Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями

Розглянуто задачу оптимального керування, у якій стан системи визначається з керованих систем звичайних диференціальних рівнянь з двоточковими граничними умовами. Допустимі керування вибираються з класу обмежених і вимірних функцій зі значеннями у відкритій множині. Обчислено формулу прирощення функ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Шарифов, Я.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86296
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями / Я.А. Шарифов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 110-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86296
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-862962015-09-13T03:02:04Z Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями Шарифов, Я.А. Системный анализ Розглянуто задачу оптимального керування, у якій стан системи визначається з керованих систем звичайних диференціальних рівнянь з двоточковими граничними умовами. Допустимі керування вибираються з класу обмежених і вимірних функцій зі значеннями у відкритій множині. Обчислено формулу прирощення функціоналу другого порядку. На основі варіацій керувння виведено необхідну умову оптимальності для особливих керувань у класичному сенсі. We consider an optimal control problem in which the states of the system are determined by the control systems of ordinary differential equations with two-point boundary conditions. Admissible controls are selected from the class of bounded measurable functions with values in an open set. We calculate the increment of the functional formula of the second order. We use variations of the control to derive the necessary optimality conditions for singular controls in the classical sense. 2013 Article Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями / Я.А. Шарифов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 110-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86296 917.977.5 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Шарифов, Я.А. Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто задачу оптимального керування, у якій стан системи визначається з керованих систем звичайних диференціальних рівнянь з двоточковими граничними умовами. Допустимі керування вибираються з класу обмежених і вимірних функцій зі значеннями у відкритій множині. Обчислено формулу прирощення функціоналу другого порядку. На основі варіацій керувння виведено необхідну умову оптимальності для особливих керувань у класичному сенсі.
format	Article
author	Шарифов, Я.А.
author_facet	Шарифов, Я.А.
author_sort	Шарифов, Я.А.
title	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
title_short	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
title_full	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
title_fullStr	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
title_full_unstemmed	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
title_sort	особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86296
citation_txt	Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями / Я.А. Шарифов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 110-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT šarifovâa osobyeupravleniâvklassičeskomsmysledlâzadačioptimalʹnogoupravleniâsnelokalʹnymigraničnymiusloviâmi
first_indexed	2025-07-06T13:45:31Z
last_indexed	2025-07-06T13:45:31Z
_version_	1836905432320311296
fulltext	ÓÄÊ 917.977.5 ß.À. ØÀÐÈÔÎÂ ÎÑÎÁÛÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Â ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÌ ÑÌÛÑËÅ ÄËß ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ñ ÍÅËÎÊÀËÜÍÛÌÈ ÃÐÀÍÈ×ÍÛÌÈ ÓÑËÎÂÈßÌÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: îñîáûå óïðàâëåíèÿ, íåëîêàëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, îïòè- ìàëüíîå óïðàâëåíèå, íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ïðèðîäå, ôèçèêå è òåõíèêå ñóùåñòâóåò ìíîãî ïðîöåññîâ, â êîòîðûõ ìàòåìà- òè÷åñêèå ìîäåëè îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè èëè ðàçíîñòíûìè óðàâíå- íèÿìè ñ íåëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè [1, 2]. Ïîÿâëåíèå íåëîêàëüíûõ êðàåâûõ óñëîâèé ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò èññëåäîâàíèå òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè âûñîêîãî ïîðÿäêà, â ÷àñòíîñòè òåîðèÿ îñîáûõ óïðàâëåíèé, äîñòàòî÷íî ïîëíî ðàçðàáîòàíà â çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè è ðàñïðåäå- ëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ðàçëè÷íûõ ëîêàëüíûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ. Íàèáîëåå ïîäðîáíûé îáçîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ ïðèâåäåí â [3, 4]. Â ïîñëåäíèå ãîäû äëÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ íåëî- êàëüíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïîëó÷åí ðÿä íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëü- íîñòè â ôîðìå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà è â ôîðìå ëèíåàðèçèðîâàííîãî óñëîâèÿ ìàêñèìóìà [5–8, 10–12]. Â ðàáîòå [5] èçó÷åíà çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáûêíîâåííûìè äè- íàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñ äâóõòî÷å÷íûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Äîêàçàí àíàëîã ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, à òàêæå ïðåäëîæåíû ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøå- íèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Â ðàáîòàõ [6–8] èññëåäî- âàí îñîáûé, â ñìûñëå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, ñëó÷àé çàäà÷è îïòè- ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ íåëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàí ìåòîä ìàòðè÷íûõ èìïóëüñîâ [9]. Ïîçäíåå àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò â äðóãîé ôîðìå áûë ïîëó÷åí â ðàáîòàõ [10–12] ïðè ïîìîùè ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â [3, 4]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ íåëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè � ( , , )x f x u t� , x t R n( )� , t T t t� � [ , ]0 1 , (1) Ax t Bx t C( ) ( )0 1� � . (2) Çäåñü f x u t( , , ) — çàäàííàÿ n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâî- êóïíîñòè ïåðåìåííûõ âìåñòå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî x è u äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, A B R n n, � � , C R n� �1 — ïîñòîÿííûå ìàòðèöû, u t( ) — r-ìåðíûé èçìåðèìûé è îãðàíè÷åííûé âåêòîð óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé íà îò- ðåçêå T . 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 © ß.À. Øàðèôîâ, 2013 Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïî÷òè âñþäó íà ýòîì îòðåçêå óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèþ òèïà âêëþ÷åíèÿ u t U( )� , t T� , (3) ãäå U — îòêðûòîå ìíîæåñòâî èç ïðîñòðàíñòâà R r . Öåëüþ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ ôóíöèîíàëà J u x t x t F x u t dt T ( ) ( ( ), ( )) ( , , )� � �� 0 1 , (4) îïðåäåëåííîãî íà ðåøåíèÿõ êðàåâîé çàäà÷è (1), (2) ïðè äîïóñòèìûõ óïðàâëå- íèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (3). Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñêàëÿðíûå ôóíêöèè �( , ) ( , , )x y è F x u t íåïðåðûâíû ïî ñâîèì àðãóìåíòàì è èìåþò íå- ïðåðûâíûå è îãðàíè÷åííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî x è y äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Äîïóñòèìûé ïðîöåññ { ( ), ( , )}u t x t u , ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1)–(4), ò.å. äîñòàâëÿþùèé ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (4) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (1)–(3), áóäåì íàçûâàòü îïòèìàëüíûì ïðîöåññîì, à u t( ) — îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì. Ñóùåñòâîâàíèå êðàåâîé çàäà÷è (1), (2). Ñôîðìóëèðóåì îäíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, ïðè êîòîðîì êðàåâàÿ çàäà÷à (1), (2) ïðè êàæäîì äîïóñòèìîì óïðàâëåíèè u t U( )� , t T� , èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x t u( , ) . Òåîðåìà 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f x u t( , , ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïå- ðåìåííîé x. Êðîìå òîãî, det( ) , ( ) max{\|\| ( ) \|\| , \|\| ( ) \|\|}A B L t t A B A A B B� � � � � � �0 1 0 1 1 1 . Òîãäà êðàåâàÿ çàäà÷à (1), (2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè êàæäîì ôèêñè- ðîâàííîì äîïóñòèìîì óïðàâëåíèè, ãäå L — êîýôôèöèåíò Ëèïøèöà ôóíêöèè f x u t( , , ) ïî ïåðåìåííîé x . Äîêàçàòåëüñòâî. Êðàåâóþ çàäà÷ó (1), (2) ïðèâåäåì ê ýêâèâàëåíòíîìó âèäó x t A B C A B A f x u t dt A B B f x u t t ( ) [ ] [ ] ( , , ) [ ] ( ,� � � � � �� 1 1 1 0 , )t dt t t1 � è äîêàæåì ñ ó÷åòîì óñëîâèé òåîðåìû, ÷òî îïåðàòîð F C t t C t t: [ , ] [ , ]0 1 0 1 : ( )( ) [ ] ( , , ) [ ] ( , , )Fx t A B A f x u t dt A B B f x u t dt t t t � � � �� 1 1 0 t1 � ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì. Ýòî â ñâîþ î÷åðåäü îçíà÷àåò, ÷òî êðàåâàÿ çàäà÷à (1), (2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì äîïóñòèìîì óïðàâëåíèè. ÔÎÐÌÓËÀ ÏÐÈÐÀÙÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ Ïóñòü { , ( , )}u x x t u� è {~ , ~ ( , ~ )}u u u x x x x t u� � � � �� — äâà äîïóñòèìûõ ïðî- öåññà. Ïîñëå äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíûõ îïåðàöèé, îáû÷íî èñïîëüçóåìûõ ïðè âûâîäå íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ, äëÿ ïðèðàùå- íèÿ ôóíêöèîíàëà ïîëó÷èì ôîðìóëû � �J u J u J u H x u t u u t dt T ( ) (~ ) ( ) ( , , , ) , ( )� � � � � � �� ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 111 � � � � � � � � � � � H x u t x t x t dt x t t A T ( , , , ) � ( ), ( ) ( ) ( ) � � � � �� 0 0 � � � � � �, ( )�x t0 � � � � � � � � � � � � � � � x t t B x t ( ) ( ) , ( ) 1 1 1� � � � � � � � 2 2 2 1 2 H x u t x u u t x t H x u t x x ( , , , ) ( ) ( ) ( , , , ) , ( � � � � � t dt T )� � (5) � � � �� 1 2 2 2 � �u t H x u t u u t T ( ) ( , , , ) , ( ) � � � � � � � � 1 2 0 2 0 2 1 2 0 1 0� � �x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) � � � � � � � � � � 1 2 0 2 1 0 1 2 1 2 1� � �x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) � � � � ~u , ãäå � �~ ( \|\| ( ) \|\| \|\| ( ) \|\| ) ( \|\| ( )\|\| ,u H T o x t u t dt o x t� � � �� 2 2 0 2 \|\| ( ) \|\| )�x t1 2 . (6) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ � �� ( )t R n è ïîñòîÿííûé âåêòîð ��R n ÿâëÿëèñü ðåøåíèÿìè ñëåäóþùåé ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî ñîñòîÿíèþ): � ( ) ( , , , ) � � t H x u t x � � � � , t T� , (7) � � �( ) ( ) t x t A0 0 � � � � , (8) � � �( ) ( ) t x t B1 1 � � � � � . (9) Îòìåòèì, ÷òî èç ñèñòåìû (7)–(9), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííîé ñèñòåìîé â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî èñêëþ÷èòü âåêòîð ��R n . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî det( )A B� � 0 , òî âìåñòî êðàåâûõ óñëîâèé (8), (9), ïîëó÷èì íåëîêàëüíîå êðàåâîå óñëîâèå B A B t A A B t � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1� � � � � � � � � � � �B A B x t A A B x t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 � � . Òîãäà ôîðìóëà ïðèðàùåíèÿ (5) ïðèìåò âèä � � �J u H x u t u u t dt u t H x u t T ( ) ( , , , ) , ( ) ( ) ( , , , ) � � � � � � � � �1 2 2 � �� u u t dt T 2 , ( )� � � � � � � � � � �u t H x u t x u x t H x u t x x( ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) , 2 2 2 1 2 � � ( )t dt T � � (10) 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 � � � � � � � 1 2 0 2 0 2 1 2 0 1 0� � �x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) � � � � � � � � � � 1 2 0 2 1 0 1 2 1 2 1� � �x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) � � � � ~u . Âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà. Ïóñòü òåïåðü �u t u t( ) ( )� �� , ãäå � — äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî, �u t( ) — íåêîòîðàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ïðèðàùå- íèå ôóíêöèîíàëà �J u J u J u( ) (~ ) ( )� � ïðè ôèêñèðîâàííûõ ôóíêöèÿõ u t u t( ), ( )� åñòü ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà � . Åñëè ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå �J u J u J u o( ) ( ) ( ) ( )� � �� 1 2 2 2 2 , (11) òî íàçîâåì �J u( ) ïåðâîé âàðèàöèåé, à �2 J u( ) — âòîðîé âàðèàöèåé ôóíêöèîíà- ëà. Äàëåå ïîëó÷èì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé è âòîðîé âàðèàöèé. Äëÿ äîñ- òèæåíèÿ öåëè îñòàëîñü âûäåëèòü â �x t( ) ãëàâíûé ÷ëåí îòíîñèòåëüíî � . Ïîëîæèì �x t x t o t( ) ( ) ( , )� �� , (12) ãäå �x t( ) — âàðèàöèÿ òðàåêòîðèè. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñóùåñòâóåò è äëÿ �x t( ) . Ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè óñëîâèè det( )A B� � 0 ïî îïðåäåëåíèþ �x t( ) èìååì: � � �x t A B A f x u t dt A B B f x u t dt t t t ( ) [ ] ( , , ) [ ] ( , , )� � � �� 1 1 0 t1 � . (13) Ïðèìåíÿÿ ê ïîäûíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ ôîðìóëó Òåéëîðà, ïîëó÷àåì �� x t o t A B A( ) ( , ) [ ]� � � ��1 � � � � � � � � � � � f x u t x x x o t f x u t u u o ( , , ) [ ( ) ( , )] ( , , ) (�� 1 , )t dt t t � � � �� 0 � � � � � � � � � � � �[ ] ( , , ) [ ( ) ( , )] ( , , ) A B B f x u t x x x o t f x u t1 �� u u o t dt t t � �� 1 2 ( , ) . Ïîñêîëüêó ýòà ôîðìóëà âåðíà ïðè ëþáûõ � , òî � � �x t A B A f x u t x x f x u t u u dt t ( ) [ ] ( , , ) ( , , ) � � � � � � � � �� 1 0 t � � � � � � � � � � �� [ ] ( , , ) ( , , ) A B B f x u t x x f x u t u u dt t t 1 � � . Îòñþäà ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âàðèàöèè �x òðàåêòîðèè: � � �� ( , , ) ( , , ) x f x u t x x f x u t u u� � � � � � (14) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 113 ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè A x t B x t� �( ) ( )0 1 0� � . (15) Óðàâíåíèå (14) ñ óñëîâèÿìè (15) íàçûâàþò óðàâíåíèåì â âàðèàöèÿõ. Ïîäñòàâèì (12) â (10) è èìååì �J u H x u t u u t dt x t H x u T ( ) ( , , , ) , ( ) ( ) ( , , � � � � � � �� 2 2 2 , ) , ( ) t x x t T � � � � � � � � � �� 2 � � � � � � � � 2 2 2 � � � � � u t H x u t x u x t u t H x u t ( ) ( , , , ) , ( ) ( ) ( , , , ) u u t dt 2 , ( )� � � � � � � � � � � � � �� x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 0 2 1 2 0 1 0� (16) � � � � � � � � �� x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 1 0 1 2 1 2 1 � �� o( )�2 . Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (11), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì � � �J u H x u t u u t dt T ( ) ( , , , ) , ( )� � � �� , (17) � � � �2 2 2 J u x t H x u t x x t T ( ) ( ) ( , , , ) , ( )� � � � � � � � �� 2 2 2 � � � � � u t H x u t x u x t u t H x u t ( ) ( , , , ) , ( ) ( ) ( , , , ) u u t dt 2 , ( )� � � � � � � � � � � � � �� x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 0 2 2 2 0 2 0� � � � � � � � � � � � �x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 2 0 2 2 2 2 2 . ÂÛÂÎÄ ÓÑËÎÂÈÉ ËÅÆÀÍÄÐÀ–ÊËÅÁØÀ Èç îïðåäåëåíèÿ (11) ñëåäóåò, ÷òî íà îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè u t( ) âûïîëíÿþò- ñÿ óñëîâèÿ �J u( ) � 0 , �2 0J u( ) � . (18) Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ (18) ñëåäóåò, ÷òî � � �� H x u t u u t dt T ( , , , ) , ( ) � � 0 . 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Îòñþäà ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âäîëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ ðà- âåíñòâî (ñì. [9], ñ. 54): � � � H x u t u ( , , , )� 0 , t T� , (19) êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà. Èç âòîðîãî óñëîâèÿ (18) ñëåäóåò, ÷òî âäîëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî � � � �2 2 2 J u x t H x u t x x t T ( ) ( ) ( , , , ) , ( )� � � � � � � � �� 2 2 2 � � � � � u t H x u t x u x t u t H x u t ( ) ( , , , ) , ( ) ( ) ( , , , ) u u t dt 2 , ( )� � � � � � � � � � � � � �� x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 0 2 2 2 0 2 0� (20) � � � � � � � �� x t x t x t x t x t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )0 2 2 0 2 2 2 2 2 0 . Íåðàâåíñòâî (20) ÿâëÿåòñÿ íåÿâíûì íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü óñëîâèé (20) â òàêîé ôîðìå íå- âåëèêà, òàê êàê äëÿ åãî ðåàëèçàöèè òðåáóþòñÿ òðóäîåìêèå âû÷èñëåíèÿ. Äëÿ ïîëó- ÷åíèÿ ýôôåêòèâíî ïðîâåðÿåìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ââåäåì ìàòðèöó-ôóíêöèþ R s t A B t A x t t( , ) ( )[ ( )( ( )) ] ( ) ( )� � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 2 1 2 1 ( ( )) ( )A B t A s� �� 1 1 1 � � � � �� 1 1 1 1 2 0 2 1( )[( ( )) ( )] ( ) ( ( ))� � A B t B t x t A B t 1 1 1B t s� �( ) ( )� � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 2 0 1 1( )[( ( )) ( )] ( ) ( ) ( )(� � A B t B t x t x t t A B t A s� �� ( )) ( )1 1 1 � � � � � � � � � � �1 1 1 1 2 0 1 1( )[( ( )) ( )] ( ) ( ) ( )(� � A B t A t x t x t t A B t B s� �� ( )) ( )1 1 1 � � �� 1 1 1 1( )[( ( )) ( )]� A B t B t � � � �� ( ) ( , , , ) ( ) ( ( )) ( )t H x u t x t dt A B t B t T 2 2 1 1 1 1� ( )s � � � � � � � � � �1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , , , ) ( ) ( ) max( , ) � � � � t H x u x t dt s s t � � � � � �� 1 2 2 1 1( ) ( ) ( , , , ) ( ) ( ( )) (� � H x u x d A B t B t1 1 1 ) ( )�� s t � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 115 � � � � � � �� 1 1 1 1 21 ( )[( ( )) ( )] ( ) ( , , , ) � � � A B t B t H x u t x d s 2 1� �( ) ( ) � , ãäå ìàòðèöà-ôóíêöèÿ �( )t , t T� , ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: � ( ) ( , , ) ( )� �t f x u t x t� � � ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì �( )t E0 � . Òîãäà äëÿ âòîðîé âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà ïîëó÷àåì ôîðìóëó � � � � � �2 J u u f x u u R s f x u s u u s d( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) , ( )� � � � � � �ds TT � � � � �� u H x u t u u t dt T ( ) ( , , , ) , ( ) 2 2 (21) � � � � � � ��2 2 1 1 1� � u t H x u t x u t A B t B t TT ( ) ( , , , ) ( )[ ( )] ( )� � � �� 1 ( ) ( , , ) , ( )s f x u s u u s dtds� � � � � � � �� u H x u x u d t f x u s u u( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) , ( 2 1� � s dt t t T ) 2 �� . Òåîðåìà 2. Åñëè äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u t( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (19), òî äëÿ åãî îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å (1)–(4) íåîáõîäèìî, ÷òîáû íåðàâåíñòâî � � � � � �2 J u u f x u u R s f x u s u u s d( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) , ( )� � � � � � �ds TT � � � � �� u H x u t u u t dt T ( ) ( , , , ) , ( ) 2 2 (22) � � � � � � �2 2 1 1 1� � u t H x u t x u t A B t B t B TT ( ) ( , , , ) ( )[ ( )] ( )� � �� 1 ( ) ( , , ) , ( )s f x u s u u s dtds� � � � � � � �� u H x u x u d t f x u t u u( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) , ( 2 1� � t dt t t T ) 1 0�� âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ �u t L t tr( ) [ , ]� � 0 1 . Èç óñëîâèÿ (22) ñëåäóåò àíàëîã óñëîâèÿ Ëåæàíäðà–Êëåáøà äëÿ ðàññìàòðèâà- åìîé çàäà÷è. Òåîðåìà 3. Âäîëü îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà ( ( ), ( ))u t x t äëÿ âñåõ �R r è ��[ , ]t t0 1 : � � � � � � � � 2 2 0 H x u u ( ( ), ( ), ( ), ) . (23) 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (23) ïîñòðîèì âàðèàöèþ óïðàâëåíèÿ � � � � � � � u t u t t t ( ) ( ), [ , ), , [ , ), � � � � � � � � �0 (24) ãäå � 0 , — íåêîòîðûé r-ìåðíûé âåêòîð. Â ñèëó (12) ñîîòâåòñòâóþùàÿ âàðèàöèÿ òðàåêòîðèè ðàâíà � � �x t a t o t( ) ( ) ( , )� � , t T t t� � [ , ]0 1 , (25) ãäå a t( ) — íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîäñòàâèì âàðèàöèþ (24) è ñîîòíîøåíèÿ (25) â (21) è âûäåëèì ãëàâíûé ÷ëåí ïî � . Òîãäà � � � � � � 2 2 2 J u H t x t u t t u dt o( ) ( ( ), ( ), ( ), ) ( )� � � � � � � � � � � � �� 2 2 1 H x u u o ( ( ), ( ), ( ), ) ( ) . Îòñþäà ñ ó÷åòîì âòîðîãî óñëîâèÿ èç (18) ïîëó÷àåì êðèòåðèé Ëåæàíðà–Êëåá- øà (23). Óñëîâèå (23) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Î÷åâèäíî, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (1) ëèíåéíà îòíîñèòåëüíî óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, óñëîâèå (23) òàêæå âûðîæäàåòñÿ, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ òðèâèàëüíî. Ñëåäóÿ [4, 9], åñëè äëÿ âñåõ ��( , )t t0 1 , �R r : � � � H x u u ( ( ), ( ), ( ), )� � � � � 0, � � � � � � � � 2 2 0 H x u u ( ( ), ( ), ( ), ) , (26) òî äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u t( ) íàçûâàåòñÿ îñîáûì â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óïðàâëåíèåì. Òåîðåìà 4. Äëÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáîãî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óïðàâëåíèÿ u t( ) íåîáõîäèìî, ÷òîáû � � � � � � � � �� f x u t u R t s f x u s u dtds TT ( , , ) ( , ), ( , , ) � � � � � �� 2 2 1 1 1 1H x u t x u t A B t B t s f( , , , ) ( )[ ( )] ( ) ( ), (� � � � � x u s u dtds TT , , ) � �� 2 1 1 H x u t x u d t f x u t u dt t t ( , , , ) ( ) ( ), ( , , )� � �� T 0 (27) âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ �R r . Óñëîâèå (27) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñ- òè äëÿ îñîáûõ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óïðàâëåíèé. Âûáèðàÿ ñïåöèàëüíóþ âàðèà- öèþ ïî ôîðìóëå (24) èç (27), ïîëó÷àåì ïîòî÷å÷íûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè. Òåîðåìà 5. Äëÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáîãî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óïðàâëåíèÿ u t( ) â îïòèìàëüíîé çàäà÷å (1)–(3) íåîáõîäèìî, ÷òîáû óñëîâèå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 117 � � � � � � � � � � � � � �� f x u u R f x u u ( ( ), ( ), ) ( , ) ( ( ), ( ), ) � � � � � �2 2 1 1 1 H x u x u A B t B t ( ( ), ( ), ( ), ) ( )[ ( )] ( ) � � � � � �� 1 ( ) ( ( ), ( ), ) � � � �f x u u � � � � � � � � � � 2H x u x u f x u u ( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), )� � � � � � � � �� âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ �R r è ��( , )t t0 1 . Ïðèìåð. Ïóñòü ñîñòîÿíèå îáúåêòà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ��x u� , t �[ , ]0 1 (28) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè x( )0 1� , �( )x 1 0� . (29) Óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð u ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà ( , )�1 1 , ò.å. \| \|u 1 . Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà J u x u t dt( ) ( ) ( )� � � � 1 2 1 1 2 2 2 0 1 . (30) Ïóñòü x t x t( ) ( )� 1 è �( ) ( )x t x t� 2 , òîãäà (28) è (29) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäó- þùåì âèäå: � ( ) ( ), � ( ) ( ), x t x t x t u t 1 2 2 � � � � � 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 ! " # $ % & ! " # $ % &� ! " # $ % & ! " # x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) $ % & � ! " # $ % & 1 0 . (31) Ôóíêöèîíàë (30) ïðèíèìàåò âèä J u x u t dt( ) ( ) ( )� � � � 1 2 1 1 21 2 2 0 1 . Ïðîâåðèì íà îïòèìàëüíîñòü óïðàâëåíèå u t( ) � 0 . Î÷åâèäíî, H x u t( , , , )� = � � �� 1 2 2 21 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t x t t u t u t è � ( ) , � ( ) ( ), � � � 1 2 0t t t � � � � � � 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 2 ! " # $ % & ! " # $ % &� ! " # $ % & ! " # � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) $ % & � ! " # $ % & x1 1 0 ( ) . Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ñèñòåìû (31) èìååò âèä �( )t t � ! " # $ % & 1 0 1 . Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî A � ! " # $ % & 1 0 0 0 , B � ! " # $ % & 0 0 0 1 , ��' ( )t t � �! " # $ % & 1 0 1 , ìîæíî âû÷èñëèòü R s( , )� : R s s s ( , )� � � � � ! " # $ % & 1 . 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � � � f x u t u ( , , ) ( , )0 1 , ñîãëàñíî òåîðåìå 5 èìååì � �2 0 äëÿ âñåõ �R r , ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, óïðàâëåíèå u t( ) � 0 — íåîïòèìàëüíîå. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Îòìåòèì, ÷òî åñëè A — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, à B — íóëåâàÿ ìàòðèöà, òî ïîëó- ÷åííûå ðåçóëüòàòû ñîâïàäàþò ñ àíàëîãè÷íûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ çàäà÷ îïòè- ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè [3, 4]. À èç ñõåì äîêàçàòåëüñòâ ÿñíî, ÷òî äàííóþ ñõåìó ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ è äëÿ äðóãèõ çà- äà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ íåëîêàëüíûìè óñëîâèÿìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ à ì î é ë å í ê î À . Ì . , Ð î í ò î Í . È . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ðåøíèé êðàåâûõ çàäà÷. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1986. — 219 ñ. 2. Í à õ ó ø å â À . Ì . Çàäà÷è ñî ñìåùåíèåì äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Ì.: Íàóêà, 2006. — 287 ñ. 3. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ çàïàçäûâàíèåì. — Áàêó: Ýëì, 1999. — 174 ñ. 4. M a n s i m o v K . B . Singular controls in control problems for distributed parameter system // Math. Sci. — 2008. — 148, N 3. — P. 331–381. 5. Â à ñ è ë ü å â à Î . Î . , Ì è ç ó ê à ì è Ê . Äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå êðàåâîé çàäa÷åé: íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè è ìåòîäû ðåøåíèÿ // Èçâ. ÐÀÍ. Òåîðèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. — 2000. — ¹ 1. — Ñ. 95–100. 6. V a s i l i e v a O . O . , M i z u k a m i K . Optimality criterion for singular controllers: linear boundary conditions // J. Math Anal. and Appl. — 1997. — 213, N 2. — Ð. 620–641. 7. V a s i l i e v a O . O . Optimality conditions for singular controls // Òð. XIII Áàéêàëüñêîé ìåæäóíàð. øê.-ñåì. «Ìåòîäû îïòèìèçàöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ» (Èðêóòñê–Ñåâåðîáàéêàëüñê, 2–8 èþëÿ 2005). — Èðêóòñê, 2005. — 2. — Ñ. 123–127. 8. V a s i l i e v a O . O . Maximum principle and its extension for bounded control problem with boundary conditions // J. Math. Sci. — 2004. — 35. — P. 1855–1879. 9. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Îñîáûå îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 256 ñ. 10. Ø à ð è ô î â ß . À . , Ø è ð è í î â Ò . Â . Ãðàäèåíò â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì Ãóðñà–Äàðáó ñ íåêëàññè÷åñêèìè óñëîâèÿìè // Ìàòåìàòè÷íå è êîìïüþòåðíå ìîäåëþâàíèÿ. Ñåð.: Ôiç.-ìàò. íàóêè. — 2010. — Âèï. 3. — Ñ. 201–213. 11. S h a r i f o v Y . A . Necessary optimality conditions of first and second order for systems with bound- ary conditions // Trans. of NAS of Azerbaijan series of physical-technical and mathematical sci- ences. — 2008. — XXVIII, N 1. — P. 189–198. 12. S h a r i f o v Y . A . Necessary conditions for optimality of singular controls with nonlocal boundary conditions // Intern. Conf. “Differential Equations and Topology” Dedicated to the Centennial Anni- versary of Lev Semenovich Pontryagin. Abstracts, Moscow, June 17–22, 2008. Ïîñòóïèëà 06.04.2011 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 119

Особые управления в классическом смысле для задачи оптимального управления с нелокальными граничными условиями

Репозитарії

Схожі ресурси