Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла

Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла

Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
Hauptverfasser: Марценюк, В.П., Андрущак, И.Е., Гандзюк, Н.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:
Кибернетика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86231
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86231
record_format dspace
spelling irk-123456789-862312015-09-11T03:01:52Z Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Гандзюк, Н.М. Кибернетика Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології. The paper presents a method for constructing exponential estimates in a compartment system with distributed delays based on the Hale–Lunell inequality and its application. The practical significance of this study is illustrated by a pharmacokinetic model from anesthesiology. 2013 Article Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86231 517.929 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Кибернетика
Кибернетика
spellingShingle Кибернетика
Кибернетика
Марценюк, В.П.
Андрущак, И.Е.
Гандзюк, Н.М.
Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
Кибернетика и системный анализ
description Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології.
format Article
author Марценюк, В.П.
Андрущак, И.Е.
Гандзюк, Н.М.
author_facet Марценюк, В.П.
Андрущак, И.Е.
Гандзюк, Н.М.
author_sort Марценюк, В.П.
title Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
title_short Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
title_full Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
title_fullStr Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
title_full_unstemmed Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
title_sort построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства хейла–лунелла
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2013
topic_facet Кибернетика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86231
citation_txt Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv AT marcenûkvp postroenieéksponencialʹnojocenkivkompartmentnojsistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvahejlalunella
AT andruŝakie postroenieéksponencialʹnojocenkivkompartmentnojsistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvahejlalunella
AT gandzûknm postroenieéksponencialʹnojocenkivkompartmentnojsistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvahejlalunella
first_indexed 2025-07-06T13:41:46Z
last_indexed 2025-07-06T13:41:46Z
_version_ 1836905195358912512
fulltext ÓÄÊ 517.929 Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, È.Å. ÀÍÄÐÓÙÀÊ, Í.Ì. ÃÀÍÄÇÞÊ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÎÖÅÍÊÈ Â ÊÎÌÏÀÐÒÌÅÍÒÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈßÌÈ: ÏÎÄÕÎÄ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ ÕÅÉËÀ–ËÓÍÅËËÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîìïàðòìåíòíàÿ ñèñòåìà, çàïàçäûâàíèå, óñòîé÷èâîñòü. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Çàäà÷è ïîïóëÿöèîííîé äèíàìèêè, ôàðìàêîêèíåòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé ýïèäåìè- îëîãèè è äðóãèå çàäà÷è îïèñûâàþòñÿ êîìïàðòìåíòíûìè ñèñòåìàìè ñ çàïàçäû- âàíèåì. Ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé äàæå â ëèíåéíîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ïðè- áëèæåííûì âû÷èñëÿåìûì ïðîöåäóðàì, ÷òî íå äàåò âîçìîæíîñòè íàéòè â ÿâ- íîì âèäå ðåøåíèå ñëåäóþùèõ çàäà÷: — îïðåäåëèòü ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ÷èñëî èíôèöèðîâàííûõ ëèö ìåíüøå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ i* (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýïèäåìèîëîãèÿ); — îöåíèòü âðåìÿ, êîãäà â îðãàíèçìå ïàöèåíòà îñòàíåòñÿ íå áîëüøå d * åäè- íèö ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà (ôàðìàêîêèíåòèêà) è äð. ßâíûå ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâå îöåíîê ýêñïîíåíöè- àëüíîãî òèïà. Ïîñòðîåíèþ ýêñïîíåíöèàëüíûõ îöåíîê äëÿ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì ïîñâÿ- ùåí ðÿä ðàáîò. Òàê, â [1] îöåíêó äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ïîëó÷åíî, èñõîäÿ èç ôîð- ìóëû Êîøè.  [2] ñ ýòîé öåëüþ ðàçâèâàåòñÿ ïîäõîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ñ óñëî- âèÿìè òèïà Ðàçóìèõèíà.  [3] îöåíêà íàõîäèòñÿ íà îñíîâå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî.  [4] äëÿ ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ïîñòðîåíî äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå íåðàâåíñòâî. Äëÿ êîìïàðòìåíòíûõ ñèñòåì ïåðñïåêòèâåí ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [5], ãäå ðàç- ðàáîòàí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ öåëîãî êëàññà ýêñïîíåíöèàëüíûõ îöåíîê íà îñíîâå íåðàâåíñòâà Õåéëà–Ëóíåëëà. Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — îïèñàíèå ïðèìåíåíèÿ ïîäõîäà íà îñíîâå íåðà- âåíñòâà Õåéëà–Ëóíåëëà [5] ê ïîñòðîåíèþ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ êîìïàðòìåíòíûõ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÎÖÅÍÊÈ Íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà. Ïóñòü u t( ) è �( )t — äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå íå- ïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [ , ]a b , �( )t � 0 — èíòåãðèðîâàííàÿ íà [ , ]a b ôóíêöèÿ, òàêèå, ÷òî u t t s u s ds a t b a t ( ) ( ) ( ) ( ) ,� � � ��� � . Òîãäà u t t s s e a t b d a t s t ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) � � � � ��� � � � � � . Åñëè, �( )t — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî u t t e a t b d a t ( ) ( ) , ( ) � � � �� � � � . 26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 © Â.Ï. Ìàðöåíþê, È.Å. Àíäðóùàê, Í.Ì. Ãàíäçþê, 2013 Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè, íàïðèìåð íåîòðèöà- òåëüíóþ ñèñòåìó dx dt Ax t A x t t x t t t di i n i d � � � � � � � ( ) ( ), , ( ) ( ), [ max 1 0� � � , ].0 (1) Çäåñü x t R n( ) , A R n n � — ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, A R i ndi n n d �� , ,1 , — íåîòðèöàòåëüíûå ìàòðèöû, � � � �max max ,� � �{ },1 2 � nd � �( ) , [ , ]maxt t� �0 0 , — ïîêîìïîíåíòíî íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ (èñïîëüçó- åòñÿ ïîíÿòèå íåîòðèöàòåëüíîñòè, ïðåäëîæåííîå â [6]).  óêàçàííîé ðàáîòå ïî- êàçàíî, ÷òî ñèñòåìà (1) íåîòðèöàòåëüíà. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë V x p x t p A x s dst T T di t i n i d ( ) ( ) ( ) ,� � �� � � 0 1 (2) ãäå p �� 0 — ïîêîìïîíåíòíî ïîëîæèòåëüíûé âåêòîð èç R n � . Òîãäà dV x dt p Ax t A x tt T di i i nd( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ( ) ( ))p A x t p A x t p A AT di T di i i n T di i nd d � 1 1 � � � x t( ). (3) Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âåêòîð r �� 0 òàêîé, ÷òî A A p rT di T i nd � � � � � � � � � � � 1 0 . (4) Òîãäà, ïðîäîëæàÿ (3), èìååì dV x dt r x tt T( ) ( ) ( ) 1 � � . (5) Äîïóñòèì â äàëüíåéøåì, ÷òî r p�� . Ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü x t( ), èìååì dV x dt p x t p x t p A x s dst T T T di t i n i d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 � � � � � �� � � � � � �� p A x s dsT di t i n i d � 0 1 ( ) � � � � � � �� � � V x p A x s ds V x p A xt T di t i n t T di t i n i d ( ) ( ) ( ) � 0 1 1 d s ds � � ( ) max� 0 . (6) Óìíîæèâ (6) íà et , ïîëó÷èì d dt V x e p e A x s dst t T t di t i nd [ ( ) ] ( ) max � �� � 1 0 � . (7) Ïðîèíòåãðèðîâàâ (7) íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 t , çàïèøåì V x e V x p e A x s dsdt t T t di i nd ( ) ( ) ( ) . max � � � � �� 0 0 0 1 � � � � (8) Èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì ñîñòàâëÿþùåì (8), áóäåì èìåòü I p e A x s dsd p e A x s dsT t di i n T di d � � � � �� � � � �� max ( ) ( ) 0 0 1 1 1d i nt d � � � � �� �� � 10 max ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 27 � � � � � �� p e A x s d dsT s st di i nd � � � � 1 1 1 1 1 max ( ) � � � � � �� p e A x s d ds p eT s s di i n T s s d � � � �� 1 1 1 10 1 1 1 max max ( ) � � �� � � � 0 1 1 1 t di i n A x s d ds d ( ) � � � � �� � p e A x s ds p e AT di i n T d d [ ] ( ) [ ]max max max� � � 1 11 0 1 1 i s t i n e x s ds d 1 1 0 1 1 ( )� � . (9) Ñîâìåùàÿ íåðàâåíñòâà (8) è (9), ïîëó÷àåì V x e V x p e A x s dst t T di i nd ( ) ( ) [ ] ( )max max � � � � �� � 0 1 0 1 1 1 � � � � � � p e A e x s dsT di s t i nd [ ] ( )max� 1 1 1 1 01 . (10) Èç âèäà ôóíêöèîíàëà (2) è ïðåäïîëîæåíèÿ î íåîòðèöàòåëüíîñòè ñèñòåìû (1) èìååì V x p x tt T( ) ( )� . (11) Èòàê, èç (10) ñëåäóåò, ÷òî p x t e V x p e A x s dsT t T di i nd ( ) ( ) [ ] ( )max max � � � � � �0 1 1 1 0 1 � � � � � � � p e A e x s dsT di s t i nd [ ] ( ) .max� 1 1 0 1 1 1 (12) Âûáåðåì âåêòîð p �� 0 êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A di T i nd � 1 , êîòîðûé îò- âå÷àåò îïðåäåëåííîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ � A di T i nd � � � � � � � � 1 . Òîãäà p x t e K e A p x s eT t di T i n T t d ( ) [ ] ( )max� � � � � � � � � � � � � �1 1 1 0 s ds1 1, (13) ãäå K V x p e A x s dsT di T i nd � � � � � � � � � � � � ( ) [ ] ( )max ma 0 1 1 11 � � � x 0 � . Ïðèìåíÿÿ ê (13) íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà, ãäå u t p x t e t K s e AT t di T i nd ( ) ( ) , ( ) , ( ) [ ]� � � � � � � � � � � � � �� 1 1 � �, ,a 0 (14) ïîëó÷àåì p x t e Ke tT t e A tdi T i nd ( ) , , [ ]max � � � � � � � � � � � � �1 1 0 ò.å. p x t Ke tT e A tdi T i nd ( ) , . ([ ]max � � � � � � � � � � � � � �1 1 1 0 (15) Èòàê, èìååì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåîòðèöàòåëüíàÿ ñèñòåìà (1) òàêîâà, ÷òî ñó- ùåñòâóåò âåêòîð p �� 0 — ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A di T i nd � 1 , äëÿ êîòîðîãî ñó- ùåñòâóåò âåêòîð r p�� — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4). Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ (1) x t( ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (15). Ñëåäñòâèå. Åñëè ñèñòåìà (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû è âûïîëíÿåòñÿ íåðà- âåíñòâî [ ] ,maxe A di T i nd � �� � � � � � � � � � 1 1 1 òî îíà ýêñïîíåíöèàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà. Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîä íà îñíîâå ïðèìåðà èç ôàðìàêîêèíåòèêè. Ïðèìåð. Ìîäåëü îáùåé àíåñòåçèè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõêîìïàðòìåíòíàÿ ìîäåëü: � � � � � � � � �x t a a a x t a x t a x t1 11 21 31 1 12 2 1 13 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) � � � � � � � � � x t a x t a x t x t a x t a 2 12 2 21 1 1 3 13 3 31 � x t t x t t t 1 2 0 0 ( ), , ( ) ( ), [ , ].max � � � � � � � (16) Çäåñü x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( ) — ìàññû â ãðàììàõ àíåñòåòè÷åñêîãî ïðåïàðàòà ïðîïî- ôîë â öåíòðàëüíîì êîìïàðòìåíòå è êîìïàðòìåíòàõ 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî, �1 0� — âðåìÿ òðàíñïîðòèðîâêè ïðåïàðàòà ìåæäó öåíòðàëüíûì êîìïàðòìåí- òîì è ïåðèôåðè÷åñêèì êîìïàðòìåíòîì 2 (ìûøå÷íîé òêàíüþ), �2 0� — âðåìÿ òðàíñïîðòèðîâêè ïðåïàðàòà ìåæäó öåíòðàëüíûì êîìïàðòìåíòîì è ïåðèôåðè- ÷åñêèì êîìïàðòìåíòîì 3 (æèðîâîé òêàíüþ), � � �max max , , ,� �{ }1 2 0aij i j� , i j, ,�1 3, — ïîñòîÿííûå â ìèí–1 ïåðåíåñåíèÿ ïðåïàðàòà ìåæäó êîìïàðòìåíòà- ìè, a11 0� — ñêîðîñòíàÿ ïîñòîÿííàÿ â ìèí–1 ìåòàáîëèçìà è ýëèìèíàöèè ïðå- ïàðàòà èç öåíòðàëüíîãî êîìïàðòìåíòà. Ñõåìà ìîäåëè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1. Ñèñòåìà (16) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå (1) ñ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ x x x x T� ( , , )1 2 3 , ãäå A a a a a a � � � � � � � � � � � � � � ( )11 21 31 12 13 0 0 0 0 0 0 , A a ad1 12 21 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � , A a a d 2 13 31 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � . Ìàòðèöà A A d T d T 1 2 � èìååò âèä A a a a a d 2 21 13 12 13 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � . Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì x a a a a( ) ( )� � �� � � � � �3 12 21 13 31 , êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: � �1 2 3 12 21 13 310� � � � � �, , a a a a . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 29 Ðèñ. 1 Ìûøå÷íàÿ òêàíü Æèðîâàÿ òêàíü Âíóòðèñîñóäèñòàÿ êðîâü a x12 2 1,� a x21 1 1,� a x31 1 2, � a x12 2 2, � a x11 1 � ýëèìèíàöèÿ (ïå÷åíü, ïî÷êè) Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, êîòîðûå îòâå÷àþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì � 2 3, , èìåþò âèä x x a x x a x1 2 12 2 3 1 3 13 2 3 1, , , , � � � � . Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíîé ñîáñòâåííûé âåêòîð p �� 0 , öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå � 2 12 21 13 31� � � �a a a a è òî ñåìåéñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, êîòîðîå ê íåìó îòíîñèòñÿ: p k a k a k � � � � � � � � � � � � � � � � � � 12 2 13 2 � � , (17) ãäå k � 0 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó ( )A A A p pT d T d T� � �� � 1 2 , (18) ò.å. A p pp T � � ��� 2 0, (19) ãäå 0 — íîëü-âåêòîð. Ïîäñòàâëÿÿ (17) â (19), èìååì: � � � � � � � � � � � ( ) , , a a a k k k a k a k a k a 11 21 31 2 12 2 2 12 12 2 1 0 0 � � � 3 2 2 13 13 2 0 � � k a k a k� � � , (20) ò.å., ñîêðàòèâ íåðàâåíñòâà íà k � 0, ïîëó÷èì � 2 11 21 311 0� � � � �a a a , a a a12 2 12 12 2 0� � � � , (21) a a a13 2 13 13 2 0� � � � . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (16): a a a a11 12 21 131 6 1 901 0 207 1 98� � � �, , , , , , , , a31 10 090 0 5� �, , ,� ìèí–1, �2 0 75� , ìèí–1 (22) è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: x t t t 1 40 0 0 0 ( ) , , [ , ),max � � � � ! � x t x t t2 3 0 0( ) ( ) , [ , ]max� � � � . (23) Ïðèìåì � 2 0 756� , .  ýòîì ñëó÷àå âñå íåðàâåíñòâà (21) âûïîëíÿþòñÿ. Ïîýòî- ìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ïðèìåíèì òåîðåìó ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì p T� ( , , )1 2 514 2 619 . Îöåíêà (15) áóäåò èìåòü âèä p x t e tT t( ) ,,� ��40 00 155 . Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå ñèñòåìû (16) ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ (22) è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (23) (êðèâûå 1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( ). Åãî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3. 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Ýêñïîíåíöèàëüíîå îöåíèâàíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ p x tT ( ) äëÿ ñèñòåìû (16), ãäå ñîáñòâåííûé âåêòîð p èìååò âèä (17): 1 — ñêàëÿð- íîå ïðîèçâåäåíèå p x tT ( ), 2 — åãî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå îïèñàí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ ëèíåéíîé êîìïàðòìåíòíîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñ ýòîé öåëüþ èñïîëüçîâàí ëè- íåéíûé ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî è íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà. Ðåçóëüòàò ïðîèëëþñòðèðîâàí ôàðìàêîêèíåòè÷åñêîé ìîäåëüþ èç îáëàñòè àíåñòåçèîëîãèè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ð î æ ê î â  . È . Îá îöåíêå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ // Òð. ñåìèíàðà ïî òåîðèè äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþùèìñÿ àðãóìåíòîì. — 1975. — Âûï. 9. — Ñ. 39–52. 2. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . Îöåíêè ðåøåíèé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íåé- òðàëüíîãî òèïà // Óêð. ìàò. æóðí. — 1991. — ¹ 9. — Ñ. 1123–1135. 3. K e r t e s z V . Stability evestigations and exponential estimations for functional differential equations of retarded type // Acta Mathematica Hungarica. — 1990. — 55, N 3,4. — P. 365–378. 4. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . , Ì à ð ö å í þ ê  . Ï . Äâóõñòîðîííèå îöåíêè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ çà- ïàçäûâàíèåì // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû. — 1996. — ¹ 8. — Ñ. 8–13. 5. W a n g T . Exponential stability and inequalities of solutions of abstract functional differential equations // J. Math. Analysis and Appl. — 2006. — 324, N 2. — P. 982–991. 6. H a d d a d W . M . , C h e l l a b o i n a V . Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical systems with time delay // Systems and Control Letters. — 2004. — 51, N 5. — Ð. 335–361. Ïîñòóïèëà 21.05.2012 Ïîñëå äîðàáîòêè 25.10.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 31 Ðèñ. 2 – 0,75 1,1 2,9 4,8 6,7 8,6 10,4 12,3 14,2 16,1 17,9 36,5 26,7 20,9 13,0 5,2 – 2,5 – 8,4 1 2 3 x t Ðèñ. 3 – 0,75 1,0 2,8 4,5 6,3 8,1 9,9 11,6 13,4 15,2 17,1 18,7 40,0 37,7 27,4 17,1 6,0 – 3,5 – 11,2 1 2 x t

Ähnliche Einträge