Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності

Запропоновано новий підхід до побудови математичних моделей функціонування і розвитку виробничих систем, як цілісних систем моделей, які призначено для розрахунків майбутнього стану на базі існуючих технологій і продуктів виробництва, а також для досліджень на моделях виробництв, які тільки створюют...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Боровська, Т.М., Северілов, П.В., Хомин, Є.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2014
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86118
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності / Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 121-136. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86118
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-861182015-09-09T03:02:01Z Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Боровська, Т.М. Северілов, П.В. Хомин, Є.П. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Запропоновано новий підхід до побудови математичних моделей функціонування і розвитку виробничих систем, як цілісних систем моделей, які призначено для розрахунків майбутнього стану на базі існуючих технологій і продуктів виробництва, а також для досліджень на моделях виробництв, які тільки створюються. Створено систему моделей на базі трирівневої декомпозиції: структурної, функціональної і редукційної. Розроблено ряд робочих моделей для задач оптимального функціонування і розвитку виробничих систем. Ці моделі відносяться до різних структурних класів моделей функціонування і розвитку: моделі оптимального розвитку на базі варіаційної задачі розвитку з інтегральним критерієм першого роду і невизначеностями, заданими статистичними характеристиками; моделі функціонування і розвитку системи виробників деякого сегменту виробництва, в середовищі якої знаходиться виробнича система, що досліджується, а невизначеності генеруються активним оточенням. Результати моделювання відтворюють відомі характеристики реальних виробничих систем. Предложен новый подход к построению математических моделей ункционирования и развития производственных систем, как целостных систем моделей, которые предназначены для расчетов будущего состояния на базе существующих технологий и продуктов производства, а также для исследований на моделях производств, которые только создаются. Система моделей создана на базе трехуровневой декомпозиции: структурной, функциональной и редукционной. Разработан ряд рабочих моделей для задач оптимального функционирования и развития производственных систем. Эти модели относятся к разным структурным классам моделей функционирования и развития: модели оптимального развития на базе вариационной задачи развития с интегральным критерием первого рода и неопределенностями, заданными статистическими характеристиками; модели функционирования и развития системы производителей некоторого сегмента производства, в среде которой находится исследуемая производственная система, и неопределённости генерируются активным окружением. Результаты моделирования воспроизводят известные характеристики реальных производственных систем. A new approach is proposed to the construction of mathematical models of the functioning and development of production systems as comprehensive systems of models that are designed for the calculation of the future state of the system based on existing technologies and products production as well as for research on the models of productions, which are being created. The system of models is created on the basis of the three-level decomposition: structural, functional, and reduction. These models belong to different structural classes of models of functioning and development: models of optimal development based on the variational problem of development with integral criterion of the first kind and uncertainties specified by statistical parameters; models of functioning and development of system of manufacturers of a certain production segment, in the environment where the production system under study is located, and uncertainties are generated by the active environment. The simulation results reproduce the known characteristics of real production systems. 2014 Article Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності / Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 121-136. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86118 62.50:658.21 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Боровська, Т.М. Северілов, П.В. Хомин, Є.П. Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології
description	Запропоновано новий підхід до побудови математичних моделей функціонування і розвитку виробничих систем, як цілісних систем моделей, які призначено для розрахунків майбутнього стану на базі існуючих технологій і продуктів виробництва, а також для досліджень на моделях виробництв, які тільки створюються. Створено систему моделей на базі трирівневої декомпозиції: структурної, функціональної і редукційної. Розроблено ряд робочих моделей для задач оптимального функціонування і розвитку виробничих систем. Ці моделі відносяться до різних структурних класів моделей функціонування і розвитку: моделі оптимального розвитку на базі варіаційної задачі розвитку з інтегральним критерієм першого роду і невизначеностями, заданими статистичними характеристиками; моделі функціонування і розвитку системи виробників деякого сегменту виробництва, в середовищі якої знаходиться виробнича система, що досліджується, а невизначеності генеруються активним оточенням. Результати моделювання відтворюють відомі характеристики реальних виробничих систем.
format	Article
author	Боровська, Т.М. Северілов, П.В. Хомин, Є.П.
author_facet	Боровська, Т.М. Северілов, П.В. Хомин, Є.П.
author_sort	Боровська, Т.М.
title	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
title_short	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
title_full	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
title_fullStr	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
title_full_unstemmed	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
title_sort	альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86118
citation_txt	Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності / Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 121-136. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT borovsʹkatm alʹternativnímodelíoptimalʹnogorozvitkuvirobničihsistemvumovahneviznačeností AT severílovpv alʹternativnímodelíoptimalʹnogorozvitkuvirobničihsistemvumovahneviznačeností AT hominêp alʹternativnímodelíoptimalʹnogorozvitkuvirobničihsistemvumovahneviznačeností
first_indexed	2025-07-06T13:32:45Z
last_indexed	2025-07-06T13:32:45Z
_version_	1836904628191494144
fulltext	 Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин, 2014 Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 121 УДК 62.50:658.21 АЛЬТЕРНАТИВНІ МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ Т.М. БОРОВСЬКА, П.В. СЕВЕРІЛОВ, Є.П. ХОМИН Запропоновано новий підхід до побудови математичних моделей функціону- вання і розвитку виробничих систем, як цілісних систем моделей, які призна- чено для розрахунків майбутнього стану на базі існуючих технологій і про- дуктів виробництва, а також для досліджень на моделях виробництв, які тільки створюються. Створено систему моделей на базі трирівневої деком- позиції: структурної, функціональної і редукційної. Розроблено ряд робо- чих моделей для задач оптимального функціонування і розвитку виробничих систем. Ці моделі відносяться до різних структурних класів моделей функціо- нування і розвитку: моделі оптимального розвитку на базі варіаційної задачі розвитку з інтегральним критерієм першого роду і невизначеностями, задани- ми статистичними характеристиками; моделі функціонування і розвитку сис- теми виробників деякого сегменту виробництва, в середовищі якої знаходить- ся виробнича система, що досліджується, а невизначеності генеруються активним оточенням. Результати моделювання відтворюють відомі характери- стики реальних виробничих систем. ВСТУП Сьогодні в усьому світі єдиний стійкий фактор — системна криза. Це криза: виробництва, споживання і розвитку. Головною руйнівною силою визнають фінанси і глобалізацію. Апостеріорно визначено джерела розвитку розвине- них країн: відносно високі витрати на дослідження і пошук нових техноло- гій та постійне оновлення засобів і продуктів виробництва за рахунок еко- номії на дешевій робочій силі емігрантів та перетікання науково-технічної еліти з нерозвинених у розвинені країни. Сучасна нестабільність виробниц- тва залежить від названих факторів, і перший крок у її подоланні — визна- чити внутрішні проблеми стійкого функціонування і розвитку власне виро- бництва, як елементу соціо-техніко-економічних систем. 30 – 40 років тому великі надії покладались на «кібернетичну корпорацію», АСУ, АСУП, АСУТП. У той час головною проблемою була недостатня потужність обчи- слювальних систем. Тепер на перший план вийшли проблеми АСУ — недо- статні живучість та захист від зламу з боку хакерів і блогерів, терористів і конкурентів. Однак головною проблемою є неадекватність нинішніх моде- лей виробничих систем «виробництво» і «споживання». Сучасні виробницт- ва постійно і радикально змінюються, наприклад, закривається виробництво певного продукту в комплексі з технологією, виробничими фондами, іноді з персоналом, а відкривається теж у комплексі нове для цього підприємства виробництво. Для інноваційного виробництва потрібні моделі-предиктори і моделі- еталони, що дозволяють передбачати варіанти розвитку майбутніх продук- тів і технологій, щоб, як мінімум, уникати провальних варіантів розвитку. І ці моделі мають йти від «цінності» продуктів і технологій виробництва [1]. Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 122 Актуальність дослідження. Це дослідження базується на досить дов- гому періоді конструювання робочих (реалізованих у середовищі математич- ного пакету Mathcad) моделей виробничих систем. Спочатку було ретельно досліджено відомі моделі [1–3], а потім — власні моделі для невирішених задач [4–7]. Виявлено, що організації не починають певні інновації через відсутність об’єктивних засобів передбачення: методик аналізу й оптиміза- ції інноваційних виробничих систем, зі всебічним урахуванням невизначе- ностей і ризиків на базі моделей-предикторів. Потрібні програми імітацій- ного моделювання і оптимізації з урахуванням складних для формалізації ризиків від конкурентного оточення і поведінки користувачів. Реалістичні моделі розвитку виробничих систем суттєво нелінійні і мають негаусівську статистику. Сьогодні таких моделей або зовсім нема, а якщо є, то конфіден- ційні. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДОСЛІДЖЕННЯ Процес створення моделі складної і великої виробничої системи, в силу ба- гатьох причин, розділяється на певні паралельні розробки функціональних субмоделей та альтернативних моделей, розробки послідовності моделей різного рівня точності. Формально — це декомпозиція єдиної моделі склад- ної системи в окремі моделі для підсистем, аспектів функціонування, моделі різного рівня спрощення і адекватності. Формальне розбиття багатовимірної системи збільшує розмірність вектору стану за рахунок введення зв’язків між підсистемами [1, 2, 8]. Тобто ефективна декомпозиція складної системи не є тривіальною. Проблема дослідження. За тематикою цього дослідження розроблено комплекс моделей функціонування і розвитку виробничих систем, які до- зволяють досліджувати проблему ризиків для сучасного підприємства на рівні робочих моделей. Розроблені моделі [4–6] відносяться до двох класів:  Моделі оптимального розвитку виробничої системи на базі розв’язання варіаційної задачі розвитку з інтегральним критерієм «сумарний накопичений випуск продукції» методом принципу максимуму. Невизначе- ності та збурення задаються статистичними характеристиками, трендами.  Моделі розвитку децентралізованої системи виробників певного се- гменту виробництва на базі алгоритму локального управління, що є варіан- том реалізації ідей «відкритого» та «мінімально розумного» управління [9]. Характеристики невизначеностей та збурень задаються на рівні породжую- чих процесів: моделювання певної виробничої системи виконується разом з її оточенням — іншими виробниками галузі або сегмента виробництва і користувачами. На базі цих двох альтернативних класів моделей виконано розробку моделей для аналізу ризиків і управління ризиками. Альтернативні моделі належать до різних параметричних класів, вони побудовані на базі різних концепцій. Це породжує теоретичну проблему формалізації структурних версій моделей, і практичну проблему сумісного використання структурних версій. Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 123 ТРИРІВНЕВА ДЕКОМПОЗИЦІЯ МОДЕЛІ ВИРОБНИЧОЇ СИСТЕМИ Як відомо, математична модель — це відображення суттєвих для дослідника властивостей об’єкта моделювання. Однак, у техніці існують області, де мо- дель є не відображенням, а еталоном для об’єкта, який ще тільки проекту- ється і створюється. Це характерно для авіації, де імітаційна математична модель «літає» задовго до появи реального об’єкта. З урахуванням того, що новизна технічних систем не перевищує 20%, цей випадок може бути зведе- но до класичної парадигми моделювання: модель, що відображає суттєві властивості певного класу об’єктів. Моделі, що не є відображенням реаль- них об’єктів — це моделі-еталони. Теоретичні дослідження і практичне за- стосування моделей-еталонів потребує більш широкої класифікації моделей. Аналіз робіт-аналогів і власна практика створення робочих моделей допо- могла сформувати класифікацію моделей, що дозволяє наявні і ще не ство- рені моделі виробничих систем розмістити разом і компактно у тривимір- ному «морфологічному ящику». Визначимо й формалізуємо введені декомпозиції. Функціональна декомпозиція — це розбиття математичної моделі (ММ) на субмоделі, кожна з яких відображає якусь окрему функцію або підсисте- му повною ММ. Така декомпозиція є відображенням структури реальної системи. Припускається, що з функціональних субмоделей можна зібрати модель об’єкта. Редукційна декомпозиція — це розбиття ММ системи на субмоделі, які належать до одного параметричного класу моделей [2]. Кожна з субмоделей відображає повну ММ системи, але з різною точністю. Крім апроксимацій- ної редукції, пов’язаної зі зменшенням точності моделі, можлива агрегатив- на редукція, суть якої — заміна певних структур виробничої системи екві- валентним елементом [4]. Структурна декомпозиція — це розбиття ММ системи на субмоделі, які належать до різних структурних класів і є еквівалентними щодо критері- їв точності відображення реального об’єкта. Кожна структурна модель відо- бражає всі функції конкретного об’єкта моделювання. Редукційна і структурна декомпозиції є не тільки математичними абст- ракціями, але й відображенням практики конструювання технічних систем. Для забезпечення надійності застосовують неідентичне резервування. На базі редукційної і структурної декомпозиції побудовано концепцію плавної деградації. Для конкретного класу об’єктів і конкретних моделей можна визначити відповідні оператори декомпозиції: )(DS — структурної, )(DF — функціо- нальної, )(DR — редукційної. Визначимо такі класи декомпозицій для мож- ливих послідовностей застосування операторів:  однорівневі 1D: DS(.) — декомпозиція моделі в множину структур- них субмоделей; DF(.) — декомпозиція моделі у множину функціональних субмоделей, DR(.) — декомпозиція моделі в множину редуцированих суб- моделей;  дворівневі 2D: DS(DF(.)) — декомпозиція моделі в множину струк- турних субмоделей, для кожної з яких виконується функціональна декомпо- Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 124 зиція; DF(DS(.)) — декомпозиція моделі в систему функціональних суб- моделей, для кожної з яких виконується структурна декомпозиція; DF(DR(.)) — декомпозиція моделі в систему функціональних субмоделей, для кожної з яких виконується редукційна декомпозиція; DS(DR(.)) — де- композиція моделі в множину структурних субмоделей, для кожної з яких виконується редукційна декомпозиція;  трирівневі 3D: DS(DF(DR(.))) — декомпозиція моделі в множину структурних субмоделей, для кожної з яких виконується функціональна де- композиція, для кожної функціональної субмоделі виконується редукційна декомпозиція; DF(DS(DR(.))) — декомпозиція моделі в функціональні суб- моделі, для кожної з яких виконується структурна декомпозиція, для кожної структурної субмоделі виконується редукційна декомпозиція. Найбільш важкою для формалізації є структурна декомпозиція. Розглянемо підхід до її формалізації. Формалізація структурної декомпозиції. Вводимо структурну деком- позицію моделі об’єкта },{,3 XSdD у структурні класи },,{:3 ii XSSdD  ,Ji де iS — математична модель і-го структурного класу, що визначаєть- ся як група відносно деякої операції }.{)(:}{ ,,, ikiliiili SSSgSS  Деяка окрема структурна математична модель ),( ii XS описує повну систему ),( XS та з деякою припустимою точністю, що оцінюється заданим критерієм ,),()(),()(),),(),(( VvtXtxtXtxVtxtxQ iii  (1) де v — реалізація збурення, невизначеності. Множина },{ ii XS утворює клас еквівалентності за ознакою: існує .)),(),((),},,{),((: rikkkkk QvtxtxQJkiXSXSVv  (2) Змістовно )(Q є критерієм близькості виходів повної ММ і окремої, спеціалізованої відносно деякого стану невизначеностей зовнішнього сере- довища .Vv Умова належності (2) не визначає якісь границі множини },{ ii XS та не задає порядку на цій множині. В окремих випадках, коли по- рядок задати можливо на множині зовнішніх середовищ, упорядкування елементів множини },{ ii XS виконується за критерієм .)(Q На },{ ii XS та можливо виділити підмножину Парето ),),(),(()),(),((:,},,{ vtxtxQvtxtxQVvLflJLlXS ifilll  (3) що інтерпретується як наявність певної реалізації зовнішнього середовища для певної ММ ,},{ ii XS що належить до множини ,),( ii XS буде найкра- щою серед ММ даного класу за критерієм .)(Q Аналіз декомпозицій, який розглянуто на рівні абстрактних теоретико-множинних моделей є неконст- руктивним в умовах ізоляції теоретико-множинного рівня від рівня робочих моделей. Обов’язкова складова дослідження — доведення моделі до рівня робочої [1, 2, 6]. Робочі моделі є необхідним доповненням і замінником ста- Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 125 тистики реальних об’єктів моделювання під час досліджень інноваційного розвитку. У табл. 1 подано порівняння введеної декомпозиції складних тех- нічних систем з аналогами. Як приклад інтерпретації структурної декомпо- зиції розглянемо дві структурні версії моделі функціонування і розвитку багатопродуктової виробничої системи (ВС):  модель оптимального розвитку ВС на базі варіаційного числення;  модель функціонування й розвитку системи виробників певного сег- менту виробництва, одним з елементів якої є вибрана ВС. Т а б л и ц я . Порівняння трирівневої декомпозиції моделей ВС з аналогами Існуючі підходи до декомпозиції Запропонований підхід до декомпозиції Багатокрокова декомпозиція процесу прийняття рішень (динамічне програмування, Р. Беллман) Багатокрокова декомпозиція процесу прийняття рішень (метод принципу максимуму, Л. Понтрягін) Багаторівневі ієрархічні декомпозиції: страти, шари, ешелони (М. Месарович) Анатомічний і фізіологічний принципи композиції моделі складної системи з часткових моделей (М. Пешель) Мерономія, таксономія, коророзбиття — декомпозиції, що є узагальненням класифікаційних схем біології (Ю. Шрейдер, Ю. Шаров) Об’єднання задач декомпозиції і композиції: декомпозиційна структура для аналізу і синтезу розподілених систем на базі функціонально-структурно- редукційної декомпозиції та лінгвістичне упорядкування елементів за «темою», «синонімами», «доповненнями» Еволюційний підхід: аналіз структур виробничих систем як результату процесів композиції і декомпозиції (утворення спеціалізованих, інтегрованих підсистем) Цілісний підхід до складних систем моделей виробничих систем на базі морфологічного аналізу, алгебраїзації операцій структурної, функціональної та редукційної декомпозиції Взаємоконтроль моделей — забезпечення коректності і адекватності Раціональні технології розпаралелювання робіт по створенню системи моделей виробничих систем МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧОЇ СИСТЕМИ Наведемо формулювання для типових задач розвитку ВС [4, 10]. Базова задача розвитку виробництва. Виробнича система (ВС) випу- скає декілька продуктів за необмежених потреб. Для кожного продукту ві- дома функція розвитку (ФР) — залежність «витрати – приріст виробничих потужностей». Необмежені потреби існують протягом «ринкового вікна», відповідно до якого задається «плановий період» Тр. Поставлено мету так розподіляти поточні ресурси ВС між «накопиченням» та інвестиціями в роз- виток виробництв продуктів, щоб максимізувати інтегральний критерій «су- марне накопичення». Задача про «цінові стратегії». Побудовано нову виробничу систему для випуску нового продукту. У процесі виробництва навчається персонал, відлагоджуються і вдосконалюються продукт та технологія виробництва. Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 126 Потреби на початку періоду необмежені, реальні потреби залежать від цін- ності й ціни продукту. Постaвлено мету так розподілити цінність продукту між виробником і користувачем (зміною ціни продаж продукту), щоб мак- симізувати інтегральний критерій «накопичений дохід». Інвестиційні витра- ти розвитку залежать від обсягу потреб. Задача інноваційного розвитку. Виробнича система складається з підсистем «інновації», «розвиток» і «виробництво». Підсистема «іннова- ції» шукає, створює, досліджує нові вироби й технології; підсистема «розви- ток» реалізує інновації — розробляє технології та виробляє засоби вироб- ництва, будує нові лінії, цехи, заводи; підсистема «виробництво» на базі створюваних виробничих потужностей випускає кінцеву продукцію. По- стaвлено мету розподілити поточні ресурси ВС між «накопиченням» та ви- тратами на підсистеми «інновації», «розвиток», «виробництво» так, щоб максимізувати інтегральний критерій «сумарне накопичення за плановий період». Ці задачі належать до одного класу варіаційних задач з інтеграль- ним критерієм першого роду. Результатом рішення варіаційної задачі є функція часу або координат вектора стану виробничої системи — опти- мальна стратегія розвитку. Для розв’язання задач розвитку було розробле- но й реалізовано в середовищі математичного пакету Mathcad методологію на базі використання методу оптимального агрегування і методу принципу максимуму Понтрягіна [4–5]. Безпосередніми аналогами були роботи Белл- мана — «задача розподілу» і «задача Марковиця» [10] та метод принципу максимуму (задачі про оптимальну швидкодію). 0 а б в 0 0 0 0 5 0 30 60 90 120 150 Інновації Розвиток 1 2 4 3 5 6 1 2 4 3 1 2 43 5 5 6 7 7 Рис. 1. Приклади оптимальних стратегій розвитку; а — стратегія оптимального розвитку системи, яка складається з трьох паралельно працюючих елементів (1 — оптимальна стратегія розвитку, 2 — витрати розвитку, 3 — накопичення, 4, 5 — стратегії кредитування і повернення кредитів, 6 — оптимальна еквівалентна ФВ системи, 7 — ФВ елементів); б — оптимальна цінова стратегія (1 — оптимальна стратегія розвитку, 2 — динаміка собівартості виробів, 3 — прибуток, 4 — витрати розвитку, 5, 6, 7 — функції розвитку, освоєння, попиту); в — оптимальна стратегія інноваційного розвитку системи (1 — оптимальна еквівалентна ФВ системи, 2 — вектор-функція оптимального розподілу ресурсу, 3, 4, 5 — функції інновацій, розвит- ку, виробництва) Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 127 Розв’язання задачі оптимального розвитку складається з таких кроків: конструювання моделі виробничої системи (ВС) як технологічного перетво- рювача ресурсів у продукт; вибір критеріїв оптимізації: субоптимізації роз- поділу ресурсів розвитку між елементами ВС; оптимальне агрегування — заміна системи виробничих елементів оптимальним еквівалентним за вхо- дом — виходом елементом [4]; формування диференційних рівнянь для спряжених функцій і параметризоване розв’язання числовими методами, отримання функції Гамільтона; формування робочої моделі оптимального процесу функціонування і розвитку, алгебраїзація розв’язання; розробка або адаптація сервісних модулів для стандартних видів аналізу процесів опти- мального розвитку. На рис. 1 подано оптимальні стратегії та відповідні про- цеси для трьох поданих вище задач розвитку. У цій роботі всі моделі створені в середовищі математичного пакету. Подаємо робочі моделі двох задач розвитку (системи рівнянь (4) та (5)). Ро- боча модель для базової задачі оптимального розвитку подана системою рівнянь (4): ;)]1()([1 tuxudfruxxx kkkkkk   (4а) );),(,,(1 txdfrxuпx kkkk   (4б) );,,,()()1()1( tdfrxuxuxfruxuH kkkkkkkk  (4в) );(),()1(),(0 tTpvPuxfruxuxH kkkkkk  (4г) ;10));,((max1  kuk uuxHMu (4д) ;),( 11 tvPuxfrxx kkkk   (4е) );1( 111   kkk uxz (4є) .1 kzsdoxsdox (4ж) де Nk ...1 — номер кроку моделювання; Tp — плановий період; NTpt  — крок моделювання; )1(  ktt — дискретний час; kx — поточне значення змінної стану «темп виробництва»; ku — поточне зна- чення управління (частка поточних ресурсів у розвиток); 1kz — поточний темп накопичення; kx — спряжена зі змінною kx функція; vP — вектор параметрів функції розвитку; ),( vPxfr — функція розвитку; )(max uM — метод оптимізації застосований для максимізації функції Гамільтона; ),( kkk uxH — точний вираз для функції Гамільтона; ),( kko uxH — набли- жений вираз для функції Гамільтона. У моделі (4) відсутні обмеження математичного характеру, що не відо- бражують властивості реальних процесів, а потрібні для отримання аналі- тичних результатів або застосування певних обчислювальних методів. Об- меження моделі — нестрога монотонність залежностей «ресурс – продукт». Рівняння (4в), (4г) — точний і наближений вирази для функції Гамільто- на [5]. Ці вирази відрізняються одним множником: у наближеному виразі — )( tTp  , а в точному — ).,,,( tdfrxux kk Спряжена функція наближена лі- Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 128 нійною функцією часу. Це приклад наближення в просторі стратегій управ- ління [4]. Рівняння (4д) — оператор знаходження значення управління, що дає максимум функції Гамільтона. Спільне в усіх моделях оптимального розвит- ку — декомпозиція оптимізаційної задачі на задачу оптимального агрегу- вання ВС і варіаційну задачу розвитку для еквівалентної оптимальної одно- вимірної моделі ВС. Одновимірна оптимізація знімає потребу у витончених методах багатовимірної оптимізації. Це дозволяє ставити і розв’язувати до- сить складні задачі інноваційного розвитку для структур з параметричними зв’язками, названих «баштами моделей» [8]. Робочу модель задачі іннова- ційного розвитку подано системою рівнянь (5), приклад моделювання якої зображено на рис. 1 )),(),(()( tvptxfty inninninninn  (5а)   ,)()( 1212   tytvp dt d innrzv (5б) )),(),(()( tvptxfty rzvrzvrzvrzv  (5в) ,))(()( 2323   tytvp dt d rzvprz (5г) )),(),(()( tvptxfty przprzprzprz  (5д) ),()()()( tRtxtxtx przrzvinn  (5е) ,1321  rrr (5є) )),,),(((max))(( 212,1 rrtRftRYopt przrr (5ж) де )(),(),( txtxtx przrzvinn — темпи ресурсів для підсистем «інновації», «роз- виток», «виробництво», тобто «входи»; )(),(),( tytyty przrzvinn — темпи «виходів» підсистем «інновації», «розвиток», «виробництво», ),(tvpinn ),(tvprzv )(tvp prz — вектори параметрів функцій інновацій, розвитку, виро- бництва; przrzvinn fff ,, — узагальнені функції (функція інновацій, функція розвитку, функція виробництва); 2312 ,  — функції відображення виходу попередньої підсистеми в ефективність наступної підсистеми; 2312 ,  — відображення прирощення ефективності в прирощення параметрів ФВ на- ступного елемента — формалізація специфіки конкретної інновації — відо- браження в просторі параметрів функції «вхід–вихід». Рівняння (5а), (5в), (5д) — моделі відповідних підсистем «інновації», «розвиток», «виробницт- во», як технологічних перетворювачів ресурсів; рівняння (5б), (5г) — моделі параметричних зв’язків: (функція впливу «інновації – розвиток», функція впливу «розвиток – виробництво»); рівняння (5е) — поточне обмеження су- марних витрат ресурсу, рівняння (5є) — нормоване обмеження сумарних витрат ресурсу; рівняння (5ж) — критерій і ціль оптимізації: максимізація кінцевого виходу ВС, змінні управління ),,( 321 rrr — частки ресурсу для Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 129 кожної підсистеми. Ускладнення моделі об’єкта обумовлює ускладнення варіаційної задачі — спряжених функцій, функції Гамільтона. На рис. 2 подано приклад результатів моделювання для базової зада- чі — виробничої системи з трьох паралельно працюючих підсистем. Бачимо, що модель дозволяє об’єктивно обчислити всі необхідні харак- теристики оптимального процесу розвитку, за умови, що параметри виробничої системи та її оточення відомі на весь плановий період. Фор- мально при заданих розподілах ймовірностей і для параметрів виробничої системи і її оточення, на базі імітаційної моделі можливо визначити розподіли імовірностей для кінцевого стану і критерію, за умови незмінної оптимальної стратегії розрахованої на початку процесу. Тобто моделі дано- го структурного класу корисні для досліджень і кращого розуміння опти- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1250 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 20 40 60 80 100 0 25 50 75 100 125 150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1250 50 150 250 350 450 550 650 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1250 50 150 250 350 450 550 650 а б в г 1 2 3 5 1 2 3 Значення параметру VP1 функції розвитку f3(x,VP) VP1 = 1.61 1 2 3 1 2 3 1 2 3Значення параметру VP1 функції розвитку f3(x,VP) VP1 = 1.63 4 Рис. 2. Приклад розрахунку оптимального процесу розвитку; а — процеси в системі (1 — оптимальна стратегія розвитку — безрозмірна функція розподілу ресурсу системи між розвитком і накопиченням, 2 — витрати розвитку, 3 — накопичення, 4 — кредитування, 5 — повернення кредитів); б — витрати ресурсів на розвиток елементів 1, 2, 3; в — темпи виробництва в елементах 1, 2, 3; г — порівняння про- цесів віддачі елементів при двох значеннях параметра ФР елемента № 3: 1.63 і 1.61 Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 130 мальних процесів розвитку, але менш корисні для практики управління ВС. Виконана розробка модифікованої моделі оптимального розвитку. Розроб- лена система управління з урахуванням невизначеностей [6], аналогом якої були методи управління траєкторією міжпланетних космічних апаратів. Го- ловна ідея управління — розбиття процесу оптимального розвитку на інтервали. Розглядаємо клас об’єктів  TpVsiVseFaKMd ,,, — процесів роз- витку для випадку детермінованих, відомих значень VsiVseFa ,, — векторів параметрів моделі і векторів зовнішніх і внутрішніх невизначеностей. Введемо оператор декомпозиції планового періоду розвитку ),0( Tp в послідовність k суміжних інтервалів: }.),(,...),,(,...),,0{(int 111 TpS kjj   Визначимо операцію розбиття процесу як функцію користувача в програм- ному середовищі пакету: int)),,,,(( STpVsiVseFaKMdER і реалізуємо цю фу- нкцію програмним модулем, що виконує такі операції: обчислення серії процесів, кожен з яких починається в кожній точці границь інтервалів, і за- кінчується у момент Тр; виділення з кожного процесу інтервал, що почина- ється в деякий момент ,1j а закінчується в наступний момент ;j об’єднання всіх отриманих матриць за допомогою функції пакета ),...,1( MkMaugment в єдиний масив Мр. На рис. 3 подано схему декомпозиції і корекцій оптимального процесу розвитку за наявності невизначеностей і приклади моделювання. Змістовна суть корекцій — урахування нової інформації для розрахунку оптимального процесу на період до кінця планового періоду .)0,0,,( TpVsiVseFaKMd 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11100 50 0 50 100 150 200 250 300 350 T1в T2в Ціна ресурсу pr1 0.04 ; pr2 0.112 Кредитів Взяли1 191 Взяли2 235 Повернули1 270 ; Повернули2 499 Накопичення Sp1 1451 Sp2 976 "ефект": VA 0.9 "витрати": VS 1.1 Ціна ресурсу pr1 0.04 ; pr2 0.112 Кредитів Взяли1 191 Взяли2 235 Повернули1 270 ; Повернули2 499 Накопичення Sp1 1451 Sp2 976 "ефект": VA 0.9 "витрати": VS 1.1 б 1 2 6 7 в 1 2 Процес оптимального розвитку на інтервалі ),0( Tp : )0,0,0,( TpVsiVseFaKMd KMD(Fa,Vse0,Vsi0,Tp0) Прогноз(to) Прогноз(to+dT) Прогноз(to+2dT) KMD(Fa,Vse1,Vsi1,Tp1) а KMD(Fa,Vse1,Vsi1,Tp1) Рис. 3. Схема декомпозиції і корекцій оптимального процесу розвитку за наявності невизначеностей: а — схема розбиття процесу розвитку на інтервали; б — два оптимальних процеси розвитку (1 — номінальний (VA = 1, VS = 1) і 2 — збурений (VA = 0,9, VS = 1,1)); в — схема 1 — процесів оптимального розвитку та схема 2 — інтервалів їх застосування Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 131 Розбиття планового періоду на інтервали, дозволяє починати новий процес оптимального розвитку з урахуванням більш точної інформації щодо майбутнього стану зовнішнього і внутрішнього середовища. Однак, моделі оптимального розвитку не відображують адекватно таку особливість неви- значеностей, як активність зовнішнього середовища. Наприклад, у варіацій- ній задачі про цінові стратегії не враховуються реакції інших виробників на зміни цін даним виробником. МОДЕЛЬ СИСТЕМИ ВИРОБНИКІВ СЕГМЕНТУ ВИРОБНИЦТВА Завжди і, особливо, сьогодні, актуальними є моделі для аналізу і прогнозу- вання ризиків функціонування і розвитку виробництва. Як показав аналіз відомих моделей аналогів і розглянуті вище розробки моделей оптимально- го розвитку, неможливо отримати задовільні моделі не розширюючи грани- ці системи. Відомі моделі і методи аналізу ризиків недостатні для сучасних виробництв, насамперед, через швидкі зміни. Оберемо простий підхід: мо- делювання певної ВС разом з її оточенням — користувачами та іншими ви- робниками. Виберемо такий сценарій використання побудованої моделі: припускаємо, що моделі функціонування і розвитку для всіх виробників цього сегменту виробництва належать до одного параметричного класу, за- даємо оцінки параметрів усіх виробників і зовнішні умови. Виконуємо мо- делювання — отримуємо окремі реалізації стохастичного процесу функціо- нування і розвитку системи виробників, набираємо віртуальну статистику і отримуємо статистичні характеристики для системи в цілому і для кожного елемента системи: виробника, продукту, користувача. Для вибраного вироб- ничого елемента ВС змінюємо параметри технологічних процесів, парамет- ри і структуру управління, шукаємо оптимальні і стабільні процеси функ- ціонування і розвитку. Назвемо такий підхід до аналізу і оптимізації окремого елемента в активному оточенні «один на фоні всіх» [5]. Масштаби системи виробників визначаються кількостями: M — виробників, N — про- дуктів, K — користувачів. Назвемо цей клас систем MNK-системами. Розглянемо редукційну декомпозицію MNK-моделі. Можливо замінюва- ти множини елементів класів «виробники», «продукти», «користувачі» од- ним еквівалентним елементом і утворювати такі моделі (1N1, M11, 11K, MN1, M1K, 1NK), де одиниця означає агрегування відповідної множини еле- ментів. Згідно визначенню дві структурні моделі певного об’єкта мають бу- ти сумісними за входами, виходами і базовими параметрами технологічних процесів. Головний спільний елемент двох структурних класів моделей функціо- нування і розвитку ВС є математичні моделі виробництва, розвитку, іннова- цій. Структурні відмінності моделей: методи управління і визначення збурень. Сучасні розподілені системи звичайно є також і децентралізовани- ми — кожен елемент системи самостійно вибирає напрями розвитку і роз- поділяє власні ресурси виходячи з власного критерію ефективності. Управ- лінські рішення елемент приймає на базі неповної і неточної інформації про стан системи, неточних математичних моделей, що використовуються для прогнозування і планування. Базову модель значно спрощено, але відкрито для урахування ефектів «навчання» виробників і користувачів, життєвих Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 132 циклів, ринкових вікон тощо. На рис. 4 подано базову модель локального управління функціонуванням і розвитку виробника й алгоритм управління розподілом ресурсів між виробництвами окремих продуктів. На рис. 5 наведено приклад результатів моделювання процесу розвитку для базової моделі (рис. 4) і системи малої розмірності. На рис. 6 подано результати моделювання процесу розвитку з ураху- ванням невизначеностей виробництва і ринку. Разом подано: реалізація про- цесів розвитку для чотирьох виробників і розподіли імовірностей темпів су- Обробка вхідних даних: )1()( ,1,,    jitjiji Xxsxs — ковзне середнє координати; )1(,,,   jijiji xsdxsdxs — ковзне середнє швидкості: jijiji dxsaxsaefp ,,, 21  — показник ефективності. Розподіл 1: імовірнісна частка ;,, ititi loxRsRpm  детермінована частка ).1(,, ititi loxRsRdp  Розподіл 2: «лотерейний» );()( ,,, jitijit rzpPRpmrpm  пропорційний .)( ,, jijit rzpRdprdp  Розподіл 3: ресурсу для кожного елемента .)()( ,,, jitjitji rdprpmr  Параметри 10  , 10   — об’єкти настроювання в залежнос- ті від швидкості змін і рівня шумів. Статична модель виробництва замі- нена інтегрованою динамічною моделлю (функції: освоєння, виробництва і потреб). Модель управління відтворює відомі алгоритми локального управління вибором параметрів , , lox. Рис. 4. Базова модель локального управління Темпи виробництва - сумарні та по окремих продуктах. Обсяги потреб:            5 4 2 Rnr 0 20 40 60 80 100 120 140 1600 1 2 3 4 5 6 Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3 20 40 60 80 100 120 140 1600 1 2 3 4 5 6 Темпи витрат виробника на розвиток — сумарні і по окремих продуктах Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3 Рис. 5. Приклад моделювання детермінованої системи малої розмірності Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 133 марних випусків в кінці періоду моделювання. Розподіли невизначеностей взято рівномірними, розподіли для темпів виробництва в кінці періоду мо- делювання явно негаусівські. Причина — нелінійні «механізми» виробниц- тва, нелінійні позитивні зворотні зв’язки. На відміну від гаусівських стохас- тичних систем, для отримання стабільних розподілів потрібні вибірки в 1000 – 4000 реалізацій процесів. Інтерпретація багатомодових розподі- лів — контролювати виробництво довільної кількості продуктів. На рис. 7 подано приклади результатів моделювання систем виробників більшої розмірності для 50–200 виробників. Для ефективного подання ре- зультатів моделювання було створено інтерфейси та сервісні модулі. Подано дві реалізації процесу функціонування і розвитку системи з 150 виробників і одного агрегованого продукту. Джерела інформації для побу- дови моделей — доступні дані для виробництв автомобілів, і мобільних те- лефонів, програмних і харчових продуктів. Тривимірні графіки утворені по- слідовністю рангових розподілів виробників за темпами виробництва (або іншими вимірювальними показниками). На цю тривимірну поверхню «час, ранг, темп виробництва» накладені траєкторії двох вибраних виробників (наприклад «Я» і «найближчий конкурент», або «два виробники з однако- вими параметрами і різними методами управління»). Два малих графіка на рис. 7а — це проекції тривимірного графіка, що подають динаміку рангів і динаміку темпів виробництва виділених виробників «на фоні» системи ви- робників. На рис. 8 подано приклади моделювання системи класу МN (М вироб- ників, N продуктів) для випадку «спад і відновлення після спаду» при вико- ристанні виробниками різних методів управління. Рис. 6. Приклад моделювання стохастичної системи малої розмірності Реалізація про- цесів розвитку Розподіли ймовірностей Середні і розкиди 1 2 3 4 Реалізація проце- сів розвитку Виробник 1 min (sd1)=2,8 mean (sd1)=5,0 max (sd1)=9,2 Виробник 2 min (sd2)=1,2 mean (sd2)=3,8 max (sd2)=8,8 Виробник 3 min (sd3)=1,1 mean (sd3)=2,8 max (sd3)=7,2 Виробник 4 min (sd4)=0,9 mean (sd4)=2,1 max (sd4)=6,7 Обсяг попиту                      3продукт 2продукт 1продукт 7 4 3 Rnk Ефективність інвестицій                          4виробник 3виробник 2виробник 1виробник 85,0 9,0 95,0 1 eff Стартові темпи виробництва              1,01,01,0 1,01,01,0 1,01,01,0 1,01,01,0 Xoo Кінцеві розподіли ринку              05,01,05,0 03,009,069,0 57,005,006,0 35,076,009,0 dr Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 134 За результатами моделювання отримано такі результати: при віднов- ленні після спадів, при технологічних революціях, гірша за ефективністю половина виробників за рахунок ризикового управління — концентрації ре- сурсів на ймовірних ефективних продуктах має шанси догнати і перегнати кращих за поточною ефективністю виробників (рис. 8а). На рис. 8б подано результати моделювання для випадку використання детермінованих стратегій управління. Результат: після відновлення сумар- ного виробництва, виробники з лінійним ранговим розподілом за ефективні- стю виробництва утворюють гіперболічний ранговий розподіл за темпами виробництва (і частками ринку). Тобто, в детермінованих умовах, маємо монотонне відображення показників ефективності в темпи виробництва. На рис. 8в подано результати моделювання для випадку використання всіма виробниками ризикового управління. Ймовірність бути лідером після відновлення у лідерів збільшується, у аутсайдерів — зменшується, але не є нульовою, як в детермінованих умовах. Рис. 7. Динаміка рангових розподілів виробників в системі класу «М виробників, один продукт (М1)»; а — три проекції тривимірного графіка динаміки рангових розподілів з траєкторіями розвитку двох вибраних елементів (1 — динаміка вироб- ництва, 2 — динаміка рангів, 3 — тривимірне подання процесів розвитку елементів «на фоні всіх»); б — інша реалізація випадкового процесу розвитку системи виро- бників Вибраний елемент А Вибраний елемент Б Динаміка виробництва а б Динаміка рангів 1 2 3 Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 135 Для всіх сценаріїв розвитку для обраних виробників (№ 1, № 8) подано динаміку виробництва окремих продуктів, які ранжовано за обсягами рин- ків. Для лідера за продуктивністю бачимо раціональну стратегію — од- ночасне скорочення випуску гірших продуктів і збільшення випуску кра- щих. ВИСНОВКИ Інноваційний розвиток виробничих систем суттєво змінює вимоги до моде- лей виробничих систем, методів розробки моделей, що в свою чергу, вима- гає створення узагальнених методологій моделювання й оптимізації на базі декомпозиційного підходу — певного ефективного упорядкування всіх створених і таких моделей, що створюються. Запропоновано підхід до ство- рення нових моделей для нових об’єктів на базі трирівневої структурно- функціонально-редукційної декомпозиції моделі складного об’єкта — вироб- ничої системи. Структурна декомпозиція — створення альтернативних мо- делей певного об’єкта на базі різних концепцій, є складною для формалізації і практичного втілення. Розроблено дві структурні версії моделі функціону- вання й розвитку виробничих систем — узагальненої варіаційної задачі роз- Виробник №1 Виробник №8 а б в Рис. 8. Приклади моделювання процесів функціонування і розвитку системи «15 виробників, 15 продуктів»: а — виробники № 8 – 15 — гірші за продуктивніс- тю й використовують ризикові стратегії розподілу ресурсу; б — всі виробники ви- користовують стратегії розподілу ресурсів пропорційно оцінкам ефективності; в — всі виробники використовують ризикові стратегії. Для кожного сценарію подано графіки: динаміки відновлення після спаду (виробники ранжовані за ефективністю виробництва), динаміки розподілу ресурсів між продуктами виробництва для ви- робника №1 (лідера за продуктивністю) і № 8 (лідера в підгрупі виробників, що застосовують ризикові стратегії) Т.М. Боровська, П.В. Северілов, Є.П. Хомин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 136 витку і моделі системи виробників сегменту виробництва активної системи, елементом якої є досліджувана виробнича система. Дослідження виконані на цих структурних моделях підтверджують можливість їх використання як комплексу моделей-предикторів. ЛІТЕРАТУРА 1. Згуровський М.З., Панкратова Н.Д. Системна стратегія технологічного передбачення в інноваційній діяльності // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. — С. 7–24. 2. Месарович М.Д., Мако З., Такахара М. Теория иерархических многоуровневых систем. — М.: Мир, 1973. — 310 с. 3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. — К.: Техника, 1975. — 390 с. 4. Боровська Т.М., Колесник І.С., Северілов В.А. Метод оптимального агрегування в оптимізаційних задачах: монографія. — Вінниця: УНІВЕРСУМ–Вінниця, 2009. — 229 с. 5. Боровська Т.М., Бадьора С.П., Северілов В.А., Северілов П.В. Моделювання і оптимізація процесів розвитку виробничих систем з урахуванням використання зовнішніх ресурсів та ефектів освоєння: монографія; за заг. ред. Т. М. Боровської. — Вінниця: ВНТУ, 2009. — 255 с. 6. Боровська Т.М., Северілов П.В. Моделювання і оптимізація систем виробництва біогазу // Наукові праці ВНТУ. — 2009. — № 2. — http://www.nbuv.gov.ua/e-journals/VNTU/2009-2/2009-2.html. 7. Дубовой В.М., Ковалюк О.О. Моделі прийняття рішень в управлінні розподіленими динамічними системами: монографія. — Вінниця: УНІВЕРСУМ–Вінниця, 2008. — 185 с. 8. Пешель М. Моделирование сигналов и систем. — М.: Мир, 1981. — 286 с. 9. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. — М.: Наука, 1977. — 346 с. 10. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. — М.: Изд-во ИЛ, 1962. — 233 с. Надійшла 13.12.2013

Альтернативні моделі оптимального розвитку виробничих систем в умовах невизначеності

Репозитарії

Схожі ресурси