Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності
Запропоновано модель конкурентної поведiнки виробникiв з випадковими випусками при умовi рiзнорiдного характеру впливу невизначеностi. Введено поняття двосторонньої невизначеностi. Видiлено клас розподiлiв випадкового випуску одного виробника, який гарантує iснування та єдинiсть ситуацiї рiвноваг...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86183 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності / Я.І. Єлейко, К.В. Косаревич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 36–40. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86183 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-861832015-09-10T03:01:57Z Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності Єлейко, Я.І. Косаревич, К.В. Інформатика та кібернетика Запропоновано модель конкурентної поведiнки виробникiв з випадковими випусками при умовi рiзнорiдного характеру впливу невизначеностi. Введено поняття двосторонньої невизначеностi. Видiлено клас розподiлiв випадкового випуску одного виробника, який гарантує iснування та єдинiсть ситуацiї рiвноваги при двостороннiй невизначеностi в побудованiй моделi. Предложена модель конкурентного поведения производителей со случайными выпусками при условии разнородного характера влияния неопределенности. Введено понятие двусторонней неопределенности. Выделен класс распределений случайного выпуска одного производителя, который гарантирует существование и единственность ситуации равновесия при двусторонней неопределенности в построенной модели. A model of the competitive behavior of producers with random production quantities under conditions of the heterogeneous nature of the effect of uncertainty is proposed. The concept of twosided uncertainty is introduced. The class of distributions of a random quantity of manufacturer’s production, which guarantees the existence and uniqueness of equilibria under the two-sided uncertainty in the model, is separated. 2013 Article Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності / Я.І. Єлейко, К.В. Косаревич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 36–40. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86183 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Єлейко, Я.І. Косаревич, К.В. Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано модель конкурентної поведiнки виробникiв з випадковими випусками при
умовi рiзнорiдного характеру впливу невизначеностi. Введено поняття двосторонньої
невизначеностi. Видiлено клас розподiлiв випадкового випуску одного виробника, який
гарантує iснування та єдинiсть ситуацiї рiвноваги при двостороннiй невизначеностi в побудованiй моделi. |
| format |
Article |
| author |
Єлейко, Я.І. Косаревич, К.В. |
| author_facet |
Єлейко, Я.І. Косаревич, К.В. |
| author_sort |
Єлейко, Я.І. |
| title |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| title_short |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| title_full |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| title_fullStr |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| title_full_unstemmed |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| title_sort |
одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86183 |
| citation_txt |
Одна некласична модель кількісної конкуренції на ринку в умовах двосторонньої невизначеності / Я.І. Єлейко, К.В. Косаревич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 36–40. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT êlejkoâí odnaneklasičnamodelʹkílʹkísnoíkonkurencíínarinkuvumovahdvostoronnʹoíneviznačeností AT kosarevičkv odnaneklasičnamodelʹkílʹkísnoíkonkurencíínarinkuvumovahdvostoronnʹoíneviznačeností |
| first_indexed |
2025-07-06T13:38:47Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:38:47Z |
| _version_ |
1836905009249255424 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2013
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.21
Я. I. Єлейко, К. В. Косаревич
Одна некласична модель кiлькiсної конкуренцiї
на ринку в умовах двосторонньої невизначеностi
(Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком)
Запропоновано модель конкурентної поведiнки виробникiв з випадковими випусками при
умовi рiзнорiдного характеру впливу невизначеностi. Введено поняття двосторонньої
невизначеностi. Видiлено клас розподiлiв випадкового випуску одного виробника, який
гарантує iснування та єдинiсть ситуацiї рiвноваги при двостороннiй невизначеностi
в побудованiй моделi.
Прийняття управлiнських рiшень супроводжується вiдсутнiстю точної, достовiрної iнфор-
мацiї, що створює ситуацiю невизначеностi [1]. Зокрема, дослiдженню конкурентної пове-
дiнки виробникiв на ринку та пошуку ситуацiй рiвноваги при повнiй або частковiй iнформа-
цiйнiй невизначеностi присвячено чимало фундаментальних робiт [2, 3]. Проте випадковий
характер обставин, якi обумовлюють невизначенiсть ситуацiї i призводять при кiлькiснiй
конкуренцiї до випадкових випускiв, необов’язково є однорiдним для рiзних виробникiв.
Саме тому при дослiдженнi вибору гравцями їх стратегiй важливим є врахування власне
характеру невизначеностi. В зв’язку з цим у данiй роботi розглядається некласична модель
конкуренцiї виробникiв з призначенням випадкових випускiв за умови рiзнорiдної природи
невизначеностi.
Галузь економiки формують n фiрм-виробникiв однорiдної продукцiї з об’ємами випус-
кiв qi, i = 1, . . . , n. Галузевий попит на товар задається однозначною функцiєю попиту
D : R+ → R+. Рiшення про обсяг випуску приймається до того, як стане вiдомою ринкова
цiна. Нехай q = (qi, i ∈ I) — вектор випуску товару. Цiна на ринку встановлюється таким
чином, щоб фактична пропозицiя товару
∑
i∈I
qi вiдповiдала попиту на нього, тобто p(q) =
= D−1
(∑
i∈I
qi
)
. Нехай iснує обсяг випуску q такий, що p(q) = 0, ∀ q > q, а функцiя p(q)
спадна, увiгнута ∀ q ∈ (0, q), p(q) > 0, p′(q) < 0, p′′(q) < 0, ∀ q > 0.
“Сильна” невизначенiсть. Нехай випуск q1 фiрми 1 є випадковою величиною з деяким
абсолютно неперервним розподiлом на [γ0, γ], де [γ0, γ] — вiдрiзок з нефiксованою верх-
ньою межею, γ0 = const, γ набуває значень з множини [γ(1), γ(2)], γ(2) > γ(1) > γ0. По-
ведiнка фiрми 1 орiєнтована на пошук стратегiї Eq1, яка максимiзує сподiване значення
© Я. I. Єлейко, К.В. Косаревич, 2013
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
прибутку Π1(q) = q1D
−1
(∑
i∈I
qi
)
− cq1, де c — витрати на виготовлення одиницi продук-
цiї, c = const. При нефiксованому γ Eq1 : [γ
(1), γ(2)] → S1, S1 ⊆ [γ0, γ], тобто стратегiя Eq1
фiрми 1 є функцiєю, що набуває значень з деякої компактної множини, E(·) — оператор ма-
тематичного сподiвання. Таким чином, фiрма 1 розв’язує задачу максимiзацiї EΠ1(Eq1) =
= E
(
q1D
−1
(∑
i∈I
qi
))
− E(cq1) на множинi S1 всеможливих значень функцiї Eq1(γ). Надалi
будемо говорити, що фiрма 1 приймає рiшення в умовах “сильної” невизначеностi.
“Слабка” невизначенiсть. Решта учасникiв ринку визначаються з цiльовим обсягом про-
дукцiї q0i , i = 2, . . . , n, причому c1i q
0
i — витрати на закупiвлю матерiалiв або засобiв для ви-
готовлення запланованого обсягу. Однак протягом виробничого процесу пiд впливом випад-
кової природи середовища, в якому фiрми приймають рiшення, цiльовий обсяг випуску q0i
кожного i-го учасника ринку корегується деякими випадковими величинами ηi, i = 2, . . . , n,
зi сталими середнiм та дисперсiєю, Eηi = µi > 0 та Dηi = σ2, i = 2, . . . , n, вiдповiдно. Та-
ким чином, вiдбувається вiдхилення виробникiв 2, . . . , n вiд запланованого обсягу випуску
q0i до фактичного випадкового qi = ηiq
0
i з витратами c2i qi на виготовлення останнього. Не
зменшуючи загальностi, вважатимемо, що фiрми 2, . . . , n мають однаковi закупiвельнi спро-
можностi, тобто c1i = c1, c
2
i = c2, i = 2, . . . , n. Поведiнка фiрм 2, . . . , n визначається призна-
ченням рiвня цiльового випуску q0i > 0 такого, що максимiзує сподiване значення прибутку
Πi(q) = qiD
−1
(∑
i∈I
qi
)
−c1q
0
i −c2qi на множинi Si, i = 2, . . . , n, можливих стратегiй. Отже, ме-
тою виробникiв 2, . . . , n є максимiзацiя функцiї EΠi(q) = E
(
qiD
−1
(∑
i∈I
qi
))
−E(c1q
0
i + c2qi)
за q0i ∈ Si. Умови, в яких функцiонують фiрми 2, . . . , n, називатимемо умовами “слабкої”
невизначеностi.
У запропонованiй моделi випуски всiх виробникiв є випадковими, проте вплив невизна-
ченостi на прийняття рiшень фiрмами 2, . . . , n водночас добре описується випадковою вели-
чиною зi сталим середнiм, а отже, поведiнку фiрм 2, . . . , n можна вважати менш невизначе-
ною. Надалi дослiджуватимемо двосторонню невизначенiсть, при якiй фiрма 1 знаходиться
в умовах сильної невизначеностi, а фiрми 2, . . . , n — в умовах слабкої невизначеностi.
Припущення 1. Фiрми 1, . . . , n взаємодiють в умовах двосторонньої невизначеностi.
Припущення 2. ∃ q̃0j > 0 ∀ q0j > q̃0j E
[
D−1
(
q1 +
n∑
j=2
q̃0jηj
)]
= 0, ∀ q1 ∈ [γ0, γ], ∀ j = 2, . . . , n.
Описану економiчну ситуацiю, що вiдображає конкурентну взаємодiю виробникiв при
двостороннiй невизначеностi, розглядатимемо як гру
G = (I, {Si}i∈I , {EΠi(q)}, i ∈ I), (1)
де I = {1, . . . , n} — множина гравцiв (виробникiв товару); S1 ⊆ [γ0, γ] — множина допу-
стимих стратегiй першого гравця (сподiваних випускiв фiрми 1); Sj = [0, q̃0j ] — множина
допустимих стратегiй гравця j, j = 2, . . . , n (цiльових обсягiв випуску); EΠi(q) — значення
сподiваного виграшу (сподiваного прибутку) гравця i ∈ I.
Фiрма 1 максимiзує сподiване значення свого прибутку при фiксованих рiвнях випускiв
решти виробникiв, тобто розв’язує задачу
max
Eq1∈S1
EΠ1(Eq1, (q
0
−1)
∗), (2)
де q0−1 — стратегiї фiрм 2, . . . , n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 37
В той самий час виробник i розв’язує задачу
maxEΠi
q0
i
∈Si
((Eq1)
∗, q0i , (q
0
−i)
∗), i = 2, . . . , n, (3)
де через q0−i позначатимемо рiшення решти фiрм, вiдмiнних вiд першої та i-ї. Якщо (q0i )
∗
є розв’язком даної задачi, то сподiваний обсяг випуску фiрм 2, . . . , n дорiвнює (Eqi)
∗ =
= (q0i )
∗µi.
Означення. Рiвновагою за Нешом в умовах двосторонньої невизначеностi для гри (1)
будемо називати набiр ((Eq1)
NE , (q0−1)
NE) сподiваного випуску фiрми 1 та цiльових випускiв
фiрм 2, . . . , n такий, що
EΠ1((Eq1)
NE , (q0−1)
NE) > EΠ1(Eq1, (q
0
−1)
NE), ∀Eq1 ∈ S1; (4)
EΠi((Eq1)
NE , (q0i )
NE , (q0−i)
NE) > EΠi((Eq1)
NE , q0i , (q
0
−i)
NE),
∀ q0i ∈ Si, i = 2, . . . , n.
(5)
Припущення 3. Профiль стратегiй ((Eq1)
NE , (q0−1)
NE) є внутрiшньою точкою множи-
ни S =
∏
i∈I
Si.
Методи розв’язування задачi iстотно залежать вiд виду функцiї оберненого попиту.
Припущення 4. Нехай функцiя оберненого попиту на продукт задається p(q) =
= D−1
(∑
i∈I
qi
)
= a − b
∑
i∈I
qi, де p — додатна цiна продукту;
∑
i∈I
qi — його обсяг, випущений
(i проданий фiрмами); a > 0 — потенцiал ринку; b > 0 — показник еластичностi попиту
на ринку.
Таким чином, очiкуванi прибутки фiрми 1 та фiрм 2, . . . , n вiдповiдно становлять
EΠ1 = E
((
a− b
(
q1 +
n∑
s=2
ηsq
0
s
))
q1 − cq1
)
,
EΠi = E
((
a− b
(
q1 +
n∑
s=2
ηsq
0
s
))
ηiq
0
i − (c1 + c2ηi)q
0
i
)
, i = 2, . . . , n.
Припущення 5. Випадковi величини qi, i = 1, . . . , n, — попарно незалежнi.
Згiдно з припущенням 5, вiдповiднi сподiванi прибутки набудуть вигляду
EΠ1 = (a− c)Eq1 − bEq21 − bEq1
n∑
s=2
q0sE(ηs), (6)
EΠi = (a− c2)q
0
iE(ηi)− c1q
0
i − bE(ηiq
0
i )
2 − bEq1E(ηiq
0
i )− bE(ηiq
0
i )
n∑
s=2
s 6=i
q0sE(ηs), (7)
i = 2, . . . , n.
Теорема. Нехай розподiл випадкового випуску q1 фiрми 1 на вiдрiзку [γ0, γ] з нефiксо-
ваною верхньою межею такий, що Eq21 : [γ
(1), γ(2)] → S′
1 належить класу квадратичних,
двiчi неперервно-диференцiйовних за змiнною Eq1 функцiй. Тодi в межах припущень 1–5
для гри (2) iснує єдина рiвновага за Нешом в умовах двосторонньої невизначеностi.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
Дiйсно, нехай Eq21 = k1(Eq1)
2 + k2Eq1 + k3, де k1 > 0, k2, k3 — довiльнi константи. Тодi
функцiя сподiваного прибутку фiрми 1, визначена в (6), є увiгнутою за всiма значеннями
функцiї Eq1(γ), а отже, умовами оптимальностi для задачi (2) є
∂(EΠ1(Eq1, (q
0
−1)
∗))
∂(Eq1)
∣∣∣∣
Eq1=(Eq1)∗
= 0.
Водночас фiрма i розв’язує задачу максимiзацiї ввiгнутої функцiї свого сподiваного при-
бутку. Умови оптимальностi для задачi (3) мають вигляд
∂(EΠi((Eq1)
∗, q0i , (q
0
−i)
∗))
∂(q0i )
∣∣∣∣
q0
i
=(q0
i
)∗
= 0.
Враховуючи (6), (7), отримуємо систему рiвнянь
a− c− b
∂(Eq21)
∂(Eq1)
∣∣∣∣
Eq1=(Eq1)∗
− b
n∑
s=2
(q0s)
∗E(ηs) = 0;
(a− c2)Eηi −c1− 2b(q0i )
∗Eηi − bEq1Eηi − bEηi
n∑
s=2
s 6=i
(q0s)
∗E(ηs) = 0, i = 2, . . . , n.
(8)
Внаслiдок того, що Eq21 належить класу квадратичних функцiй, система (8) матиме
вигляд
a− c− 2bk1(Eq1)
∗ + k2 − b
n∑
s=2
(q0s)
∗µs = 0;
(a− c2)µi − c1 − 2bµi(q
0
i )
∗ − bµi(Eq1)
∗ − bµi
n∑
s=2
s 6=i
(q0s)
∗µs = 0, i = 2, . . . , n.
(9)
Система лiнiйних рiвнянь (9) має єдиний розв’язок ((Eq1)
∗, (q0−1)
∗), що для конкурентної
гри (1) є рiвновагою за Нешом в умовах двосторонньої невизначеностi.
1. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. – Москва: Логос, 2000. – 296 с.
2. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – Москва: Мир, 1985. – 200 с.
3. Фон Нейман Дж., Моргенштерн Э. Теория игр и экономическое поведение. – Москва: Наука, 1970. –
708 с.
Надiйшло до редакцiї 22.01.2013Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
Я.И. Елейко, Е. В. Косаревич
Одна неклассическая модель количественной конкуренции на рынке
в условиях двусторонней неопределенности
Предложена модель конкурентного поведения производителей со случайными выпусками
при условии разнородного характера влияния неопределенности. Введено понятие двусто-
ронней неопределенности. Выделен класс распределений случайного выпуска одного произво-
дителя, который гарантирует существование и единственность ситуации равновесия при
двусторонней неопределенности в построенной модели.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 39
Ya. I. Yelejko, K. V. Kosarevych
One nonclassical model of quantitative competition on a market under
two-sided uncertainty
A model of the competitive behavior of producers with random production quantities under condi-
tions of the heterogeneous nature of the effect of uncertainty is proposed. The concept of two-
sided uncertainty is introduced. The class of distributions of a random quantity of manufacturer’s
production, which guarantees the existence and uniqueness of equilibria under the two-sided uncer-
tainty in the model, is separated.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
|