Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений

Запропоновано нову спрощену схему побудови альтернованого інтегралу Понтрягіна для ігор переслідування, описаних диференціальними включеннями z є -F(t, v), де F — неперервне компактне відображення. Наведено застосування схеми для диференціальних ігор переслідування....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Исканаджиев, И.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86300
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений / И.М. Исканаджиев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 155-161. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86300
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-863002015-09-13T03:02:04Z Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений Исканаджиев, И.М. Системный анализ Запропоновано нову спрощену схему побудови альтернованого інтегралу Понтрягіна для ігор переслідування, описаних диференціальними включеннями z є -F(t, v), де F — неперервне компактне відображення. Наведено застосування схеми для диференціальних ігор переслідування. A new simplified scheme is proposed to construct Pontryagin’s alternating integral in pursuit games described by the differential inclusion z є -F(t, v), where F is a continuous compact-valued mapping. The scheme is applied to differential games of pursuit. 2013 Article Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений / И.М. Исканаджиев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 155-161. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86300 517.97 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Исканаджиев, И.М. Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано нову спрощену схему побудови альтернованого інтегралу Понтрягіна для ігор переслідування, описаних диференціальними включеннями z є -F(t, v), де F — неперервне компактне відображення. Наведено застосування схеми для диференціальних ігор переслідування.
format	Article
author	Исканаджиев, И.М.
author_facet	Исканаджиев, И.М.
author_sort	Исканаджиев, И.М.
title	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений
title_short	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений
title_full	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений
title_fullStr	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений
title_full_unstemmed	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений
title_sort	об альтернированном интеграле понтрягина для дифференциальных включений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86300
citation_txt	Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений / И.М. Исканаджиев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 155-161. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT iskanadžievim obalʹternirovannomintegralepontrâginadlâdifferencialʹnyhvklûčenij
first_indexed	2025-07-06T13:45:46Z
last_indexed	2025-07-06T13:45:46Z
_version_	1836905447457554432
fulltext	ÓÄÊ 517.97 È.Ì. ÈÑÊÀÍÀÄÆÈÅÂ ÎÁ ÀËÜÒÅÐÍÈÐÎÂÀÍÍÎÌ ÈÍÒÅÃÐÀËÅ ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ ÄËß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÂÊËÞ×ÅÍÈÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: àëüòåðíèðîâàííûé èíòåãðàë, äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå, ïðåñëåäîâàíèå, ìíîãîçíà÷íîå îòáðàæåíèå, ÷àñòè÷íûå ñóììû. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåñëåäîâàíèÿ â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ Ë.Ñ. Ïîíò- ðÿãèí ïðåäëîæèë äâà ïðÿìûõ ìåòîäà [1, 2]. Îíè áûëè îáîáùåíû â ðÿäå ðà- áîò [3–8, 10–20]. Â ÷àñòíîñòè, â [3] îïèñàí ïîäõîä, êîòîðûé ñî÷åòàåò â ñåáå ýëåìåíòû äâóõ ìåòîäîâ Ïîíòðÿãèíà. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷àåòñÿ âçàèìîñâÿçü èíòåãðàëà [3] ñ àëüòåðíèðîâàí- íûì èíòåãðàëîì äëÿ èãð ïðåñëåäîâàíèÿ, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè âêëþ÷åíèÿìè âèäà �( ) ( , )z t F t�� , ãäå F — íåïðåðûâíîå êîìïàêòíîçíà÷íîå îòî- áðàæåíèå [4]. Òèïè÷íûé èñòî÷íèê òàêèõ ñèñòåì — êâàçèëèíåéíàÿ äèôôåðåíöè- àëüíàÿ èãðà � ( , ), ,x Cx f u u P Q� � � �� , êîòîðàÿ ïðàêòè÷åñêè ðàâíîñèëüíà äèô- ôåðåíöèàëüíîìó âêëþ÷åíèþ �( ) exp ( ) ( , )z t tC f P�� [5]. Èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: I � [ , ]� � — ôèêñèðîâàííûé îòðåçîê âðåìåíè; � — ïîäîòðåçîê I ; \| \|� — äëèíà îòðåçêà � ; cl ( )� d (ñîîòâåòñòâåííî, Ccl ( )� d ) — ñåìåéñòâî âñåõ íåïóñòûõ çàìêíóòûõ (âûïóêëûõ çàìêíóòûõ) ïîäìíî- æåñòâ � d ; cm ( )� d (ñîîòâåòñòâåííî, Ccm( )� d ) — ñåìåéñòâî âñåõ íåïóñòûõ êîì- ïàêòíûõ (âûïóêëûõ êîìïàêòíûõ) ïîäìíîæåñòâ � d ; H z zd� � �{ � \| \| \| }1 — åäè- íè÷íûé çàìêíóòûé øàð â � d ; h A B r A B rH B A rH( , ) min \| , }� � � � { 0 — ìåòðèêà Õàóñäîðôà; � � � � �� { }0 1 2, , � n — ðàçáèåíèå îòðåçêà I (� �� 0 � � � � �� 1 2 � n , n ìîæåò çàâèñèòü îò �); � — ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðàçáèå- íèé îòðåçêà I ; � i i i= ,[ ]� ��1 ; �i i= \| \|� , \| \| max \| \|� �� i — äèàìåòð ðàçáèåíèÿ �; i — èíòåãðàë ïî îòðåçêó � i . Åñëè X — ïîäìíîæåñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òî X [ ]� îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé a X( ) :� �� . Â ñëó- ÷àå � � [ , ]� � ïèøåì X [ , ]� � . Â ðàáîòå [6] ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà, îñíîâàííàÿ íà ôîðìóëå 0 � �a t M dt M( ) , ãäå M d�Ccl( )� , � �( ) :[ , ]� � 0 � — íåîòðèöà- òåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ 0 1 � �a t dt( ) . Â ðàáîòàõ [7, 8] ïðåäëîæåíû äàëüíåéøèå óñèëåíèÿ ïåðâîãî ìåòîäà, îñíîâàí- íûå íà ðàññìîòðåíèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé A t( ), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî- âèþ 0 � �A t dt M( ) . Âòîðîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà îñíîâûâàåòñÿ íà ïîíÿòèè àëòåðíèðîâàííîãî èí- òåãðàëà [1, 2]. Ïðèâåäåì åãî îïðåäåëåíèå ïðèìåíèòåëüíî ê óïðàâëÿåìûì äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷åíèÿì [4, 5]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 155 © È.Ì. Èñêàíàäæèåâ, 2013 Ïóñòü çàäàíà óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà � ( , )z F t�� , (1) ãäå z Q t I Qd q� � � �� , , , ( )� cm è F I Q d: ( )� �Ccm � — íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (1) çàäàåòñÿ òàêæå ïîäìíîæåñòâî M , M d� � , íàçûâàåìîå òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì. Êàæäîìó ðàçáèåíèþ � èç� ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî S ( )� , íàçûâà- åìîå àëüòåðíèðîâàííîé ñóììîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèì ÷ëåíîì ïîñëåäîâàòåëü- íîñòè S i , ââîäèìîé ðåêóððåíòíî [4]: S M S S F t t dt S Si Q i ii 0 1� � � � � � � � � � � � , ( , ( )) , ( ) ( ) ( ) � � � � � n i n, , , ...,�1 2 (2) (îòíîñèòåëüíî ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ñì. [9]). Ìíîæåñòâî W M S� � � �( ) ( )� �� íàçûâàåòñÿ àëüòåðíèðîâàííûì èíòåãðàëîì Ïîíòðÿãèíà [10–20]. Â äàëüíåéøåì ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè â îáîçíà÷åíèÿõ óêàçûâàåòñÿ çàâèñè- ìîñòü àëüòåðíèîâàííûõ ñóìì è èíòåãðàëîâ íå òîëüêî îò � èëè � �, , íî è îò äðó- ãèõ èñõîäíûõ äàííûõ, íàïðèìåð S M S P Q W M F1 ( ), ( , , ), ( , )� � � . Êðîìå òîãî, â ñëó÷àå I � [ , ]0 � ïèøåì W M� ( ) èëè ïðîñòî W � . Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîçâîëÿåò ñëó÷àé íåêîìïàêòíîãî M ñâåñòè ê ñëó- ÷àþ êîìïàêòíîãî òåðìèíàëüíîãî ìíîæåñòâà, ðàññìîòðåíèå êîòîðîãî íàìíîãî ïðîùå. Ëåììà 1 [10]. Ïóñòü A B Hd� �cl ( ),� � . Òîãäà èìåþò ìåñòî âêëþ÷åíèÿ ( ) ( )A B H A H B � � � � � � , (3) ( * ) ( ( ) ) A B H A H B� � � � � � (4) ( — îïåðàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè [1]). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x A B H� �( ) � . Òîãäà x a b� , ãäå a A b B� �, è x H�� , òàê ÷òî a x b H� � � ( )� � . Ñëåäîâàòåëüíî, x A H B� � ( )� � . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ è âêëþ÷åíèå (4). Ñåìåéñòâî âñåõ èçìåðèìûõ çàìêíóòîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé A d( ) : ( )� �� cl � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ � �A t dt D( ) , îáîçíà÷èì � �( , )D (èçìåðèìîñòü ìíî- ãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå [21]). Ñëåäóþùàÿ ñõåìà ñî÷åòàåò â ñåáå ýëåìåíòû äâóõ ìåòîäîâ Ïîíòðÿãèíà äëÿ çàäà÷è ïðåñëåäîâàíèÿ [3]. Ïóñòü I � �[ , ],0 � � � è B M B A t F t dti A i Q 0 � � � � , [ ( ) ( , )] ( ) � � � � , ãäå îáúåäèíåíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèÿì A( )� � � �� ( , )i iB 1 , è B M B B M B Mn( , ) , ( ) ( , )� �� . Ëåììà 2. Åñëè M r�cl ( )� , òî B M W M� �( ) ( )� . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X — ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî � d , [ , ]� � I è A X( ) ([ , ], )� �� . Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì 156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 B A t F t dt Q � � � �� [ ( ) ( , )] è ïîêàæåì, ÷òî � A X B W X ( ) ([ , ], ) ( ) � � � � � � � , (5) ãäå W X� ( ) — àëüòåðíèðîâàííûé èíòåãðàë Ïîíòðÿãèíà. Çàôèêñèðóåì ðàçáèåíèå � � � � � � � � �{ }t t t tm0 1 2 � — îòðåçêà [ , ]� . Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî B A t F t dt A t dt t t j Q j j j j j � � � � � � � � 1 � � �� [ ( ) ( , )] ( ) ( ) F t t dtj( , ( ))� � � � , ãäå � j jQ( ) ( )� � � . Èç ñîîòíîøåíèÿ � � �� X Y X Y( ) èìååì B B B t t t t � � 2 1 1 2� � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 11 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))� � t t t A t dt F t t dt 2 2 2 � � � � � � � � �A t dt F t t dt( ) ( , ( ))� � � � � � � � � � � � � � � � 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( , ( ))� � t A t dt F t t dt F ( , ( )) ( )t t dt S A t dt t � � 2 2 2� � � � � � � � � � � � � � � � � . Â õîäå äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå B S A t dt t m t m m � � � � � � � � � � � ( ) . Èç ñîîòíîøåíèé tm � è � �A t dt X( ) ñëåäóåò B S X� �� ( , ) . Â ñèëó ïðî- èçâîëüíîñòè � è A X( ) ([ , ], )� �� èìååì � A X B W X ( ) ([ , ], ) ( ) � � � � � � � . Ïóñòü òåïåðü � � � � � �� { }0 1 2 1� n n — ïðîèçâîëüíîå ðàçáèå- íèå îòðåçêà [ , ]0 � . Ïîêàæåì, ÷òî B M W M( , ) ( )� �� . Â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ âêëþ÷åíèÿ (5) è ïîëóãðóïïîâî- ãî ñâîéñòâà àëüòåðíèðîâàííîãî èíòåãðàëà [11–13] îáðàçóåòñÿ öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé B W M B W B W W M W M1 0 2 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2� � � �� ( ), ( ) ( ( )) ( ), ... � , ( ) ( )B W M W Mn n� � 0 � � . Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âëå÷åò B M W M� �( ) ( )� . Ëåììà äîêàçàíà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 157 Ïóñòü � � � � � � � �( ) max ( ( , ), ( , )) \| \| , \| \|\|� � � � �{ }h F t F t t t1 1 1 1 1 2 1 2 — ìî- äóëü íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ F t( , )� . Åñëè �� I Q, , òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà h F t dt F � � � � � �� ( , ) , ( , ) ( )� � � �� , (6) ãäå � — äëèíà îòðåçêà �. Ëåììà 3. Åñëè A — ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî � d , òî � � � � � � ( ) ( ) * ( ) ( , ) � � � � � � � � � Q i i ii A H F t dt � 2 � � � � � � � �i Q i A F t dt � � �� 1 ( , ) . (7) Â ñèëó (6) � � � � � � ( ) ( ) * ( ) ( , ) * � � � � � � � � � � � � � Q i i i Qi A H F t dt A � � �2 2� � � �i i i H F t dt( ) ( , ) � � � � � �� Q i i iA H F� [ * ( ) ( , )]. (8) Ïî îïðåäåëåíèþ ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè èìååì � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Q i i Q i A H F A F t� � 1 1 * ( ) ( , ) ( , ) . Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî âêëþ÷åíèÿ ïî îòðåçêó � i , ïîëó÷àåì � � � � � � � � � � � � Q i i i i i Q iA H F A F t d� �[ * ( ) ( , ) ] [( / ) ( , )2 1 t]. (9) Èç ñîîòíîøåíèé (8), (9) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü âêëþ÷åíèÿ (7). Ëåììà äîêàçàíà. Ïóñòü �� . Ïîëîæèì C M C C F t dt C M Ci i Q i i n0 11 � � � � � � � � � � �, ( , ) , ( , ) � � � �� . Òåîðåìà 1. Åñëè M d�Ccl ( )� , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî � � � �� 0 0 � �W M H C M H( * ) ( * ) . (10) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � — ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà I , óäîâëåòâî- ðÿþùåå óñëîâèþ � � � �(\| \| ) / ( )� 2 . Ïîëîæèì S C M H0 0� � * � . Â ñîîòíîøå- íèè (7) â êà÷åñòâå A ïðèìåì S 0 . Òîãäà � � � � � ( ) ( ) * ( ) ( , ) � � � � � � � � � Q i i i S H F t dt � � 0 1 2 � � � � � � � � �1 0 11 � � � � Q i C F t dt C M H� ( , ) ( * ). 158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ A B C A B C* * * ( )� ïîëó÷èì S M H C M H1 1 1 12( * ( ( ) )) ( * )� � � � � � . Ïîâòîðèâ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ n�1 ðàç, áóäåì èìåòü S M H C M Hn i i i n n* ( ( ) ( * )� � � � � � � � � � � � � � � 2 1 . Ïîñêîëüêó � � � �( ) (\| \| )i � , òî S M H C M H( * ( (\| \| ) , ) ( * , )� �� 2 . Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ � � � �(\| \| ) / ( )� 2 ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå S M H( * , )2� � � � C M H( * , )� � . Îòñþäà � � � � �� S M H C M H( * , ) ( * , )2 � . Ñëåäîâàòåëüíî, � � � �� 0 0 2� �W M H C M H( * ) ( * ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ëåììû 3 èìååì � � � �� 0 0 � �C M H W M H( * ) ( * ) . Çàìåòèì, ÷òî � � � �� 0 0 2� �W M H W M H( * ) ( * ) . Îòñþäà âûòåêàåò ðàâåí- ñòâî (10). Ñëåäñòâèå. Åñëè M d�Ccl ( )� , òî � � � �� 0 0 � �W M H B M H( * ) ( * ) . (11) Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó �z Cz u� � �, (12) ãäå z d�� , C — ( )d d� -ìàòðèöà, P d�Ccm ( )� , Q d�Ccm ( )� , òåðìèíàëü- íîå ìíîæåñòâî M d�Ccl ( )� . Äëÿ ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû ìíî- æåñòâà Bi îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [3]: B M B A t P t Q t dti i i0 1� � �, [ ( ) ( )]* ( )� , ãäå îáúåäèíåíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèÿì A ti� �1 ( ) � �� ( , )i iB 1 è P t tC P Q t tC Q( ) exp( ) , ( ) exp( )� � , à ìíîæåñòâà Ci èìåþò âèä C M C C P t Q t dti i i i0 1 1 � � � � � � � � �, ( ) * ( ) � . Çàìåòèì, ÷òî ñõåìà (2) ðàâíîñèëüíà êëàññè÷åñêîé ñõåìå àëüòåðíèðîâàííîãî èíòåãðàëà [1, 2] S M S S U Vi i i i0 1� � �, [ ]* , ãäå U tC P dt V tC Q dti i i i � � exp( ) , exp( ) . Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî r è ôóíêöèÿ f I d( ) :� � � , èìåþ- ùàÿ îãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ íà îòðåçêå I , òàêèå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ �� ÷àñòè÷íûå àëüòåðíèðîâàííûå ñóììû S i óäîëåòâîðÿþò óñëîâèÿì f rH S i ni i i( ) , , ,� � � � � � 0 . (13) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 159 Òåîðåìà 2. Ïóñòü M d�Ccl ( )� è âûïîëíåíî óñëîâèå (13). Òîãäà ñïðàâåä- ëèâî ðàâåíñòâî cl C M W M� �( ) ( )� . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò W M H C M W M� � ��( * ) ( ) ( )� � . (14) Ïóñòü M d�Ccm ( )� è âûïîëíåíî óñëîâèå (13). Òîãäà èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîò [2, 14] ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë l1 è l2 òàêèõ, ÷òî h W M W M H[ ( ), ( * )]� � � � � �h W M S M H h S M H W M H[ ( ), ( * , )] [ ( * , ), ( * )]� �� l H l H1 2[\| \| ] \| \|� � � . Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü \| \|� �� , ïîýòîìó h W M W M H L L l l[ ( ), ( * )] ,� � � �� 2 1 2 . Ó÷èòûâàÿ âêëþ÷åíèå (14), ïîëó÷èì h W M C M L[ ( ), ( )]� � �� . Â ñèëó çàìêíóòîñòè W M� ( ) èìååì cl C M W M� �( ) ( )� . Ïóñòü òåïåðü M d�cl ( )� è x W M� ( , )� . Òîãäà x W M x H� �� ( ) \| \| . Èç ëåììû 1 ñëåäóåò ñóùåñò- âîâàíèå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà � òàêîãî, ÷òî x W M H� �� ( ) . Îòñþäà â ñèëó äî- êàçàííîãî x C M H C M� � �cl cl� ��( ) ( ). Ïîýòîìó W M C M� �( ) ( )� cl , à òàêæå cl C M W M� �( ) ( )� . Ñëåäîâàòåëüíî, clC M W M� �( ) ( )� . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òîãäà èìååò ìåñòî ðà- âåíñòâî cl B M W M� �( ) ( )� . Â çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 2 ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíà ñëåäó- þùèì îáðàçîì (ñðàâíè [3, 6–8]). Åñëè M — âûïóêëîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî � d è âûïîëíåíû óñëîâèÿ (13), òî â èãðå (12) èç òî÷åê z0 , z W M0 �Int � ( ) , âîç- ìîæíî çàâåðøåíèå ïðåñëåäîâàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè � ñ ïîìîùüþ êóñî÷íî-ñòðî- áîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè [7]. Ïðè ýòîì ïðåñëåäîâàòåëü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñâîåãî óïðàâëåíèÿ ïîëüçóåòñÿ èíôîðìàöèåé î òåêóùèõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëåíèÿ óáåãàþ- ùåãî è òåêóùèõ ôàçîâûõ ñîñòîÿíèÿõ ñèñòåìû (12) â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1967. — 175, ¹ 4. — Ñ. 764–766. 2. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ïðåñëåäîâàíèÿ // Ìàò. ñá. — 1980. — 112, ¹ 3. — Ñ. 307–330. 3. Ñ à ò è ì î â Í . , Ê à ð à á à å â Ý . Îá îäíîì ìåòîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåñëåäîâàíèÿ // Äîêë. ÀÍ ÓçÑÑÐ. — 1986. — ¹ 3. — Ñ. 5–6. 4. À ç à ì î â À . Ïîëóóñòîé÷èâîñòü è äâîéñòâåííîñòü â òåîðèè àëüòåðíèðîâàííîãî èíòåãðàëà Ïîíòðÿãèíà // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — 299, ¹ 2. — Ñ. 265–268. 160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 5. Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ñ à ò è ì î â Í . Àëüòåðíèðîâàííûé èíòåãðàë â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöè- àëüíûõ èãðàõ ñ íåëèíåéíûìè óïðàâëåíèÿìè // Äèô. óðàâ. — 1974. — 10, ¹ 12. — Ñ. 2173–2178. 6. Ñ à ò è ì î â Í . Ê çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Òàì æå. — 1973. — 9, ¹ 11. — Ñ. 2000–2009. 7. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Îá îäíîì ïðÿìîì ìåòîäå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ïðåñëåäîâàíèÿ-óáåãàíèÿ // Ìàò. çàìåòêè. —1983. — 33, ¹ 6. — Ñ. 885–891. 8. À ç à ì î â À . , Ñ à ì à ò î â Á . Î ìîäèôöèðîâàííîì òðåòüåì ìåòîäå â çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ // Íåêëàññè÷åñêèå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Òàøêåíò: Ôàí, 1984. — Ñ. 174–183. 9. Ï î ë î â è í ê è í Å . Ñ . Îá èíòåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — 271, ¹5. — Ñ. 1059–1074. 10. À ç à ì î â À . Êà÷åñòåííàÿ ñòðóêòóðà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ïðåñëå- äîâàíèÿ-óáåãàíèÿ: Äèñ. ... äîêò. ôèç.-ìàò. íàóê, Òàø.ÃÓ. — Òàøêåíò, 1986. — 267 ñ. 11. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Ñ à ã à é ä à ê Ì . È . Î äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ ôèêñèðîâàííûì âðåìåíåì // Êèáåðíåòèêà. — 1970. — ¹ 2. — Ñ. 54–63. 12. Ã ó ñ ÿ ò í è ê î â Á . Ï . Ê âîïðîñó èíôîðìèðîâàííîñòè èãðîêîâ â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1972. — 36, ¹ 5. — Ñ. 917–924. 13. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Êèåâ: Íàóê. äóì- êà, 1992. — 264 ñ. 14. Ï î í î ì à ð å â À . Ï . , Ð î ç î â Í . X . Óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü àëüòåðíèðîâàííûõ ñóìì Ïîíòðÿãèíà // Âåñòí. Ìîñêîâ. óí-òà. Ñåð. âû÷èñë. ìàòåìàòèêà è êèáåðíåòèêà. — 1978. — ¹ 1. — Ñ. 82–90. 15. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Îá àëüòåðíèðîâàííîì èíòåãðàëå Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà // Ìàò. ñá. — 1981. — 116, ¹ 4. — Ñ. 136–144. 16. À ç à ì î â À . Î âòîðîì ìåòîäå Ïîíòðÿãèíà â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Òàì æå. — 1982. — 118 (160), ¹ 3 — Ñ. 422–430. 17. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . , Ì å ë ü í è ê î â Í . Á . Î çàäà÷å ñèíòåçà óïðàâëåíèé: àëüòåðíèðîâàí- íûé èíòåãðàë Ïîíòðÿãèíà è óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà–ßêîáè // Òàì æå. — 2000. — 191, ¹ 6. — Ñ. 69–100. 18. Ê î í ñ ò à í ò è í î â Ð . Â . Êâàçèëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíå èãðû ïðåñëåäîâàíèÿ ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè è ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Ìàò. çàìåòêè. — 2001. — 69, ¹ 4. — Ñ. 581–590. 19. Ì ó õ à ì å ä è å â Á . Ì . , Ì à í ñ ó ð î â à Ì . Å . Àëüòåðíèðîâàííûå èíòåãðàëû Ïîíòðÿãèíà ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Âû÷èñë. òåõíîëîãèè. — 2007. — 12, ¹ 2. — Ñ. 104–114. 20. S i l i n D . A generalization of Pontryagin’s alternating integral and generalized solutions to Hamilton–Jakobi equations // Ìåæäóíàð. êîíô. «Äèôôåðåöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è òîïîëîãèÿ», ïîñâÿù. 100-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà: Òåç. äîêë., Ìîñêâà, 17–22 èþíÿ 2008 ã. — 2008. — Ñ. 291. 21. È î ô ô å À . Ä . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 480 ñ. Ïîñòóïèëà 28.06.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 161

Об альтернированном интеграле Понтрягина для дифференциальных включений

Institution

Ähnliche Einträge