Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений
Досліджено cтійкість розв'язків стохастичних динамічних систем з нескінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Сформульовано і доведено теорему про достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості розв'язків розглянутих динамічних систем....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86214 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений / С.В. Антонюк, И.В. Дорошенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 52-56. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86214 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-862142015-09-10T03:01:59Z Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений Антонюк, С.В. Дорошенко, И.В. Кибернетика Досліджено cтійкість розв'язків стохастичних динамічних систем з нескінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Сформульовано і доведено теорему про достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості розв'язків розглянутих динамічних систем. The stability of solutions of stochastic dynamic systems with all prehistory and Markov disturbance is analyzed in the paper. A theorem about the sufficient conditions of asymptotic stochastic stability of solutions of such dynamic systems is formulated and proved. 2013 Article Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений / С.В. Антонюк, И.В. Дорошенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 52-56. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86214 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Антонюк, С.В. Дорошенко, И.В. Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений Кибернетика и системный анализ |
| description |
Досліджено cтійкість розв'язків стохастичних динамічних систем з нескінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Сформульовано і доведено теорему про достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості розв'язків розглянутих динамічних систем. |
| format |
Article |
| author |
Антонюк, С.В. Дорошенко, И.В. |
| author_facet |
Антонюк, С.В. Дорошенко, И.В. |
| author_sort |
Антонюк, С.В. |
| title |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| title_short |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| title_full |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| title_fullStr |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| title_sort |
асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86214 |
| citation_txt |
Асимптотическая стохастическая устойчивость решений динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений / С.В. Антонюк, И.В. Дорошенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 52-56. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT antonûksv asimptotičeskaâstohastičeskaâustojčivostʹrešenijdinamičeskihsistemsposledejstviemsučetommarkovskihvozmuŝenij AT dorošenkoiv asimptotičeskaâstohastičeskaâustojčivostʹrešenijdinamičeskihsistemsposledejstviemsučetommarkovskihvozmuŝenij |
| first_indexed |
2025-07-06T13:40:44Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:40:44Z |
| _version_ |
1836905131224858624 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ñ.Â. ÀÍÒÎÍÞÊ, È.Â. ÄÎÐÎØÅÍÊÎ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ
ÐÅØÅÍÈÉ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü, ìàðêîâ-
ñêèé ïðîöåññ, ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð, ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôå-
ðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ.
Ïóñòü R n — n-ìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî è 1� � �p .
Ïðîñòðàíñòâî X ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ïðåäûñòîðèè, ò.å. R Dn p� � , ãäå D p
� —
ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî
| ( ) | ( )
0
�
� � �� �s s dsp . (1)
Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå X ââîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [1]:
|| | | | ( ) | | ( ) | ( ) (| ( ) |
/
� � � � �X
p p
p
s s ds� �
�
�
�
�
�
�
�
�0 0
0
1
p p p� || || ) /� �
1 , (2)
|| || ,� �
p p� � � � �1 .
Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ � : R R� �� íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ñãëàæèâàþùå-
ãî òèïà, åñëè óäîâëåòâîðÿåò òàêèì óñëîâèÿì:
1) � ñóììèðóåìàÿ â R � ;
2) � �z 0 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
K z ess
s z
s
K
K z ess
s
s R
s R
( ) sup
( )
( )
,
( ) sup
( )
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( )
;
s z�
� �
(3)
3) � îãðàíè÷åííà â R � ;
4) � � 0 ñòðîãî ïîëîæèòåëüíàÿ íà s� �( , )0 ;
5) s s�( ) � 0 ïðè s � �.
Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå �( )s ìîæíî àíàëèçèðîâàòü ôóíêöèþ e s� .
Ðàññìîòðèì íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� F F P ñ ôèëüòðàöèåé
F � �{ }Ft t, 0 ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
ñ ìàðêîâñêèì ïàðàìåòðîì (ÑÄÔÓñÌÏ)
dx t f t x t dt t tt( ) ( , , ( )) ,� � �� 0 0 , (4)
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
x t t� � 0 , (5)
ãäå { }� � �( ) ( , ) :[ , )t t R m� �� � �0 � — ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûé îäíîðîä-
íûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûìè ñïðàâà ðåàëèçàöèÿìè y Y� , ñîãëàñî-
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
© Ñ.Â. Àíòîíþê, È.Â. Äîðîøåíêî, 2013
âàííûé ñ ôèëüòðàöèåé F (Y — êîìïàêòíîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî), f t: [ , )0 � �
� � �X Y R n— íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ïî âñåì àðãóìåíòàì, x x t xt t� ( ( ), )� ,
x s
x t s t s t
s t s t
t
�
�
( )
( ), ,
( ), .
�
� � �
� �
�
�
�
0
Îïðåäåëåíèå 2. Íåïðåðûâíûé ïî ïåðåìåííîé t t� 0 n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé ïðî-
öåññ x t R n( )� íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (4), (5) íà ìíîæåñòâå [ , )t T R0 � � , åñëè
x t( ) èçìåðèìûé îòíîñèòåëüíîFt ïðè t T� , x Xt � ïðè t t T�[ , ]0 , x
t t0 0� � ñ âåðî-
ÿòíîñòüþ 1 äëÿ âñåõ t t T�[ , ]0 è îäíîâðåìåííî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî [2]
x t t f s x s ds t t Ts
t
t
( ) ( ) ( , , ( )) , [ , ]� � ��� �0 0
0
. (6)
Åñëè äâà ñèëüíûõ ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ
ñòîõàñòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óðàâíåíèå (4) èìååò ñèëü-
íîå ðåøåíèå ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè (5), åñëè âñå ðåøåíèÿ (6) ñòîõàñòè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíû.
Åñëè �( )t y0 � , òî äëÿ êàæäîãî � � �x X0 , s � 0 ââåäåì îáîçíà÷åíèå
x s y t st ( , , ),� � , êàê ïðîöåññ ïðåäûñòîðèè, îïðåäåëåííûé ïî ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (1),
ïîñòðîåííîãî ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ �.
Òåîðåìà 1 [1]. Ïóñòü ôóíêöèîíàë f t X Y R n: [ , )0 � � � � íåïðåðûâíûé ïî
âñåì àðãóìåíòàì, à òàêæå âûïîëíÿþòñÿ:
� óñëîâèå Ëèïøèöà: cóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ L � 0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ
� �, �X è � �t t T[ , ]0 èìååì | ( , , ) ( , , ) | || ||f t y f t y L X� � � �� � � ;
� óñëîâèå ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè: cóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ L � 0 òàêàÿ,
÷òî äëÿ t t T�[ , ]0 è äëÿ ��X
| ( , , ) | ( || || )f t y L X� �� �1 .
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñèëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (4), (5).
Îïðåäåëåíèå 3. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå x t( ) � 0 çàäà÷è (4), (5) íàçîâåì:
� ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè � �� �1 2 0, ñóùåñòâóåò òàêîå �� 0, ÷òî
äëÿ t0 0� , y Y� âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
P x t t y
t t
{ :sup| ( , , , ) |� � � �
�
� �
0
0 1 2} (7)
êàê òîëüêî || ||� �X � ;
� àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ (7) è ñó-
ùåñòâóåò òàêîå �1 0� , ÷òî äëÿ t s y Y� � �0, è � � � ��� � � �S X X1 1{ }| || ||
P x s y
t
t{ }� �: lim | ( , , ) |
��
� �0 1. (8)
Ïóñòü M t
s x u s u t, ( ) :� � � �{ } — ïîëíàÿ -àëãåáðà, ïîñòðîåííàÿ ïî ðåøå-
íèþ x( )� . Ïðîöåññ t x st� ( , )� ñî çíà÷åíèÿìè â X ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì, M t
s,� ñî-
ãëàñîâàííûì è íåïðåðûâíûì [1].
Îïðåäåëèì ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà
â ïðîñòðàíñòâå X äëÿ íåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèîíàëîâ
: R X Y R� � � � ,
�G V( ) .
Îïðåäåëåíèå 4. Ôóíêöèîíàë
�( , , )t y ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ñëàáîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà L , åñëè:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 53
� â êàæäîé òî÷êå ( , , )s y V� � ñóùåñòâóþò ÷èñëà � � 0 è c� 0 òàêèå, ÷òî
sup | ( , ( , , ), ( )) ( , , ) |
0
1
� �
�� � �
t
t s
t
E t s x s y y t s y c
�
{ }
�
� ; (9)
� â êàæäîé òî÷êå ( , , )s y V� � ñóùåñòâóåò ãðàíèöà
lim [ ( , ( , , ), ( ) ( , , )] ( )(
t
t s
t
E t s x s y y t s y
�
�� � �
0
1
{ }
�
�
L s y, , )� . (10)
Ëåììà [3]. Åñëè Q — îòêðûòîå ìíîæåñòâî â X ,
�D L( ), �( )t s� — ìàðêîâ-
ñêèé ìîìåíò âðåìåíè (ïåðâûé ìîìåíò âûõîäà èç Q) äëÿ ñòðîãîãî ìàðêîâñêîãî
ïðîöåññà x s yt ( , , )� òàêîãî, ÷òî E t{ }�( ) � � , òî èìååò ìåñòî ôîðìóëà
E s t x s y y ts t{ }
� � ��( ( ), ( , , ), ( ( )))( )� ��
� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
( , , ) ( )( , ( , , ), ( ))
( )
s y E s z x s y y z dz
t
s z
L
0
�
�
!�
(11)
ïðè âñåõ s � 0, t � 0 , ��Q , ãäå � �( ) min ,t t� { }, � �� � �� �inf | ( , , ){ }.z R x s y Qs z
Ïóñòü N �N , � N — ïåðâûé ìîìåíò âûõîäà ñ îáëàñòè S X NN X� �{ }� �| || || .
Åñëè ïðè êàæäîì t � 0 èìååì P t t
N
N{ }lim ( )
��
� �� 1, òî ôîðìóëó (11) ìîæíî
ïåðåïèñàòü â âèäå
E s t x s y y ts t{ }
�( , ( , , ), ( ))� ��
� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�( , , ) ( )( , ( , , ), ( ))s y E s z x s y y z dz
t
s z
L
0 !�
. (12)
Îïðåäåëåíèå 5. Âåðõíåé ïðîèçâîäíîé Ëÿïóíîâà íàçîâåì ãðàíèöó
lim sup [ ( , ( , , ), ( )) ( , ,
� �" � �
�� �
0 0
1
t
s t
t
E s t x s y y t s{ }
�
� y s y)] (
~
)( , , )� L
� ,
åñëè äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ � � 0 â êàæäîé îêðåñòíîñòè S Yr � âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî
1
�
� ��| ( , ( , , ), ( )) ( , , ) | ( , , )E s x s y y s y g s ys
r{ }
�
� �� � �� ,
ãäå g s yr ( , , )� — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, îãðàíè÷åííàÿ ïî �
â êàæäîì S r .
Îïðåäåëåíèå 6. Åñëè ôóíêöèîíàë
: R X Y R� � � � íåïðåðûâåí ïî âñåì
àðãóìåíòàì,
�D( )L (èëè
�D(
~
)L ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
c s y c
p
X
p
1 20 1 2| ( ) | ( , , ) || ||�
� �� � (13)
äëÿ íåêîòîðûõ c c1 2 0, � , p p2 1 0� � è âñåõ s R� � , y Y� è ��X , òî òàêîé
ôóíêöèîíàë íàçîâåì ôóíêöèîíàëîì Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [2, 4, 5].
Ïîñêîëüêó äàëåå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ðåøåíèå çàäà÷è (4), (5) ëèøü äî
âûõîäà èç íåêîòîðîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà, òî äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
âûïîëíÿåòñÿ ëîêàëüíîå óñëîâèÿ Ëèïøèöà è ëîêàëüíîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé
îãðàíè÷åííîñòè.
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Òåîðåìà 2. Ïóñòü:
1) âûïîëíåíî ëîêàëüíîå óñëîâèå Ëèïøèöà;
2) f t y( , , )0 0� ;
3) ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî
: R X Y R� � � � , äëÿ êî-
òîðîãî ñïðàâåäëèâàÿ îöåíêà (13) ïðè c c1 2 0, � , p p2 1 0� � , s R� �, y Y� , ��X ;
4) ïðè íåêîòîðûõ c3 0� è p p�( , ]0 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
(
~
)( , , ) | ( ) |L
� �s y c p� � 3 0 (14)
� �s 0, y Y� è ��X .
Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (4), (5) àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè
óñòîé÷èâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �r — ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà ðåøåíèÿ èç îáëàñòè
S X rr X� � �{ }� �| || || . Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t � 0 è r � 0 èç ôîðìóëû (12),
ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèîíàëà
, âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
c E x s y E s t x s y
s t p
r
s tr r
1 { } {| ( , , ) | ( ( ), ( , ,
( ) ( )� �� �� ��
� � ), ( ( ))� �r t } �
� �
� �( , , ) || ||s y c
X
p
1 .
Çíà÷èò, lim ( )
r
r t t
��
�� è ñóùåñòâóåò E s t x s y ts t{ }
� �( , ( , , ), ( ))� � �� äëÿ âñåõ
t � 0, s � 0, y Y� è ��X .
Ïóñòü F t — ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìû âñå
�( )s ïðè s t�[ , ]0 . Òîãäà
�( , ( , , ), ( ))s t x s y y ts t� � áóäåò F t -èçìåðèìûì [1], à ìàð-
êîâñêîå ñâîéñòâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî u t�[ , ]0 äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ [6] äàñò ðàâåíñòâî
E s t x s y ts t
u
{ }
� �( , ( , , ), ( ))� ��
F
� � � �� �
� �
�
E s t u x s z t u
s t u
s s u
z u
{ }
� �
�
( ( ), ( , , ), ( ))
( )
(
1
1
1
)
( , , )� �� �x s ys u
.
Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà (14) èìååì îãðàíè÷åííîñòü ñïðàâà
E s t x s y t E s u x s ys t s u
u
{ } {
� �
� �( , ( , , ), ( )) ( , ( , , ),� � �� �
F
( ))u },
ò.å. { }
� �( , ( , , ), ( )),s t x s y ts t
t� �
F — íåîòðèöàòåëüíûé ñóïåðìàðòèíãàë äëÿ t � 0
[6, 7]. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ãðàíèöà lim ( , ( , , ), ( )) ( )
t
s ts t x s y t
��
�� � �
� � � � 0
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Èç íåðàâåíñòâ (13), (14) ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêè
E s t x s y t c c E xs t
X
p
t
s s
{ } {
� � �( , ( , , ), ( )) || || |� � �� �
�2 3
0
1 ( , , ) |s y dsp� } 1 �
� � ��
�
c
c
c
E s s x s y s ds
X
p
t
s s
2
3
1 0
1 1 1
1|| || ( , ( , , ), ( ))�
� �{ } ,
÷òî äàåò óòâåðæäåíèå
E E s t x s y t c
t
s t
X
p{ } { }� �
� � �( ) lim ( , ( , , ), ( )) || ||� � �
��
�
2 lim exp
t
c
c
t
��
�
��
�
�� �
3
1
0,
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 � �( ) � 0 , ò.å. P{ }� � �: ( ) � �0 1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 55
Äàëåå èç îñíîâíîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ñóïåðìàðòèíãàëîâ [7] âûòåêàåò ñëåäóþ-
ùàÿ öåïî÷êà íåðàâåíñòâ:
P x s y
t T
s t{ }� � �:sup | ( , , ) |
�
� � �
� � �
�
�
�
�
!
�
�
�P
T
s t x s y t
t T
s t p�
� � �:sup ( , ( , , ), ( ))
1
� � � ��1
1
2
1c
E s T x s y T
c
cp
s T X
p
p�
� �
�
�
{ }( , ( , , ), ( ))
|| ||
exp
c
c
T3
1
��
�
��
äëÿ âñåõ T � 0 , �� 0 , ��X , s � 0, y Y� . Ïðè T � � ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå
òåîðåìû.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À í ò î í þ ê Ñ .  . Âëàñòèâîñò³ ðîçâ’ÿçê³â ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíî-ôóíêö³îíàëüíèõ ð³âíÿíü ç
íåñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ: Äèñ. ... êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê: 01.05.01 / ×åðí³âö³, 2009. — 174 ñ.
2. Ä î ð î ø å í ê î ² .  . Ñò³éê³ñòü äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç ï³ñëÿ䳺þ âèïàäêîâî¿ ñòðóêòóðè ç âðàõóâàííÿì
ìàðêîâñüêèõ çáóðåíü: Äèñ. ... êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê: 01.05.01 / Êè¿â, 2008. — 138 ñ.
3. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1969. — 859 ñ.
4. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Íåêîòîðûå çàäà÷è òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1969. —
212 ñ.
5. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ðèãà:
Çèíàòíå, 1989. — 421 ñ.
6. Ä ó á Ä æ . Ë . Âåðîÿòíîñíûå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 605 ñ.
7. J a c o d J . , S h i r y a e v A . N . Limit theorems for stochastic processes. — Berlin: Springer-Verlang,
1987. — 601 p.
Ïîñòóïèëà 07.12.2011
|