Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем
Розглянуто перетворення в групі точок несуперсингулярної еліптичної кривої. Проведено вибір операцій трансформації точок несуперсингулярної еліптичної кривої в якості перспективного розвитку сучасних криптографічних систем. Доведено ряд тверджень щодо оцінки числа ізоморфних трансформацій несуперсин...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем / В.Е. Чевардин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 168-171. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-862452015-09-11T03:02:01Z Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем Чевардин, В.Е. Программно-технические комплексы Розглянуто перетворення в групі точок несуперсингулярної еліптичної кривої. Проведено вибір операцій трансформації точок несуперсингулярної еліптичної кривої в якості перспективного розвитку сучасних криптографічних систем. Доведено ряд тверджень щодо оцінки числа ізоморфних трансформацій несуперсингулярної еліптичної кривої над розширенням скінченного поля. Їх зміни залежать від характеристики скінченного поля. Отримані оцінки можуть використовуватись для вдосконалення криптосистем на еліптичних кривих. Transformations of points of a nonsupersingular elliptic curve are selected as a promising way for further development of cryptographic systems. Statements are proved for the estimation of the number of isomorphic transformations of a nonsupersingular elliptic curve over a dilation of a finite field, which is dependent on the characteristics of the finite field. The estimates can be used to improve elliptic curve cryptosystems. 2013 Article Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем / В.Е. Чевардин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 168-171. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86245 512.742 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Программно-технические комплексы Программно-технические комплексы |
| spellingShingle |
Программно-технические комплексы Программно-технические комплексы Чевардин, В.Е. Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто перетворення в групі точок несуперсингулярної еліптичної кривої. Проведено вибір операцій трансформації точок несуперсингулярної еліптичної кривої в якості перспективного розвитку сучасних криптографічних систем. Доведено ряд тверджень щодо оцінки числа ізоморфних трансформацій несуперсингулярної еліптичної кривої над розширенням скінченного поля. Їх зміни залежать від характеристики скінченного поля. Отримані оцінки можуть використовуватись для вдосконалення криптосистем на еліптичних кривих. |
| format |
Article |
| author |
Чевардин, В.Е. |
| author_facet |
Чевардин, В.Е. |
| author_sort |
Чевардин, В.Е. |
| title |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| title_short |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| title_full |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| title_fullStr |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| title_full_unstemmed |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| title_sort |
изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Программно-технические комплексы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86245 |
| citation_txt |
Изоморфные трансформации эллиптической кривой над конечным полем / В.Е. Чевардин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 168-171. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT čevardinve izomorfnyetransformaciiélliptičeskojkrivojnadkonečnympolem |
| first_indexed |
2025-07-06T13:42:34Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:42:34Z |
| _version_ |
1836905246384717824 |
| fulltext |
Â.Å. ×ÅÂÀÐÄÈÍ
ÓÄÊ 512.742 ÈÇÎÌÎÐÔÍÛÅ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈÈ
ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÊÐÈÂÎÉ
ÍÀÄ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÏÎËÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå, òðàíñôîðìàöèÿ ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé, èçîìîðôíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå, èçîìîðôíûå òðàíñôîðìàöèè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íàèáîëåå íàäåæíûì íåñèììåòðè÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì èñ-
õîäÿ èç êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñòîéêîñòè ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ ñêàëÿðíîãî óìíîæå-
íèÿ òî÷êè íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé [1–3]. Îäíàêî íåñèììåò-
ðè÷íàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ òî÷êè êðèâîé â ñðàâíåíèè ñ îïåðàöèÿìè, èñïîëü-
çóåìûìè â ñèììåòðè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, òðåáóåò âûñîêîé âû÷èñëèòåëüíîé
ñëîæíîñòè. Òåì íå ìåíåå ïîñëåäíèå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé êðèïòîñèñòåì
íà îñíîâå ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ïîêàçàëè øèðîêèé ñïåêòð èõ èñïîëüçîâàíèÿ:
ñ öåëüþ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ãåíåðàöèè ïàðàìåòðîâ ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé [4–6], ïðè ïðèìåíåíèè íîâûõ ôîðì ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ [7], à òàêæå
ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ äëÿ ãåíåðàöèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
[8–14] è äð.
Îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ íàïðàâëåíèé óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ êðèïòîñèñòåì
íà îñíîâå ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê àáåëåâûì ãðóïïàì áîëüøî-
ãî ïîðÿäêà, íàïðèìåð èñïîëüçîâàíèþ ãðóïï äèâèçîðîâ òî÷åê ãèïåðýëëèïòè÷åñ-
êîé êðèâîé. Âûñîêàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé íå ïîçâî-
ëÿåò ïðèìåíÿòü èõ íà ïðàêòèêå. Â ðåçóëüòàòå ïîèñêà àëüòåðíàòèâíûõ âàðèàíòîâ
ðàñøèðåíèÿ âîçìîæíîñòåé èñïîëüçîâàíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï áûëè âûáðàíû
èçîìîðôíûå òðàíñôîðìàöèè òî÷åê íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.
Èçîìîðôíûå òðàíñôîðìàöèè óæå ïðèìåíÿëèñü äëÿ ãåíåðàöèè îäíîíàïðàâëåí-
íûõ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ôóíêöèé [10]. Íåäîñòàòêîì ýòîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæ-
íîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî äâóõ èçîìîðôíûõ êðèâûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïñåâäîñëó-
÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èñïîëüçîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïîëÿ Fq .  ðàáîòàõ [1, 2]
óäåëåíî äîñòàòî÷íî âíèìàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿì íàä ïîëåì Fq , à òàêæå ïðåäëîæå-
íû èçîìîðôíûå òðàíñôîðìàöèè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèò-
ìîâ ãåíåðàöèè ïàðàìåòðîâ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ. Îäíàêî îöåíêè ìîùíîñòåé èçî-
ìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé â ýòèõ ðàáîòàõ ïðåäñòàâëåíû íå áûëè.
Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé íàä ðàñøèðåíèÿìè êîíå÷íûõ ïîëåé Ãàëóà è îöåíêà ìîùíîñòè èõ ìíîæå-
ñòâà ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíûì íàó÷íî-òåõíè÷åñêèì çàäàíèåì.
168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
© ×åâàðäèí Â.Å., 2013
ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÀß ÊÐÈÂÀß È ÅÅ ÈÇÎÌÎÐÔÍÀß ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈß
Èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [2] ðàññìîòðèì íåñóïåðñèíãóëÿðíóþ ýëëèïòè-
÷åñêóþ êðèâóþ è ñïîñîáû åå òðàíñôîðìàöèè.
Ïóñòü ïðîèçâîëüíàÿ íåñóïåðñèíãóëÿðíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ Å îïðåäåëå-
íà êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì êðèâîé íàä ïîëåì F m2
:
E y yx x ax b f x: ( ) ( )2 3 2
� � � � mod , (1)
ãäå a b F m, �
2
, f x( ) — íåïðèâîäèìûé ïîëèíîì íàä ïîëåì F m2
.
Íåñóïåðñèíãóëÿðíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå E1 è E2 íàä ðàñøèðåíèåì êî-
íå÷íîãî ïîëÿ Ãàëóà ñ÷èòàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì �
ãðóïïû òî÷åê êðèâîé E1 â ãðóïïó òî÷åê êðèâîé E2 , ò.å. �: E E1 2� . Ðàññìîòðèì
îäèí èç ñïîñîáîâ èçîìîðôíîé òðàíñôîðìàöèè êðèâîé (1).
Âûïîëíèì èçîìîðôíóþ òðàíñôîðìàöèþ êðèâîé (1) ïîñðåäñòâîì ââåäåíèÿ
íîâîé ïåðåìåííîé äëÿ íåêîòîðîãî k F m�
2
* . Òîãäà y kx� �� , ãäå �, x F m�
2
, è óðàâ-
íåíèå (1) â íîâûõ ïåðåìåííûõ ( , )x � ïðèìåò âèä
( ) ( )� �� � � � � �kx x kx x ax b2 3 2 ,
� �
2 2 2 2 3 2
� � � � � �k x x kx x ax b,
� �
2 3 2 2
� � � � � �x x k k a x b( ) .
Ïðîâåäåì çàìåíó a k k a� � � �
2 è ïîëó÷èì óðàâíåíèå (1) â íîâûõ ïåðåìåííûõ:
� �
2 3 2
� � � � �x x a x b..
Çàìåíîé � � ��a a ïîëó÷èì
k k2
� � �. (2)
Óòâåðæäåíèå 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé íàä ïîëåì F m2
ñóùåñòâîâàíèå åå èçîìîðôíîé òðàíñôîðìàöèè îïðåäåëÿåòñÿ
ñóùåñòâîâàíèåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2), ò.å. òðåáîâàíèåì Tr( )� � 0 èëè
Tr Tr( ) ( )a a� � .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ èçîìîðôíîé òðàíñôîðìàöèè, ïîëó÷åí-
íîé çàìåíîé y kx� �� , âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ñëåäà ýëåìåíòà y F m�
2
:
Tr Tr( ) , ( )y y y y y y y F
n
� � � � � � �
�2 4 8 2
2
1
� .
Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ 1.
Äëÿ íå÷åòíîãî m ïðè óñëîâèè Tr( )� � 0 îïðåäåëèì äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2):
k
m
� � � � � �
�
� � � � �
4 16 64 2 1
� , (3)
k k� � �1 .
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (3) íàéäåì k 2 :
k
m m2 2 8 32 128 2 2 8 32 128 2 2
� � � � � � � � � � � � �
�
� � � � � � � � � � �� � . (4)
Ó÷èòûâàÿ ëèíåéíîñòü ñëåäà Tr Tr Tr Tr( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �k k k k2 2 0 è óñëîâèå
Tr( )� � 0, ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (3) è (4) â (2):
k k a a a a a a a a a a
m2 2 4 16 32 2 1
� � � � � � � � � � � �
�
( ) ( )� Tr .
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (2) èìååò ðåøåíèå òîëüêî ïðè Tr( )� � 0 ,
ò.å. Tr Tr( ) ( )a a� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 169
ÌÎÙÍÎÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÈÇÎÌÎÐÔÍÛÕ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈÉ
Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1 Tr Tr( ) ( )a a� � , ò.å. ÷èñëî èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìà-
öèé ïðè çàìåíå y kx� �� ðàâíî ÷èñëó êîìáèíàöèé a� è a ïðè a a� � .
Óòâåðæäåíèå 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé (1) ïðè ôèêñèðîâàííîì êîýôôèöèåíòå b ñóùåñòâóåò ðîâíî 2 1m� èçîìîðôíûõ
òðàíñôîðìàöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ôèêñèðî-
âàííîãî a F m�
2
ðîâíî 2 11m�
� òàêèõ ýëåìåíòîâ a F m��
2
, ÷òî Tr Tr( ) ( )a a� � , ïðè-
÷åì a a� � . Îáùåå ÷èñëî èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé ýòîãî òèïà çà ñ÷åò èçìåíå-
íèÿ êîýôôèöèåíòà à ðàâíî 2 1m� .
Èçîìîðôíàÿ òðàíñôîðìàöèÿ êðèâîé òàêæå âîçìîæíà ïðè çàìåíå êîýôôèöè-
åíòà b íà b
i2 , ãäå 0 1 �i m . Îòñþäà âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ 3.
Óòâåðæäåíèå 3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé âèäà (1) ïðè âîçâåäåíèè êîýôôèöèåíòà b â êâàäðàò ( )m �1 ðàç ñóùåñòâóåò
ðîâíî m èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.
Ñ ó÷åòîì óòâåðæäåíèé 2 è 3 ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 4. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé (1) ñóùåñòâóåò ðîâíî m m
�2 1 èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé, ïîëó÷åííûõ çà-
ìåíîé êîýôôèöèåíòîâ a b F m, �
2
.
Ðàññìîòðåííûé âàðèàíò òðàíñôîðìàöèé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé (1) ñîîòâåò-
ñòâóåò Tr( )x a bx� � �
�
2
2 0 â [2], ò.å. ó÷èòûâàþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà Tr( )a �1 ëèáî
Tr( )a � 0 ïðè íå÷åòíîì m. Êðèâûå ñî ñëåäàìè Tr( )a � 0 è Tr( )a �1 ÿâëÿþòñÿ
êðèâûìè êðó÷åíèÿ [2].
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî àíàëèçà òðàíñôîðìàöèé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýë-
ëèïòè÷åñêîé êðèâîé E y yx x ax b f x: ( ) ( )2 3 2
� � � � mod íàä ïîëåì F m2
áûëî
ïîëó÷åíî ÷èñëî òðàíñôîðìàöèé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé,
êîòîðîå çàâèñèò îò ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ Ãàëóà. Òàê, îáùåå ÷èñëî òðàíñ-
ôîðìàöèé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé (1) ðàâíî m m
�2 1. Äîêà-
çàííûå óòâåðæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòûâàòü ìîùíîñòü ìíîæåñòâà
òðàíñôîðìàöèé íåñóïåðñèíãóëÿðíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò
î öåëåñîîáðàçíîñòè ðàçðàáîòêè è óñîâåðøåíñòâîâàíèè ïåðñïåêòèâíûõ êðèïòî-
ãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì è àëãîðèòìîâ íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèé â ãðóïïå òî÷åê
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Íàïðèìåð, óæå ïðè òðàíñôîðìàöèè íà îñíîâå èçìåíå-
íèÿ êîýôôèöèåíòà a ñóùåñòâóåò 2 1m� èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé, ÷òî îòêðû-
âàåò íîâóþ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü èçîìîðôíûå òðàíñôîðìàöèè â êà÷åñòâå
äîïîëíèòåëüíîãî ïàðàìåòðà, âëèÿþùåãî íà ýíòðîïèþ ïðè âîññòàíîâëåíèè
ëèáî ïðîãíîçèðîâàíèè âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñ-
êèõ êðèâûõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê î á ë è ö Í . Êóðñ òåîðèè ÷èñåë è êðèïòîãðàôèè: Ïåð. ñ àíãë. Ì.À. Ìèõàéëîâîé è Â.Å. Òàðà-
êàíîâà / Ïîä ðåä. À.Ì. Çóáêîâà. — Ì.: Íàó÷. èçäàòåëüñòâî ÒÂÏ, 2001. — 254 ñ.
2. Á å ñ ñ à ë î â À .  . , Ò å ë è æ å í ê î À . Á . Êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ: Ó÷åá.
ïîñîáèå. — Ê.: ²ÂÖ «Âèäàâíèöòâî «Ïîë³òåõí³êà»», 2004. — 224 ñ.
3. H u s e m ��ol l e r D . Elliptic Curves, Second ed. — New York: Springer, 2002. — 487 ð.
170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
4. K o n s t a n t i n o u E . On the efficient generation of elliptic curves over prime fields // Lecture
Notes in Computer Science. — 2002. — 2523. — P. 333–348.
5. B a i e r H . , B u c h m a n n J . Efficient construction of cryptographically strong elliptic curves //
In: Progress in Cryptology — INDOCRYPT 2000, LNCS, 1977. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.
— P. 191–202.
6. B r o k e r R . , S t e v e n h a g e n P . Constructing elliptic curves of prime order // Contemporary
Mathematics. — 2008. — N 463. — P. 17–28.
7. E d w a r d s H . M . A normal norm for elliptic curves // Bulletin of the American Mathematical
Society.– 2007. — 44. — P. 393–422.
8. K a l i s k i J r . B . S . A pseudo-random bit generator based on elliptic logarithms // Advances
in Cryptology: Proceedings of Crypto’86. — New York: Springer-Verlag, 1987. — P. 84–103.
9. I m p a g l i a z z o R . Pseudo-random generation from one-way functions // Proc. of the 21st Annual
ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, New York. — 1989. — P. 12–24.
10. B u r t o n S . One-way permutations on elliptic curves // J. of Cryptology. International Association
for Cryptologic Research. — 1991. — 3, N 3 — P. 187–199.
11. G j �os t e e n K . Comments on Dual-EC-DRBG/NIST SP 800-90, Draft, December 2005 //
March 16. — 2006.
12. N I S T Special Publication 800-90A. Recommendation for Random Number Generation Using
Deterministic Random Bit Generators (Revised) / Computer Security Division Information
Technology Laboratory. National Institute of Standards and Technology. — January 2012. —
P. 128.
13. Ã î ð á å í ê î ² . Ä . , Ø à ï î ÷ ê à Í . Â . , Ï î ã ð å á í ÿ ê Ê . À . Ìåòîä ïîáóäóâàííÿ âèïàäêî-
âèõ á³ò³â íà îñíîâ³ ñïàðþâàííÿ òî÷îê åë³ïòè÷íèõ êðèâèõ // Ïðèêëàäíàÿ ðàäèîýëåêòðîíèêà. —
2010. — 9, ¹ 3. — Ñ. 386–394.
14. Á å ñ ñ à ë î â À .  . , × å â à ð ä è í  . Å . Ìåòîä ãåíåðàöèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé íà îñíîâå èçîìîðôíûõ òðàíñôîðìàöèé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé // Òàì æå. — 2012. —
11, ¹ 2. — C. 234–237.
Ïîñòóïèëà 09.07.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 171
|