Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности
Описан аппарат полиэдральных когерентных мер риска. Его применение для принятия решений в условиях риска и неопределенности демонстрируется на примере задач оптимизации портфеля по соотношению доходность-риск и для максимизации ожидаемой полезности, которые сведены к соответствующим проблемам линейн...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України
2013
|
| Назва видання: | Математичне моделювання в економіці |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86348 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности / В.С. Кирилюк // Математичне моделювання в економіці: Зб. наук. пр. — 2013. — Вип. 2. — С. 84-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86348 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-863482015-09-16T03:02:13Z Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности Кирилюк, В.С. Математичні та інформаційні моделі в економіці Описан аппарат полиэдральных когерентных мер риска. Его применение для принятия решений в условиях риска и неопределенности демонстрируется на примере задач оптимизации портфеля по соотношению доходность-риск и для максимизации ожидаемой полезности, которые сведены к соответствующим проблемам линейного программирования. Описано апарат поліедральних когерентних мір ризику. Його застосування для прийняття рішень в умовах ризику і невизначеності демонструється на прикладі задач оптимізації портфелю за співвідношенням прибутковість-ризик та для максимізації очікуваної корисності, які зведено до відповідних проблем лінійного програмування. Apparatus of polyhedral coherent risk measures is described. Its use for decision-making under risk and uncertainty is demonstrated on the example of portfolio optimization problems by the return-risk ratio and for expected utility maximization, which are reduced to the corresponding linear programming problems. 2013 Article Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности / В.С. Кирилюк // Математичне моделювання в економіці: Зб. наук. пр. — 2013. — Вип. 2. — С. 84-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 2409-8876 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86348 519.21 ru Математичне моделювання в економіці Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні та інформаційні моделі в економіці Математичні та інформаційні моделі в економіці |
| spellingShingle |
Математичні та інформаційні моделі в економіці Математичні та інформаційні моделі в економіці Кирилюк, В.С. Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности Математичне моделювання в економіці |
| description |
Описан аппарат полиэдральных когерентных мер риска. Его применение для принятия решений в условиях риска и неопределенности демонстрируется на примере задач оптимизации портфеля по соотношению доходность-риск и для максимизации ожидаемой полезности, которые сведены к соответствующим проблемам линейного программирования. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| title_short |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| title_full |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| title_fullStr |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| title_full_unstemmed |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| title_sort |
меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности |
| publisher |
Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математичні та інформаційні моделі в економіці |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86348 |
| citation_txt |
Меры риска в задачах принятия решений в условиях риска и неопределенности / В.С. Кирилюк // Математичне моделювання в економіці: Зб. наук. пр. — 2013. — Вип. 2. — С. 84-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Математичне моделювання в економіці |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs meryriskavzadačahprinâtiârešenijvusloviâhriskaineopredelennosti |
| first_indexed |
2025-07-06T13:47:39Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:47:39Z |
| _version_ |
1836905566354538496 |
| fulltext |
Математичне моделювання в економіці _____________________________
84
УДК 519.21
© В.С. Кирилюк
МЕРЫ РИСКА В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ
РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Описан аппарат полиэдральных когерентных мер риска. Его применение для принятия
решений в условиях риска и неопределенности демонстрируется на примере задач оптими-
зации портфеля по соотношению доходность-риск и для максимизации ожидаемой полезно-
сти, которые сведены к соответствующим проблемам линейного программирования.
Ключевые слова: полиэдральные когерентные меры риска, ожидаемая полезность,
соотношение доходность-риск, неточные вероятности, оптимизация портфеля.
Введение
В разнообразных практических задачах надо принимать решения, результаты которых
зависят от будущих (неопределенных) событий и процессов. Мы не знаем будущего, но наше
незнание о нем не является абсолютным. В тексте работы ограничимся случаями, когда:
1) можно идентифицировать вероятности сценариев будущих событий; 2) их можно как-то
оценивать. Первые будем назвать случаями известных распределений случайных величин
(с.в.), вторые – случаями частичной неопределенности (неточных вероятностей).
Для оценивания многочисленных рисков ныне известно большое количество различ-
ных мер. Например, в технических системах в качестве такой меры выступает вероятность
отказа (аварии), в страховании – вероятность банкротства, в классической портфельной тео-
рии – дисперсия [1], в финансах – Value-at-Risk (VaR) [2], пр.
Сами же риски, по сути, описывают одну из сторон изучаемых процессов. Лица, при-
нимающие решения (ЛПР), как правило, учитывают риски (как потенциальные потери) и
потенциальные выигрыши для соответствующих альтернатив. Потенциальные выигрыши
обычно описываются ожидаемой прибыльностью (полезностью), однако адекватный выбор
меры для оценки риска зачастую остается нетривиальной проблемой.
В данной работе мы опишем аппарат полиэдральных когерентных мер риска из [3–4]
и его применение в задачах принятия решений в условиях риска и частичной неопреде-
ленности.
1. Ожидаемая полезность решений в условиях риска
Теория ожидаемой полезности является теоретической основой для рационального по-
ведения ЛПР в условиях риска и неопределенности. Формально это выражается с помощью
_____________Розділ 2. Математичні та інформаційні моделі в економіці
85
некоторой вогнутой возрастающей функции полезности u(.) [5], математическое ожидание
которой по вероятностной мере P служит критерием для принятия решений
Xx
P xuE
max)]([ . (1)
Как показали парадоксы Але и Эллсберга, такая модель не совершенна. Позднее пер-
вый из них был преодолен в рамках теории двойственного выбора [6-7], а второй – введени-
ем в [8] робастного варианта критерия (1):
Xx
P QPxuE
max}:)]([inf{ , (2)
где Q – некоторое выпуклое множество вероятностных мер.
В портфельной теории считается, что функция полезности учитывается в неявной фор-
ме с помощью соотношения доходность-риск [1]. В классической постановке Марковица
риск оценивается дисперсией, которая не является удачной мерой риска, если распределение
доходностей портфеля не гауссово (эллиптическое).
Позднее, после изложения аппарата мер риска, мы вернемся к задачам поиска опти-
мальных портфельных решений: 1) по соотношению доходность-риск в разделе 3; 2) в рам-
ках теории ожидаемой полезности и двойственного выбора в разделе 4.
2. Меры риска
Мерой риска называется функция RX : из пространства случайных величин (с.в.)
X на R, которая оценивает с.в. X некоторой детерминированной величиной )(X .
2.1 Когерентные меры риска
В [9] были сформулированы 4 аксиомы для функции, претендующей на роль меры рис-
ка для финансовых потоков. Такие функции были названы когерентными мерами риска
(КМР).
Согласно аксиомам КМР:
А1) cXcX )()( трансляционно инвариантны;
А2) )()()( 2121 XXXX субаддитивны;
А3) 0),()( XX положительно однородны;
А4) 2121 ),()( XXXX (по распределению) монотонны.
Так, добавление к финансовому потоку некоторой суммы денег уменьшает его риск на эту
величину (A1); диверсификация не увеличивает риск (A2); больший (по распределению) фи-
нансовый поток имеет меньший риск (A4).
Основной результат [9] состоял в том, что КМР ρ(.) имеет вид:
(X) = sup{EP[–X] / PQ}, (3)
где Q – некоторое выпуклое замкнутое множество вероятностных мер.
Математичне моделювання в економіці _____________________________
86
Наиболее известным представителем КМР является мера CVaRα (Conditional Value-at-
Risk), введенная в [10] как интеграл по хвосту распределения убытков потока
1
)(
1
1
)(
dXVaRXCVaR ,
где })(/min{)( zFzXVaR X .
Сама мера VaRα достаточно популярна в финансах в силу простоты интерпретации [2].
Однако она не КМР, поскольку не субаддитивна.
2.2 Полиэдральные когерентные меры риска
2.2.1 Случай известных распределений с.в.
Будем далее рассматривать случай конечных дискретно распределенных (к.д.р.) с.в. X,
которые представляются в виде вектора значений ),...,( 1 nxxx и вектора сценарных вероят-
ностей ),...,( 10 nppp .
В [3] полиэдральной когерентной мерой риска (ПКМР) были названы функции вида (3),
у которых замкнутое выпуклое множество вероятностных мер Q имеет вид выпуклой обо-
лочки конечного числа точек, т.е. вида
Q ={p: B p c, p 0}, (4)
где B и c – матрица и вектор соответствующих размерностей.
Поскольку Q является множеством вероятностных мер, ее описание в (4) включает
стандартное условие
n
i ip
1
1, представленное в виде двух неравенств:
n
i ip
1
1
и
n
i ip
1
1 .
Разделим описание Q в (4) на стандартную (обязательную) и содержательную части.
Представим матрицу B и вектор c как
,,
2
1
2
1
c
c
c
B
B
B (5)
где B1 и с1, описывающие упомянутые выше неравенства, являются стандартными:
,
1
1
,
1...1
1...1
11
cB (6)
а B2 и с2, собственно, описывают содержательную часть в соотношении (4), которая опреде-
ляет саму меру риска в виде (3)-(6).
Примеры ПКМР:
П1. Средние убытки:
022 , pcIB . (7)
П2. Наихудший случай (максимальные убытки):
22 ,cB отсутствуют. (8)
_____________Розділ 2. Математичні та інформаційні моделі в економіці
87
П3. Условное среднее на хвосте распределения (CVaRα) из [10]:
).1/(, 022 pcIB (9)
П4. Спектральная КМР (SCRM), введенная в [11] в форме
1
0
)()()( dppqpXSCRM X ,
где спектр R]1,0[: – неотрицательная убывающая функция,
1
0
1)( dpp .
Для SCRM при к.д.р.с.в. с n сценариями и спектром φ(.):
0
1
22
1
, pcIB
n
i i
i
, (10)
где αi, λi, ni ,...,1 описываются следующими соотношениями
n
i
i 1 , ni ,...,1 , (11)
ni
ni
ni
ni
i dppdppi
/)1(
/
/
/)1(
)()( , 1,...,1 ni ,
1
/)1(
)(
nn
n dppn . (12)
П5. Представление Кусуоки (KFRM) инвариантных по распределению и комонотонных КМР
мер риска из [12]:
n
i
i XCVaR
i
n 1
),...,(
)(max
1
,
где – выпуклое замкнутое множество векторов весовых коэффициентов, сумма которых
равна 1. Можно показать, что для KFRM при к.д.р.
0
1
),...,(
22
1
max,
1
pcIB
n
i i
i
n
. (13)
2.2.2 Случай неточных сценарных вероятностей
В [4] ПКМР переносились на случай частичной неопределенности. Там вместо (3)–(4)
рассматривалось следующее определение:
)},( :][sup{)( 0PaPXEX P (14)
где многозначное отображение a(.) с многогранными образами описывает меру риска (.)
в зависимости от вероятностной меры P0.
Если P0 известна, отличия между (3)-(4) и (14) нет. Но ситуация меняется, если P0 не
известна точно, а доступна лишь информация
UPP 0 , (15)
где PU – некое множество вероятностных мер. Тогда такая робастная ПКМР определялась
как
Математичне моделювання в економіці _____________________________
88
)},( :][sup{)( UPU PacoPXEX (16)
где co означает выпуклую замкнутую оболочку.
Неточные вероятности
Имеются лишь покоординатные оценки сверху и снизу для вектора p0 сценарных веро-
ятностей, а именно
up
lw
uplwU pIp
pIp
ppppP }:{ . (17)
В соответствии с (16) можно пересчитать для неточных вероятностей робастные вари-
анты мер риска из примеров П1-П5. Содержательные части в виде матрицы B2 и вектора c2
их описания имеют следующий вид.
П1. Робастные средние убытки при неточных вероятностях:
., 22
up
lw
p
p
c
I
I
B (18)
П2. Наихудший случай остается без изменений:
22 ,cB отсутствуют.
П3. Робастный CVaRα при неточных вероятностях:
).1/(, 22 uppcIB (19)
П4. Робастная SCRM при неточных вероятностях:
up
n
i i
i pcIB
1
22
1
,
, (20)
где αi, λi, ni ,...,1 описываются соотношениями (11), (12).
П5. Робастное KFRM при неточных вероятностях:
up
n
i i
i pcIB
n
1
),...,(
22
1
max,
1
. (21)
3. Оптимизация портфеля по соотношению доходность-риск
Распределение прибыльности компонент портфеля zj, j=1,…, k представим матрицей H
размерности nk, где j-й столбец описывает посценарное распределение j-й компоненты.
Вектор u = (u1, …, uk) представляет структуру портфеля и рассматривается как переменная,
причем 1
1
k
iu , ui 0, i=1,…,k. Нужно найти структуру портфеля u, которая оптимизирует
совокупный результат портфеля по соотношению доходность-риск. Если распределения
компонент известны, они задаются такой матрицей H посценарных распределений компо-
нент и вектором ),...,( 10 nppp сценарных вероятностей. В качестве критериев будем ис-
пользовать ожидаемую доходность и некоторую ПКМР. Рассмотрим далее две взаимосвя-
занные постановки задачи.
_____________Розділ 2. Математичні та інформаційні моделі в економіці
89
3.1 Оптимальные портфели: случай известных распределений
1. Задача минимизации ПКМР портфеля при гарантированной средней доходности.
Обозначим допустимое значение средней доходности портфеля ][
0
HuEP величиной μ, а вы-
бранную ПКМР, заданную в виде (3)-(6), как )(Hu . Минимизируем вторую величину при
ограничениях на первую :
).(
][
0,1
min
0
1
0
Hu
HuE
uu
p
n
ii
(22)
2. Задача максимизации средней доходности портфеля при ограничениях на ПКМР.
Обозначим допустимое значение ПКМР портфеля )(Hu как ρ0. Максимизируем доход-
ность ][
0
HuEP при ограничениях на меру риска )(Hu , заданную в виде (3)-(6):
].[
)(
0,1
max
0
0
1
HuE
Hu
uu
p
n
ii
(23)
Теорема 1 [3]. Если проблемы (22), (3)-(6) и (23), (3)-(6) совместны, то их оптимальны-
ми портфелями являются соответственно компоненты u решений (v, u) следующих проблем
ЛП:
,,
0,0
1
0
min
0
),(
vc
uv
u
Hup
HuvB
i
T
T
uv
(24)
,,
0,0
1
,
0
max 0
0
),(
upH
uv
u
vc
HuvB
T
i
T
uv
(25)
а значения в решениях по функциям этих задач соответственно совпадают.
В [3] подобный результат был сформулирован также для проблемы вида (23), в которой
заданы ограничения на несколько ПКМР.
3.2 Робастные оптимальные портфели: случай неточных вероятностей
Если для сценарных вероятностей известны лишь их оценки сверху и снизу, рассмот-
рим робастные аналоги описанных ранее задач, которые учитывают их худшие по множеству
неопределенности величины. Тогда в качестве мер риска используем робастные меры риска
(.), UP , построенные по исходной мере ρ(.) и множеству PU в соответствии с (16), а в каче-
стве робастной ожидаемой доходности – следующую функцию:
r(X) = min (EP[X]: P PU}, (26)
Математичне моделювання в економіці _____________________________
90
где PU для случая неточных вероятностей имеет вид (17), т.е. представляется в форме поли-
эдрального множества (3), где
.,
up
lw
p
p
c
I
I
B (27)
Во избежание путаницы, обозначим соответствующие матрицу B и вектор c из
представления полиэдральных множеств:
1) Br и cr – для функции вознаграждения r(.) в виде (26), (4), (27);
2) Bρ и cρ – для робастных вариантов мер риска (.), UP в виде (3)-(4).
Сформулируем теперь соответствующие задачи оптимизации портфеля.
1. Робастная версия минимизации ПКМР портфеля при гарантированной средней до-
ходности r0 имеет следующий вид:
)(
)(
0,1
min ,
0
1
Hu
rHur
uu
UP
n
ii
(28)
2. Робастная версия максимизации средней доходности портфеля при ограничениях на
ПКМР уровнем ρ0 представляется в форме:
)(
)(
0,1
max
0,
1
Hur
Hu
uu
UP
n
ii
(29)
Покажем, как и ранее, что поиск оптимальных решений таких задач может быть сведен
к решению соответствующих проблем ЛП.
Теорема 2. Если решения проблем (28) и (29) с функцией доходности r(.) и мерой рис-
ка (.), UP совместны, их оптимальными портфелями являются соответственно компоненты
u решений (v, u, w) следующих задач ЛП:
,,
0,0
0,1
0
,
0
min
1
0
),,(
vc
wv
uu
HuvB
rwc
HuwB
n
i
T
r
T
r
wuv
(30)
,,
0,0
0,1
,
0
0
max
1
0
),,(
wc
wv
uu
vc
HuvB
HuwB
r
n
i
T
T
r
wuv
(31)
а значения в решениях по функциям этих задач соответственно совпадают.
_____________Розділ 2. Математичні та інформаційні моделі в економіці
91
Замечание. Описания мер риска из примеров П1-П5 и их робастных вариантов, приве-
денного в разделе 2, вполне достаточно для поиска решений задач (22), (23), (28) и (29)
с участием таких мер риска с помощью соответственно проблем ЛП (24), (25), (30) и (31).
4. Максимизации ожидаемой полезности портфеля с помощью спектральной меры
риска
Вернемся теперь к проблеме оптимизации портфеля в смысле максимизации его ожи-
даемой полезности (1). При некоторых свойствах функции u(.) существует соответствие
между ожидаемой полезностью и спектральной мерой риска, позволяющее свести поиск оп-
тимальных решений в рамках теории ожидаемой полезности и двойственной теории выбора
к минимизации некоторой спектральной меры риска. Приведем некоторые детали.
Утверждение [13]. Если множество образов с.в. X является подмножеством опре-
деления непрерывно дифференцируемой и строго вогнутой функции полезности u(.), а функ-
ция распределения )(xFX монотонно возрастает, и функция квантиля )(1 pFX
существует, то
существует взаимнооднозначное соответствие между ожидаемой полезностью функции u(.)
и индуцированной спектральной мерой риска, которое устанавливается следующей про-
цедурой:
1. Определим функцию )0()()( uxuxv .
2. Вычислим ]/)([ xxvE . Введем функцию ]/)([/)()( xxvExvxw .
3. Положим xxwx /)()( и определим функцию ))(()( 1 pFp X
.
4. Определим следующую спектральную меру риска
1
0
1 )()()( dppFpXSCRM X .
Непосредственно из описанной процедуры следует, что
)()]([ XSCRMXuE ,
поэтому максимизация ожидаемой полезности решения сводится к минимизации построен-
ной спектральной меры риска.
Как известно из [13]–[14], если функция распределения )(xFX монотонно возрастает,
и ее функция квантиля )(1 pFX
существует, то поиск оптимальных решений в рамках двой-
ственной теории выбора [6–7] также сводится к минимизации соответствующей индуциро-
ванной спектральной меры риска.
Следовательно, достаточно широкий класс задач поиска оптимальных решений в рам-
ках классической теории полезности в форме (1) и двойственной теории выбора [6-7]
(в форме соответствующего интеграла Шоке) сводится к задаче минимизации ПКМР
SCRM(.) в виде (3)–(6), (10)–(12):
).(
0,1
min
1
HuSCRM
uu
n
ii
(32)
Отметим, что второй критерий в таких постановках отсутствует.
Математичне моделювання в економіці _____________________________
92
Если при условиях утверждения для поиска оптимальных решений используется ро-
бастный вариант ожидаемой полезности вида (2), а Q есть множество неточных вероятностей
(4)–(6) и (18), то соответствующая проблема сводится к робастному варианту проблемы (32),
в которой соответствующая робастная SCRM(.) описывается в виде (3)–(6), (20), (11)–(12).
Таким образом, имеем приведенную задачу оптимизации портфеля в виде проблемы
(32), где SCRM(.) в зависимости от ситуации описывается в виде либо (3)–(6), (10)–(12), либо
(3)–(6), (20), (11)–(12). Для такой задачи для каждой из версий SCRM(.) можно сформулиро-
вать соответствующие следствия из рассмотренных ранее теорем 1 и 2. Представим их
в форме одного общего утверждения.
Следствие. Оптимальным портфелем задачи (32) является компонента u решения (v, u)
следующей проблемы ЛП:
,,
0,0
1
0
min ),(
vc
uv
u
HuvB
i
T
uv
в которой матрица В и вектор с представляют соответствующую версию SCRM(.)), а значе-
ния в решениях по функциям этих задач совпадают.
Заключение
Таким образом, аппарат ПКМР позволяет адекватно оценивать риски в виде потен-
циальных убытков в задачах принятия решений в условиях риска и частичной неопреде-
ленности. Задачи оптимизации портфеля с использованием ПКМР сводятся к соответствую-
щим проблемам ЛП, как при известных распределениях с.в., так и для случая частичной не-
определенности (неточных вероятностей). Это гарантирует возможность поиска их решений
при практически важных очень значительных размерностях исходных задач стандартными
методами ЛП.
Отметим, что представленный математический аппарат позволяет в рамках единого
подхода решать проблемы оптимизации портфеля как по соотношению доходность-риск, так
и для максимизации ожидаемой полезности.
Список использованной литературы
1. Markowitz H.M. Portfolio Selection, Efficient Diversification of Investment. – New York:
Wiley, 1959. – 344 p.
2. Jorion P.H. Value at Risk: A New Benchmark for Measuring Derivatives. – New York: Irwin
Professional Publishers, 1996. – 284 p.
3. Кирилюк B.C. О классе полиэдральных когерентных мер риска // Кибернетика и систем-
ный анализ. – 2004. – № 4. – С. 155–167.
4. Кирилюк В.С. Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного
портфеля // Кибернетика и системный анализ. – 2008. – № 2. – С. 120–133.
_____________Розділ 2. Математичні та інформаційні моделі в економіці
93
5. Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. – Princeton:
Princeton University Press, 1944. – 625 p.
6. Quiggin J. Generalized Expected Utility Theory: The Rank-Dependent Expected Utility Model. –
Boston: Kluwer Academic, 1993. – 208 p.
7. Yaari M.E. The dual theory of choice under risk // Econometrica. – 1987. – 55. – P. 95–115.
8. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior // Journal of Math.
Economics. – 1989. – 18. – P. 141–153.
9. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath. D. Coherent Measures of Risk // Mathematical
Finance. – 1999. – 9/3. – P. 203–228.
10. Rockafellar R.T., Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk // The Journal of
Risk. – 2000. – 2. – P. 21–41.
11. Acerbi C. Spectral Measures of Risk: a Coherent Representation of Subjective Risk Aversion //
Journal of Banking and Finance. – 2002. – 26(7). – P. 1505–1518.
12. Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures, Kusuoka S, Maruyama T. (eds.) Advances
in Mathematical Economics, Vol.3. – Tokyo: Springer, 2001. – P. 83–95.
13. Wächter H.P., Mazzoni T. Consistent Modeling of Risk Averse Behavior with Spectral Risk
Measures // European Journal of Operational Research. – 2013. – 229 (2). – P. 487–495.
14. Sereda E.N., Bronshtein E.M., Rachev S.T., Fabozzi F.J., Sun W., and Stoyanov S.V. Distortion
Risk Measures in Portfolio Optimization, in Handbook of Portfolio Construction. Contemporary
Applications of Markowitz Techniques, ed. Guerard J.B. – New York: Springer, 2010. –
P. 649–673.
Стаття надійшла до редакції 01.02.13 російською мовою
© В.С. Кирилюк
МІРИ РИЗИКУ В ЗАДАЧАХ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
В УМОВАХ РИЗИКУ І НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
Описано апарат поліедральних когерентних мір ризику. Його застосування для прий-
няття рішень в умовах ризику і невизначеності демонструється на прикладі задач оп-
тимізації портфелю за співвідношенням прибутковість-ризик та для максимізації очікува-
ної корисності, які зведено до відповідних проблем лінійного програмування.
© V.S. Kirilyuk
RISK MEASURES IN PROBLEMS OF DECISION-MAKING
UNDER RISK AND UNCERTAINTY
Apparatus of polyhedral coherent risk measures is described. Its use for decision-making un-
der risk and uncertainty is demonstrated on the example of portfolio optimization problems by the
return-risk ratio and for expected utility maximization, which are reduced to the corresponding
linear programming problems.
|