Игра в цензуру в задаче оптимального выбора

Розглянуто гру оптимального вибору, в якій один з гравців прагне зменшити ймовірність вибору найкращого об’єкта іншим гравцем шляхом заборони або обмеження проглядання окремих елементів. Знайдено оптимальні стратегії гравців, що утворюють рівновагу за Нешем, та досліджено асимптотичну поведінку стра...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Доценко, С.И., Маринич, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86277
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора / С.И. Доценко, А.В. Маринич // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 124-131. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86277
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-862772015-09-12T03:01:37Z Игра в цензуру в задаче оптимального выбора Доценко, С.И. Маринич, А.В. Системный анализ Розглянуто гру оптимального вибору, в якій один з гравців прагне зменшити ймовірність вибору найкращого об’єкта іншим гравцем шляхом заборони або обмеження проглядання окремих елементів. Знайдено оптимальні стратегії гравців, що утворюють рівновагу за Нешем, та досліджено асимптотичну поведінку стратегій у випадку, коли кількість об’єктів, що проглядається, прямує до нескінченності. A modification of the classical secretary problem is considered that is obtained by adding the second player called a censor who tries to preclude the other player’s optimal choice by imposing some restrictions on the search. Nash equilibrium is found in explicit form of mixed strategies for two different types of censorship. The asymptotic behavior of diverse numerical quantities associated with optimal strategies for both players are studied in the case when the number of objects tends to infinity. 2013 Article Игра в цензуру в задаче оптимального выбора / С.И. Доценко, А.В. Маринич // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 124-131. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86277 519.83 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Доценко, С.И. Маринич, А.В. Игра в цензуру в задаче оптимального выбора Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто гру оптимального вибору, в якій один з гравців прагне зменшити ймовірність вибору найкращого об’єкта іншим гравцем шляхом заборони або обмеження проглядання окремих елементів. Знайдено оптимальні стратегії гравців, що утворюють рівновагу за Нешем, та досліджено асимптотичну поведінку стратегій у випадку, коли кількість об’єктів, що проглядається, прямує до нескінченності.
format	Article
author	Доценко, С.И. Маринич, А.В.
author_facet	Доценко, С.И. Маринич, А.В.
author_sort	Доценко, С.И.
title	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора
title_short	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора
title_full	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора
title_fullStr	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора
title_full_unstemmed	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора
title_sort	игра в цензуру в задаче оптимального выбора
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86277
citation_txt	Игра в цензуру в задаче оптимального выбора / С.И. Доценко, А.В. Маринич // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 124-131. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT docenkosi igravcenzuruvzadačeoptimalʹnogovybora AT mariničav igravcenzuruvzadačeoptimalʹnogovybora
first_indexed	2025-07-06T13:44:23Z
last_indexed	2025-07-06T13:44:23Z
_version_	1836905360868245504
fulltext	ÓÄÊ 519.83 Ñ.È. ÄÎÖÅÍÊÎ, À.Â. ÌÀÐÈÍÈ× ÈÃÐÀ Â ÖÅÍÇÓÐÓ Â ÇÀÄÀ×Å ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÂÛÁÎÐÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âûáîðà, îñòàíîâêà öåïè Ìàðêîâà, ìàò- ðè÷íàÿ èãðà, ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ, ïîðîãîâàÿ ñòðàòåãèÿ. Çàäà÷à âûáîðà íàèëó÷øåãî îáúåêòà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ èñ- ñëåäîâàíèÿ îïåðàöèé, à èìåííî ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè. Èçíà÷àëüíî îíà áûëà ðàçðàáîòàíà Ìàðòèíîì Ãàðäíåðîì â ñåðåäèíå ÕÕ âåêà êàê ãîëîâîëîìêà. Âïîñëåäñòâèè îêàçàëîñü, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à è åå ìíîæåñòâåííûå ìîäèôèêàöèè ìîãóò ñëóæèòü èëëþñòðàòèâíûìè ïðèìåðàìè â òåîðèè îïòèìàëüíîé îñòàíîâêè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ è òåîðèè èãð. Â îñíîâå àíàëèçà ìíîãîøàãîâûõ èãð ëåæèò òàê íàçûâàåìàÿ êîíöåïöèÿ ñëîæíîãî ðàöèîíàëüíîãî ïîâåäåíèÿ èãðîêîâ, êîãäà êàæäûé èãðîê èñõîäèò èç òàêèõ ïðåäïîñûëîê: «ß âåäó ñåáÿ îïòèìàëüíûì îáðà- çîì. ß çíàþ, ÷òî ïðîòèâíèê âåäåò ñåáÿ îïòèìàëüíûì îáðàçîì. ß çíàþ, ÷òî ïðîòèâíèê çíàåò, ÷òî ÿ âåäó ñåáÿ îïòèìàëüíûì îáðàçîì» è ò.ä. Èãðîâûå ñèòóàöèè, âîçíèêàþùèå â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî âûáîðà, óñëîâíî ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà. Â îäíîì ñëó÷àå èãðîêè áîðþòñÿ çà âûáîð ýëåìåíòà ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì è èìåþò îäèíàêîâîå (èëè ñõîäíîå) ìíîæåñòâî äîïóñ- òèìûõ ñòðàòåãèé. Òàêèå èãðû ïðèíÿòî íàçûâàòü âîéíàìè èëè áèòâàìè. Ïðîöåññ áîðüáû çà âûáîð íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà íà îäíîì ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ ðàññìàòðè- âàëñÿ â [1]. Ñèòóàöèè, êîãäà èãðîêè äåëàþò âûáîð íà îòäåëüíûõ (ò.å. êàæäûé íà ñâîåì) ìíîæåñòâàõ ýëåìåíòîâ, èññëåäîâàëèñü â [2, 3]. Â ðàáîòå [2] öåëüþ èãðîêà áûë âûáîð íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà ðàíüøå, ÷åì ýòî ñäåëàåò ïðîòèâíèê, à â [3] íóæíî áûëî âûáðàòü ýëåìåíò, ðàíã êîòîðîãî âûøå, ÷åì ó ïðîòèâíèêà. Â èãðàõ äðóãîãî òèïà, â îòëè÷èå îò áèòâ, ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ ðàçëè÷íû, ïðè ýòîì èõ öåëè òàêæå îòëè÷àþòñÿ. Öåëü îäíîãî èãðîêà — âûáîð íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà, öåëü äðóãîãî — äîñòóïíûìè ñðåäñòâàìè ïîìåøàòü åìó ýòî ñäåëàòü. Èãðû òàêîãî òèïà ïðèíÿòî íàçûâàòü ïàðòèçàíñêèìè. Â [4] èññëå- äîâàíà çàäà÷à, â êîòîðîé èãðîê, ìåøàþùèé îñóùåñòâëåíèþ âûáîðà äðóãîãî èã- ðîêà, ìîã âëèÿòü îïðåäåëåííûì îáðàçîì íà ïîðÿäîê ïðîñìîòðà ýëåìåíòîâ. Â äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ èãð, â êîòîðûõ îäèí èç èãðîêîâ ñîçäàåò ïîìåõè äëÿ âûáîðà íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà ïóòåì çàïðåòà èëè îãðàíè÷åíèÿ ïðîñìîòðà îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Áîðüáà èãðîêîâ â ïðîöåññå ïðîñìîòðà ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûì ïðîöåññîì. Ïðîöåññû òàêîãî òèïà èññëåäîâàëèñü â [5]. ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß ÏÎ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×Å Â ðàáîòàõ [6, 7] ðàññìîòðåíà çàäà÷à âûáîðà íàèëó÷øåãî îáúåêòà, ñôîðìóëè- ðîâàííàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü íåêòî â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå ïðîñìàòðèâà- åò n îáúåêòîâ è äîëæåí âûáðàòü ñðåäè íèõ íàèëó÷øèé. Ïðè ýòîì ïîñëå îçíàêîìëåíèÿ ñ î÷åðåäíûì îáúåêòîì íóæíî ëèáî îñòàíîâèòü íà íåì ñâîé âûáîð, ëèáî ïðîäîëæèòü ïðîñìîòð; âîçâðàùàòüñÿ ê ðàíåå ïðîñìîòðåííûì îáúåêòàì íåëüçÿ. Îáúåêòû óïîðÿäî÷åíû îïðåäåëåííûì îáðàçîì, ò.å. êà÷åñòâà ëþáûõ äâóõ îáúåêòîâ ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé. Îçíàêîìëåíèå â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå îçíà÷àåò, ÷òî èçíà÷àëüíî âñå n! ïåðåñòàíîâîê, çàäàþùèõ ïîðÿäîê ïðîñìîòðà îáúåêòîâ, ðàâíîâåðîÿòíû. Îáúåêò, íàèëó÷øèé ñðåäè âñåõ n, íàçîâåì íàèëó÷øèì, à îáúåêò, ëó÷øèé ñðåäè k ïðîñìîòðåííûõ, — ìàêñèìàëüíûì. Î÷åâèäíî, ÷òî â õîäå ïðîñìîòðà 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 � Ñ.È. Äîöåíêî, À.Â. Ìàðèíè÷, 2013 ñëåäóåò àíàëèçèðîâàòü öåëåñîîáðàçíîñòü îñòàíîâêè âûáîðà íà íåêîòîðîì îáúåêòå, òîëüêî åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïåðâûé îáúåêò ìàêñèìàëüíûé è èíäåêñû ìàêñèìàëüíûõ îáúåêòîâ îáðàçóþò öåïü Ìàðêîâà ñ ïåðåõîäíûìè âåðîÿòíîñòÿìè p k j k j j ( , ) ( ) � �1 , j k� . Íåçàâèñèìî îò òîãî, ìàêñèìàëüíûé k-é ýëåìåíò èëè íåò, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè ýëåìåíòîâ ñ èíäåêñàìè k n�1, ,� ìèíèìàëüíûì èíäåêñîì ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà áóäåò j, ðàâíà k j j( )�1 , j k� , è ñ âåðîÿòíîñòüþ1 1 � � � � � p k j k nj k n ( , ) â ïîñëå- äîâàòåëüíîñòè k n�1, ,� íå âñòðåòèòñÿ íè îäíîãî ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà. Â ðàáîòå [6, ñ. 100] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ âûáîðà íàèëó÷øåãî èç n îáúåêòîâ ñ ìàêñèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ íóæíî ïðèäåðæèâàòüñÿ òàêîé ñòðàòåãèè: âíà÷àëå ïðîïóñòèòü âñå ýëåìåíòû ñ èíäåêñàìè 1 1, ,� kn � , çàòåì îñòàíîâèòü ñâîé âûáîð íà ïåðâîì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå ñ èíäåêñîì, íå ìåíüøèì kn , ãäå kn îïðåäå- ëÿåòñÿ èç äâîéíîãî íåðàâåíñòâà 1 1 1 1 1 1 1 1k n k nn n � � � � � � � � � � . (1) Î÷åâèäíî, ÷òî k n e n 1 ïðè n �, à âåðîÿòíîñòü âûáîðà íàèëó÷øåãî îáúåêòà ïðè ñîáëþäåíèè îïèñàííîé ñòðàòåãèè ñòðåìèòñÿ ê e�1. Åñëè îñòàíîâèòüñÿ íà ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå, èìåþùåì èíäåêñ k, òî óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà áóäåò ðàâíà p k k n 1 ( ) � , à åñëè ïðîäîëæèòü ïðîñìîòð è îñòàíîâèòüñÿ íà ñëåäóþùåì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå, òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâèò p k k n jj k n 2 1 1 ( ) � � � � . Âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà (1) ñïðàâåäëèâû òàêèå íåðàâåíñòâà: p k p k1 2( ) ( )� ïðè k kn� , p k p k1 2( ) ( )� ïðè k kn� . (2) ÈÃÐÀ Â ÖÅÍÇÓÐÓ Äàííàÿ èãðà ÿâëÿåòñÿ àíòàãîíèñòè÷åñêîé è âåäåòñÿ íà ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòîâ. Ïóñòü ó âòîðîãî èãðîêà (íàçîâåì åãî âûáèðàþùèì) òà æå öåëü, ÷òî è â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å, — íàéòè íàèëó÷øèé ýëåìåíò. Öåëü ïåðâîãî èãðîêà (íàçîâåì åãî öåíçîðîì) — ïîìåøàòü åìó ýòî ñäåëàòü. Âñå n! ïåðåñòàíîâîê ðàâíîâåðîÿòíû, è îáà èãðîêà íå ìîãóò âëèÿòü íà ïîðÿäîê ïðîñìîòðà ýëåìåí- òîâ. Öåíçîð ïðîñìàòðèâàåò êàæäûé ýëåìåíò ïåðåä òåì, êàê åãî ïðîñìîòðèò âûáèðàþùèé. Îí èìååò íåêîòîðûå ïîëíîìî÷èÿ, êîòîðûå çàêëþ÷àþòñÿ â ÷àñ- òè÷íîì çàïðåòå èëè îãðàíè÷åíèè ïðàâ âûáèðàþùåãî íà ïðîñìîòð ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì äâà âàðèàíòà ïîëíîìî÷èé öåíçîðà: — öåíçîð îäèí ðàç çà èãðó ìîæåò çàïðåòèòü ïðîñìîòð ýëåìåíòà (ïîñëå ýòîãî åãî ïîëíîìî÷èÿ èñ÷åðïûâàþòñÿ); — öåíçîð îäèí ðàç çà èãðó ìîæåò çàêðûòü ïðîñìîòð ëþáîãî ýëåìåíòà; ïðîñìàòðèâàþùèé ìîæåò îòêðûòü çàêðûòûé ýëåìåíò (íî òîãäà îí äîëæåí çàêîí÷èòü ïðîñìîòð è âûáðàòü çàêðûòûé ýëåìåíò) ëèáî ïðîäîëæèòü ïðîñìîòð (ïîëíîìî÷èÿ öåíçîðà íà ýòîì èñ÷åðïûâàþòñÿ). Ïåðâûé âàðèàíò. Â ýòîì ñëó÷àå öåíçîðó íå ñëåäóåò çàïðåùàòü ïðîñìîòð ýëåìåíòîâ, ìåíüøèõ kn , ïîñêîëüêó íà ýòîì åãî ïîëíîìî÷èÿ èñ÷åðïàþòñÿ è âûáè- ðàþùèé, ïðèäåðæèâàÿñü îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè êëàññè÷åñêîé çàäà÷è, âûáåðåò îïòèìàëüíûé ýëåìåíò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 1/ ( )e o� (êàê â îòñóòñòâèå öåíçîðà). Öåí- çîðó ñëåäóåò çàïðåòèòü ïðîñìîòð ïåðâîãî ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà ñ èíäåêñîì, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 125 íå ìåíüøèì kn (îáîçíà÷èì k èíäåêñ òàêîãî ýëåìåíòà). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îí ýòîãî íå ñäåëàåò, òî âûáèðàþùåìó âûãîäíî áóäåò îñòàíîâèòüñÿ íà äàííîì ýëå- ìåíòå. Â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâèò p k k n 1 ( ) � . Åñëè ïðîñìàò- ðèâàþùèé íå îñòàíîâèòñÿ íà ýòîì ýëåìåíòå, òî âåëè÷èíà âûèãðûøà íå áóäåò ïðåâûøàòü p k2 ( ), íî p k p k2 1( ) ( ) â ñèëó (2). Åñëè öåíçîð çàïðåòèò ïðîñìîòð k-ãî ýëåìåíòà, òî âûáèðàþùåìó íóæíî îñòàíîâèòüñÿ íà ñëåäóþùåì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå, è, òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâèò p k2 ( ). Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ öåíçîðà íàéäåíà. Îïðåäåëèì îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ âûáèðàþùåãî. Åñëè îí áóäåò ïðèäåð- æèâàòüñÿ êëàññè÷åñêîé ñòðàòåãèè ñ ïîïðàâêîé íà òî, ÷òî öåíçîð çàïðåòèò åìó ïðîñìîòð ïåðâîãî ìàêñèìàëüíîãî ïîñëå kn ýëåìåíòà, òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîãëàñíî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñîñòàâèò f n k j j j i i i n k n j i n n i j n j k n n * ( ): ( ) ( ) � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 11 1 � � �� 1 1i j n j k n n . (3) Òàê êàê ôóíêöèÿ ( , ) ( )u v uv �1 íåïðåðûâíà íà êîìïàêòå {( , ): ,u v e u� � �1 1 u v� � 1}, èíòåãðàëüíàÿ ñóììà 1 1 1 2 1 1 1 n j n i ni j n j n e n / /[ / ] � � � � � �� ñõîäèòñÿ ê 1 1 1 2 1 1 1 u v dvdu ue �� / è â ñèëó ñõîäèìîñòè lim n nk n e � ��/ 1 ïîëó÷àåì lim n f n e � �� * ( ) ( ) ,2 01841 . (4) Åñëè öåíçîð íå çàïðåòèò ïðîñìîòð k-ãî ýëåìåíòà, òî âûáèðàþùèé äîëæåí íåçàìåäëèòåëüíî âîñïîëüçîâàòüñÿ åãî îøèáêîé, îñòàíîâèâøèñü íà ýòîì ýëåìåíòå. Çàìåòèì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ñòðàòåãèÿ âûáèðàþùåãî ñ ïîïðàâêîé íà öåíçîðà íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âûáèðàþùèé ðåøàåò îñòàíî- âèòüñÿ íà ïåðâîì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå, íà÷èíàÿ íå ñ kn , à, ñêàæåì, ñ 2 3 kn � �� . Òîãäà â èíòåðâàëå 2 3 1k kn n � �� ; ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ìî- æåò âñòðåòèòüñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò. Åñëè òàêîâîé ýëåìåíò âñòðåòèòñÿ è âû- áèðàþùèé íà íåì îñòàíîâèòñÿ (à, êàê ïîêàçàíî âûøå, öåíçîð íå áóäåò ýòîìó ïðå- ïÿòñòâîâàòü), òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà âûáèðàþùåãî áóäåò ïðåâûøàòü 2 3 k n n . Åñëè â óêàçàííîì èíòåðâàëå íå âñòðåòèòñÿ íè îäíîãî ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà, òî íà èíòåðâàëå [ ; ]k nn áóäåò ðàçûãðàí êëàññè÷åñêèé ïðîñìîòð ñ öåíçóðîé, ïðè ýòîì óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâèò ñîãëàñíî (4) âåëè÷èíó f n( ). Òàêèì îáðàçîì, ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ïðîñìàòðèâàþùåãî ïðè áîëüøèõ n ïðåâûñèò 0 5 1, e� . Àíàëîãè÷íî êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ ìåòîäîì îáðàòíîé èíäóêöèè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ èìååò ïîðîãîâûé âèä: îñòàíîâêà íà ïåðâîì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå ñ èíäåêñîì, áîëüøèì sn , ãäå s kn n� . Íàéäåì çíà÷åíèå sn è ïðåäåë t s nn n:� � lim . Ïîñêîëüêó âûáèðàþùåìó åùå íå âûãîäíî îñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýëåìåíòå sn �1 , èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî s n s j j j n s k f nn n n nj s k n n� � � � � �� 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , îòêóäà 1 1 11 2 � �� j n k f n j s k n n n * ( ). 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Çàìåòèì, ÷òî åñëè â ôîðìóëå ñóììû èëè ïðîèçâåäåíèÿ íèæíèé ïðåäåë èçìåíåíèÿ èíäåêñà ïðåâûøàåò âåðõíèé, òî òàêóþ ñóììó ïîëàãàåì ðàâíîé íóëþ, à ïðîèçâåäåíèå — åäèíèöå. Â òî æå âðåìÿ, ïîñêîëüêó âûáèðàþùåìó ñòàíîâèòñÿ âûãîäíî îñòàíàâëèâàòü- ñÿ íà ýëåìåíòå sn , äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî ñ ïðîòèâîïî- ëîæíûì çíàêîì 1 1 1 2 � � �� j n k f n j s k n n n * ( ). Òàêèì îáðàçîì, ïîðîã sn îïðåäåëÿåòñÿ ïîäîáíî kn èç äâîéíîãî íåðàâåíñòâà 1 1 1 1 1 2 1 2 j n k f n j n k f n j s k n j s k n n n n n � � � � � � �� * ( ) ( ), (5) ãäå f n ( ) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (3). Âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé w s n j s k f nn n n nj s k n n � � � � �� 1 1 1 11 2 * ( ). (6) Ïåðåõîäÿ â ôîðìóëå (5) ê ïðåäåëó ïðè n �, ñ ó÷åòîì (4) èìååì lim n j s n e j n � � � � � 1 1 21 [ / ] , îòêóäà ïîëó÷àåì lim n ns n e � �� 3 2/ . Èñïîëüçóÿ (6), çàêëþ÷àåì, ÷òî lim n nw e � �� 3 2/ . Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âûáèðàþùåãî — îñòàíîâêà íà ïåðâîì ìàêñèìàëüíîì ýëåìåíòå ïîñëå sn , ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ïðè óñëîâèè, ÷òî öåíçîð ïðèäåðæèâàåòñÿ íàéäåííîé ðàíåå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, ðàâíà (àñèìïòîòè÷åñêè) e�3 2/ . Ðàññìîòðèì äîïðåäåëüíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé n �10. Ñîãëàñíî (1) k10 4� , è âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñ ïîïðàâêîé íà çàïðåò ñîãëàñíî (3) ñîñòàâëÿåò f * ( ) ,10 0 221 . Èñïîëüçóÿ (5), íàõîäèì s10 3� , à ó÷èòûâàÿ (6), èìååì âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà w10 0 247 , . Âòîðîé âàðèàíò. Â ýòîì ñëó÷àå öåíçîð èìååò íå çàïðåòèòåëüíûå, à ëèøü îãðàíè÷èòåëüíûå ïîëíîìî÷èÿ. Åñëè îí áóäåò çàêðûâàòü òîëüêî ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû, òî âûáèðàþùèé, èìåÿ ïðàâî îòêðûòü òàêîé ýëåìåíò, ìîæåò ïðèäåðæè- âàòüñÿ êëàññè÷åñêîé ñòðàòåãèè è íå çàìå÷àòü äåéñòâèé öåíçîðà. Ïîýòîìó öåíçîð äîëæåí â ðÿäå ñëó÷àåâ áëåôîâàòü, ò.å. èíîãäà çàêðûâàòü ýëåìåíòû, íå ÿâëÿþùèå- ñÿ ìàêñèìàëüíûìè. Çàìåòèì, ÷òî öåíçîðó íå ñëåäóåò çàêðûâàòü ýëåìåíòû ñ èí- äåêñàìè, ìåíüøèìè kn (ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âûáèðàþùèé ïðîèãíîðèðóåò òàêîå çàêðûòèå, ïîëíîìî÷èÿ öåíçîðà èñ÷åðïàþòñÿ è âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà, êàê è â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, áóäåò ðàâíà 1 1/ ( )e o� ). Â òî æå âðåìÿ, åñëè öåíçîð íå çàêðûë ïåðâûé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, ïîÿâèâøèéñÿ ïîñëå kn �1, òî âûáèðàþ- ùåìó íóæíî îñòàíîâèòüñÿ íà íåì, ïîñêîëüêó òîãäà p k p k1 2( ) ( )� . Ñëåäîâàòåëü- íî, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ öåíçîðà ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì: íóæíî çàêðûòü ïåð- âûé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, ïîÿâèâøèéñÿ ïîñëå kn �1, ïðè ýòîì ñëåäóåò áëåôî- âàòü, ò.å. ñ êàêèìè-òî âåðîÿòíîñòÿìè çàêðûâàòü ýëåìåíòû, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ ïîñëå kn �1, âïëîòü äî ïîÿâëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà. Íàéäåì êîëè÷åñòâåí- íûå õàðàêòåðèñòèêè áëåôà. Ïóñòü âûáèðàþùèé íàáëþäàåò çàêðûòûé ýëåìåíò, èíäåêñ êîòîðîãî ðàâåí k kn� . Îí ïûòàåòñÿ óãàäàòü, ÷òî ÿâèëîñü ïðè÷èíîé çà- êðûòèÿ: ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò èëè èìååò ìåñòî áëåô. Âûèãðûø âûáèðàþùåãî çà- âèñèò îò ïðè÷èíû çàêðûòèÿ ýëåìåíòà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 127 Åñëè öåíçîð áëåôóåò, òî âåðîÿòíîñòè âûèãðûøà âûáèðàþùåãî ïðè îòêðûòèè ýëåìåíòà ëèáî ïðîäîëæåíèè ïðîñìîòðà ñîñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâåííî 0 è k n jj k n 11 � � � , à åñëè öåíçîð çàêðûâàåò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, òî âåðîÿòíîñòè âûèãðûøà âûáèðà- þùåãî ïðè àíàëîãè÷íûõ äåéñòâèÿõ ñîñòàâëÿþò k n è k n jj k n 11 � � � ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü p k( ) — âåðîÿòíîñòü áëåôà öåíçîðà, ò.å. çàêðûòèÿ k-ãî ýëåìåíòà ïðè óñëîâèè, ÷òî îí íå ìàêñèìàëüíûé, à Q k( ) — àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü áëåôà öåíçîðà ïðè óñëîâèè, ÷òî k-é ýëåìåíò çàêðûò. Âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ïðè âûáîðå çàêðûòîãî ýëåìåíòà ñîñòàâèò k n Q k( ( ))1� , à ïðè ïðîäîëæåíèè ïðîñìîòðà áóäåò ðàâíà k n jj k n 11 � � � . Åñòåñòâåííî, âûáèðàþùèé äîëæåí ñîâåðøèòü äåéñòâèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìóìó èç ýòèõ âåëè÷èí. Äëÿ öåíçîðà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé áóäåò âûáîð òàêîé âåðîÿòíîñòè áëåôà p k( ), ÷òîáû âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà âûáèðàþùåãî íå çàâèñåëà îò åãî äåéñòâèÿ, ò.å. k n Q k k n jj k n ( ( ))1 11 � � � � � , îòêóäà Q k jj k n ( ) � � � � �1 11 . (7) Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (7) íåîòðèöàòåëüíàÿ ïðè k kn� â ñèëó (1). Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü p k( ). Ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè Q k P k( ) {� -é ýëåìåíò íå ìàêñèìàëüíûé / k-é ýëåìåíò çàêðûò} � � � �P k k{ é ýëåìåíò çàêðûò, é ýëåìåíò íå ìàêñèìàëüíûé é ýëåìåíò çàêðûò} } { ( ) ( ) P k k k p k k k p k k � � � � � 1 1 1 , îòêóäà p k Q k Q k k ( ) ( ) ( ( ))( ) � � �1 1 . Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå Q k( ) èç (7), èìååì p k j j k j k n j k n ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 . (8) Îáîçíà÷èì �( )k óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî k-é ýëåìåíò çàêðûò öåíçîðîì (ýëåìåíò îêàçàëñÿ ìàêñèìàëüíûì èëè âñëåäñòâèå áëåôà) ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðåäûäóùèå ýëåìåíòû çàêðûòû íå áûëè. Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî �( ) ( )k k k k p k k jj k n � � � � � � � 1 1 1 1 11 . (9) Ïóñòü �( )k — âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà âûáèðàþùåãî ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðåäñòîèò ïðîñìîòð k-ãî ýëåìåíòa, ïðè÷åì íè âûáèðàþùèé, íè öåíçîð åùå íå âûøëè èç èãðû (ò.å âûáèðàþùèé íå ñäåëàë ñâîåãî âûáîðà, à öåíçîð íå èñ÷åðïàë ïîëíîìî÷èé), è äàëåå öåíçîð áóäåò ïðèäåðæèâàòüñÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè. Ïîñêîëüêó ñòðàòåãèÿ, ïðè êîòîðîé âûáèðàþùèé âñåãäà îñòàíàâëèâàåòñÿ íà 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 çàêðûòîì ýëåìåíòå, àêòèâíà, à âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà â ñèëó ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ðàâíà ( ( )) ( ) / ( ) 1 11 � � � � � � � � � � � � �� j i i i i nj k i i k n , ïî òåîðåìå îá àêòèâíûõ ñòðàòåãèÿõ äëÿ ìàòðè÷íûõ èãð ïîëó÷èì � � � � ( ) ( ( )) ( ) / ( ) k j i i i i n nj k i i k n � � � � � � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � �� ( ( ))1 1 1 � j j k i i k n . (10) Íàéäåì îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ âûáèðàþùåãî. Ýòî áóäåò ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ âûáîðà çàêðûòîãî ýëåìåíòà, çàâèñÿùàÿ îò íîìåðà ïðîñìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà k. Åñëè ïðîñìàòðèâàþùèé âèäèò, ÷òî k-é (k kn� ) ýëåìåíò çàêðûò, òî ïóñòü îí îòêðûâàåò åãî ñ âåðîÿòíîñòüþ y k( ) è ïðîäîëæàåò ïðîñìîòð ñ äîïîëíèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïóñòü öåíçîð áëåôóåò ñ âåðîÿòíîñòüþ r k( ), íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùåé ñ íàéäåííîé ðàíåå âåðîÿòíîñòüþ p k( ). Òîãäà âåðîÿòíîñòè âûáîðà öåíçîðîì ñòðàòåãèé «Çàêðûòèå ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà», «Çàêðûòèå ýëåìåíòà, áëåô», «Îñòàâèòü ýëåìåíò îòêðûòûì» ñîñòàâÿò 1 k , k k r k �1 ( ), k k r k � � 1 1( ( )) ñîîòâåòñòâåííî. Âåëè÷èíû âûèãðûøà âûáèðàþùåãî âî âñåõ âîçìîæíûõ ñèòóàöèÿõ, êîòîðûå ìîãóò ñëîæèòüñÿ â õîäå ïðîñìîòðà k-ãî ýëåìåíòà îáîèìè èãðîêàìè, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1. Îáîçíà÷èì � R r k k k k r k k k r k( ( )) , ( ), ( ( ))� � � �� 1 1 1 1 , � Y k y k y k( ) ( ( ), ( ))� �1 , A k k n k n j k n j k k j k n j k n ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 1 1 1 1 1 � �� . Òîãäà âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ïðîñìàòðèâàþùåãî ðàâíà F r k y k R r k A k Y kT( ( ), ( )) ( ( )) ( ) ( )� � � . (11) Ïîñêîëüêó (11) ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé ïî r k( ) è y k( ), ïðè ëþáîì ôèê- ñèðîâàííîì çíà÷åíèè y k( ) ìèíèìóì ïî r k( ) äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ èíòåðâàëà, ò.å. ïðè r k( ) � 0 èëè r k( ) �1 èìååì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 129 Ñòðàòåãèÿ öåíçîðà Ñòðàòåãèÿ âûáèðàþùåãî Îòêðûòèå ýëåìåíòà Ïðîäîëæåíèå ïðîñìîòðà Çàêðûòèå ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà k n k n jj k n 11 � � � Çàêðûòèå ýëåìåíòà, áëåô 0 k n jj k n 11 � � � Îñòàâèòü ýëåìåíò îòêðûòûì �( )k � 1 �( )k � 1 Ò à á ë è ö à 1 F y k n j y k n j k k k j k n ( , ( )) ( ) (0 1 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) j k n � � � 1 , (12) F y k n k j y k k n jj k n j k n ( , ( )) ( )1 1 1 1 11 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � . (13) Çàìåòèì, ÷òî F y k( , ( ))0 ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à F y k( , ( ))1 ìîíîòîííî óáûâà- åò ïî y k( ). Â ñèëó ôîðìóëû (9) èìååì �( ) /k k� 1 , k kn� , ïîýòîìó � �( ) ( ( ))k n j n j j k n ij k i i k n i k n � � � � � � � � � � � � � ��1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 �� j k i n i k n k k, . Îòcþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî F F( , ) ( , )0 0 1 0� , F F( , ) ( , )0 1 1 1� . Òîãäà âûðàæåíèå min ( ( , ( )), ( , ( )))F y k F y k0 1 , ÿâëÿþùååñÿ ãàðàíòèðîâàííûì âûèãðûøåì âûáè- ðàþùåãî, äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè F y k F y k( , ( )) ( , ( ))0 1� , îòêóäà, ó÷èòû- âàÿ (10), èìååì y k j k j j k i i k n j k n ( ) ( ( )) � � � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 1 2 1 � . (14) Åñëè âûáèðàþùèé íà÷èíàåò ïðîñìîòð ñ kn è èãðîêè ïðèäåðæèâàþòñÿ ñâîèõ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé, òî âåëè÷èíà âûèãðûøà âûáèðàþùåãî ñîñòàâèò �( )kn . Îäíàêî, êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, âûáèðàþùèé ìîæåò óâåëè÷èòü ñâîé âûèãðûø, âûáèðàÿ ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò â ïðîìåæóòêå [ , ]1 1kn � . Äëÿ ýëåìåíòîâ ñ èíäåêñàìè s kn , íà êîòîðûõ ñëåäóåò îñòàíîâèòüñÿ, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî s n s j j j n s k k n n j s kn � � � �� ( ) ( ) 1 11 1 � , îòêóäà èìååì 1 1 1 2 j n k k n n j s kn � � �� ( ). (15) Ïóñòü sn — ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå s, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî (15). Âåëè- ÷èíà âûèãðûøà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâèò s j j j n s k k s n j s k kn n n n n n n n j � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )� � s k j s k n n n n � � � � �� 1 21 . (16) Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü (15) îòðèöàòåëüíàÿ, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî âûáèðàþùåìó ñëå- äóåò íà÷àòü ïðîñìîòð ñ kn , èíà÷å åãî íóæíî íà÷èíàòü ðàíüøå. Ïðèâåäåì ÷èñëåííûé ïðèìåð ïðè n �10. Â òàêîì ñëó÷àå k10 4� , �( ) ,k10 0 303 , à ïðàâàÿ ÷àñòü (15) ðàâíà 1 10 3 0 303 0� , . Çíà÷èò, âûáèðàþùåìó íå ñëåäóåò îñòàíàâëè- âàòüñÿ ðàíåå ÷åì íà k10 , è, òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâèò 0,303. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé p k k( ), ( )� è y k( ) ïðèâåäåíû â òàáë. 2. 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Âåðîÿòíîñòü Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàçëè÷íûõ k 4 5 6 7 8 9 10 p k( ) 0,001 0,085 0,167 0,273 0,462 1 1 � ( )k 0,251 0,268 0,305 0,377 0,529 1 1 y k( ) 0,321 0,375 0,415 0,446 0,471 0,5 1 Ò à á ë è ö à 2 Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âåëè÷èí � �( ), ( ), ( ), ( )k p k k y k ïðè n �. Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìûå âåëè÷èíû îïðåäåëåíû äëÿ k kn� , òî k � ïðè n �. Ïóñòü ñóùåñòâóåò t k n e n : /� � � lim 1 , òîãäà èç (8)–(10) ïîëó÷èì p t np k t t tn ( ): ( )� � � � � lim ln ln 1 , � �( ): ( )t n k t tn � � � � lim ln 1 , �( ) expt v v dv du t t t n t u t � � � � � � � � � � � � � � � � ��lim ln ln 1 1 1 ñîîòâåòñòâåííî. Â ÷àñòíîñòè, �( / )1 1 2 e e � � — ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå öåíû èãðû ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîñìàòðèâàþùèé âêëþ÷àåòñÿ â èãðó íà÷èíàÿ ñ ýëåìåíòà kn . Îäíàêî ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü âûèãðûø, îí äîëæåí âêëþ÷àòüñÿ â èãðó íà÷èíàÿ ñ sn , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç (15). Íàéäåì ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå s s nn n:� � lim . Èç (15) ñëåäóåò óðàâíåíèå ln 1/ e s � � � � � � �1 1 2 � �� e e , îòêóäà s ee� �4 0 278, . Öåíà èãðû ñòðåìèòñÿ ê ýòîé æå âåëè÷èíå, ÷òî âûòåêàåò èç (16). Èç (14) ïîëó÷èì y t y k t t t t tn ( ): ( )� � � � � � lim ln ln 1 1 2 . Äàííàÿ ôóíêöèÿ ìîíî- òîííî âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [ , )e�1 1 , y e e( ) ,� � � 1 3 0 282 è lim ( ) , t y t � � 1 0 0 5. Äëÿ ñðàâíåíèÿ â òàáë. 3 ïðèâåäåíû âåëè÷èíû âûèãðûøà w âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ. Êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû, öåíà èãðû óáûâàåò ñ ðîñòîì ñòåïåíè öåíçóðû, ÷åãî è ñëåäîâàëî îæèäàòü. Ðàññìîòðåíèå äðóãèõ âèäîâ öåíçóðû ïðèâîäèò ê ãîðàçäî áîëåå òðóäîåìêèì âûêëàäêàì, è, êàê ñëåäñòâèå, ôîðìóëû äëÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé áóäóò ãðîìîçäêèìè èëè íåïðåäñòàâèìûìè â ÿâíîì âèäå. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ä î ö å í ê î Ñ . È . Çàäà÷à âûáîðà íàèëó÷øåãî îáúåêòà êàê èãðà äâóõ ëèö // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. — 2011. — Âûï. 164. — Ñ. 43–53. 2. Ì à ç à ë î â Â . Â . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ èãð è ïðèëîæåíèÿ. — ÑÏá.: Ëàíü; 2010. — 446 ñ. 3. Ä î ö å í ê î Ñ . È . Èãðîâûå ñèòóàöèè â ìîäèôèöèðîâàííîé çàäà÷å îïòèìàëüíîãî âûáîðà // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. — 2012. — Âûï. 168. — Ñ. 3–8. 4. C a r v a l h o M . d e , C h a v e s L . M . , M a r t i n s R . Variations of secretary problem via game theory and linear programming // J. Comput. Sci. — 2008. — 7, N 3. — P. 24–30. 5. C h i k r i i A . A . Conflict-ñontrolled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. — 424 p. 6. Ä û í ê è í Å . Á . , Þ ø ê å â è ÷ À . À . Òåîðåìû è çàäà÷è î ïðîöåññàõ Ìàðêîâà. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 230 c. 7. Ã ó ñ å é í - Ç à ä å Ñ . Ì . Çàäà÷à âûáîðà è îïòèìàëüíîå ïðàâèëî îñòàíîâêè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1966. — 11, ¹ 3. — Ñ. 534–537. Ïîñòóïèëà 23.10.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 131 ×èñëî îáúåêòîâ Âåëè÷èíà âûèãðûøà w â çàäà÷àõ êëàññè÷åñêîé öåíçóðû-îãðàíè÷åíèÿ öåíçóðû-çàïðåòà n � 10 0,366 0,303 0,247 n � e� 1 0 368, ee � 4 0 278, e� 3 2 0 223/ , Ò à á ë è ö à 3

Игра в цензуру в задаче оптимального выбора

Репозитарії

Схожі ресурси