О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений

Исследуется вопрос о приближенном нахождении устойчивых решений некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования при помощи проекционно-итерационных регуляризирующих схем, основанных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана. Предложенный подход предполагает замену регуляриз...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Гарт, Л.Л., Манойло, М.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86135
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, М.В. Манойло // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 99-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86135
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-861352015-09-09T03:02:20Z О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Гарт, Л.Л. Манойло, М.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Исследуется вопрос о приближенном нахождении устойчивых решений некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования при помощи проекционно-итерационных регуляризирующих схем, основанных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана. Предложенный подход предполагает замену регуляризованного интегрального уравнения некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его конечномерных задач на совокупности измельчающихся сеток. При этом для каждой из «приближенных» задач с помощью некоторой итерационной процедуры строится лишь несколько приближений к решению, последнее из которых с использованием кусочно-линейной интерполяции принимается за начальное приближение в итерационном процессе для следующей «приближенной» задачи. Последовательность линейных интерполянтов построенных приближенных решений объявляется последовательностью приближений к решению исходного интегрального уравнения. Проводится сравнительный анализ вычислительных алгоритмов с использованием различных стратегий регуляризации, демонстрируется их практическая сходимость на примере решения конкретных задач. Досліджено питання щодо наближеного відшукання стійких розв’язків некоректних інтегральних рівнянь з постійними межами інтегрування за допомогою проекцiйно-iтерацiйних регуляризуючих схем, заснованих на методах А.Н. Тихонова і В.М. Фрідмана. Запропонований підхід передбачає заміну регуляризованого інтегрального рівняння деякою послідовністю більш простих апроксимуючих його скінченновимірних задач на сукупності сіток, що подрібнюються. При цьому для кожної з «наближених» задач за допомогою деякої ітераційної процедури будується лише декілька наближень до розв’язку, останнє з яких за допомогою кусково-лінійної інтерполяції береться за початкове наближення в ітераційному процесі для наступної «наближеної» задачі. Послідовність лінійних інтерполянтів побудованих наближених розв’язків оголошується послідовністю наближень до розв’язку вихідного інтегрального рівняння. Проведено порівняльний аналіз обчислювальних алгоритмів з використанням різних стратегій регуляризації, продемонстровано їх практичну збіжність на прикладі розв’язання конкретних задач. The problem of approximate finding stable solutions of ill-posed integral equations with constant integration limits is investigated with the use of the projection-iteration regularizing schemes based on Tikhonov’s and Fridman’s methods. The suggested approach assumes a substitution of the regularized integral equation for some sequence of more simple finite-dimensional problems that approximate this equation on the set of shrinking grids. For each approximate problem, only several approximations to the solution are found with applying some iterative procedure and the last of them is taken for the initial approximation in the iterative process for the next approximate problem with the use of the piecewise linear function. The sequence of constructed approximate solutions' linear interpolants is defined as the sequence of approximations to the initial integral equation’s solution. A comparative analysis of computational algorithms using various regularization strategies is carried out, the practical convergence of these algorithms for solving concrete problems is demonstrated. 2015 Article О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, М.В. Манойло // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 99-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86135 519.6 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Гарт, Л.Л. Манойло, М.В. О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології
description	Исследуется вопрос о приближенном нахождении устойчивых решений некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования при помощи проекционно-итерационных регуляризирующих схем, основанных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана. Предложенный подход предполагает замену регуляризованного интегрального уравнения некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его конечномерных задач на совокупности измельчающихся сеток. При этом для каждой из «приближенных» задач с помощью некоторой итерационной процедуры строится лишь несколько приближений к решению, последнее из которых с использованием кусочно-линейной интерполяции принимается за начальное приближение в итерационном процессе для следующей «приближенной» задачи. Последовательность линейных интерполянтов построенных приближенных решений объявляется последовательностью приближений к решению исходного интегрального уравнения. Проводится сравнительный анализ вычислительных алгоритмов с использованием различных стратегий регуляризации, демонстрируется их практическая сходимость на примере решения конкретных задач.
format	Article
author	Гарт, Л.Л. Манойло, М.В.
author_facet	Гарт, Л.Л. Манойло, М.В.
author_sort	Гарт, Л.Л.
title	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
title_short	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
title_full	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
title_fullStr	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
title_full_unstemmed	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
title_sort	о некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86135
citation_txt	О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, М.В. Манойло // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 99-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT gartll onekotoryhalgoritmahregulârizaciidlârešeniâintegralʹnyhuravnenij AT manojlomv onekotoryhalgoritmahregulârizaciidlârešeniâintegralʹnyhuravnenij
first_indexed	2025-07-06T13:33:37Z
last_indexed	2025-07-06T13:33:37Z
_version_	1836904683191402496
fulltext	© Л.Л. Гарт, М.В. Манойло, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 99 УДК 519.6 О НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Л.Л. ГАРТ, М.В. МАНОЙЛО Исследуется вопрос о приближенном нахождении устойчивых решений не- корректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирова- ния при помощи проекционно-итерационных регуляризирующих схем, осно- ванных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана. Предложенный подход предполагает замену регуляризованного интегрального уравнения некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его конечномерных задач на совокупности измельчающихся сеток. При этом для каждой из «при- ближенных» задач с помощью некоторой итерационной процедуры строится лишь несколько приближений к решению, последнее из которых с использо- ванием кусочно-линейной интерполяции принимается за начальное прибли- жение в итерационном процессе для следующей «приближенной» задачи. По- следовательность линейных интерполянтов построенных приближенных решений объявляется последовательностью приближений к решению исход- ного интегрального уравнения. Проводится сравнительный анализ вычисли- тельных алгоритмов с использованием различных стратегий регуляризации, демонстрируется их практическая сходимость на примере решения конкрет- ных задач. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время интегральные уравнения стали широко применяться для решения многих задач моделирования динамических объектов и систем [1–4]. Интегральные уравнения позволяют понижать размерность некото- рых задач исследования сплошных сред, более компактно, чем диффе- ренциальные уравнения, формулировать краевые задачи, приводят к устой- чивым вычислительным процедурам. Рассмотрение произвольной непрерывной динамической системы как взаимосвязанной совокупности элементов, входы и выходы которых связа- ны причинными отношениями, приводит к описанию их в общем случае системой интегральных уравнений Вольтерра-Урысона [4]. Объединение объектов, охваченных обратными связями, в систему свидетельствует о том, что задачи их анализа описываются интегральными уравнениями второго рода ),( (s) ),()( xfdsysxKxy =− ∫ Ω λ ,Qx∈ (1) где ),( sxK — ядро интегрального уравнения; )(xf — правая часть уравне- ния с областью определения ;Q λ — числовой параметр; )(sy — искомая функция с областью определения ,Ω переменной в случае уравнения Воль- терра или постоянной в случае уравнения Фредгольма, одномерной или многомерной в случае одномерного или многомерного уравнения (1) соот- Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 100 ветственно. При этом реакция системы на произвольные воздействия пред- ставляется искомой функцией )(sy уравнения вида (1) с переменной обла- стью интегрирования, а периодические процессы описываются уравнениями с постоянными пределами интегрирования, равными периоду. Задача оты- скания решения уравнения второго рода является в принципе корректной: решение такой задачи существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных. Задачи восстановления внешних воздействий, определения весовых функций, более общие задачи идентификации, интерпретация результатов наблюдений и экспериментов и другие практически важные задачи приво- дят к уравнениям первого рода ,)( (s) ),( xfdsysxK =∫ Ω ,Qx∈ (2) которые обладают свойствами некорректности (нарушается хотя бы одно из условий корректности по Адамару) и, строго говоря, не могут быть решены классическими методами в их традиционной форме. Это сделало актуальной разработку эффективных методов их решения. Базовые понятия и методы решения некорректных задач были введены, как известно, московской школой академика А.М. Тихонова [5] и ново- сибирской школой академика М.М. Лаврентьева [6]. В частности, было вве- дено понятие регуляризирующего оператора и сформулирован один из самых эффективных методов решения некорректных задач — метод α -регуляризации Тихонова. Дано понятие условной корректности (или кор- ректности по Тихонову), предложен ряд регуляризирующих схем решения, разработаны устойчивые (регулярные, робастные) методы для решения за- дач в различных областях математики (оптимальное планирование, опти- мальное управление, суммирование рядов Фурье, интегральные уравнения первого рода типа свертки, системы линейных алгебраических уравнений, операторные уравнения). Интегральные уравнения в неразрывной связи с функциональным ана- лизом представлены в трудах Л.В. Канторовича и Г.П. Акилова, А.Н. Кол- могорова и С.В. Фомина, Л.А. Люстерника и В.И. Соболева, В.А. Треноги- на, С.Г. Михлина и других авторов. Существенный вклад в разработку различных аспектов решения некорректных задач внесли В.М. Фридман, В.А. Морозов, Ф.П. Васильев, В.Ю. Кудринский, В.В. Васин, В.К. Иванов и другие авторы, которые применили к решению некорректных задач проек- ционные (аппроксимационные) методы совместно с методами регуляриза- ции, квазирешений и невязки. В работах этих ученых нашел свое строгое обоснование способ невязки решения некорректных задач, идея которого до этого была высказана без доказательства Д.Л. Филлипсом, а также Л.В. Кан- торовичем. Устойчивые методы решения некорректных задач изложены во многих монографиях и публикациях, однако их наличие не исключает возможности разработки новых более эффективных методов, а также усовершенствования уже существующих методов, с доведением их до практических алгоритмов и особенно до машинных программ. О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 101 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Цель работы — сравнительный анализ вычислительных схем, основанных на методе регуляризации Тихонова и методе итеративной регуляризации Фридмана для приближенного решения некорректных линейных интеграль- ных уравнений с постоянными пределами интегрирования. Рассматривается одномерное линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода )( (s) ),( xfdsysxKyA b a =≡ ∫ , ,a bx ≤≤ (3) в котором ядро ),( sxK — вещественная непрерывная функция в области ,} ,{ bsabxaG ≤≤≤≤= ,],[)( 2 baLxf ∈ .],[)( 2 baLsy ∈ В качестве упомянутых регуляризирующих схем приближенного реше- ния уравнения (3) рассматриваются проекционные и проекционно- итерационные вычислительные схемы, основанные на методе Тихонова и методе Фридмана в сочетании с методом квадратур при использовании различных вычислительных стратегий регуляризации (способа невязки, ква- зиоптимального способа, способа относительной поправки и других). В данной работе впервые исследуется возможность применения проек- ционно-итерационного подхода к решению некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, который состоит в модификации классических методов α -регуляризации Тихонова и итера- тивной регуляризации Фридмана и позволяет заменить регуляризованное интегральное уравнение некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его конечномерных задач на совокупности измельчаю- щихся сеток. При этом для каждой из «приближенных» задач с помощью некоторой итерационной процедуры строится лишь несколько приближений к решению, последнее из которых с использованием кусочно-линейной ин- терполяции принимается за начальное приближение в итерационном про- цессе для следующей «приближенной» задачи. Последовательность линей- ных интерполянтов построенных приближенных решений объявляется последовательностью приближений к решению исходного интегрального уравнения. Рассматриваются способы сокращения вычислительных и вре- менных затрат, что позволяет добиться существенного увеличения скорости работы программы, а именно, распараллеливание вычислений и сохранение вычисленных в точках сетки значений ядра и правой части интегрального уравнения. Следует отметить, что общая идея проекционно-итерационных методов для решения операторных уравнений и задач минимизации в функциональ- ных пространствах принадлежит С.Д. Балашовой [7], в работах которой эти методы нашли свое строгое теоретическое обоснование и применение к ре- шению различных конкретных классов математических задач, а в настоящее время продолжают развиваться в Днепропетровском университете в работах ее учеников. Задачей данного исследования является анализ вычислительной эффек- тивности проекционных и проекционно-итерационных регуляризирующих схем, основанных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана, на примере Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 102 решения конкретных линейных некорректных задач с точки зрения трудо- емкости вычислений и точности получаемых приближенных решений. МЕТОД ТИХОНОВА Идея метода регуляризации Тихонова для решения некорректных инте- гральных уравнений (3), как известно [5], состоит в том, что для обеспече- ния устойчивости решения этого уравнения вводится условие минимума так называемого сглаживающего функционала ,min )( ],[ 22 222 baLyLL yfAyy ∈ →+−=Φ αα (4) где 0>α — параметр регуляризации, для определения которого существу- ют различные способы [4]. Раскрытие условия (4) с учетом представления интегрального оператора A в уравнении (3) приводит к регуляризованному интегральному уравнению (уравнению Эйлера экстремальной задачи (4)) типа Фредгольма второго рода ),( (s) ),()( tFdsystBty b a =+ ∫ ααα ,bta ≤≤ (5) задача решения которого уже является корректной [5]. В этом уравнении , ),( ),(),( ∫= b a dxsxKtxKstB .)(),()( ∫= b a dxxftxKtF (6) Наиболее употребительным способом определения параметра регуля- ризации α в том случае, когда вместо точной правой части )(xf исходного уравнения (3) задана функция ],[)(~ 2 baLxf ∈ такая, что ,~ 2 δ≤− L ff явля- ется способ невязки, согласно которому в качестве искомого значения вы- бирается такое α , при котором δα =− 2 ~ L fyA )(( tyα — решение уравне- ния (5) при соответствующем значении ).α Последнее соотношение можно трактовать как уравнение относительно ,α которое при определенных ус- ловиях [5] имеет единственное решение. На практике во избежание решения этого уравнения часто выбирают ряд значений ,,,, 21 mααα K связанных соотношением , 1−= ii αθα ,10 << θ (7) для каждого из которых вычисляют решение )(ty iα уравнения (5) и невязку 2 ~ L fyA i −α . В качестве оптимального значения optα выбирают то ,iα для которого с наибольшей степенью точности выполняется приближенное ра- венство .~ 2 δα ≈− L fyA i Квазиоптимальный способ определения параметра регуляризации α не требует знания погрешности δ правой части .)(xf Согласно этому способу О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 103 в качестве искомого значения выбирают то iα из ряда значений (7), для ко- торого поправка 21 Lii yy − − αα принимает наименьшее значение. Согласно способу относительной поправки в качестве искомого значе- ния параметра регуляризации α выбирают то iα из ряда значений (7), для которого наименьшее значение в смысле нормы пространства ],[2 baL при- нимает величина . 1 iii yyy ααα − − Одним из наиболее эффективных методов решения интегральных уравнений вида (5) является метод квадратур (замены интеграла конечной суммой). Предположим, что правая часть )(xf исходного уравнения (3) задана таблицей своих значений на равномерной x -сетке узлов ,}/)( ;,0l , :],[{ MabhMlhaxbax llh −==+=∈=ω (8) а решение )(syα соответствующего регуляризованного уравнения ищется на другой равномерной s-сетке узлов },/)( ;,0 ,s :],[{ NabNjjabas jj −==+=∈= ττωτ (9) причем t-сетка в уравнении (5) совпадает с s-сеткой. Если интегралы в (5), (6) расписать, например, с помощью квадратур- ной формулы Симпсона (в предположении о достаточной гладкости ядра, решения и правой части, а также о чётности чисел ,0)M ,0 >>N то, от- бросив погрешность )( 44 τ+hO численного интегрирования и перейдя к обозначениям ,)( ii tyy α≈ ,),( jiij stBB ≈ ,)( ii tFF ≈ ,,0, Nji = получим дискретный аналог уравнения (5) (опуская временно индекс α при :)y , 0 )( ijij N j N ji FyBAy =+ ∑ = α .,0 Ni = (10) При этом ,)(),( ),(),( 4 0 )( hOsxKtxKAstB M l jlil M lji +=∑ = ,)()(),()( 0 4)(∑ = += M l lil M li hOxftxKAtF ,,0, Nji = )(N jA и )(M lA — коэффициенты квадратурной формулы Симпсона. Соотно- шения (10) представляют собой систему линейных алгебраических уравне- ний (СЛАУ), решив которую, можно найти приближенные значения Nyyy ,...,, 10 решения )(tyα уравнения (5) в точках t-сетки. Приближенное аналитическое выражение для )(tyα может быть получено, например, ин- терполированием или же записано по формуле Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 104 ,)( ),(1)(~ 0 )( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∑ = tFystBAty N j jj N jαα ,bta ≤≤ которая получается путем замены интеграла в (5) конечной суммой. Можно показать так же, как в работах [10, 11], что метод квадратур сведения регуляризованного уравнения (5) к конечной СЛАУ укладывается в общую схему проекционных (аппроксимационных) методов, предложен- ных в [7] для решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Рассмотрим вопрос о применении проекционно-итерационного подхода к решению линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3), основанного на применении метода квадратур к решению регуляризо- ванного интегрального уравнения (5) на совокупности измельчающихся се- ток. Будем для каждой из аппроксимирующих конечномерных задач, на- чиная с задачи невысокой размерности, строить при помощи процедуры выбора параметра регуляризации лишь несколько приближений )( ~ n i y α ( ,,...,2 ,1 mi = n — номер конечномерной задачи), последнее из которых бу- дем принимать с использованием кусочно-линейной интерполяции в каче- стве начального приближения в итерационном процессе для следующей, )1( +n -й, конечномерной задачи. Критерием остановки описанного процесса может служить либо заданная точность вычислений, либо конечный поря- док дискретизации в аппроксимирующей задаче. Приведем проекционно-итерационный алгоритм решения уравнения Фредгольма (3), основанный на методе регуляризации Тихонова и методе квадратур в сочетании с квазиоптимальным способом определения парамет- ра регуляризации. ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ Подготовительный этап. Задаем точность 0>ε вычислений в проекцион- но-итерационном алгоритме, начальный порядок ,1NN = 1MM = дискре- тизации регуляризованного уравнения (5) на сетках (8), (9) на первом шаге алгоритма и рекурсивные формулы , 111 ημ += −nn NN ,M 212 ημ += −nnM ,1>n (11) 21, },0{ , =∪Ν∈ iii ημ возрастания с ростом n порядка дискретизации. Под номером шага в проек- ционно-итерационном алгоритме здесь и в дальнейшем следует понимать номер n конечномерной задачи в последовательности аппроксимирующих интегральное уравнение задач на совокупности измельчающихся сеток. Кроме того, задаем целое число 1>m как количество значений )()( 2 )( 1 ,..., , n m nn ααα параметра регуляризации ,α которые могут использовать- ся на n -м шаге алгоритма ,)1( ≥n начальное значение 0α и ограничитель- ное малое значение limα для параметра .α О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 105 1. Полагаем шаг алгоритма .1=n 2. Задаем убывающую последовательность значений параметра регу- ляризации в соответствии с формулами , )( 1 )( n i n i −= αθα ,,2 mi = ;10 << θ )1( opt )( 1 −= nn αα , 0 )1( 1 αα = (12) так, что ,lim )( αα ≥n i .,1 mi = Если окажется при некотором ,,20 mii == что ,lim )( αα <n io то полагаем на данном шаге алгоритма 1: 0 −= im и построение ряда значений α завершаем. 3. Проводим дискретизацию уравнения (5) с помощью метода квадра- тур на t- и s-сетках (9) узлов ,jj ts = nNj ,0= и x-сетке (8) узлов ,ix ,,0 nMi = где значения 1−≥ nn NN , 1−≥ nn MM определяются формулами (11) и хотя бы одно из последних двух неравенств выполняется строго. По- лучаем СЛАУ вида (10). 4. Определяем точность 0>nε вычислений на данном шаге по прави- лу: ,)( 44 nnn hC τε += где ,0const >=C ,/)( nn Mabh −= ./)( nn Nab −=τ 5. При 1>n выполняем кусочно-линейную интерполяцию приближен- ного решения ,),...,,(~ )()1()0( 1 )1( opt )1( opt )1( opt )1( opt − −−−− = n nnnn Nyyyy αααα полученного на преды- дущем шаге на сетке , 1−nτω по формуле +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− − −= ++ − −−−−− )2()1()( 1 )( )1( opt )1( opt )1( opt )1( opt )1( opt 43 2 )( iii n ii nnnnn yyyttyty ααααα τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− − + ++ − −−− )2()1()( 2 1 2 )1( opt )1( opt )1( opt 2 2 )( iii n i nnn yyytt ααατ , ,2+≤≤ ii ttt ,2,0 1 −= −nNi и задаем на t-сетке nτω с помощью этой формулы приближенное решение ,),...,,(~ )()1()0( )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 n nnnn Nyyyy αααα = ,)()1( opt )( 1 )( j j tyy nn −= αα ,,0 nNj = соответствую- щее значению .)( 1 nαα = 6. Для каждой пары значений )(n iα и )( 1 n i−α ),2( mi = вычисляем в не- которой сеточной норме nτ ⋅ поправку n n i n i yy τ αα )( 1 )( ~~ − − , где =)( ~ n i y α ),...,,( )()1()0( )()()( n n i n i n i Nyyy ααα = — решение СЛАУ (10) при )(n iαα = , полученное, к примеру, методом Гаусса, до достижения такого номера ri = ,),2( mr = при котором впервые окажется выполненным неравенство ≤− − n n i n i yy ταα )( 1 )( ~~ .nε≤ Тогда соответствующее приближенное решение )( ~ n r y α (или ,~ )( 1 ny α если )1=m и соответствующее значение параметра )()( opt n r n ααα == полагаем оп- Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 106 тимальными на данном шаге. Если же указанное неравенство не выполняет- ся для номеров ,,2 mi = то полагаем оптимальным на данном шаге такое значение )(n lαα = ,),2( ml = при котором поправка приближенного реше- ния )( ~ n l y α является наименьшей. 7. Если ,εε ≤n то переходим к п. 8. Иначе увеличиваем номер шага 1: += nn и переходим к п.2. 8. Конец алгоритма. МЕТОД ФРИДМАНА Основная идея метода итеративной регуляризации Фридмана состоит в по- строении итерационной схемы, которая сходится к точному решению )(ty уравнения (3) при отсутствии ошибок δ и ξ правой части и интегрального оператора и в прерывании расходится при 0),( ≠≡ ξδη при некотором чис- ле итераций ,)(ηmm = являющемся параметром регуляризации таким, что 0 2 )( →− Lm yy η при .0→η Применительно к уравнению (3) с симметричным положительно опре- деленным ядром )(),( 2 GLsxK ∈ и ],[y(s) ),( 2 baLxf ∈ итерационная схема Фридмана имеет вид [12] ,) )( ),()( )()( 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= ∫ −− b a mmm dssysxKxfxyxy ν ... 2, ,1=m , (13) ,0)(0 =xy ,bxa ≤≤ где ν — итерационный параметр, ,20 A <<ν , ),(22 ∫ ∫≤ b a b a dsdxsxKA в случае же произвольного ядра )(),( 2 GLsxK ∈ и ],[y(s) ),( 2 baLxf ∈ — вид , )( ),()( )()( 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= ∫ −− b a mmm dssysxRxFxyxy ν ,... 2, ,1=m (14) ,0)(0 =xy ,bxa ≤≤ где ,20 AA <<ν , ),(22 ∫ ∫≤ b a b a dsdxsxRAA , ),( ),(),(),( ∫== b a dtstKxtKxsRsxR . )(),()( ∫= b a dssfxsKxF Согласно правилу остановки по обобщенной нев’язке, которая форму- лируется в виде модифицированного варианта правила остановки 1Π или О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 107 первой половины правила 2Π работы [12], итерационный процесс Фридма- на (13) (или (14)) следует продолжать до такого номера итерации == dmm ,),( ξδdm= при котором впервые выполнится условие ,0≤mχ где ,mmm ζβχ −= , 2Lmm fAy −=β ,~) ( 2 2 μξδζ ++= Lmm y μμ ≤−= ∈ 2 ],[ 22 inf~ LbaLy fAy , μ — оценка сверху величины ,~μ которая характеризует меру несовместно- сти уравнения (3). Согласно правилу остановки процесса Фридмана (13) (или (14)) по по- правке проводится наперед заданное количество итераций и выбирается та- кой номер итерации ,),( ξδсс mmm == при котором величина 21 Lmm yy −− принимает наименьшее значение. При практическом использовании метода Фридмана в сочетании с ме- тодом квадратур для приближенного решения интегрального уравнения (3) остановка итерационного процесса по обобщенной невязке может произой- ти при небольшом ,dmm = и в этом случае суммарное количество арифме- тических действий будет небольшим. При использовании же правила оста- новки по поправке оценить заранее достаточное количество итераций практически затруднительно, поэтому их число выбирается большим (по- рядка 410 ). Для того чтобы уменьшить количество выполняемых операций, в программе, реализующей этот алгоритм, предлагается добавить перемен- ную-словарь для хранения вычисленных в узлах сетки значений ядра и пра- вой части интегрального уравнения таим образом, чтобы при повторном вы- зове процедур для ядра и правой части возвращались сохраненные значения. Далее, на этапе вычисления методом Фридмана очередного итерацион- ного приближения к решению можно заметить, что процесс вычисления значения приближенного решения в каждом узле является независящим от других точек сетки. Поэтому в разработанном программном продукте реа- лизовано распараллеливание вычислений каждого из итерационных при- ближений. А именно, определяется количество процессоров на текущем компьютере и каждому из них отводится задача вычисления приближения на том или ином частичном промежутке исходного отрезка. Таким образом, если процессоров больше одного, то удается добиться ускорения работы программного продукта. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Практическая сходимость проекционно-итерационных алгоритмов, осно- ванных на методе регуляризации Тихонова, для решения некорректных ин- тегральных уравнений вида (3), а также нелинейных интегральных уравне- ний Урысона первого рода Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 108 ,)( ))(,,( xfdssysxKyA b a =≡ ∫ ,bxa ≤≤ где ))(,,( sysxK — функция, определенная и непрерывная в G по совокуп- ности переменных ],[, basx ∈ вместе с производными ,))(,,( sysxK y′ ,))(,,( sysxK yy′′ ,],[)( ),( 2 baLsyxf ∈ исследовалась на нескольких модель- ных задачах. Для их решения были рассмотрены различные вычислительные схемы проекционно-итерационного алгоритма, основанного на методе квадратур приближенного решения регуляризованных интегральных уравнений: • использованием трех стратегий выбора параметра регуляризации (способа невязки, квазиоптимального способа, способа относительной по- правки); • вариацией количества m значений )()( 2 )( 1 ,..., , n m nn ααα параметра ре- гуляризации, начального значения 0α и величины θ в (12); • различными правилами (11) формирования порядка дискретизации интегрального уравнения на очередном шаге алгоритма; • различными критериями остановки проекционно-итерационного процесса (по заданной точности вычислений и по конечному порядку дис- кретизации в аппроксимирующей задаче). Результаты реализации проекционно-итерационных вычислительных схем на ЭВМ сравнивались с результатами применения к той же задаче про- екционной схемы метода Тихонова, предполагающей решение регуляризо- ванного интегрального уравнения с помощью метода квадратур при одно- кратной дискретизации наибольшего порядка. Анализ результатов вычислительных экспериментов свидетельствует о том, что проекционно-итерационный подход применительно к решению некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегри- рования приводит к уменьшению вычислительных затрат на построение приближений, поскольку значительная их часть строится для аппроксими- рующих задач невысокой размерности, а также обеспечивает большую точ- ность получаемых приближенных решений [13]. Практическая сходимость метода Фридмана и его модификаций иссле- довалась на модельных уравнениях Фредгольма , )y( )( cxqdsssx b a +=+∫ ,bxa ≤≤ (15) где ,aabb eaeebeq +−−= ,ab eеc −= и , 3 )( )( 2 33 2 xabqdsxyex b a s − +=−∫ ,bxa ≤≤ (16) где ,222 22 aaabbb aeeaaeeebbeq ++−−−= для которых известны их точ- ные решения. В ходе численных экспериментов было установлено, что для тех урав- нений Фредгольма, при решении которых методом Фридмана с правилом О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 109 остановки по обобщенной невязке был получен достаточно небольшой оп- тимальный номер итерации, этот номер оказывается практически одинако- вым для любого порядка дискретизации исходного отрезка. Таким образом, выбрав, к примеру, 811 == MN за начальный порядок дискретизации отрез- ка ] ,[ ba и построив 10000 итераций, можно определить оптимальный номер итерации .optm Если значение optm является величиной порядка ,)10(O то взяв последнее из построенных приближений с помощью кусочно- линейного восполнения в качестве начального приближения в итерацион- ном процессе на более мелкой сетке с ,10022 == MN достаточно будет вы- полнить на этой сетке лишь )2( opt +m − )4( opt +m итераций. Так, для урав- нения (15) описанный прием позволил сократить время работы программы для получения приближенного решения на последней сетке примерно в 7 раз, а для уравнения (16) — в 11 раз. После распараллеливания вычислений итерационных приближений в методе Фридмана на компьютере с четырьмя процессорами время работы программы уменьшилось примерно втрое. Результаты оптимизации вычис- лений приведены в таблице. Т а б л и ц а . Временные затраты на вычисления в методе итеративной ре- гуляризации Фридмана (мин.) Тип вычислительного алгоритма Номер задачи Без сохранения значений и распа- раллеливания С сохранением значений Распараллеливание Сохранение значений и распа- раллеливание (15) 00:43,6 00:06,3 00:14,7 00:02,1 (16) 01:31,6 00:09,6 00:32,3 00:03,6 ВЫВОДЫ Данная работа посвящена разработке новых эффективных стратегий в регу- ляризационных алгоритмах приближенного решения некорректных линей- ных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, основанных на методах регуляризации А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана: • сформулирован проекционно-итерационный алгоритм, основанный на методе регуляризации Тихонова и методе квадратур в сочетании с квази- оптимальным способом выбора параметра регуляризации; • предложена проекционно-итерационная модификация метода итера- тивной регуляризации Фридмана, основанная на методе квадратур со стра- тегией поиска оптимального номера итерации в способе останова процесса по поправке; • рассмотрены экономичные подходы к организации вычислений в методе Фридмана, связанные с рациональным использованием оператив- ной памяти ЭВМ и распараллеливанием вычислений. Л.Л. Гарт, М.В. Манойло ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 110 Для авторов в дальнейшем представляет интерес вопрос применения проекционно-итерационных регуляризирующих алгоритмов к решению не- которых практически важных некорректных задач. ЛИТЕРАТУРА 1. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. О новом классе динамических моделей и его приложении в биологии // Кибернетика. — 1979. — № 4. — С. 133– 141. 2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. — 480 с. 3. Гончарский A.B., Черепащук А.М., Ягола A.Г. Численные методы решения об- ратных задач астрофизики — М.: Наука, 1978. — 336 с. 4. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, про- граммы. — К.: Наукова думка, 1986. — 544 c. 5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Нау- ка, 1979. — 288 с. 6. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи мате- матической физики и анализа. — М.: Наука, 1980. — 288 с. 7. Балашова С.Д. Проекционно-итерационные методы решения уравнений в нор- мированных пространствах: Автореферат дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. — Д.: ДГУ, 1974. — 20 c. 8. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных сис- тем. — М.: Мир, 1975. — 558 с. 9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — СПб.: Невский Диалект, 2004. — 816 с. 10. Гарт Л.Л., Поляков Н.В. Проекционно-итерационная реализация метода Нью- тона-Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 70–78. 11. Гарт Л.Л. Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтег- ральних рівнянь Вольтера // Системні дослідження та інформаційні тех- нології. — 2012. — № 1. — С. 101–112. 12. Вайникко Г. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. — Тартуский государственный универси- тет. — 1982. — 112 с. 13. Гарт Л.Л., Поляков Н.В. Проекционно-итерационный принцип решения не- корректных интегральных уравнений // Питання оптимізації обчислень: Те- зи доп. міжнар. наук. конф. — Київ, 2013. — С. 63–64. Поступила 06.06.2014

О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge