Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання

Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів та споживачів, що не є ненасичуваними. Ступені задоволення потреб всіх споживачів в економічній системі та рівні оподаткування задано. Наявність споживачів, що не є ненасичуваними призводить до утворення невикористаного капіталу, який...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Махорт, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86130
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 45-56. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86130
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-861302015-09-09T03:02:14Z Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання Махорт, А.П. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів та споживачів, що не є ненасичуваними. Ступені задоволення потреб всіх споживачів в економічній системі та рівні оподаткування задано. Наявність споживачів, що не є ненасичуваними призводить до утворення невикористаного капіталу, який у свою чергу, призводить до зменшення ефективності функціонування економічної системи. Визначено стани рівноваги економічної системи, які відповідають мінімальним значенням невикористаного капіталу. У моделі використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі щодо економічної рівноваги. Отримані обмеження на модельні характеристики забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено характеристики стану рівноваги, що є оптимальним з огляду на ефективність функціонування економічної системи у випадку як наявності, так і відсутності в ній монополістів. Исследована открытая экономическая система, в которой присутствуют монополисты и не все потребители ненасыщающиеся. Степени удовлетворения нужд всех потребителей в экономической системе и уровни налогообложения заданы. Наличие потребителей, которые не являются ненасыщающимися приводит к образованию неиспользуемого капитала, который в свою очередь приводит к понижению эффективности функционирования экономической системы. Определены состояния равновесия экономической системы, которые соответствуют минимальным значениям неиспользуемого капитала. В модели использованы принципы равновесия Вальрасового типа. Предложен алгоритм решения задачи об экономическом равновесии. Полученные ограничения на модельные характеристики обеспечивают существование равновесия такой экономической системы. Найдены характеристики состояния равновесия оптимального с точки зрения эффективности функционирования экономической системы как в случае наличия, так и отсутствия монополистов. An open economic system is studied in which monopolies and non-insatiable consumers are present. The levels of consumption needs and taxation rates of consumers in the economic system are specified. The presence of non-insatiable consumers leads to a creation of unused funds in the economy. The unused funds cause the decrease in the economy functioning efficiency. The equilibrium states of the economy are determined that correspond to minimal values of unused funds. The equilibrium principles are a Walrasian type. The algorithm for solving the economy equilibrium problem was proposed. The determined limitations of model characteristics provide an existence of such economic system's equilibrium. The characteristics of an equilibrium state that is optimal in terms of an efficiency of an economy functioning are determined as in the case of the presence of monopolies and absence of monopolies. 2015 Article Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 45-56. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86130 519.86 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Махорт, А.П. Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання Системні дослідження та інформаційні технології
description	Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів та споживачів, що не є ненасичуваними. Ступені задоволення потреб всіх споживачів в економічній системі та рівні оподаткування задано. Наявність споживачів, що не є ненасичуваними призводить до утворення невикористаного капіталу, який у свою чергу, призводить до зменшення ефективності функціонування економічної системи. Визначено стани рівноваги економічної системи, які відповідають мінімальним значенням невикористаного капіталу. У моделі використано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі щодо економічної рівноваги. Отримані обмеження на модельні характеристики забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено характеристики стану рівноваги, що є оптимальним з огляду на ефективність функціонування економічної системи у випадку як наявності, так і відсутності в ній монополістів.
format	Article
author	Махорт, А.П.
author_facet	Махорт, А.П.
author_sort	Махорт, А.П.
title	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
title_short	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
title_full	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
title_fullStr	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
title_full_unstemmed	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
title_sort	про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86130
citation_txt	Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 45-56. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT mahortap prorívnovaguvídkritoíekonomíčnoísistemizanaâvnostínevikoristanogokapítalutazadanihrívnívspoživannâ
first_indexed	2025-07-06T13:33:20Z
last_indexed	2025-07-06T13:33:20Z
_version_	1836904664896897024
fulltext	© А.П. Махорт, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 45 УДК 519.86 ПРО РІВНОВАГУ ВІДКРИТОЇ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ ЗА НАЯВНОСТІ НЕВИКОРИСТАНОГО КАПІТАЛУ ТА ЗАДАНИХ РІВНІВ СПОЖИВАННЯ А.П. МАХОРТ Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів та спожи- вачів, що не є ненасичуваними. Ступені задоволення потреб всіх споживачів в економічній системі та рівні оподаткування задано. Наявність споживачів, що не є ненасичуваними призводить до утворення невикористаного капіталу, який у свою чергу, призводить до зменшення ефективності функціонування економічної системи. Визначено стани рівноваги економічної системи, які від- повідають мінімальним значенням невикористаного капіталу. У моделі вико- ристано принципи рівноваги Вальрасового типу. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі щодо економічної рівноваги. Отримані обмеження на мо- дельні характеристики забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено характеристики стану рівноваги, що є оптимальним з огля- ду на ефективність функціонування економічної системи у випадку як наявно- сті, так і відсутності в ній монополістів. ВСТУП Важливою проблемою у моделюванні поведінки економічних систем є дослідження рівноваги [1–2]. Якщо економічна система не перебуває у стані рівноваги, то складно зробити однозначний висновок щодо можливості її подальшого функціонування без суттєвих трансформацій. Для економічних систем природно зазнавати трансформації у процесі функціонування, але суттєві трансформації пов’язані зі зміною структури економічної системи, а це означатиме певну видозміну її суб’єктів, що може призводити до негативних наслідків. З іншого боку, рівноважний підхід аналізу економічних систем якраз і дає змогу виявляти чинники, що призво- дять як до дестабілізації, так і до підвищення ефективності функціонування. Разом з тим, рівноважний підхід залишає поза увагою питання щодо черговості реалізацій станів рівноваги. Важливо мати на увазі, що послідовність реалізацій станів рівноваги не обов’язково має бути впоряд- кована в часі, що є вагомим аргументом на користь відмови від необхідності враховувати переходи між станами рівноваги. Серед чинників, які є потенційними джерелами дестабілізації еко- номічних систем, слід згадати монопольні явища та наявність невикориста- ного капіталу в економічній системі. Що стосується монополізму, то це явище призводить до виникнення цінових дисбалансів в економічній систе- мі. Накопичення невикористаного капіталу пов’язують з інфляційними про- цесами. Мета дослідження — з’ясування впливу невикористаного капіталу на рівновагу економічної системи, можливості обмеження його обсягу та умов реалізації стану рівноваги з характеристиками, які б мали належати до зада- ного інтервалу значень. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 46 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ Нехай економічна система сформована l споживачами товарів. Набір товарів, що ними цікавиться i -й споживач і яких є n різновидів, визначати- ме вектор { } .,1,1 lic n kki == Сукупність цих векторів утворюватиме матрицю попиту . , 1,1 ln jkkjcC == = Споживання товарів суб’єктами економічної системи вимагає певних витрат, а отже й наявності у них відповідних фінансових ресурсів. Тому вважатимемо, що одна частина споживачів за рахунок влас- ного виробництва намагається самостійно забезпечити собі потрібні фінансові ресурси, а решта споживачів залежна від обсягів зовнішнього фінансування. Джерелом зовнішнього фінансування оберемо надходження від оподаткування виробників. Споживач прагне мати той рівень прибутку, який дозволить йому придбати бажаний набір товарів у повному обсязі, а цей набір може містити також і ті товари, потреба в яких залежить від си- туації на ринку. Через наявність таких товарів у споживчому наборі поведінка суб’єктів економічної системи відрізнятиметься. Отримавши при- буток, споживач може бути ненасичуваним і повністю його витратити або дотримуватись іншої стратегії — лишати частину свого капіталу невикори- станим. Якщо i -й споживач не є ненасичуваним, то поряд з набором товарів ,}{ 1 n kkic = ,,1 li = який тепер описуватиме його потенційні інтереси, буде ще й альтернативний набір ,}ˆ{ 1 n kkic = ,,1 li = ,ˆ kiki cc ≤ який і визначатиме оста- точний вибір потрібних товарів. Введемо вектор, що задаватиме ціни товарів .}{ 1 n iipp == Тоді оподаткований (чистий прибуток) кожного спожи- вача може бути подано виразом: .,1,)(~ 1 ljpcypD s n s sjjj == ∑ = (1) У формулі (1) міститься добуток вартості максимального набору товарів, у яких зацікавлені суб’єкти економічної системи, і вектора ступенів задо- волення потреб споживачів l iiyy 1}{ == . Його компоненти задають те, як співвідноситимуся між собою отриманий і необхідний для купівлі всіх ба- жаних товарів обсяги прибутку, тому ці величини також є й мірою рівнів споживання. Відтак діапазон значень компонентів вектора y належатиме інтервалу ].1,0( Очевидно, що попит на товари споживачів має будуватись за матрицею ,C а також і за матрицею ,ˆˆ , 1,1 ln jkkjcC == = тому що не всі споживачі будуть ненасичуваними. Отже, попит i -го споживача на k -й товар зручно записати у вигляді ,,1,,1, ˆ )( 1 nkli pc pcp n s ssi kki ik ===Λ ∑ = Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 47 де елемент kiĉ матриці Ĉ співпадатиме з елементом kic матриці ,C якщо i -й споживач ненасичуваний. За попитом споживачів та їх наявним прибут- ком формується попит kΦ на k -й товар в економічній системі: .,1,)(~)(1 1 nkpDp p l i iik k k =Λ=Φ ∑ = (2) Щоб мати змогу отримати потрібні фінансові ресурси, виробники здійснюють вибір технологій виготовлення своїх товарів. Вважатимемо, що кожному з них достатньо продукувати лише один з можливих типів товарів. Тому, як і товарів, кількість виробників в економічній системі .n Технології виробництва товарів розглядатимемо з урахуванням наявності постійних витрат, тому для їх опису використовуватимемо матрицю вигляду ./ 1, n jkjkjkj xba = + Доданок з величинами kja задає витрати на виготовлення одиниці випуску j -го товару у натуральних показниках k -м виробником, а доданок з характеристиками kjb визначає постійні витрати, які потрібні щоб утримувати виробництво у працездатному стані. Обсяги випуску товарів в економічній системі подано вектором n iixx 1}{ == . Економічна сис- тема відкрита і ринок товарів утворюватиметься з урахуванням її взаємодії з зовнішнім оточенням. Загалом, ринок формуватиметься товарами з запасу, виготовленими внутрішніми виробниками, та тими, що надходять ззовні. Слід мати на увазі, що частина товарів використовується у потребах вироб- ництва, є імпорт товарів за межі економічної системи. У підсумку, для чис- того продукту або пропозиції kΨ на k -й товар у відкритій економічній системі отримаємо формулу: ,,1, 1 1 11 nkiebbxax kk n i ki n i ki n i ikikk =+−+−−=Ψ ∑∑∑ === (3) де n iie 1}{ = — вектор експорту, n iii 1}{ = — вектор імпорту. У результаті реалізації виготовлених товарів, виробники зможуть от- римати оподаткований прибуток, рівень якого записується за допомогою виразу: ,,1,)(~ 1 1 11 njpbpbpapxpD n k kkjj n k kkjj n k kkjjjjj =+−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑∑∑ === πππ (4) де n ii 1}{ == ππ — вектор оподаткування, а елементи матриці n jkkjb 1, 1 = пода- ють структуру запасу товарів, який може бути наявний у суб’єктів економічної системи. Внаслідок оподаткування виробників утворюється капітал, який може бути розподілено серед фінансованих ззовні споживачів таким чином: .)()1()(~ 11 ∑∑ =+= −= n j jj l nj j pDpD π (5) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 48 Зауважимо, що у цих споживачів не припускається наявність якогось запасу товарів, тому що тоді їх слід розглядати як спроможних самостійно забезпе- чувати себе необхідними фінансовими ресурсами. Також наголосимо, що зовнішнє фінансування може бути пов’язане з вимогою, щоб такі споживачі були ненасичувані, а значення їх заданих рівнів споживання мають узгод- жуватись з виконанням рівності (5). Економічну систему описує набір характеристик. Серед них є задані протягом всього періоду часу, в якому відбувається дослідження, і ті, що можуть змінювати свої значення (пов’язані із поточним станом економічної системи). Заданими характеристиками у моделі є матриці запасу товарів , 1, 1 n jkkjb = технологічних коефіцієнтів n jkkja 1, = , n jkkjb 1, = , попиту ln jkkjc , 1,1 == й .ˆ , 1,1 ln jkkjc == Стратегію оподаткування визначатиме вектор .),,( 00 1 nππ K Та- кож вважатимемо, що й рівні споживання суб’єктів економічної системи, подані компонентами вектора l iiyy 1}{ == , відомі. Якщо в економічній системі є монополісти, то відомими будуть і ціни на їх товари. Поточний стан економічної системи є одним зі станів рівноваги. Відповідно, для ви- значення характеристик, які стосуються стану рівноваги, слід записати умо- ви рівноваги економічної системи. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Згідно з принципами рівноваги за Вальрасом вимагатимемо, щоб попит на товари в економічній системі не мав перевищувати пропозиції. У результаті для опису станів рівноваги економічної системи отримаємо систему нерівностей: .,1,)(~)(1 1 nkpDp p k l i iik k =Ψ≤Λ∑ = (6) З усіх ймовірних станів рівноваги варті уваги лише економічно прийнятні, зокрема ті, за яких виробництво суб’єктів економічної системи буде прибуткове. Виключити з розгляду неприйнятні стани рівноваги можна за допомогою наступної процедури [1]. За векторами попиту споживачів ,}{ 1 n kiki =Λ=Λ li ,1= будуються допоміжні вектори ,}{ 1 ** n kiki =Λ=Λ ,,1 li = для компонентів яких виконуватимуться рівності .,1,1)( 1 * lip n k ik ==Λ∑ = Якщо замість сукупності векторів n ii 1}{ =Λ використати вектори ,}{ 1 * n ii =Λ тоді система нерівностей (6) зводиться до системи рівнянь. Компоненти векторів ,* iΛ li ,1= вибиратимемо у вигляді ,,1,,1, ˆ ˆ )( )()( 11 * nkli pcz pcz pz pzp n s ssis kkik n s iss ikk ik === Λ Λ =Λ ∑∑ == Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 49 де n iiz 1}{ = — деякий строго додатній вектор. У цьому випадку всі вимоги до векторів n ii 1 }{ =Λ задовольнятимуться. У підсумку матимемо систему нелінійних рівнянь: ;,1, ˆ ˆ 1 1 111 1 1 nkiepbbxaxy pcz pc cz kk n k kkj n i ki n i ikik l j jn m mmjm n s ssj kjk =+−+−−= ∑∑∑∑ ∑ ∑ ==== = = (7) ,,1, 11 1 11 njpcypbpbpapx s n s sjj n k kkjjk n k kjjk n k kjjjj ==+−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑∑∑∑ ==== πππ (8) яку слід розв’язувати відносно векторів n iipp 1}{ == й n iixx 1}{ == . Розв’язком буде пара строго додатних векторів ),( xp , які разом із іншими заданими характеристиками визначатимуть один зі станів рівноваги економічної сис- теми. Розв’язків і відповідно станів рівноваги може виявитись багато. Внаслідок цього одразу постане проблема вибору — який зі станів рівноваги є більш прийнятним для економічної системи. Якщо ґрунтуватись на ефективності функціонування суб’єктів економічної системи, всі отримані стани рівноваги будуть еквівалентними, тому що компоненти вектора l iiy 1}{ = є заданими. Різницю між станами рівноваги може виявити інша характеристика. Через те, що не всі споживачі є ненасичуваними, в економічній системі накопичуватиметься невикористаний капітал: .,1, ˆ 1)(~)(1)( 11 1 1 lipcy pc pcpDppD n s ssii n k n s ssi kki i n k iki = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Λ−= ∑∑ ∑ ∑ == = = (9) Наявність невикористаного капіталу є потенційним чинником розвитку інфляційних процесів. Тому для більш ефективного функціонування економічної системи бажано, щоб обсяги невикористаного капіталу були якомога меншими. Отже, слід визначити такий розв’язок системи рівнянь (7), (8), для якого значення функцій невикористаного капіталу l ii pD 1 * )}({ = з виразу (9) були мінімальними. ОПТИМАЛЬНІ ЦІНИ ЗА ВІДСУТНОСТІ МОНОПОЛІСТІВ Знайдемо вектор цін n iip 1}{ = , на якому функції невикористаного капіталу l ii pD 1 * )}({ = набуватимуть найменших значень та з’ясуємо за яких умов вони задовольнятимуть і рівнянням (7), (8). Функції невикористаного капіталу суб’єктів економної системи запи- шемо у вигляді А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 50 .,1,ˆ)( 1 * 11 * lipcypcpcypD n s ssii n k kki n s ssiii ==⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑∑∑ === Елементи матриці ln jkkjc , 1,1 * == невід’ємні. Якщо i -й споживач ненасичува- ний, то відповідний стовпчик ,}{ 1 * n kkic = ],1[ li∈ цієї матриці є нульовим, нульовою буде і його функція ).(* pDi А для решти споживачів, які не є не- насичуваними, досить нескладно побачити, що найменше значення невико- ристаного капіталу досягатиметься на векторі цін з принаймні однією нульовою компонентою. Але такий вектор не може бути розв’язком рівнянь рівноваги (7), (8). Виберемо деякий рівень невикористаного капіталу ,Δ який вважатимемо прийнятним, і визначимо додатний вектор цін, що найбільше наближатиме функції l ii pD 1 * )}({ = до цього значення. Слід враху- вати, щоб цей вектор цін забезпечував прибутковість виробникам. Бажаного можна досягти, розв’язавши оптимізаційну задачу: .])(~[ 2 1 2 1),(),,(min 2* 1 2 1 ** ∑∑ ∑ ∈= = Δ−+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=ΔΔ Ii i n j n k kkjjp pDpappFpF λ (10) Множина I утворена так, щоб з інтервалу індексів ],1[ l виключити ті, які стосуються ненасичуваних споживачів. Умови існування додатного розв’язку екстремальної задачі (10) сформулюємо у наступному твердженні. Теорема. Нехай матриця n jkkja 1, = продуктивна, значення параметра Δ визначається виразом: .min \|\| 1 1 * ],1[ 0 ∑ =∈ =Δ n i isi ns ycρ I Якщо знайдеться додатна величина * 0ρ , яка задовольнятиме нерівностям ≥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+− ∑∑∑∑ =∈∈∈∈∈ skks n j sjkj i sikii nki isi i iki nk aaaaccyycyc λλλ 1 22 ],1[ ],1[ maxmin \|\| 1 IIII ,, 0 * 0 N∈≥ s ρ ρ і виконується умова ≤∑∑∑ = ∈∈∈ n s i isi i iki nk ycyc 1 * ],1[ min \|\| 1 III ,min1 111 1 2 1 *2 ],1[ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−++≤ ∑∑∑∑∑∑ === == ∈∈ n j jk n j kj n s n j sjkj n s i sikii nk aaaaccy λλλ I тоді існує додатний розв’язок ,ip ],1[ ni =∈ N оптимізаційної задачі (10). Доведення. Відповідно до необхідних і достатніх умов існування мі- німуму екстремальної задачі матимемо два типи умов: Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 51 − ∂ ∂ + ∂ ∂ Δ− ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ ∈∈∈ NII j s j j i s i i s i i s p p p p pD p pDpD p pF )(~)(~ )(~)( * * * = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ −∑ ∑∑∑∑ = ==== n j n i s j ij n k kkj n k s k kjj n k kkj s j p p apa p p appa p p 1 11 2 11 λλλ (11) ;,0* 1 1 2*2 II N∈=Δ− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−++= ∑∑ ∑∑ ∈= =∈ sycpaaaaccy i isi n k kskks n j sjkj i sikiiks λλλδ ,0)(2 > ∂∂ ∂∑ ∑ ∈ ∈ N Nj i ji ji pp pF αα (12) де N∈jj}{α — деякий довільно вибраний ненульовий вектор. Перевіримо справедливість умови (12): −++= ∂∂ ∂ ∑∑∑∑ ∑ ∈∈∈∈ ∈ *** * NINN N k k k k k k j i ji ji pp pF 212202 2 )( αλαααα ,02 20211 >+−=− ∑∑∑ ∈∈∈ INN * k k k kk k kk αλααααλ ,, 1 0 I∈= ∑ = kcy n j jjkkk αα .,1 N N * ∈= ∑ ∈ ka j jjkk αα Що стосується вимоги (11), то вона виконуватиметься для того вектора цін n iip 1}{ = , компоненти якого визначаються за формулою: ., 1 1 2*2 * II N∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+−Δ= ∑ ∑∑∑ = =∈∈ spaaaaccyycp n k kskks n j sjkj i sikii i isis λλλ (13) Відповідно до принципу Шаудера [3], умови теореми дозволяють зро- бити висновок про існування розв’язку рівняння (13), який належатиме множині ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≤∈− ∑ ∈ + njpRp j jj ,1,, 0 * 0 ρρ N . Теорему доведено. За допомогою вибору параметра λ мають досягатись додатні значення різниць .,1,0 1 njpap k n k kjj =>−∑ = Вектор цін із компонентами, поданими виразом (13) буде рівноважним, якщо задовольнятиме рівнянням (7), (8). Перш ніж перевірити це, звернемо увагу, що досі розглядався випадок, коли виробники в економічній системі не є монополістами. З’ясуємо, що відбуватиметься, якщо в економічній системі будуть наявні монополісти. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 52 ОПТИМАЛЬНІ ЦІНИ ЗА НАЯВНОСТІ МОНОПОЛІСТІВ Нехай в економічній системі tn − її суб’єктів є монополістами. Поведінка монополістів відрізняється від поведінки інших виробників товарів. Найістотніша їх особливість полягає у можливості безпосередньо впливати на рівень цін своїх товарів. Внаслідок чого, ціни на товари монополістів слід вважати заданими ),,( 00 1 nt pp K+ , а оптимізація функціоналу ),( ΔpF має здійснюватись за тими компонентами вектора цін, що не стосуватимуться монополістів. Задані монопольні ціни змінять структуру невикористаного капіталу. Тепер величина Δ міститиме в собі частину, залежну від моно- польних цін. Для різних споживачів монопольний внесок у значення Δ мо- же суттєво відрізнятись, що позначатиметься і на ціноутворенні. Щоб знівелювати цей вплив замість параметра Δ у функціоналі ),(* ΔpF використаємо різницю 1Δ−Δ . З’ясуємо, якою може бути залежність вели- чини 1Δ від характеристик монополістів. Насамперед перевіримо виконання необхідних і достатніх умов існування мінімуму функціонала ).,( 1 * Δ−ΔpF Вони полягатимуть у рівностях: − ∂ ∂ + ∂ ∂ Δ−Δ− ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ =∈∈ n j s j j i s i i s i i s p p p p pD p pDpD p pF 1 * 1 * * * )(~ )()(~ )(~)( II = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ −∑ ∑∑∑∑ = ==== n j n i s j ij n k kkj n k s k kjj n k kkj s j p p apa p p appa p p 1 11 2 11 λλλ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−++=∑ ∑∑ = =∈ t k kskks n j sjkj i sikiiks paaaaccy 1 1 2*2 λλλδ I +Δ+Δ− ∑∑ ∈∈ II i isi i isi ycyc 1 * ,,1,0 1 0 1 2*2 tspaaaaccy n tk kskks n j sjkj i sikii == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−++ ∑ ∑∑ += =∈ λλλ I (14) та у нерівностях: ,0)( 1 1 2 ∑∑ = = > ∂∂ ∂t j t i ji ji pp pF αα (15) для довільного ненульового вектора ).,,( 1 tαα K Переконаємось спочатку, що умова (15) виконується. Матимемо ,0)( 1 1 2 1 1 2 1 * 1 2 ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ = = =∈ == >−+= ∂∂ ∂t j t k t j jjkkk k t j jjkkji t i ji acy pp pF αλααααα I а з умови (14) отримаємо систему рівнянь на компоненти вектора цін: −Δ−Δ= ∑ ∈Ii isis ycp 1)( Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 53 .,1, 1 1 2*2 tspaaaaccy n k kskks n j sjkj i sikii = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+−∑ ∑∑ = =∈ λλλ I (16) За виглядом цей вираз відрізняється від аналогічного (13), записаного у ви- падку відсутності монополістів в економічній системі, лише наявністю па- раметра 1Δ та звуженням множини індексів N із ],1[ n до ],1[ t . Отже, як- що у сформульованій в попередньому розділі теоремі допоміжний параметр * 0ρ вибрати рівним ,1 * 0 ερ +Δ= а значення параметра 1Δ покласти , 1 * 1 0 1 ∑∑ ∑ = ∈ +==Δ n s i isi n tk k yc p I то умови теореми гарантуватимуть існування додатного розв’язку системи рівнянь (16). Зокрема, розв’язок належатиме множині .,1,, 0 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≤∈− ∑ = + njpRp n j jj ρε Таким чином, задачу оптимізації, що враховує наявність монополістів зведено до випадку, коли їх наявність не враховувалась. ОПТИМАЛЬНИЙ СТАН РІВНОВАГИ З’ясуємо, нарешті, чи будуть оптимальні для досягнення найнижчих значень функцій невикористаного капіталу ціни рівноважними. Визначимо обсяги випусків товару суб’єктами економічної системи, що відповідатимуть цим оптимальним цінам. Це можна зробити за допомогою виразу (8). Матимемо: .,1,1 1 1 11 1 njpbpbpc y pap x n k kkjk n k kj n s ssj j j k n k kjj j =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − = ∑∑∑ ∑ === = π (17) Різниці ,,1, 1 njpap k n k kjj =−∑ = є додатними, тому лише наявність великого обсягу запасу товарів у суб’єктів економічної системи може призводити до від’ємних значень обсягів випуску товарів. Такий сценарій буде неприйнятним. Вважатимемо, що забезпечення споживчих інтересів суб’єктів економічної системи здійснюється переважно за рахунок виготовлення нових товарів. Внаслідок цього для елементів матриці запасу товарів вимагатимемо виконання нерівностей: ,,1,,01 njkbbc y kjkjkj j j =≥−+ π (18) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 54 причому, для кожного k має існувати такий індекс ,j що для обох індексів jk, знак рівності у виразі (18) не допускатиметься. Умова (18) гарантуватиме додатні значення всіх компонент вектора n kkx 1}{ = . Але слід враховувати, що обсяги випусків товару мають гарантувати існування додатних компонент вектора пропозиції n kk 1}{ =Ψ . З’ясуємо, як цього досягти. Якщо ввести змінні ,,1, 1 njxax n i iiiij =−= ∑ = ϕ то для них можна запи- сати рівняння: −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − = ∑∑∑ ∑ === = n k kkjk n k kj n s ssj j j k n k kjj j pbpbpc y pap 1 1 11 1 1 π ϕ .,1,)( 1 1 1 njAEa n k n s sksjk =−−∑ ∑ = = − ϕ (19) Слід забезпечити існування додатного розв’язку n kk 1}{ == ϕϕ системи рівнянь (19). Достатньою умовою цього є виконання нерівностей −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ∑∑∑ ∑ === = n k kkjk n k kj n s ssj j j k n k kjj pbpbpc y pap 1 1 11 1 1 π ;,1,)( 1 1 1 njAEa n k n s ksjk =≥−− ∑ ∑ = = − αβ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ∑∑∑ ∑ === = n k kkjk n k kj n s ssj j j k n k kjj pbpbpc y pap 1 1 11 1 1 π ,,1,)( 1 1 1 njAEa n k n s ksjk =≤−− ∑ ∑ = = − βα де .0>> αβ У випадку, коли вираз (17) є додатним, такі параметри β й α можна підібрати. Тоді, побудувавши ітераційний процес −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − = ∑∑∑ ∑ === = + n k kkjk n k kj n s ssj j j k n k kjj k j pbpbpc y pap 1 1 11 1 ]1[ 1 π ϕ ,,1,)( 1 1 ][1 njAEa n k n s k sksjk =−−∑ ∑ = = − ϕ початкова ітерація ]0[ϕ якого належатиме множині },,1,{ njj =≤≤ βϕα отримаємо, що всі наступні ітерації теж належатимуть цій множині. Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 55 І з принципу Шаудера випливатиме існування додатного вектора, до якого збігатиметься ітераційний процес. Значення допоміжного параметра α може слугувати для оцінки впливу зовнішнього оточення. Структура зв’язків економічної системи з її зовнішнім оточенням має бути узгоджена зі структурою споживання товарів. Вимагатимемо надалі, щоб виконувалась нерівність: ,,1,0 1 1 1 njiebb jj n i ji n i ji =>+−+− ∑∑ == α (20) а обсяги експорту й імпорту товарів задовольняли умові торговельного ба- лансу ∑∑ == = n i ii n i ii pipe 11 . У підсумку справедливість умови (20) і забезпечить існування додатних компонент вектора пропозиції n kk 1}{ =Ψ . Отже, обидва вектори n iixx 1}{ == й n kk 1}{ =Ψ матимуть додатні компо- ненти. Лишається визначити додатний вектор n kkz 1}{ = для підтвердження факту, що раніше знайдені обсяги випуску товарів і ціни, на яких досягається мінімум функцій невикористаного капіталу, будуть рівноважними. На підставі виразів (3) й (7) можна записати: .,1, ˆ )(~ˆ 1 1 nk pcz pDc z l i n s ssis iki k k = Ψ = ∑ ∑= = (21) Справедливі оцінки ≤ Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ Ψ = Ψ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = ∈ == = = = = = n k l i ssi ns ikki kk n s s n k l i n s ssis ikki kk n k l i n s ssis iki k pc pDpc pz pcz pDpc p pcz pDc 1 1 ],1[ 11 1 1 1 1 1 ˆmax )(~ˆ ˆ )(~ˆ ˆ )(~ˆ , )(~)(~ˆmax ˆ max 11 1 11 1 ],1[ ],1[1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ == = == = ∈ ∈= n s s n k l i i kk n s s n k l i i kk ssi ns kki li n s s z pD pz pD p pc pcz де враховано, що з вимоги торговельного балансу та виразів (3)–(5) випливає рівність .)(~)( 111 ∑∑∑ === ==Ψ l i i n i i n k kk pDpDp В результаті, згідно з принципом Шаудера, є всі підстави зробити вис- новок щодо існування розв’язку системи рівнянь (21), який належатиме множині А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 56 .)(, 1 1 * 1 * 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤−∈− ∑ = + ρρρ n s ss zRz Отже, вектори цін і обсягів випуску товарів з компонентами поданими вира- зами відповідно (13) і (17) будуть характеристиками стану рівноваги. ВИСНОВКИ Проведене дослідження дозволило виявити особливості ціноутворення у ви- падку заданих рівнів споживання та вимоги обмеження обсягів невикори- станого капіталу в економічній системі. Обмеження обсягу невикористаного капіталу важливе, оскільки збільшення його обсягів стимулює розвиток інфляційних процесів. На відміну від ситуації, розглянутої в [4], стратегія оподаткування є заданою. Запропоновано алгоритм знаходження станів рівноваги та визначено характеристики оптимального стану, перебування в якому дозволить знизи- ти рівень невикористаного капіталу в економічній системі до прийнятних меж. Отримано інтегральні оцінки на задані характеристики економічної системи. Їх виконання сприяє реалізації оптимального стану рівноваги. Іс- тотний вплив на рівновагу може спричиняти наявність великих обсягів запасу товарів в економічній системі, а також структура зовнішньоекономіч- них зв’язків. Стратегія оподаткування хоча і є заданою, однак лишається одним із важелів реалізації оптимального стану рівноваги. Іншим інструмен- том є керування заданими рівнями споживання. ЛІТЕРАТУРА 1. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки. — К.: Ін-т теор. фізики, 2007. — 464 с. 2. Debreu G. Existence of competitive equilibrium // Handbook of Mathematical Eco- nomics / Ed. by K.J. Arrow and M.D. Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. — II. — P. 698–742. 3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 442 с. 4. Махорт А.П. Про вибір стратегії оподаткування в економічній системі за наявності монополістів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2011. — № 2. — С. 76–87. Надійшла 27.02.2014.

Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання

Репозитарії

Схожі ресурси