Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках
На класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдено асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень сумами Валле Пуссена в рiвномiрнiй метрицi. Асимптотичнi рiвностi також встановленi у випадку наближення сумами Валле Пуссена в метриках просторiв Ls,...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8640 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8640 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-86402010-06-14T12:00:58Z Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках Сердюк, А.С. Математика На класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдено асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень сумами Валле Пуссена в рiвномiрнiй метрицi. Асимптотичнi рiвностi також встановленi у випадку наближення сумами Валле Пуссена в метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, на класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничнiй кулi простору L1. We find the asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Valle´e Poussin sums in the uniform metric on the classes of Poisson integrals of functions from the unit balls of the spaces Ls, 1 ≤ s ≤ ∞. We also obtain the asymptotic equalities for approximations by Valle´e Poussin sums in the metrics of the spaces Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, on the classes of Poisson integrals of functions from the unit ball of the space L1. 2009 Article Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8640 517.5 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сердюк, А.С. Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| description |
На класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдено асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень сумами Валле Пуссена в рiвномiрнiй метрицi. Асимптотичнi рiвностi також встановленi у випадку наближення сумами Валле Пуссена в метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, на класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничнiй кулi простору L1. |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_short |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_fullStr |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full_unstemmed |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_sort |
наближення інтегралів пуассона сумами валле пуссена в рівномірній та інтегральних метриках |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8640 |
| citation_txt |
Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas nabližennâíntegralívpuassonasumamivallepussenavrívnomírníjtaíntegralʹnihmetrikah |
| first_indexed |
2025-07-02T11:15:55Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:15:55Z |
| _version_ |
1836533631572508672 |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2009
А.С. Сердюк
Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле
Пуссена в рiвномiрнiй та iнтегральних метриках
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
На класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Ls,
1 6 s 6 ∞, знайдено асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень сумами Валле
Пуссена в рiвномiрнiй метрицi. Асимптотичнi рiвностi також встановленi у випадку
наближення сумами Валле Пуссена в метриках просторiв Ls, 1 6 s 6 ∞, на класах
iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничнiй кулi простору L1.
Нехай Ls, 1 6 s < ∞ — простiр 2π-перiодичних сумовних у s-й степенi функцiй f з нормою
‖f‖s = ‖f‖Ls =
(
2π
∫
0
|f(t)s|dt
)1/s
; L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмеже-
них функцiй, у якому норма задана формулою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; C — простiр 2π-перiо-
дичних неперервних функцiй, норма у якому задана наступним чином: ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Iнтегралами Пуассона сумовної функцiї ϕ(·) називають функцiї f(x), що означаються за
допомогою рiвностi
f(x) =
A0
2
+
1
π
2π
∫
0
ϕ(x − t)Pq,β(t) dt, A0 ∈ R, (1)
у якiй Pq,β(t) — ядра Пуассона з параметрами q ∈ (0, 1) i β ∈ R, тобто, функцiї вигляду
Pq,β(t) =
∞
∑
k=1
qk cos
(
kt − βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (2)
Множину всiх функцiй, якi допускають зображення у виглядi (1) при ϕ ∈ N, де N —
деяка пiдмножина iз L1, позначатимемо через Lq
βN. В рамках даної роботи у ролi N висту-
патимуть множини U0
s = {ϕ ∈ Ls : ‖ϕ‖s 6 1, ϕ ⊥ 1}. При цьому для зручностi покладемо
Lq
β,s
df
= Lq
β,sU
0
s .
Нехай f ∈ L i ряд
a0
2
+
∞
∑
k=1
(ak cos kx + bk sin kx)
є рядом Фур’є функцiї f . Через Sn(f ;x) позначимо частковi суми Фур’є порядку n функцiї f :
Sn(f) = Sn(f ;x) =
a0
2
+
n
∑
k=1
(ak cos kx + bk sin kx).
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Тригонометричнi полiноми вигляду
Vn,p(f) = Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1
∑
k=n−p
Sk(f ;x)
називаються сумами Валле Пусcена функцiї f з параметрами n i p. При p = 1 полiно-
ми Vn,p(f ;x) є звичайними частковими сумами Фур’є Sn−1(f ;x) порядку n − 1 функцiї f .
Якщо ж p = n, то суми Vn,p(f) перетворюються у вiдомi суми Фейєра σn−1(f ;x) порядку
n − 1 функцiї f :
σn−1(f) = σn−1(f ;x) =
1
n
n−1
∑
k=0
Sk(f ;x).
Дослiдження апроксимативних властивостей сум Vn,p(f) були розпочатi Валле Пуссеном [1],
який вперше оцiнив величини ‖f−Vn,p(f)‖C через найкращi наближення тригонометрични-
ми полiномами в рiвномiрнiй метрицi. Пiзнiше дослiдження в даному напрямi були продов-
женi в роботах С.М. Нiкольського [2], С.Б. Стєчкiна [3] та iн.
Мета даної роботи полягає у знаходженнi асимптотичних рiвностей для величин
E(Lq
β,s;Vn,p)C = sup
f∈Lq
β,s
‖f(x) − Vn,p(f ;x)‖C (3)
i
E(Lq
β,1;Vn,p)Ls = sup
f∈Lq
β,1
‖f(x) − Vn,p(f ;x)‖s (4)
при n − p → ∞ i довiльних значеннях параметрiв 1 6 s 6 ∞, q ∈ (0, 1) i β ∈ R.
Задача про знаходження асимптотичних рiвностей для верхнiх меж наближень сумами
Vn,p(f) в рiвномiрнiй метрицi на тих чи iнших функцiональних класах вивчалась багатьма
авторами, серед яких Б. Надь [4], С.М. Нiкольський [5], С.Б. Стєчкiн [6], А.В. Єфiмов [7, 8],
С.О. Теляковський [9], О.П. Тiман [10], В. I. Рукасов [11]. Детальнiше з iсторiєю даного
питання можна ознайомитись, наприклад, по бiблiографiчних коментарях монографiї [12].
Зазначимо, що дана робота тiсно пов’язана з роботою автора [13], в якiй ранiше були
знайденi асимптотичнi рiвностi для величини (3) при s = ∞, а також для величини (4)
при s = 1.
Для формулювання основних результатiв роботи введемо наступнi позначення:
Kq,p(θ)
df
= 2−1/θ
∥
∥
∥
∥
√
1 − 2qp cos pt + q2p
1 − 2q cos t + q2
∥
∥
∥
∥
θ
, 1 6 θ 6 ∞, q ∈ (0, 1), p ∈ N, (5)
σ(θ, p)
df
=
при θ = 1 i p = 1,
при 1 < θ 6 ∞ i p = 1,
при 1 6 θ 6 ∞ i p ∈ N \ {1}.
(6)
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 6 s 6 ∞, n, p ∈ N, p 6 n. Тодi
E(Lq
β,s;Vn,p)C =
qn−p+1
p
(‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) + O(1)
qδ(s)
(n − p + 1)(1 − q)σ(s′,p)
)
, (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 35
де
δ(s) =
{
0, s = 2,
1, s ∈ [1,∞] \ {2},
s′ = s/(s − 1), величини Kq,p(s
′) i σ(s′, p) означенi рiвностями (5) i (6) вiдповiдно, а O(1) —
величина рiвномiрно обмежена по параметрах n, p, q, β i s.
Розглянемо деякi частковi випадки теореми 1.
При s = 2 формула (7) перетворюється у точну рiвнiсть
E(Lq
β,2;Vn,p)C =
qn−p+1
√
πp
√
1 + q2 − q2p(2p + 1 − q2(2p − 1))
(1 − q2)3
, (8)
яка при p = 1 (випадок наближення сумами Фур’є Sn−1(f)) набуває вигляду
E(Lq
β,2;Sn−1)C =
qn
√
π(1 − q2)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, n ∈ N, (9)
а при p = n (наближення сумами Фейєра σn−1(f)) має вигляд
E(Lq
β,2;σn−1)C =
q
n
√
π
√
1 + q2 − q2n(2n + 1 − q2(2n − 1))
(1 − q2)3
,
q ∈ (0, 1), β ∈ R, n ∈ N.
(10)
При довiльних 1 6 s 6 ∞ i p = 1 з формули (7) одержуємо рiвнiсть
E(Lq
β,s;Sn−1)C = qn
( ‖ cos t‖s′
π1+1/s′21/s′
∥
∥
∥
∥
1
√
1 − 2q cos t + q2
∥
∥
∥
∥
s′
+ O(1)
qδ(s)
n(1 − q)σ(s′,1)
)
. (11)
Рiвнiсть (11) доведена у роботi [14]. При s = ∞ з (11) випливає асимптотична при n → ∞
рiвнiсть
E(Lq
β,∞;Sn−1)C = qn
(
8
π2
K(q) + O(1)
q
n(1 − q)
)
, (12)
де K(q) — повний елiптичний iнтеграл першого роду,
K(q) =
π/2
∫
0
dt
√
1 − q2 sin2 t
=
1
2
Kq,1(1).
Асимптотична формула (12) вiдтворює результат С.М. Нiкольського [5, c. 222, 223] з по-
кращеною С.Б. Стєчкiним [6, c. 139] оцiнкою залишкового члена.
Оскiльки при s′/2 ∈ N
1
21/s′
‖ 1
√
1 − 2q cos t + q2
‖s′ =
π1/s′
√
1 − q2
(s′/2−1
∑
k=0
(s′/2 + k − 1)!
(k!)2(s′/2 − k − 1)!
(
q2
1 − q2
)k
)1/s′
(13)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
i
‖ cos t‖s′
s′ =
2π(s′ − 1)!!
(s′)!!
, (14)
то внаслiдок (11) для усiх s таких, що s/(2(s − 1)) ∈ N,
E(Lq
β,s;Sn−1)C = qn
(
21/s′
π1/s
√
1 − q2
(
(s′ − 1)!!
(s′)!!
s′/2−1
∑
k=0
(s′/2 + k − 1)!
(k!)2(s′/2 − k − 1)!
(
q2
1 − q2
)k
)1/s′
+
+ O(1)
qδ(s)
n(1 − q)σ(s′,1)
)
. (15)
Зокрема, при s = 2 iз (15) випливає рiвнiсть (9), а при s = 4/3 (s′ = 4) — рiвнiсть вигляду
E
(
Lq
β, 4
3
;Sn−1
)
C
= qn
(
31/4
21/2π3/4
√
1 − q2
(
1 + q2
1 − q2
)1/4
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
, (16)
при s = 6/5 (s′ = 6) — рiвнiсть
E
(
Lq
β, 6
5
;Sn−1
)
C
= qn
(
51/6
21/2π5/6
√
1 − q2
(
1 + 4q2 + q4
1 − 2q2 + q4
)1/6
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
(17)
i т. д. Формули (9), (11), (15)–(17) одержанi в роботi автора [14].
При s = ∞ i 1 6 p 6 n, p, n ∈ N iз формули (7) випливає рiвнiсть
E(Lq
β,∞;Vn,p)C =
=
qn−p+1
p
(
4
π2
π
∫
0
√
1 − 2qp cos pt + q2p
1 − 2q cos t + q2
dt + O(1)
q
(n − p + 1)(1 − q)σ(1,p)
)
, (18)
яка була одержана автором у [13, c. 99].
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 6 s 6 ∞, n, p ∈ N, p 6 n. Тодi
E(Lq
β,1;Vn,p)Ls =
qn−p+1
p
(‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s) + O(1)
q
(n − p + 1)(1 − q)σ(s,p)
)
, (19)
де величини Kq,p(s) i σ(s, p) означенi рiвностями (5) i (6) вiдповiдно, а O(1) — величина
рiвномiрно обмежена по параметрах n, p, q, β i s.
Зiставлення асимптотичних формул (7) i (17) дозволяє записати граничне спiввiдно-
шення
lim
n−p→∞
E(Lq
β,s′ ;Vn,p)C
E(Lq
β,1;Vn,p)Ls
= 1, q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 6 s 6 ∞,
1
s
+
1
s′
= 1. (20)
Розглянемо деякi частковi випадки теореми 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 37
При s = 2 формула (19) перетворюється в асимптотичну при n − p → ∞ рiвнiсть
E(Lq
β,1;Vn,p)L2
=
qn−p+1
p
×
×
(
1
π1/2
√
1 + q2 − q2p(2p + 1 − q2(2p − 1))
(1 − q2)3
+ O(1)
q
(n − p + 1)(1 − q)σ(2,p)
)
, (21)
яка при p = 1 набуває вигляду
E(Lq
β,1;Sn−1)L2
= qn
(
1
π1/2
√
1 − q2
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
. (22)
Формула (22) наведена в роботi [15, c. 1402].
При довiльних 1 6 s 6 ∞ i p = 1 iз формули (19) одержуємо рiвнiсть
E(Lq
β,1;Sn−1)Ls = qn
( ‖ cos t‖s
π1+1/S21/s
∥
∥
∥
∥
1
√
1 − 2q cos t + q2
∥
∥
∥
∥
s
+ O(1)
q
n(1 − q)σ(s,1)
)
. (23)
Рiвнiсть (23) встановлена у роботi [15]. Там же було наведено i декiлька частинних випадкiв
формули (23). Зокрема, при s = 1 iз (23) випливає асимптотична при n → ∞ рiвнiсть
E(Lq
β,1;Sn−1)L1
= qn
(
8
π2
K(q) + O(1)
q
n(1 − q)
)
, (24)
де K(q) — повний елiптичний iнтеграл першого роду. Асимптотична рiвнiсть (24) вiдтворює
вiдомий результат С.М. Нiкольського [5, c. 222, 223] з покращеною С.Б. Стєчкiним [6, c. 139]
оцiнкою залишкового члена.
При s/2 ∈ N з рiвностей (13), (14) i (23) випливає оцiнка
E(Lq
β,1;Sn−1)Ls = qn
(
21/s
π(s−1)/s
√
1 − q2
×
×
(
(s − 1)!!
s!!
s/2−1
∑
k=0
(s/2 + k − 1)!
(k!)2(s/2 − k − 1)!
(
q2
1 − q2
)k
)1/s
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
, (25)
яка при s = 2 перетворюється у рiвнiсть (22), а при s = 4 i s = 6 — вiдповiдно у рiвностi
E(Lq
β,1;Sn−1)L4
= qn
(
31/4
21/2π3/4
√
1 − q2
(
1 + q2
1 − q2
)1/4
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
, (26)
E(Lq
β,1;Sn−1)L6
= qn
(
51/6
21/2π5/6
√
1 − q2
(
1 + 4q2 + q4
1 − 2q2 + q4
)1/6
+ O(1)
q
n(1 − q)2
)
. (27)
При s = 1 i 1 6 p 6 n, p, n ∈ N з формули (19) випливає рiвнiсть
E(Lq
β,1;Vn,p)L1
=
=
qn−p+1
p
(
4
π2
π
∫
0
√
1 − 2qp cos pt + q2p
1 − 2q cos t + q2
dt + O(1)
q
(n − p + 1)(1 − q)σ(1,p)
)
, (28)
яка була одержана автором у [13, c. 104–105].
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
1. La Vallé Poussin Ch. Sur la meilleure approximation des fonctions d’une variable réelle par des expessions
d’ordre donné // Compt. rendus, – 1918. – Bd. 166. – S. 799–802.
2. Никольский С.М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН
СССР. Cер. мат. – 1940. – 4. – С. 509–520.
3. Стечкин С.Б. О суммах Валле Пуссена // Докл. АН СССР. – 1951. – 80. – С. 545–548.
4. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I. Periodischer
Fall, Berichte der math.-phys. Kl. Acad. der Wiss. zu Leipzig. – 1938. – 90. – P. 103–134.
5. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН
СССР. Cер. мат. – 1946. – 10. – С. 207–256.
6. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР. –
1980. – 145. – С. 126–151.
7. Ефимов А.В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. I // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1959. – 23, № 5. – С. 737–770.
8. Ефимов А.В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. II // Там же. –
1960. – 24, № 3. – С. 431–468.
9. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций суммами Валле-Пуссена // Докл. АН
СССР. – 1958. – 121, № 3. – С. 426–429.
10. Тиман А.Ф. Обобщение некоторых результатов А.Н. Колмогорова и С.М. Никольского // Докл. АН
СССР – 1951. – 81, № 4. – С. 509–511.
11. Рукасов В.И. Приближение функций класса C
ψ
β,∞ линейными средними их рядов Фурье // Укр. мат.
журн. – 1987. – 39, № 4. – С. 478–483.
12. Степанец А.И., Рукасов В.И., Чайченко С.О. Приближения суммами Валле-Пуссена // Працi Iн-
ституту математики НАН України. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2007. – 68. – 386 с.
13. Сердюк А.С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена // Там само. – 2004. – 56,
№ 1. – С. 97–107.
14. Сердюк А.С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Там
само. – 2005. – 57, № 8. – С. 1079–1096.
15. Сердюк А.С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp // Там
само. – 2005. – 57, № 10. – С. 1395–1408.
Надiйшло до редакцiї 20.10.2008Iнститут математики НАН України, Київ
A. S. Serdyuk
Approximation of Poisson integrals by Vallee Poussin sums in uniform
and integral metrics
We find the asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Valleé Poussin sums in
the uniform metric on the classes of Poisson integrals of functions from the unit balls of the spaces
Ls, 1 6 s 6 ∞. We also obtain the asymptotic equalities for approximations by Valleé Poussin
sums in the metrics of the spaces Ls, 1 6 s 6 ∞, on the classes of Poisson integrals of functions
from the unit ball of the space L1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 39
|