть розв’язку обернених задач гравiметрiї [4–6].
У класi Остромогильського Ost(1,α)(a, b) однозначно визначають змiнну густину δ(ξ1, ξ3)
i контакт x3(ξ1) за значеннями зовнiшнього поля [4] для заданого контакту:
x3(ξ1) =
−h+ δx3(ξ1), ξ ∈ [a, b],
−h, ξ1 /∈ [a, b],
(5)
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
де δx3(a) = δx3(b) = 0, x3(ξ1) — кусково-неперервна функцiя;
|δx3(x1)| > c(x1 − a)1+α, a 6 x1 6 a+ δ, α > 0,
|δx3(x1)| > c(b− x1)
1+α, b− δ 6 x1 6 b, α > 0.
(6)
З пiдкласiв Ost
(1,α)
(+) й Ost
(1,α)
(−) легко утворити моделi антиклiналей i синклiналей.
У класi Страхова St(1,α)(a, b) [5] контакт задається рiвнянням
x3(ξ1) =
−h1 + δx3(ξ1), ξ1 ∈ [a, b),
−h2, ξ1 = b,
(7)
де δx3(a) = 0, h1, h2 > 0, x3(ξ1) 6 0 — кусково-неперервна функцiя, задовольняє на кiнцях
iнтервалу умовам
|δx3(ξ1)| > a1(ξ1 − a)1+α, a 6 ξ1 6 a+ δ, α > 0,
|δx3(ξ1)| > b1(b− ξ1)
1+α, b− δ 6 ξ1 6 b, δ > 0,
(8)
набуваючи на [a, b] скiнченне число екстремумiв. Контакт можна обмежити так:
zS = z(c1) = sup extr
[a,b]
z(ξ1), −zS 6 h1, zi = z(c2) = inf extr
[a,b]
z(ξ1), −zi 6 h2, (9)
де c1, c2 ∈ [a, b], а точки c1, c2 — внутрiшнi точки вiдрiзку [a, b], або збiгаються з його
межами. У останньому випадку за умови h1 < h2 маємо c1 = a, c2 = b.
Якщо a = −∞, b = +∞, вирази (7), (8) набувають вигляду
z = z(ξ) = −h1 + δz(ξ), ξ ∈ (−ξ0, ξ0),
|z(ξ)− h1| 6 a2|ξ|
−β , |ξ| > ξ0,
|z(ξ)− h2| 6 b2|ξ|
−β , β > 0,
(10)
де h1, h2 > 0, а zS = z(c0) = sup{ extr
[−ξ0,ξ0]
z(ξ1)}, zi = z(c2) = inf{ extr
[−ξ0,ξ0]
z(ξ1)} при c1, c2 ∈
∈ [−ξ0, ξ0], i (для певностi) нехай −zS 6 h1, −zi 6 h2, 0 < h1 < h2. Для такого контакту
шарiв сталої густини встановлена єдинiсть [5].
Нехай G− — горизонтальна смуга, що обмежена згори i знизу прямими z1 = h1, z = h2,
0 < h1 < h2 < +∞, роздiлена на два шари зi щiльнiстю δ1 й δ2 нескiнченно гладкою кривою
∂G−, з асимптотою z = h, h1 < h < h2, зiрчастою щодо нескiнченно вiддаленої точки, де
|z(ξ)− h| 6 k|ξ|α, α > 0, |ξ| > ξ0, z(ξ) ∈ ∂G. (11)
Якщо значення h i стрибок густини ∆δ = δ2 − δ1 вiдомi, то контакт ∂G шарiв за зовнiшнiм
полем вiдновлюється однозначно i є функцiєю класу (11), який, в свою чергу, є пiдкласом
класу (10). Назвемо клас (11) Ch(1,β)(−∞,∞) класом Чорного (вiтчизняного науковця-гео-
фiзика А.В. Чорного, який заклав основи дослiдження функцiоналiв для контактних по-
верхонь). Клас (10) названо класом Страхова St(1,β)(−∞,∞). Очевидно, що правдивi вiд-
ношення:
Ost(1,α)(a, b) ⊂ St(1,α)(a, b), Ch(1,β)(−∞,∞) ⊂ St(1,β)(−∞,∞) ⊃ St(1,α)(a, b). (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 117
Ця модель вiдображає складний розподiл мас — n рудних тiл або контактiв, якi по-
парно не перетинаються (див. рис. 1). Головною проблемою є єдинiсть розв’язку задачi (4)
в класi (11). Ця єдинiсть гарантована у вузьких пiдкласах класiв (12). Їх можна окресли-
ти за наявностi потужної апрiорної iнформацiї про середовище (11). У разi її вiдсутностi
лишається сподiватися на вiдомi наслiдки з теорем роздiлення полiв, якi є справедливими
i для моделi (11).
Алгоритми обчислення контакту. Щоб розв’язати нелiнiйне iнтегральне рiвнян-
ня (4), задавши сталi асимптоти, якi належать однiй з множин (12) допустимих функцiй,
пiсля ряду перетворень отримаємо таке рiвняння:
u(x) = k
b
∫
a
ln
(ξ1 − x1)
2 +H2
(ξ1 − x1)2 + x23(ξ1)
dξ1. (13)
Розглядаючи його як функцiонал g(x, z) вiд шуканої функцiї x3(ξ1)у лiнiйному просторi,
знайдемо прирiст ∆g(x, z) = g(x, z + h) − g(x, z), де h(a) = h(b) = 0:
∆g(x, z) = −
b
∫
a
2z(ξ)
(ξ − x)2 + z2(ξ)
h(ξ) dξ −
b
∫
a
{
[(ξ − x)2 − z2(ξ)]
[(ξ − x)2 + z2(ξ)]2
+
+
2
3
[
−
3δz(ξ)
{(ξ − x)2 + δz2(ξ)}2
+
4δz(ξ)
{(ξ − x)2 + δz2(ξ)}3
]
h(ξ)
}
h2(ξ) dξ (14)
та δz(ξ) = z(ξ) + θ(ξ)h(ξ). Пiсля ряду аналiтичних перетворень на його основi отримуємо
кiлька способiв вiдновлення контакту x3(ξ1), a 6 ξ 6 b за заданим полем g(x), c 6 x 6 d,
[a, b] ⊂ [c, d] за умови mes[a, b] < mes[c, d].
Зокрема, при заданих a, b, H знаходимо ∆z(ξ) = zn+1(ξ) − zn(ξ), де
b
∫
a
2zn(ξ)
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
zn+1(ξ) dξ =
=
b
∫
a
ln
(ξ − x)2 +H2
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
dξ − g(x) +
b
∫
a
2zn(ξ)
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
∆zn(ξ) dξ. (15)
При zn+1(ξ) = zn(ξ) + hn(ξ), n = 0, 1, 2, . . ., h0(ξ) = 0, та вiдомому значеннi z0(ξ) : z1(ξ) =
= z0(ξ) + h0(ξ) маємо:
−
b
∫
a
2zn(ξ)
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
hn+1(ξ) dξ =
b
∫
a
ln
(ξ − x)2 +H2
(ξ − x)2 + z2n+1(ξ)
dξ − g(x), (16)
−
b
∫
a
2zn(ξ)
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
hn+1(ξ) dξ =
=
b
∫
a
ln
(ξ − x)2 +H2
(ξ − x)2 + z2n+1(ξ)
dξ − g(x) +
b
∫
a
(ξ − x)2 − z2n(ξ)
[(ξ − x)2 + z2n(ξ)]
2
h2n(ξ) dξ. (17)
118 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Подiбним чином, крiм контакту z = z(ξ), a 6 ξ 6 b, знайдемо “асимптоту” H = const:
наприклад, задаючи H0 i z0(ξ), вважаючи, що zn+1(ξ) = zn(ξ) +∆zn(ξ), Hn+1 = Hn +∆Hn,
n = 0, 1, 2, . . ., i ∆z0(ξ) ≡ 0, ∆H0 ≡ 0, a 6 ξ 6 b, отримуємо аналог виразу (15):
b
∫
a
2zn(ξ)
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
∆zn(ξ) dξ −
b
∫
a
2Hn
(ξ − x)2 +H2
n
∆Hndξ =
=
b
∫
a
ln
(ξ − x)2 +H2
n
(ξ − x)2 + z2n(ξ)
dξ − g(x). (18)
Iснують вiдповiднi аналоги для виразiв (16) й (17), що отриманi за додаткової умови
zn+1(ξ) = zn(ξ) + hn(ξ), Hn+1 = Hn + τn,
h0(ξ) ≡ 0, τ0 ≡ 0, H1 = H0, z1 = z0(ξ).
(19)
Вибiр початкових наближень. У виразах (15)–(18) iстотною є проблема вибору по-
чаткового наближення контакту. Розв’яжемо її таким чином.
Нехай крива g(x), c 6 x 6 d має на [c, d] кiлька екстремумiв у точках ci ∈ [c, d], i =
= 1, 2, . . . , n. Оскiльки δ > 0, то кожному екстремуму вiдповiдає однойменний екстремум
z = z(ξ), a 6 ξ 6 b. Визначимо у множинi {extr
[c,d]
g(x)} найбiльший максимум zS ≡ g(ci) =
= sup{extr
[c,d]
g(x)} i найменший мiнiмум zi ≡ g(cj) = inf{extr
[c,d]
g(x)}. Нехай zS ≡ z(ci) =
= sup{extr
[c,d]
z(ξ)}, zi ≡ z(cj) = inf{extr
[c,d]
z(ξ)} — вiдповiднi екстремуми z (тут абсциси gS й zS
(gi й zi) збiгаються, що не в усiх випадках вiрно.
Початкове наближення контакту задаємо двома способами:
z0 = z0(ξ) = −H0 +∆g(ξ,H0), a 6 ξ 6 b, (20)
z0 = z0(ξ) = −H0 + k0∆g(ξ), a 6 ξ 6 b, (21)
де H0 > 0 — задана стала “асимптота” z0 на лiвому кiнцi [a, b], ∆g(ξ) = g(ξ) − g(a),
∆g(ξ,H0) — аналiтично продовжене значення ∆g(ξ) на рiвнi −H0, k0 = k(H0) — невiдо-
мий коефiцiєнт.
Знайдемо k0. Нехай у точцi c ∈ [a, b] розташована zS (zi). Отримаємо такi нерiвностi для
визначення початкових zS й zi при заданих H, gS й gi:
gS > (1− ci) ln
(1− ci)
2 +H2
(1− ci)2 + z2S
+ ci ln
c2i +H2
c2i + z2S
+ 2H arctg
H
H2 − ci(1− ci)
−
− 2zS arctg
zS
z2S − ci(1− ci)
, (22)
gi 6 (1− cj) ln
(1− cj)
2 +H2
(1− cj)2 + z2i
+ cj ln
c2j +H2
c2j + z2i
+ 2H arctg
H
H2 − cj(1− cj)
−
− 2zi arctg
zi
z2i − cj(1− cj)
. (23)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 119
Вiдшукання значень zS й zi однотипне, тому iндекси опущено. Утворимо функцiю
f(z) = (1− c) ln[(1− c)2 + z2] + c ln(c2 + z2) + 2z arctg
z
z2 − c(1 − c)
−
− (1− c) ln[(1 − c)2 +H2]− c ln(c2 +H2)− 2H arctg
H
H2 − c(1− c)
+ g. (24)
Наближення zn якогось iз значень zS й zi визначаємо за схемою Чебишева [7]:
zn+1 = zn −
f(zn)
f ′(zn)
−
f ′′(zn)f
2(zn)
2f ′3(zn)
, (25)
де f(z) визначається з функцiї (24). Процес (25) при вдалому виборi zn швидко збiгається:
4 iтерацiї для отримання z(0) з точнiстю до 10−7, що узгоджується з результатами працi [7].
Зауваження 1. З виразiв (22), (23) випливає, що f(zS) > 0, f(zi) 6 0, а за не дуже малих
H > 0 маємо f(zS) > 0, f(zi) < 0. Тому коренi zB , zH рiвнянь f(zB , gS) = 0, f(zH , gi) = 0
дають наближення zS й zi знизу та зверху, що погiршує “якiсть” початкового наближення
z0 = z0(ξ).
Зауваження 2. Величини zS (zi) визначаються неякiсно при великих H, тим паче, якщо
вони є великими. Тому разом iз zS , zi визначають при δg = g(b) − g(a) 6= 0, крiм заданої
лiвої H− i праву “асимптоту” H+ кривої z = z(ξ) за описаною вище схемою, тiльки у виразi
f(z) замiсть gS (gi) беруть δg для визначення H+.
Обчисливши для кожного заданого значення H−
i , i = 1, 2, . . . , n, лiвої “асимптоти” шу-
каної кривої z = z(ξ), a 6 ξ 6 b, значення параметрiв z
(i)
S , z(i)i , H+
i , i = 1, 2, . . . , n, знайдемо
u(i) = z
(i)
S −H−
i , u(i) = z
(i)
i −H−
i , ∆Hi = H+
i −H−
i ,
δg = g(b)− g(a), δgmax = gS − g(a), δgmin = gi − g(a), (26)
звiдки k
(i)
0 =
1
e
e
∑
i=1
k
(i)
i , де k
(i)
1 =
|u(i)|
|δgmax|
, k(i)2 =
|u(i)|
|δgmin|
, k3 =
|∆H|
|δg|
.
Виведено новi аналiтичнi конструкцiї для обчислення складних контактiв (20), (21). Для
їх обчислення запропоновано процес простих iтерацiй (25), а для послiдовного уточнення
виконують процес (26).
Схему вiдшукування початкового наближення для контактiв з класiв “антиклiналей”
i “синклiналей” Ost
(1,2)
(±) (a, b) апробовано на функцiях, якi моделюють антиклiналь i синклi-
наль: z(ξ) = −H + a(1 − ξ)ξ, z(ξ) = −H − a(1 − ξ)ξ, 0 6 ξ 6 1. Цi конструкцiї краще
збiгаються при обчисленнi за першим зi способiв (15)–(17) порiвняно з вiдомими [8]. Для
асимптот H−
i , H+
i характер збiжностi iтерацiй є аналогiчним.
1. Чорний А.В., Дубовенко Ю. I. Дослiдження оберненої задачi потенцiалу для контактної поверхнi //
Геофиз. журн. – 2002. – 24, № 3. – С. 77–92.
2. Дубовенко Ю. I. Задача Алексiдзе для вiдновлення потенцiалу сили тяжiння // Там само. – 2009. –
31, № 6. – С. 132–139.
3. Дубовенко Ю.И. Об определении погрешностей гравиметрических трансформаций // Геофиз. журн. –
2011. – 33, № 1. – С. 136–146.
4. Остромогильский А. Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала // Журн.
вычисл. мат. и мат. физики. – 1970. – 10, № 2. – С. 352–361.
120 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
5. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхнос-
ти // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. – 1974. – № 6. – С. 39–60.
6. Чередниченко В. Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу // Докл. АН
СССР. – 1978. – 240, № 5. – С. 1032–1035.
7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. – Москва: Физматгиз, 1960. – С. 140–143.
8. Гравиразведка: Справочник геофизика. – Москва: Недра, 1990. – 607 с.
Надiйшло до редакцiї 12.03.2013Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
Ю.И. Дубовенко
Об определении начального приближения для контактной задачи
Предложены аналитические модели гравитационного поля и горизонтально-слоистой гео-
логической среды. Первая модель получена из плоского нормального потенциала силы тя-
жести в локальной точке. Другая модель — клас Черного контактных поверхностей —
получена из известного класса Страхова. Даны новые численные алгоритмы для определе-
ния начального приближения плотностного контакта и его асимптот в этом классе.
Yu. I. Dubovenko
On the initial approximation definition for a contact problem
Analytical models for the gravity field and the horizontally layered geological medium are offered.
The first model is derived from the 2-D normal gravity potential at a local point. The last model —
a Chorny contact surfaces class — is derived from the known Strakhov class. New numerical algo-
rithms for the definition of the start approximation of a density interface and its asymptotes in
that class are given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 121
|