Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами
Розглянуто траєкторну задачу переслідування-втечі за умови обмежень на швидкості протидіючих об’єктів та на відстані між ними. Такий рівень модельних досліджень наближує тактичні можливості безпілотних літальних апаратів, що проектуються, до тактичних можливостей існуючих пілотованих літаків, що є а...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86283 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами / А.П. Криковлюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 181-186. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86283 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-862832015-09-12T03:01:32Z Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами Криковлюк, А.П. Краткие сообщения Розглянуто траєкторну задачу переслідування-втечі за умови обмежень на швидкості протидіючих об’єктів та на відстані між ними. Такий рівень модельних досліджень наближує тактичні можливості безпілотних літальних апаратів, що проектуються, до тактичних можливостей існуючих пілотованих літаків, що є актуальною задачею сучасного авіабудування. Запропоновано підхід, що дає змогу одержати точні розв’язки у конкретних параметричних ситуаціях A trajectory pursuit-evasion problem is considered in the plane under restrictions on speeds of counteracting objects and the distance between them. This level of model study brings tactical possibilities of designed pilotless flying devices closer to tactical possibilities of existing piloted aircrafts, which is that is an urgent problem of modern aircraft construction. An approach is proposed that allows one to obtain exact solution in specific parametric situations. 2013 Article Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами / А.П. Криковлюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 181-186. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86283 518.9 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Краткие сообщения Краткие сообщения |
| spellingShingle |
Краткие сообщения Краткие сообщения Криковлюк, А.П. Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто траєкторну задачу переслідування-втечі за умови обмежень на швидкості протидіючих об’єктів та на відстані між ними. Такий рівень модельних досліджень наближує тактичні можливості безпілотних літальних апаратів, що проектуються, до тактичних можливостей існуючих пілотованих літаків, що є актуальною задачею сучасного авіабудування. Запропоновано підхід, що дає змогу одержати точні розв’язки у конкретних параметричних ситуаціях |
| format |
Article |
| author |
Криковлюк, А.П. |
| author_facet |
Криковлюк, А.П. |
| author_sort |
Криковлюк, А.П. |
| title |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| title_short |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| title_full |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| title_fullStr |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| title_full_unstemmed |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| title_sort |
об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86283 |
| citation_txt |
Об одной задаче преследования–убегания с ограничением на расстояние между объектами / А.П. Криковлюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 181-186. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT krikovlûkap obodnojzadačepresledovaniâubeganiâsograničeniemnarasstoâniemežduobʺektami |
| first_indexed |
2025-07-06T13:44:45Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:44:45Z |
| _version_ |
1836905383990394880 |
| fulltext |
ÓÄÊ 518.9
À.Ï. ÊÐÈÊÎÂËÞÊ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß–ÓÁÅÃÀÍÈß
Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÅÌ ÍÀ ÐÀÑÑÒÎßÍÈÅ ÌÅÆÄÓ ÎÁÚÅÊÒÀÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ, îïòèìàëüíûå òðàåêòîðèè,
êîíôëèêòíûå ñèòóàöèè, ïðîòèâîáîðñòâóþùèå ñòîðîíû, áåñïèëîòíûå ëåòà-
òåëüíûå àïïàðàòû.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ ñ êîíêðåòíûìè òåðìèíàëüíû-
ìè ìíîæåñòâàìè ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ðåàëèçàöèé â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ
èãð ïðè ðàññìîòðåíèè êîíôëèêòíûõ ñèòóàöèé ïðîòèâîáîðñòâóþùèõ ñòîðîí.
Òåîðåòè÷åñêèå ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷ â ýòîé îáëàñòè ðàññìàòðèâà-
ëè Ð. Àéçåêñ, Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí, Í.Í. Êðàñîâñêèé, Á.Í. Ïøåíè÷íûé, À.À. ×èê-
ðèé è äð. [1–6], ÷òî ñïîñîáñòâîâàëî ðåøåíèþ äàííîé çàäà÷è.
 ðàáîòå [7] îïèñàíà çàäà÷à ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ â çàäàííîé ïðåäìåòíîé
îáëàñòè ñ ó÷åòîì åå ôèçè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêè ïðè íåêîòîðûõ
îãðàíè÷åíèÿõ íà ðàññòîÿíèå ìåæäó îáúåêòàìè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Îäíàêî ïðåäëîæåííûé ìåòîä íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è ïðåñëåäîâà-
íèÿ–óáåãàíèÿ â ñëó÷àå ìàëîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a — óäàëåíèÿ ïðåñëåäóåìîãî
îáúåêòà îò çîíû äåéñòâèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âûáîðà òðàåêòîðèè óõîäà îò ïðåñëåäîâàíèÿ ïðè ìàëûõ çíà÷å-
íèÿõ ïàðàìåòðà a ñ ïîñëåäóþùèì ïðåâðàùåíèåì ïðåñëåäóåìîãî â ïðåñëåäóþùåãî.
Íåñìîòðÿ íà ñðàâíèòåëüíóþ ïðîñòîòó (è â ñâîå âðåìÿ äèðåêòèâíî çàäàííîãî
â êà÷åñòâå îñíîâíîãî) òàêòè÷åñêîãî ìàíåâðà âî âçàèìîäåéñòâèÿõ ïðîòèâîáîðñòâó-
þùèõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ (îáúåêòû E è P [7]) ðîáîòîòåõíè÷åñêîãî òèïà [8],
ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è îòûñêàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îïòèìàëüíûõ òðàåê-
òîðèé (â àâòîíîìíîì ñëó÷àå) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Åå
ñïåöèôèêà çàêëþ÷àåòñÿ â íåîäíîçíà÷íîñòè èñêîìûõ òðàåêòîðèé, â òîì ÷èñëå èç-çà
íåìîíîòîííîñòè ïîâåäåíèÿ äâóõ öåëåâûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ îáúåêòà P, è ïîýòîìó
îñâåùåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî âîïðîñà ïðèîáðåòàåò ñìûñë ïîèñêà îáùåãî ïîäõîäà
ê ïîëó÷åíèþ òî÷íûõ ðåøåíèé â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíûõ òðåáîâàíèé, à ñàìà
ñòàòüÿ — âèä ðàçâåðíóòîãî àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ.
Òî÷êà E, êîòîðàÿ íàõîäèëàñü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â íà÷àëå êîîðäè-
íàò, äâèæåòñÿ âïðàâî ïî îñè 0x ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ � . Âìåñòå ñ íåé äâèæåòñÿ
îòêðûòàÿ îáëàñòü D, èìåþùàÿ ôîðìó ïåðâîãî êâàäðàíòà êðóãà ðàäèóñà R (ðèñ. 1).
Òî÷êà P, íàõîäèâøàÿñÿ â íà-
÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íà îñè
0x ïðàâåå E íà ðàññòîÿíèè a îò
ãðàíèöû D, äâèæåòñÿ â âåðõíåé
ïîëóïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ �.
Åå òðàåêòîðèÿ ìîæåò ñîñòîÿòü èç
ñîïðÿæåííûõ äóã îêðóæíîñòåé
ðàäèóñà R è ñîïðÿæåííûõ ñ íèìè
îòðåçêîâ ïðÿìûõ. Öåëüþ P ÿâëÿ-
åòñÿ óõîä îò E áåç ïåðåñå÷åíèÿ D
è çàíÿòèå íà 0x ïîëîæåíèÿ, ëåâåå
E , íà ðàññòîÿíèè � .  íà÷àëüíîé
òî÷êå P0 è â êîíå÷íîé òî÷êå Pk âåêòîð ñêîðîñòè íàïðàâëåí âäîëü îñè 0x. Òàêèì
îáðàçîì, òî÷êà P èç ïðåñëåäóåìîé ñòàíîâèòñÿ ïðåñëåäóþùåé. Íóæíî íàéòè òàêóþ
òðàåêòîðèþ P, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàëà áû äîñòèæåíèå öåëè çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 181
y
x
R
0
E0 EkP0 Pka �
Ðèñ. 1
© À.Ï. Êðèêîâëþê, 2013
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
 ðàáîòå [7] èññëåäîâàíû òðàåêòîðèè äëÿ a R� �( )� � � 1 è ïîêàçàíî, ÷òî ïðè
a R� �( )� � � 1 P óõîäèò îò ïðåñëåäîâàíèÿ ïî äóãå, ñîïðèêàñàÿñü ñ D â òî÷êå
C R R( ( ) / , / )2 3 3 6 2� � .
Ðàññìîòðèì óõîä P îò D ïðè 0 1� � �a R ( )� � � .  ýòîì ñëó÷àå P íå ìîæåò
ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî ïî äóãå, òàê êàê ýòî ïðèâåäåò ê ïåðåñå÷åíèþ D — óìåíü-
øåíèþ àáñöèññû íà÷àëà òðàåêòîðèè P íà �x R a� � �( )� � � 1 , ÷òî ðàâíîñèëüíî
ïëîñêîïàðàëëåëüíîìó ïåðåìåùåíèþ òðàåêòîðèè íà �x ëåâåå òî÷êè ñîïðèêîñíî-
âåíèÿ ñ D. Åñòåñòâåííûì ðåàãèðîâàíèåì íà óìåíüøåíèå a áóäåò ïåðåìåùåíèå P
ñíà÷àëà ïî äóãå � , à ïîòîì ïî îòðåçêó l ïðÿìîé AB (ðèñ. 2). Ïðè ýòîì � äîëæíà
áûòü íå áîëüøå è íå ìåíüøå íåêîòîðîé âåëè÷èíû, èíà÷å P ëèáî ïåðåñå÷åò D ,
ëèáî ïðîéäåò íà óäàëåíèè îò íåå è ïîòåðÿåò âðåìÿ. Îïðåäåëèì, ïðè êàêèõ ñîîò-
íîøåíèÿõ ìåæäó ïàðàìåòðàìè a , � , l òî÷êà P áóäåò óõîäèòü îò îáëàñòè D ,
ñîïðèêàñàÿñü ñ íåé â òî÷êå C.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé AB, ïî êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ P, ïðåäñòàâèì â âèäå îá-
ðàòíîé ôóíêöèè
x y
R
R a RP P� �
�
� � �
1 1
tg tg�
�
�
�
( cos )
( sin ) . (1)
Êîãäà îðäèíàòà P íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ 0 � �y RP , ãðàíèöà D ñîäåðæèò
òî÷êó CD , îðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà îðäèíàòå P. Ýòà òî÷êà ïðåñëåäóåò òî÷êó P,
ðàñïîëîæåííóþ íà åå ïóòè, è òîëüêî â ýòîé òî÷êå ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâè-
ÿõ P ìîæåò ñîïðèêàñàòüñÿ ñ D. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òàêèõ òî÷åê îáðàçóåò ëè-
íèþ îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðóþ òðàåêòîðèÿ P íå äîëæíà ïåðåñåêàòü. Òàê êàê
� �E P� , òî S SE P� è àáñöèññû òî÷åê CD è P ðàâíû, ò.å.
x S R y R l R yC P P PD
� � � � � � �2 2 2 2� . (2)
Òàê êàê
l
y RP�
� �( cos )
sin
1 �
�
, (3)
òî
x R
y R
R yC
P
PD
� �
� �
� ��
�
�
( cos )
sin
1 2 2 . (4)
Ðàññòîÿíèå d ìåæäó P è ïðåñëåäóþùåé åå òî÷êîé CD ðàâíî ðàçíèöå àáñöèññ
(1) è (4):
d x x y
R
P C PD
� � � �
�
�
1 1
tg tg�
�
�
( cos )
� � � � �
� �
� �( sin )
( cos )
sin
R a R R
y R
R yP
P
� �
�
�
1 2 2 . (5)
�
R
�
l sin�
E0
P0
R � + l
EC
CD
A
22
PyR �
y
x
y P
B
PC
0
R(1 � cos�)
Ðèñ. 2
Ðåøàÿ óðàâíåíèå
� � �
�
�d
y
R y
y
P
P
P
1 1
0
2 2tg� �sin
(6)
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî �
�
�
d
y
R y
y y
P
P
P P
2
2
0
2
2 2 3 2( ) /
, íàõîäèì, ÷òî ïðè
y RP � sin
�
2
(7)
d � 0, ò.å. òðàåêòîðèÿ òî÷êè P êàñàåòñÿ ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ (2).
Èç (3) ñ ó÷åòîì (7) ñëåäóåò
l R�
�1 2
2
2
2
sin
cos
�
�
. (8)
Ïîäñòàâëÿÿ (7) â (5), íàõîäèì
R a R l� � �� 2 , (9)
÷òî ïîçâîëÿåò ïî çàäàííîìó a âû÷èñëÿòü � è l. Èç (9) è (8) ñëåäóåò, ÷òî ïðè
óìåíüøåíèè a äî íóëÿ � òàêæå óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ, à l ñòðåìèòñÿ ê R / 2, ïðè
óâåëè÷åíèè a äî R ( )� � � �1 � óâåëè÷èâàåòñÿ äî � � � , à l óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ.
Ñîîòíîøåíèå (7) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî âíå çàâèñèìîñòè îò ïðåäûäóùåãî
ïóòè ïåðåìåùàþùàÿñÿ ïîä óãëîì � ê 0x òî÷êà P â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ D
èìååò îðäèíàòó y RP � sin
�
2
, ò.å. âèäíà èç òî÷êè E ïîä óãëîì � � � . Ýòî ïîçâîëÿ-
åò îïðåäåëèòü ýëåìåíòû òðàåêòîðèè S �1 2�
ïðè ïåðåìåùåíèè P èç ëþáîé òî÷êè
ãðàíèöû D, õàðàêòåðèçóåìîé îðäèíàòîé y R1
1
2
� sin
�
, â ëþáóþ òî÷êó ãðàíèöû D,
èìåþùóþ îðäèíàòó y R2
2
2
� sin
�
. Ïðè ýòîì � � �1 2� � k , ãäå êðèòè÷åñêèé
óãîë � k � 2 0 25arcsin , , î ÷åì ïîéäåò ðå÷ü äàëüøå. Òðàåêòîðèÿ ïåðåìåùåíèÿ ñî-
ñòîèò èç äâóõ îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ l1 è l2 , ñîïðÿæåííûõ äóãîé � � � �� �2 1
(ðèñ. 3). Çíà÷åíèÿ l1 è l2 ïîëó÷àåì ðåøåíèåì ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé, îòðàæàþ-
ùèõ ðàâåíñòâî êîîðäèíàò òî÷åê P2 è C2 :
x x
y y
P C
P C
2 2
2 2
�
�
�
�
�
,
,
ò.å.
R l R l
R l
cos cos (sin sin ) cos
cos
�
� � � �
�
1
1 1 2 1 2 2
2
1
2
2
� � � � �
� � � � �
� � � �
R l
R l R l
( ) ,
sin sin (cos cos ) sin
� �
�
� � � �
2 1 2
1
1 1 1 2 2
2
2
2
2
�
�
�
�
R sin .
�
Îòñþäà
l R
B A
1
2 2
1 2 1
2 2
2
2 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
sin cos
sin sin
,
� �
� � �
l R
A B
2
1 1
2 2 1
2 2
2
2 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
cos sin
sin sin
,
� �
� � �
(10)
ãäå
A � �
�
�
�
�
�
� � � � �cos cos (sin sin ) ( )
� �
� � � �1 2
2 1 2 1
2 2
,
B � �
�
�
�
�
�
� � �sin sin (cos cos )
� �
� �2 1
1 2
2 2
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 183
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Ïîñêîëüêó äóãó �� � �� �2 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñóììîé ñêîëü óãîäíî áîëü-
øîãî êîëè÷åñòâà äóã � �� ��
�
�
i
n
i
1
, òî ýòî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü òðàåêòîðèþ
S �1 2�
, ñîñòîÿùóþ èç äóãè �� � R è äâóõ îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ l1 è l2 , ñóììîé
ñêîëü óãîäíî áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ýëåìåíòàðíûõ çâåíüåâ � i S �
� � � � �l R li i i� � 1. Òàê êàê S SP E� , à ïðîåêöèÿ íîâîé òðàåêòîðèè íà 0x ìåíü-
øå, ÷åì ïðîåêöèÿ ïåðâîíà÷àëüíîé, òî íîâàÿ òðàåêòîðèÿ êîðî÷å èñõîäíîé. Ïîý-
òîìó â êëàññå çàäàííûõ òðàåêòîðèé íåâîçìîæíî óêàçàòü òðàåêòîðèþ íàèìåíü-
øåé äëèíû. ×åì áîëüøå ýëåìåíòàðíûõ çâåíüåâ ñîäåðæèò òðàåêòîðèÿ, òåì
â áîëüøåì ÷èñëå òî÷åê îíà êàñàåòñÿ ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ, ïðèáëèæàÿñü ê íåé è
ïî êîíôèãóðàöèè è ïî äëèíå. Ïðè ýòîì ëèíèÿ îãðàíè÷åíèÿ òîæå èçìåíÿåòñÿ, òàê
êàê â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (2) îíà çàâèñèò îò äëèíû òðàåêòîðèè P. Â ïðåäåëå, êîã-
äà � i � ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, P ïåðåìåùàåòñÿ ïî ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ, ó÷àñòâóÿ
â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè âäîëü ãðàíèöû D è â ïåðåíîñíîì äâèæåíèè âìåñòå
ñ D (ðèñ. 4). Äëèíà åå òðàåêòîðèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé äëèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî
ó÷àñòêà ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè P ñòàíî-
âèòñÿ ïåðåìåííûì, ÷òî âûâîäèò åå çà ïðåäåëû óñëîâèÿ çàäà÷è.
Ïðè óõîäå îò ïðåñëåäîâàíèÿ P ìîæåò ïåðåõîäèòü íà äóãó ïðîòèâîïîëîæíîé
íàïðàâëåííîñòè òîëüêî ïîñëå äîñòèæåíèÿ óãëà òðàåêòîðèè � � � �� . Íåâûïîëíå-
íèå ýòîãî óñëîâèÿ ïðèâåäåò ê ïåðåñå÷åíèþ D, òàê êàê äëÿ ëþáîé òî÷êè ïîñëåäó-
þùåãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî y RP � .
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî êîãäà P ïðåáûâàåò íà ëèíèè
îãðàíè÷åíèÿ â òàêîé òî÷êå, â êîòîðîé ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíèè � R, òî P ìîæåò
ïðîäîëæàòü ñâîå äàëüíåéøåå ïåðåìåùåíèå ïî äóãå îêðóæíîñòè, îáõîäÿ D. Óãîë
íàêëîíà òðàåêòîðèè P â ýòîé òî÷êå áóäåì íàçûâàòü êðèòè÷åñêèì. Íåîáõîäèìûé
äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ íàõîäèì ïî ôîðìóëå
�
��
dS
d
, (11)
ãäå
dS dx dy� � �� �( ) ( )2 2 . (12)
Èç (7) è (1) íàõîäèì
dy
R
d�
�
�� �
2 2
cos , (13)
R
P1(C1)
P2(C2)
E1 E2 x
y
Ëèíèÿ îãðàíè÷åíèÿ
Âåðõíÿÿ ãðàíèöà
«îïàñíîé» ïîëîñû
Òðàåêòîðèÿ P
�1
�
�1cosR
�
�
�2
�
��cosR
�
��sinR
�
��sinR
221211 sin)sin(sinsin ���� lRl ���
22 sin �l
11 sin �l
)cos(cos 21 �� �R
l1 � R�� � l2
Ðèñ. 3
dx dx dy R dy� �
�
�
�� � � �
cos
sin4
2
, (14)
ïîýòîìó
dS
R
d�
�
��
4
2
sin
, (15)
�
�
R
4
2
sin
. (16)
Èç � R íàõîäèì sin ,
� k
2
0 25� , ò.å. � k � � � 2 0 25 0 505 28 5718arcsin ðàä., , � .
Èç (16) ñëåäóåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì � ðàäèóñ êðèâèçíû óìåíüøàåòñÿ, è ïðè
� �� k èìååì � R, ÷òî ïîçâîëÿåò P ïåðåõîäèòü íà òðàåêòîðèþ, ñîñòîÿùóþ
òîëüêî èç äóãè îêðóæíîñòè.
Äëèíó S �1 2�
òðàåêòîðèè P âî âðåìÿ åå äâèæåíèÿ ïî ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ íà-
õîäèì èç (15):
S
R
d
R
�
�
�
�
�
�
�
�1 2
1
2
4
2
2
4
4
2
1
�
� ��
sin
ln
tg
. (17)
Ýòîò æå ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç (13) íà îñíîâàíèè ïðèñóùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîìó òðåóãîëüíèêó ñîîòíîøåíèÿ dS
dy
�
sin �
.
Àáñöèññó P â ìîìåíò åå äâèæåíèÿ ïî ëèíèè îãðàíè÷åíèÿ ïîä óãëîì � 2
ê îñè 0x íàõîäèì èç (14):
x R d RP�
�
�
� �
� �
�2
4
2
2
1
2
4
4
1
2 2
1
� � � ��
cos
sin
cos ln
/ )
/
tg (
tg ( )
�
�
��
�
�
�� � l .
Ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ îáóñëîâëåíû íå òîëüêî ñâîéñòâàìè ëèíèè
îãðàíè÷åíèÿ, ñ êîòîðîé ñîâìåùàåòñÿ òðàåêòîðèÿ P, êîãäà � i � ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,
íî è ñâîéñòâàìè ñàìîé òðàåêòîðèè. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (10) è ïðåîáðàçîâàíèå
lim ( ) lim lim
� � �
� � �
�
�i i i
l l S
S
i i i i i
i
� � �
� �
�
�
� �
� � � � �
0
1
0 0 i
d S dS
�
� � �
�
�
��
�
�
�� � � � ,
ïîëó÷àåì dS R
d
�
�
�
� �
4 2sin ( / )
, ÷òî ñîâïàäàåò ñ (15).
Åñëè áû ðå÷ü øëà î ïîèñêå òðàåêòîðèè ñêîðåéøåãî óõîäà P îò E — ñêîðåé-
øåãî âûõîäà P èç «îïàñíîé» ïîëîñû øèðèíîé R, òî ìîæíî áûëî áû îãðàíè÷èòü-
ñÿ ïðîâåäåííûì èññëåäîâàíèåì, è îïòèìàëüíàÿ â óêàçàííîì ñìûñëå òðàåêòîðèÿ
áûëà áû ïðåäåëîì êðèâîé, ñîñòàâëåííîé (ñ òî÷íîñòüþ äî a) èç óìåíüøàþùèõñÿ
îòðåçêîâ ïðÿìîé è äóã ðàäèóñà R.
Êðèâàÿ S
R
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��2 4 4
2 1ln /tg tg
� �
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëàñòèêó, ðàññìàò-
ðèâàåìóþ â ãèäðîäèíàìèêå è ìåõàíèêå [9]. Ïî òàêèì òðàåêòîðèÿì äâèæóòñÿ ÷àñ-
òèöû æèäêîñòè, îãèáàÿ ïåðåìåùàþùèéñÿ öèëèíäð; òàêóþ ôîðìó ïðèíèìàåò àá-
ñîëþòíî ãèáêèé ïðóò, ïîäâåðãíóòûé ïðîäîëüíîìó ñæàòèþ.
Òàêàÿ òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ñàìîé êîðîòêîé äëÿ çàäà÷è âûõîäà îáúåêòà P èç
«îïàñíîé ïîëîñû» (ñì. çîíû I–III íà ðèñ. 4). Â ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(ñâÿçàííîé ñ îáúåêòîì E) ýòî èìååò ñìûñë «íåïîñðåäñòâåííîãî» äâèæåíèÿ P ïî
ãðàíèöå îáëàñòè D . Îäíàêî ýòà òðàåêòîðèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ó÷àñòîê ñ íåïðåðûâ-
íî èçìåíÿþùåéñÿ êðèâèçíîé, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, âûõîäèò çà ïðåäåëû èñõîäíîé
ïîñòàíîâêè çàäà÷è (ñì. ðèñ. 4).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 185
Íà ïðàêòèêå â ïåðâîé ôàçå äâèæåíèÿ îáúåêòà P (ñì. ðèñ. 4) åãî òðàåêòîðèÿ îïè-
ñûâàåòñÿ íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ó÷àñòêîâ, ñîñòîÿùèõ èç äóã è
îòðåçêîâ ïðÿìûõ, è òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàññ÷èòûâàåòñÿ êîíêðåòíî.
Íî ïîñêîëüêó â ñòàòüå ðå÷ü èäåò î çàäà÷å óõîäà P îò E c ïîñëåäóþùèì ïåðåõîäîì ê
ïðåñëåäîâàíèþ ïîñëåäíåãî, çäåñü ïîäáèðàåì äðóãèå îïòèìàëüíûå òðàåêòîðèè.
Óñòàíîâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîâåäåíèÿ P îïðåäåëÿåòñÿ çàäàâàåìûìè
òðåáîâàíèÿìè ê çíà÷åíèÿì «òàêòè÷åñêè-öåëåâîé» ïàðû ïàðàìåòðîâ S è � , êîòî-
ðûå íå íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ìîíîòîííîñòè, ò.å. òåíäåíöèÿ ê óìåíüøåíèþ äëè-
íû S òðàåêòîðèè P «âîêðóã» E ñîïðîâîæäàåòñÿ òåíäåíöèåé óâåëè÷åíèÿ çàêëþ÷è-
òåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ � ìåæäó P è E, è íàîáîðîò. È â ýòîé ñâÿçè ñëåäóåò îòìåòèòü
òî êà÷åñòâåííîå ñâîéñòâî, ÷òî ïîñòðîåíèå òðàåêòîðèé ìåíüøåé äëèíû S òÿãîòååò
ê áîëüøåìó óäåëüíîìó âåñó ñîñòàâëÿþùèõ äóã, à ïîñòðîåíèå òðàåêòîðèé, õàðàê-
òåðèçóþùèõñÿ ìåíüøèì çíà÷åíèåì �, òÿãîòååò ê áîëüøåìó óäåëüíîìó âåñó ñî-
ñòàâëÿþùèõ îòðåçêîâ ïðÿìûõ.
Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ êà÷åñòâåííîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îáîèìè
ñîîòâåòñòâóþùèìè òèïàìè òðàåêòîðèé P ïîêàçàí íà ðèñ. 4.
Òàêèì îáðàçîì, ýòè îáñòîÿòåëüñòâà, ïî ìåíüøåé ìåðå, çàòðóäíÿþò âûðàáîòêó
åäèíîãî ïðàâèëà ôîðìèðîâàíèÿ èñêîìîé òðàåêòîðèè ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ è âû-
íóæäàþò äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè, äëÿ êàæäîé ïîçèöèè ïîëüçîâàòåëåé ïðî-
èçâîäèòü îòäåëüíîå ãðàôîàíàëèòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå èñêîìîé òðàåêòîðèè P, ÷òî, âî-
îáùå ãîâîðÿ, ïðåâðàùàåòñÿ â ïðîöåññ ðåøåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé çàäà÷è.
Ïîäîáíûé óðîâåíü ìîäåëüíûõ èññëåäîâàíèé ïðè ðàçðàáîòêå àëãîðèòìîâ
óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì (ïîâåäåíèåì) ïðèáëèæàåò òàêòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïðî-
åêòèðóåìûõ áåñïèëîòíûõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ — àâèàöèîííûõ ñðåäñòâ ñïåö-
ðîáîòîòåõíèêè — ê òàêòè÷åñêèì âîçìîæíîñòÿì ñóùåñòâóþùèõ ïèëîòèðóåìûõ
ñàìîëåòîâ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé ñîâðåìåííîãî àâèàñòðîåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À é ç å ê ñ Ð . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Ìèð, 1967. — 479 ñ.
2. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Ïðèíöèï ìàêñèìóìà â îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 60 ñ.
3. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 520 ñ.
4. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Âûïóêëûé àíàëèç è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 319 ñ.
5. × è ê ð è é À . À . Êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1992. — 384 ñ.
6. Ø è á à å â Ñ .  . Î íåêîòîðûõ ñîäåðæàòåëüíûõ ñöåíàðèÿõ ïîâåäåíèÿ èãðîêîâ â ïðîöåññàõ âû÷èñëå-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ â èãðàõ ïðè íàëè÷èè íåïîëíîé èíôîðìàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
1996. — ¹ 1. — Ñ. 152–170.
7. Î á î ä í î é çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ-óáåãàíèÿ / Ñ.Ô. Êðèâîé, À.Ï. Êðèêîâëþê, È.Ã. Ìîðîç-Ïîäâîð÷àí
è äð. // Òàì æå. — 1992. — ¹ 3. — Ñ. 138–143.
8. Ê ð è ê î â ë þ ê À . Ï . , Ì î ð î ç - Ï î ä â î ð ÷ à í È . Ã . Îá îïðåäåëÿþùåé îñîáåííîñòè ïðîåêòèðî-
âàíèÿ îäíîãî êëàññà ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ // Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. —
2011. — ¹ 1. — Ñ. 63–69.
9. Æ å ð ì å í Ï . Êóðñ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä. — Ì.: Âûñø. øê., 1983. — 399 ñ.
Ïîñòóïèëà 19.02.2012
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Ðèñ. 4
x
E0 E1
R
P0
P1
�0
a
Pk Ek
� �
y Ek Pk
I II III
|