Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх

Розглянуто задачу прийняття рішень в умовах конфлікту та багатокритеріальної невизначеності. Звичайне використання в такому разі пошуку рішення в складній системі за допомогою теорії корисності запропоновано скомбінувати з ігровим підходом в умовах рефлексивної взаємодії. Моделювання рефлексивної по...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Смирнов, С.А., Терещенко, І.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86129
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх / С.А. Смирнов, І.М. Терещенко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 39-44. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86129
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-861292015-09-09T03:02:12Z Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх Смирнов, С.А. Терещенко, І.М. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Розглянуто задачу прийняття рішень в умовах конфлікту та багатокритеріальної невизначеності. Звичайне використання в такому разі пошуку рішення в складній системі за допомогою теорії корисності запропоновано скомбінувати з ігровим підходом в умовах рефлексивної взаємодії. Моделювання рефлексивної поведінки дає можливість аналізувати ситуації, коли прийняті рішення відрізняються від нерефлексивної раціональної поведінки та дослідити і виявити внутрішні причини такої поведінки. Розв’язання вказаної проблеми базується на використанні поняття внутрішньої валюти, запропонованої В.О. Лефевром. Заропоновану ним постановку задачі було переосмислено, що враховує багатозначність інтересів сторін. На основі такого розширення поняття створено процедуру визначення внутрішньої валюти для розв’язування конфліктної ситуації в умовах багатокритеріального вибору. Для обчислення точної оцінки внутрішньої валюти суперника на основі номінально відомих критеріїв використано інтерактивний метод Джоффріона–Дійєра–Файнберга. Його застосування дало можливість відновити вектор градієнту внутрішньої валюти за допомогою локальних коефіцієнтів заміщення, які визначаються експертною процедурою, и як наслідок, отримати ефективну рефлексивну стратегію гравця. Рассмотрена задача принятия решений в условиях конфликта и многокритериальной неопределенности. Обычное использование в таком случае поиска решения в сложной системе с помощью теории полезности предложено скомбинировать с игровым подходом в условиях рефлексивного взаимодействия. Моделирование рефлексивного поведения дает возможность анализировать ситуации, когда принятые решения отличаются от нерефлексивного рационального поведения, исследовать и выявить внутренние причины такого поведения. Решение указанной проблемы базируется на использовании понятия внутренней валюты, предложенного В.А. Лефевром. Предлагаемую им постановку задачи было переосмыслено с целью учета многозначности интересов сторон. На основе такого расширения понятия создано процедуру определения внутренней валюты для разрешения конфликтной ситуации в условиях многокритериального выбора. Для вычисления точной оценки внутренней валюты соперника на основе номинально известных критериев использован интерактивный метод Джоффриона-Дийера-Файнберга. Его применение позволило восстановить вектор градиента внутренней валюты с помощью локальных коэффициентов замещения, которые определяются экспертной процедурой, и как следствие, определить эффективную рефлексивную стратегию игрока. The problem of decision making under conflict situation with multi-criteria uncertainty was considered. We proposed combining the usual way of finding a solution for a complex system that used the utility theory with the game approach under conditions of a reflexive interaction. Reflexive behavior modeling provides the ability to analyze a situation where decisions are different from ones for non-reflexive rational behavior, explore and reveal the internal reasons for this behavior. This problem solution is based on the use of the concept of local currency, proposed by V.A. Lefebvre. His original formulation of the problem has been rethought with the aim to take into account an ambiguity of interests of players. On the basis of this concept extension, a procedure was created to determine the local currency for resolving the conflict in terms of the multi-criteria choice. To calculate an accurate assessment of the opponent's local currency based on nominally known criteria, the interactive method of Geoffrion-Dyer-Feinberg was used. Its usage allowed to find the gradient vector of the local currency with local substitution rates, which were determined by the expert procedure, and determine the efficient reflexive strategy for a player. 2015 Article Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх / С.А. Смирнов, І.М. Терещенко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 39-44. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86129 519.83 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Смирнов, С.А. Терещенко, І.М. Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх Системні дослідження та інформаційні технології
description	Розглянуто задачу прийняття рішень в умовах конфлікту та багатокритеріальної невизначеності. Звичайне використання в такому разі пошуку рішення в складній системі за допомогою теорії корисності запропоновано скомбінувати з ігровим підходом в умовах рефлексивної взаємодії. Моделювання рефлексивної поведінки дає можливість аналізувати ситуації, коли прийняті рішення відрізняються від нерефлексивної раціональної поведінки та дослідити і виявити внутрішні причини такої поведінки. Розв’язання вказаної проблеми базується на використанні поняття внутрішньої валюти, запропонованої В.О. Лефевром. Заропоновану ним постановку задачі було переосмислено, що враховує багатозначність інтересів сторін. На основі такого розширення поняття створено процедуру визначення внутрішньої валюти для розв’язування конфліктної ситуації в умовах багатокритеріального вибору. Для обчислення точної оцінки внутрішньої валюти суперника на основі номінально відомих критеріїв використано інтерактивний метод Джоффріона–Дійєра–Файнберга. Його застосування дало можливість відновити вектор градієнту внутрішньої валюти за допомогою локальних коефіцієнтів заміщення, які визначаються експертною процедурою, и як наслідок, отримати ефективну рефлексивну стратегію гравця.
format	Article
author	Смирнов, С.А. Терещенко, І.М.
author_facet	Смирнов, С.А. Терещенко, І.М.
author_sort	Смирнов, С.А.
title	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
title_short	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
title_full	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
title_fullStr	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
title_full_unstemmed	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
title_sort	процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86129
citation_txt	Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх / С.А. Смирнов, І.М. Терещенко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 39-44. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT smirnovsa proceduraobčislennâvnutríšnʹoívalûtivrefleksivnihígrah AT tereŝenkoím proceduraobčislennâvnutríšnʹoívalûtivrefleksivnihígrah
first_indexed	2025-07-06T13:33:16Z
last_indexed	2025-07-06T13:33:16Z
_version_	1836904660929085440
fulltext	© С.А. Cмирнов, І.М. Терещенко, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 39 TIДC ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ, ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ УДК 519.83 ПРОЦЕДУРА ОБЧИСЛЕННЯ ВНУТРІШНЬОЇ ВАЛЮТИ В РЕФЛЕКСИВНИХ ІГРАХ С.А. СМИРНОВ, І.М. ТЕРЕЩЕНКО Розглянуто задачу прийняття рішень в умовах конфлікту та багатокритеріаль- ної невизначеності. Звичайне використання в такому разі пошуку рішення в складній системі за допомогою теорії корисності запропоновано скомбінува- ти з ігровим підходом в умовах рефлексивної взаємодії. Моделювання рефлек- сивної поведінки дає можливість аналізувати ситуації, коли прийняті рішення відрізняються від нерефлексивної раціональної поведінки та дослідити і ви- явити внутрішні причини такої поведінки. Розв’язання вказаної проблеми базується на використанні поняття внутрішньої валюти, запропонованої В.О. Лефевром. Заропоновану ним постановку задачі було переосмислено, що враховує багатозначність інтересів сторін. На основі такого розширення по- няття створено процедуру визначення внутрішньої валюти для розв’язування конфліктної ситуації в умовах багатокритеріального вибору. Для обчислення точної оцінки внутрішньої валюти суперника на основі номінально відомих критеріїв використано інтерактивний метод Джоффріона–Дійєра–Файнберга. Його застосування дало можливість відновити вектор градієнту внутрішньої валюти за допомогою локальних коефіцієнтів заміщення, які визначаються експертною процедурою, и як наслідок, отримати ефективну рефлексивну стра- тегію гравця. ВСТУП Прийняття управлінських рішень та прогнозування можливих результатів пов’язане із ситуацією багатокритеріального вибору. Особа, яка приймає рішення, стикається з пошуком оптимального розв’язку в складній системі взаємозалежних компонент. Рішення на основі теорії корисності ґрунтується на припущенні раціональності поведінки такої особи. Однак відомі ситуації, коли прийняті рішення відхиляються від тих, які б здавалися раціональними з точки зору теорії корисності. Застосування ігрового підходу до вирішення цієї проблеми на основі рефлексивних ігор призводять до моделювання ре- флексивної поведінки, дослідження якої дозволяє проаналізувати та виявити внутрішні нераціональні причини такої поведінки особи під час прийняття рішення. Одне з рішень, розроблених для розв’язку цієї проблеми, запропонував В.О. Лефевр [1] шляхом введення поняття внутрішньої валюти. Цей термін являє собою наше уявлення щодо свого узагальненого критерію вибору, який будується з урахуванням ваг, що вказують на ту чи іншу ступінь значущості номінальних критеріїв — свого та суперника. Аналогічно ми С.А. Cмирнов, І.М. Терещенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 40 будуємо для себе внутрішню валюту суперника, чим намагаємось передба- чити його дії. Таким чином, використовуючи це поняття, ми вважаємо, що суперник думає якимось певним чином і на основі цього робимо свої дії, відповідно, таке ж саме робить супротивник. Власне, тепер можна перейти до побудови моделі дій. В.О. Лефевр пропонує розглянути конфлікт, учас- никами якого є гравці X та ,Y причому їхні дії розглядаються в рамках функціонування соціального середовища. Припустимо, що гравець X грає не оптимально з точки зору відомих номінальних критеріїв. Якщо нема під- став сумніватися в розумності поведінки ,X то логічно випливає, що цінно- сті, які приписуються цьому гравцю, не відповідають нашій уяві про нього. Тобто, такий гравець вирішує іншу задачу, мету якої не розпізнав супротив- ник. Аналогічно розцінюємо дії гравця Y з точки зору гравця ,X який теж намагається передбачити свого супротивника, вважаючи, що той використо- вує якусь певну систему цінностей. То ж кожен з гравців на підставі пев- них факторів, знань тощо намагається спрогнозувати дії свого суперника для досягнення своєї максимальної корисності. Велику кількість технологій керування поведінкою людини та їх варіан- тів, що відома на сьогодні, вченим О.А. Денисовим [2] було запропоновано впорядкувати за допомогою двох граничних класів, як протилежних випадків: • клас технологій реактивного керування; • клас технологій рефлексивного керування. Обидва класи технологій керування поведінкою легко визначаються за способом досягнення своєї цільової функції. У ході реактивного керування повністю ламається опір суперника, його здібність здійснювати вибір зни- щується. Таке керування ставить своєю метою зведення поведінки суперни- ка до виконання наказів. Рефлексивне ж керування має на меті керування поведінкою суперника за умови, що неможливо знищити здібність остан- нього усвідомлювати поточну ситуацію та здійснювати вибір. Таким чином, вирішення проблем рефлексивного керування більш актуальне та є набагато ефективним, оскільки дозволяє керувати поведінкою вибору в значно широ- кому спектрі ситуацій. Більш того, не завжди можна позбавити можливості вибору, наприклад, в конкурентній боротьбі фірм, військових конфліктах тощо. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Математична модель побудови внутрішньої валюти, запропонована В.О. Лефевром спільно з П.В. Барановим і В.Є. Лепським, виглядає наступ- ним чином. Нехай гравці X та Y отримують певні номінальні виграші A та B відповідно. Додатково вводяться величини α та .β Параметр α характе- ризує відношення гравця X до самого себе, ступінь важливості своїх цінно- стей, а параметр β — його відношення до партнера. Відповідно, такі ж па- раметри вводяться і для гравця .Y Тоді внутрішня валюта кожного з них будується за наступним правилом: ,)( 1 Bβ+Aα+A=H X ,)( 1 Aβ+Bα+B=H Y Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 41 де )( 1 XH та ,)( 1 YH відповідно, внутрішні валюти гравців X та Y з точки зору гравця .X Звернемо увагу на параметри α та .β Їх можна розглядати як коефіці- єнти, причому α відомо гравцю ,X оскільки він знає свої дії, свою систему цінностей, а параметр β — це міра готовності гравця X враховувати інте- реси свого суперника, його систему цінностей. Аналогічно такі припущення використовуються і для гравця .Y Отже, перейдемо до наступного кроку. На другому кроці рефлексії отримуємо такі вирази: ,)( 1 )( 1 )( 1 )( 2 βH+αH+H=H YXXX .)( 1 )( 1 )( 1 )( 2 βH+αH+H=H XYYY Таким чином, на n -му кроці вирази набувають наступного вигляду: ,)( 1 )( 1 )( 1 )( βH+αH+H=H Y n X n X n X n −−− .)( 1 )( 1 )( 1 )( βH+αH+H=H X n Y n Y n Y n −−− Надалі В.О. Лефевр вводить штучне припущення, якщо n — відповід- ний ранг рефлексії, то параметри α й β мають наступний вигляд: n α =α 0 , n β=β 0 . Тоді, взявши границю при ∞→n , отримуємо граничні оцінки для суми та різності: ,)(exp)( 00 β+αB+A=H+H (Y)(X) .)(exp)( 00 βαBA=HH (Y)(X) −−− Звідси отримуємо вираз для :)( XH .exp)chch( 000 αβB+βA=H (X) Аналогічно отримуємо оцінку для .(Y)H Проаналізувавши цю модель, можна вказати на її певну умовність. Ос- новними недоліками такої моделі є те, що у ході побудови критерію внутрі- шньої валюти використовується лише один критерій для кожного з гравців, проте в реальному світі їх завжди декілька, причому їхня кількість може бу- ти різною у кожного з суперників, а про деякі вони можуть і не здогадувати- ся. Також у ході побудови критерію для обох гравців використовуються однакові і незмінні параметри, щодо вигляду яких введено штучне припу- щення. Мета роботи — створення процедури визначення внутрішньої валюти для розв’язку конфліктної ситуації в умовах багатокритеріального вибору. В ідеальному варіанті результат, отриманий за допомогою моделі, має бути прийнятним з погляду корисності для гравця, а також з математичної точки зору. С.А. Cмирнов, І.М. Терещенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 42 ФОРМУВАННЯ УЗАГАЛЬНЕНОЇ МОДЕЛІ Для розгляду пропонується модель внутрішньої валюти з урахуванням реф- лексії першого рангу, що має наступний вигляд: ,1 ∑∑ ν X vν μ X μ X Bβ+Aα=H μ ,1 ∑∑ ′′ ν X v μ XXY Bβ+Aα=H νμμ ,1 ∑∑ ′′′′ ν Y v μ YY Bβ+Aα=H νμμ ,1 ∑∑ ′′′′′′ ν Y v μ YYX Bβ+Aα=H νμμ де XH1 — модель внутрішньої валюти першого гравця ,X XYH1 — модель внутрішньої валюти другого гравця Y в уявленні .X Аналогічно, для грав- ця Y моделі внутрішньої валюти YH1 та .1 YXH Оскільки ми працюємо з ваговими коефіцієнтами, то величини A й B без ваг не використовуємо. Перейдемо до розгляду параметрів, де: μα — наші вагові коефіцієнти для наших критеріїв; μα′ — ми вважаємо, що таким чином наші критерії оцінює супротивник; ,νβ νβ′ — наше уявлення про вагові коефіцієнти суперника щодо його критеріїв; νβ ′′ — справжні оцінки своїх критеріїв суперником; νβ ′′′ — суперник вважає, що ми так оцінюємо його дії; ,μα ′′ μα ′′′ — супротив- ник оцінює наші дії зі своєї точки зору; X μA — наші критерії; XBν — крите- рії, що використовує суперник з нашої точки зору; Y μA — наші критерії з точки зору суперника; YBν — справжні критерії, що використовує су- перник. Оскільки під час розв’язку такої задачі є певна невизначеність щодо точ- ної оцінки параметрів суперника та його критеріїв, то для вирішення цієї проблеми пропонується використати інтерактивні методи, щоб людина, яка приймає рішення, мала змогу аналізувати результати на певній ітерації та коригувати параметри задачі для розв’язування на наступному кроці. У цій роботі застосовано метод Джоффріона-Дайєра-Файнберга [3–4], оскільки він дає можливість відновити градієнт за допомогою локальних коефіцієнтів заміщення, які визначаються опитуванням експертів. Цей метод базується на використанні ідеї Френка-Вулфа [5]. Сформуємо повністю алгоритм процедури побудови внутрішньої ва- люти. 1. На першому кроці особа, що приймає рішення, задає початкове зна- чення параметрів у критеріальному просторі. Вважаючи один з критеріїв опорним, його значення змінюється на більш краще порівняно з початко- вим. Тепер необхідно визначити, яка зміна за іншим критерієм стане еквіва- Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 43 лентною заданій зміні опорного критерію. На основі відповідей особи, що приймає рішення, треба побудувати вектор, вздовж якого зміна глобального критерію буде найбільш ефективною. Саме тут для пошуку градієнта засто- совується метод Джоффріона-Дайєра-Файнберга, щоб відновити градієнт за допомогою локальних коефіцієнтів заміщення. В результаті застосування вказаного методу знаходяться коефіцієнти μα та ,νβ які є нормованими координатами вектору градієнта, та будується модель внутрішньої валюти XH1 першого гравця .X 2. На другому етапі за такою ж схемою визначаються коефіцієнти μα′ та νβ ′ й будується, відповідно, модель .1 XYH 3. Таким же чином, другий гравець Y обчислює свої моделі внутрі- шньої валюти YH1 та .1 YXH 4. На наступному етапі, знаючи XYH1 й ,1 XH YXH1 й ,1 YH побудувавши свої біматричні ігри відповідно, перший та другий гравці здійснюють ходи. 5. Оскільки в реальній грі неможливо завжди спрогнозувати дії супер- ника, то експерти визначають поправочні коефіцієнти ,α ,β ,γ δ для пер- шого гравця. Згідно них уточнюються внутрішні валюти за наступними співвідношеннями: XYXXX HHHH 1112 βα ++= , XYXXYXY HHHH 1112 δγ ++= . Аналогічні дії виконує другий гравець. 6. Пункт 5 виконується, доки не відбудеться співпадіння або з певною похибкою стануть прогнозованими дії суперника. ПРИКЛАД РОБОТИ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ДВОХ КРИТЕРІЇВ Отже, нехай в критеріальному просторі вибрано будь-яку початкову точку .0T У цій точці експерт визначає градієнт глобальної цільової функції на- ступним чином. Один з критеріїв вважається опорним. Змінюємо значення критерію на певну величину так, щоб покращити його порівняно з початко- вим значенням. Отримуємо точку .N Далі перед експертом ставиться важ- ливе питання: яка зміна іншого критерію компенсує задану зміну опорного критерію? Нехай зміна іншого критерію призводить нас до точки .M Отже, сума векторів NT0 й MT0 дає точку ,* 0T що еквівалентна .0T Таким чином, через точки * 0T й 0T проходить лінія рівня, до якої будуємо градієнт. Від- нормовані координати градієнта якраз і будуть значеннями вагових коефіці- єнтів критеріїв. Проілюструємо цей приклад рисунком. Таким чином, ми визначаємо внутрішню валюту нашого суперника і, взявши градієнт його функції корисності, отримуємо відповідний вектор .1 XYH В той же час суперник робить свій крок і ми дізнаємося про значення вектору .1 YH Коефіцієнти цього вектора відповідають віднормованим С.А. Cмирнов, І.М. Терещенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 44 коефіцієнтам градієнту справж- ньої функції внутрішньої валюти суперника. Проаналізувавши цей вектор, ми маємо можливість зробити певні висновки щодо власної внутрішньої валюти іншого гравця, порівнюючи її з нашим уявленням про неї. Отримані результати дають нам можливість скоригувати відпо- відні коефіцієнти у ході побудо- ви внутрішньої валюти нашого суперника на наступному кроці. У багатовимірному просто- рі процедура визначення вагових коефіцієнтів аналогічна, з тією відмінністю, що експертно оцінюваних коє- фіцієнтів заміщення багато, тобто і питань до експертів буде більше ( ,1−n де n — кількість критеріїв, що визначають внутрішню валюту). ВИСНОВКИ Розроблено процедуру побудови внутрішньої валюти в умовах багато- критеріальності, що дозволяє проводити процес її уточнення за новою інформацією. Це дає можливість при подальшому ході гри на основі аналізу поведінки другої сторони корегувати параметри для побудови внутрішньої валюти суперника. Узагальнено постановку задачі, запропоновану В.О. Лефевром. Таким чином, за допомогою багатьох критеріїв, було враховано багатозначність інтересів сторін. Запропоновано використовувати метод Джофріона-Дайєра- Файнберга, що дозволяє на основі експертної процедури встановити вагові коефіцієнти критеріїв та побудувати внутрішню валюту гравця у вигляді лінійної згортки. ЛІТЕРАТУРА 1. Лефевр В.А., Баранов П.В., Лепский В.Е. Внутренняя валюта в рефлексивных играх // Техническая кибернетика. — 1969. — № 4. — С. 29–33. 2. Денисов А.А. Нетократия и рефлексия: Засекречивание в постиндустриальном обществе // Рефлексивные процессы и управление. — 2007. — 7, № 1. — С. 33–50. 3. Ларичев А.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроники событий в Волшебных Странах: Учебник. Изд. второе, перераб. и доп. — М.: Логос, 2002. — 392 с. 4. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: Учеб. пособие. — М.: МАКС Пресс, 2008. — 197 с. 5. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и прило- жения. — М.: Радио и связь, 1992. — 504 с. Надійшла 18.06.2014 0T M * 0T N grad Рисунок. Побудова градієнта для визначення вагових коефіцієнтів внутрішньої валюти

Процедура обчислення внутрішньої валюти в рефлексивних іграх

Institution

Ähnliche Einträge