Обобщенно разрешимые AFF-группы

Изучен RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, CG(A) = 1, и любая собственная подгруппа H группы G, для которой R-модуль A/CA(H) бесконечен, конечно порождена. Группа G, удовлетворяющая заданным условиям, называется AFF-группой. Доказано, что локально разрешимая AFF-группа гиперабелева. Оп...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Дашкова, О.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86180
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Обобщенно разрешимые AFF-группы / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 18–22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86180
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-861802015-09-10T03:02:07Z Обобщенно разрешимые AFF-группы Дашкова, О.Ю. Математика Изучен RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, CG(A) = 1, и любая собственная подгруппа H группы G, для которой R-модуль A/CA(H) бесконечен, конечно порождена. Группа G, удовлетворяющая заданным условиям, называется AFF-группой. Доказано, что локально разрешимая AFF-группа гиперабелева. Описана структура AFF-группы G в случае, когда G — конечно порожденная разрешимая группа и R-модуль A/CA(G) бесконечен. Дослiджено RG-модуль A такий, що R — асоцiативне кiльце, CG(A) = 1, та кожна власна пiдгрупа H групи G, для якої R-модуль A/CA(H) є нескiнченним, скiнченно породжена. Група G, яка задовольняє цi умови, називається AFF-групою. Доведено, що локально розв’язна AFF-група є гiперабелевою. Описано структуру AFF-групи G у випадку, коли G є скiнченно породженою розв’язною групою та R-модуль A/CA(G) є нескiнченним. We study an RG-module A such that R is an associative ring, CG(A) = 1, and each proper subgroup H of G with infinite A/CA(H) is finitely generated. The group G under consideration is called an AFF-group. It is proved that a locally soluble AFF-group is hyper-Abelian. We describe the structure of an AFF-group G such that G is a finitely generated soluble group, and R–module A/CA(G) is infinite. 2013 Article Обобщенно разрешимые AFF-группы / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 18–22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86180 512.544 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Дашкова, О.Ю. Обобщенно разрешимые AFF-группы Доповіді НАН України
description	Изучен RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, CG(A) = 1, и любая собственная подгруппа H группы G, для которой R-модуль A/CA(H) бесконечен, конечно порождена. Группа G, удовлетворяющая заданным условиям, называется AFF-группой. Доказано, что локально разрешимая AFF-группа гиперабелева. Описана структура AFF-группы G в случае, когда G — конечно порожденная разрешимая группа и R-модуль A/CA(G) бесконечен.
format	Article
author	Дашкова, О.Ю.
author_facet	Дашкова, О.Ю.
author_sort	Дашкова, О.Ю.
title	Обобщенно разрешимые AFF-группы
title_short	Обобщенно разрешимые AFF-группы
title_full	Обобщенно разрешимые AFF-группы
title_fullStr	Обобщенно разрешимые AFF-группы
title_full_unstemmed	Обобщенно разрешимые AFF-группы
title_sort	обобщенно разрешимые aff-группы
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86180
citation_txt	Обобщенно разрешимые AFF-группы / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 18–22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT daškovaoû obobŝennorazrešimyeaffgruppy
first_indexed	2025-07-06T13:38:32Z
last_indexed	2025-07-06T13:38:32Z
_version_	1836904996517445632
fulltext	УДК 512.544 О.Ю. Дашкова Обобщенно разрешимые AFF-группы (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным) Изучен RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, CG(A) = 1, и любая соб- ственная подгруппа H группы G, для которой R-модуль A/CA(H) бесконечен, конечно порождена. Группа G, удовлетворяющая заданным условиям, называется AFF-груп- пой. Доказано, что локально разрешимая AFF-группа гиперабелева. Описана структура AFF-группы G в случае, когда G — конечно порожденная разрешимая группа и R-мо- дуль A/CA(G) бесконечен. Изучение модулей с различными условиями конечности является важным направлением в современной алгебре. Б.А.Ф. Верфриц ввел в рассмотрение конечно-финитарные группы автоморфизмов модуля M над кольцом R. Группа автоморфизмов F AutFM модуля M над кольцом R называется конечно-финитарной, если A(g−1) является конечным R-моду- лем для любого элемента g ∈ F AutFM [1]. В настоящей работе рассматривается антипод конечно-финитарной группы автоморфизмов F AutFM . Определение 1. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Будем говорить, что группа G является AFF-группой, если любая собственная подгруппа H группы G, для которой R-модуль A/CA(H) бесконечен, конечно порождена. При изучении данного класса групп важную роль играет понятие коцентрализатора подгруппы H в модуле A, введенное в [2]. Определение 2 [2]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Если H 6 G, то фактормодуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль, называется коцентрализатором подгруппы H в модуле A. С учетом определения 2 понятие AFF-группы можно переформулировать следующим образом. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Группа G называется AFF-группой, если любая собственная подгруппа H группы G, коцентрализатор которой в модуле A бесконечен, конечно порождена. Отметим, что автором исследовались локально разрешимые группы с аналогичными ограничениями на подгруппы, в определениях ко- торых условие конечности коцентрализатора заменено условием артиновости, нетеровости или минимаксности. Это AFA-, AFN- и AFM-группы [3–5]. В настоящей работе изучаются обобщенно разрешимые AFF-группы и обобщается ряд результатов, полученных в [6]. Всюду рассматривается RG-модуль A такой, что R — про- извольное ассоциативное кольцо и CG(A) = 1. Лемма 1. Пусть A — RG-модуль. 1. Если L 6 H 6 G и коцентрализатор подгруппы H в модуле A конечен, то и коцен- трализатор подгруппы L в модуле A конечен. 2. Если L, H 6 G и коцентрализаторы подгрупп L и H в модуле A конечны, то коцен- трализатор подгруппы 〈L,H〉 в модуле A также конечен. Следствие 1. Пусть A — RG-модуль. Множество FFD(G) всех элементов x ∈ G таких, что коцентрализатор группы 〈x〉 в модуле A конечен, является нормальной под- группой группы G. © О.Ю. Дашкова, 2013 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10 Доказательство. Из леммы 1 вытекает, что FFD(G) является подгруппой группы G. Так как CA(x g) = CA(x)g для всех x, g ∈ G, то подгруппа FFD(G) нормальна в G. Следст- вие доказано. Лемма 2. Пусть A — RG-модуль, G — разрешимая AFF-группа, не являющаяся ква- зициклической p-группой для некоторого простого числа p. Тогда G/FFD(G) — полицик- лическая группа. Лемма 3. Пусть A — RG-модуль, G — локально разрешимая группа. Если коцентра- лизатор группы G в модуле A конечен, то группа G почти абелева. Доказательство. Так как коцентрализатор группы G в модуле A конечен, то фактор- модуль A/CA(G) конечен. Пусть C = CA(G). Модуль A имеет конечный ряд RG-подмодулей 0 6 C 6 A такой, что фактор A/C конечен. Следовательно, факторгруппа G/CG(A/C) ко- нечна. Из выбора C вытекает, что факторгруппа G/CG(C) тривиальна. Пусть H = CG(C)∩ ∩ CG(A/C). Подгруппа H действует тривиально в каждом факторе ряда 0 6 C 6 A. По теореме Калужнина [7, с. 144] подгруппа H абелева. По теореме Ремака G/H →֒ G/CG(C)× × G/CG(A/C). Отсюда вытекает, что факторгруппа G/H конечна, а группа G почти абе- лева. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть A — RG-модуль, G — конечно порожденная разрешимая AFF-группа. Тогда коцентрализатор подгруппы FFD(G) в модуле A конечен. Доказательство. Пусть D = FFD(G) и пусть 〈1〉 = D0 6 D1 6 · · · 6 Dn = D — производный ряд подгруппы D. Если каждый фактор Dj+1/Dj , j = 0, 1, . . . , n − 1, ко- нечно порожден, то подгруппа D полициклическая, и поэтому D конечно порождена. По лемме 1 коцентрализатор подгруппы D в модуле A конечен. Пусть теперь для некотрого j = 0, 1, . . . , n − 1, фактор Dj+1/Dj бесконечно порожден и пусть t — такое число, что Dt/Dt−1 бесконечно порожден, а факторы Dj+1/Dj конечно порождены для каждого j > t. Отсюда вытекает, что факторгруппа D/Dt — полициклическая. Поскольку группа G конеч- но порождена, бесконечно порожденная подгруппа Dt является собственной подгруппой G, и поэтому коцентрализатор Dt в модуле A конечен. Так как факторгруппа D/Dt полицик- лическая, то D = KDt для некоторой конечно порожденной подгруппы K. Из включения K 6 FFD(G) следует, что коцентрализатор подгруппы K в модуле A конечен. По лемме 1 коцентрализатор подгруппы FFD(G) в модуле A конечен. Лемма доказана. Теорема 1. Пусть A — RG-модуль, G — бесконечная разрешимая группа. Если ко- централизатор группы G в модуле A бесконечен, а коцентрализатор каждой собственной подгруппы группы G в модуле A конечен, то G изоморфна квазициклической q-группе для некоторого простого числа q. Доказательство. Докажем сначала, что G — бесконечно порожденная группа. Предпо- ложим противное. Пусть {x1, x2, . . . , xm} — минимальная система порождающих группы G. Если m = 1, тогда G — бесконечная циклическая группа. Следовательно, G порождается двумя собственными подгруппами. По лемме 1 коцентрализатор группы G в модуле A ко- нечен. Противоречие. Если k > 1, то группа G порождается двумя собственными подгруп- пами 〈x1, x2, . . . , xm−1〉 и 〈xm〉. Снова получаем противоречие. Отсюда вытекает, что G — бесконечно порожденная группа. Покажем, что группа G не имеет собственных подгрупп конечного индекса. Предполо- жим противное. Пусть N — собственная подгруппа группы G и индекс \|G : N \| конечен. То- гда можно выбрать конечно порожденную подгруппу M так, чтобы выполнялось равенство G = MN . Поскольку M и N — собственные подгруппы группы G, их коцентрализаторы в модуле A конечны. Отсюда с учетом леммы 1 получаем, что коцентрализатор группы G ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 19 в модуле A конечен. Противоречие. Следовательно, группа G не имеет собственных под- групп конечного индекса. Пусть D — коммутант группы G. Поскольку группа G не имеет собственных подгрупп конечного индекса, факторгруппа G/D бесконечна. Из леммы 1 вытекает, что абелева фак- торгруппа G/D не может порождаться двумя собственными подгруппами. Пусть фактор- группа G/D не является периодической и пусть T/D — периодическая часть G/D. Тогда факторгруппа G/T порождается двумя собственными подгруппами. С учетом леммы 1 по- лучаем противоречие. Следовательно, факторгруппа G/D периодическая, и поэтому G/D является квазициклической q-группой для некоторого простого числа q [7, с. 152]. Пусть H/D — произвольная нетривиальная конечная подгруппа G/D. Так как H — собственная подгруппа группы G, то коцентрализатор подгруппы H в модуле A конечен. Следователь- но, R-модуль A/CA(H) конечен, и поэтому факторгруппа G/CG(A/CA(H)) конечна. Так как группа G не имеет собственных подгрупп конечного индекса, то G = CG(A/CA(H)). Следовательно, [G,A] 6 CA(H). Из выбора H вытекает, что [G,A] 6 CA(G), и поэтому G действует тривиально в каждом факторе ряда 0 6 CA(G) 6 A. По теореме Калужнина [8, с. 144] группа G абелева. Поэтому группа G изоморфна квазициклической q-группе для некоторого простого числа q. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть A — RG-модуль, G — локально разрешимая AFF-группа. Тогда группа G гиперабелева. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда группа G не является разре- шимой. Тогда G не является простой группой (следствие 1 к теореме 5.27 [9]). Следователь- но, G содержит собственную нормальную нетривиальную подгруппу H1. Если подгруппа H1 конечно порождена, то она разрешима. Если H1 бесконечно порождена, то ее коцентрали- затор в модуле A конечен и по лемме 3 подгруппа H1 разрешима. Пусть d1 — ступень раз- решимости подгруппы H1 и пусть W1 — максимальная нормальная разрешимая подгруппа группы G ступени разрешимости d1. Так как группа G не является разрешимой, то фактор- группа G/W1 также не является разрешимой. Как и ранее, G/W1 содержит собственную нормальную нетривиальную подгруппу H2/W1. Тогда H2 — разрешимая подгруппа ступе- ни разрешимости d2, причем d2 > d1. Пусть W2 — максимальная нормальная разрешимая подгруппа ступени разрешимости d2, содержащая подгруппу W1. Продолжив рассуждения аналогичным образом, построим возрастающий ряд нормальных подгрупп группы G 〈1〉 = W0 6 W1 6 · · · 6 Wn 6 Wn+1 6 · · · (1) такой, что: 1) для каждого n ∈ N подгруппа Wn разрешима и имеет ступень разрешимос- ти dn; 2) dn < dn+1 для каждого n ∈ N. Пусть W = ∪n∈NWn. Рассмотрим сначала случай, когда G = W . Тогда можно построить ряд 〈1〉 = L0 6 L1 6 · · · 6 Ln 6 Ln+1 6 · · · нор- мальных подгрупп группы G, являющийся уплотнением ряда (1), такой, что G = ∪n∈NLn, и каждый фактор Li+1/Li, i = 0, 1, 2, . . . , n, . . . , абелев. Следовательно, группа G гиперабе- лева. Пусть теперь G 6= W . По построению подгруппа W не является разрешимой. Следо- вательно, W бесконечно порождена. Поэтому коцентрализатор подгруппы W в модуле A конечен. По лемме 3 подгруппа W разрешима. Противоречие. Теорема доказана. Теорема 3. Пусть A — RG-модуль, G — конечно порожденная разрешимая AFF-груп- па. Если коцентрализатор группы G в модуле A бесконечен, справедливы следующие утверждения: 1) коцентрализатор подгруппы FFD(G) в модуле A конечен; 2) группа G содержит нормальную абелеву подгруппу U такую, что U 6 FFD(G) и факторгруппа G/U полициклическая. 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10 Доказательство. Справедливость утверждения (1) следует из леммы 4. Докажем утверждение (2). Пусть C = CA(FFD(G)). Так как фактормодуль A/C конечен, A имеет конечный ряд RG-подмодулей 0 6 C 6 A такой, что фактор A/C конечен. Следователь- но, факторгруппа G/CG(A/C) конечна. Из выбора C вытекает, что CG(C) > FFD(G). По лемме 2 факторгруппа G/CG(C) является полициклической. Пусть W = CG(C) ⋂ CG(A/C). Подгруппа W действует тривиально в каждом факторе ряда 0 6 C 6 A. Следовательно, W абелева. По теореме Ремака G/W →֒ G/CG(C) × × G/CG(A/C). Отсюда вытекает, что факторгруппа G/W полициклическая. Пусть U = = W ⋂ FFD(G). По лемме 2 факторгруппа G/FFD(G) является полициклической. Следо- вательно, факторгруппа G/U полициклическая. Кроме того, из включения U 6 W следует, что подгруппа U абелева. По построению U 6 FFD(G). Теорема доказана. Рассмотрим теперь гипер(локально разрешимые) AFF-группы. Напомним, что группа G называется гипер(локально разрешимой), если G обладает возрастающим рядом нормаль- ных подгрупп 〈1〉 = G0 6 G1 6 G2 6 · · · 6 Gγ 6 · · · 6 Gδ = G (2) таким, что каждый фактор Gγ+1/Gγ , γ < δ, локально разрешим [9, гл. 1]. Лемма 4. Пусть A — RG-модуль, G — гипер(локально разрешимая) AFF-группа, и ко- централизатор группы G в модуле A конечен. Тогда группа G гиперабелева. Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что каждый фактор Gγ+1/Gγ , γ < δ, ряда (2) разрешим. С учетом леммы 1 получаем, что коцентрализатор Gγ+1/Gγ для каждого γ < δ конечен. По лемме 3 каждый фактор Gγ+1/Gγ разрешим. Лемма доказана. Теорема 4. Пусть A — RG-модуль, G — гипер(локально разрешимая) AFF-группа. Тогда группа G обладает рядом нормальных подгрупп 〈1〉 = G0 6 G1 6 G2 6 · · · 6 Gγ 6 · · · 6 Gδ = G таким, что каждый фактор Gγ+1/Gγ , γ < δ, гиперабелев. Доказательство. Так как группа G гипер(локально разрешима), G обладает рядом (2). Каждый фактор Gγ+1/Gγ , γ < δ, ряда (2) — локально разрешимая AFF-группа. По тео- реме 2 каждый фактор Gγ+1/Gγ , γ < δ, гиперабелев. Отсюда следует, что ряд (2) рассмат- риваемой группы G удовлетворяет требованиям теоремы. Теорема доказана. Следует отметить, что все результаты, полученные в работе, не зависят от структуры ассоциативного кольца R. 1. Wehrfritz B.A. F. Finite-finitary groups of automorphisms // J. Algebra Appl. – 2002. – 1, No 4. – P. 375– 389. 2. Курдаченко Л.А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. – Киев, 1993. – С. 160–177. 3. Дашкова О.Ю. Локально разрешимые AFN-группы // Пробл. физики, математики и техники. – 2012. – № 3(12). – С. 58–64. 4. Dashkova O.Yu. On locally soluble AFN-groups // Algebra Discrete Math. – 2012. – 14, No 1. – P. 37–48. 5. Дашкова О.Ю. О модульних аналогах антифинитарных линейных групп // Итоги науки. Юг России. Сер. Мат. форум. Т. 6. Группы и графы. – Владикавказ, 2012. – С. 18–24. 6. Kurdachenko L.A., Muñoz-Escolano J.M., Otal J. Antifinitary linear groups // Forum Math. – 2008. – 20, No 1. – P. 27–44. 7. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1975. – 240 с. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 21 8. Курош А. Г. Теория групп. – Москва: Наука, 1967. – 648 с. 9. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. – Berlin: Springer, 1972. – Vol. 1, 2. – 464 p. Поступило в редакцию 25.02.2013Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара О.Ю. Дашкова Узагальнено розв’язнi AFF-групи Дослiджено RG-модуль A такий, що R — асоцiативне кiльце, CG(A) = 1, та кожна влас- на пiдгрупа H групи G, для якої R-модуль A/CA(H) є нескiнченним, скiнченно породже- на. Група G, яка задовольняє цi умови, називається AFF-групою. Доведено, що локально розв’язна AFF-група є гiперабелевою. Описано структуру AFF-групи G у випадку, коли G є скiнченно породженою розв’язною групою та R-модуль A/CA(G) є нескiнченним. O.Yu. Dashkova AFF-groups soluble in the extended sense We study an RG-module A such that R is an associative ring, CG(A) = 1, and each proper subgroup H of G with infinite A/CA(H) is finitely generated. The group G under consideration is called an AFF-group. It is proved that a locally soluble AFF-group is hyper-Abelian. We describe the structure of an AFF-group G such that G is a finitely generated soluble group, and R–module A/CA(G) is infinite. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10

Обобщенно разрешимые AFF-группы

Institution

Ähnliche Einträge