Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами

Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами

У статті розглядається питання розробки та оцінки похибок чисельного алгоритму розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерри на основі використання інтерполяційних сплайнів. У порівнянні з традиційними алгоритмами цей алгоритм має малу кількість обчислювальних операцій на кроці циклічних процедур і м...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Верлань, Д.А.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86469
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 23-33. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86469
record_format dspace
spelling irk-123456789-864692015-09-19T03:01:25Z Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами Верлань, Д.А. У статті розглядається питання розробки та оцінки похибок чисельного алгоритму розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерри на основі використання інтерполяційних сплайнів. У порівнянні з традиційними алгоритмами цей алгоритм має малу кількість обчислювальних операцій на кроці циклічних процедур і може забезпечувати синтез структур спеціалізованих обчислювальних пристроїв, орієнтованих на розв’язання задачі відновлення сигналів в реальному часі. In this paper considered is the issue the development and evaluation of errors numerical algorithm for solving integral equations Volterra through the use of interpolation splines. Compared with traditional algorithms, this algorithm has a small number of computational operations in step cyclic processes and structures can provide a synthesis of specialized computing devices, focused on solving the problem of signal restoration in real time. 2013 Article Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 23-33. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86469 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У статті розглядається питання розробки та оцінки похибок чисельного алгоритму розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерри на основі використання інтерполяційних сплайнів. У порівнянні з традиційними алгоритмами цей алгоритм має малу кількість обчислювальних операцій на кроці циклічних процедур і може забезпечувати синтез структур спеціалізованих обчислювальних пристроїв, орієнтованих на розв’язання задачі відновлення сигналів в реальному часі.
format Article
author Верлань, Д.А.
spellingShingle Верлань, Д.А.
Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Верлань, Д.А.
author_sort Верлань, Д.А.
title Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
title_short Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
title_full Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
title_fullStr Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
title_full_unstemmed Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами
title_sort алгоритм розв’язування інтегрального рівняння вольтерри і роду при апроксимації ядер сплайнами
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86469
citation_txt Алгоритм розв’язування інтегрального рівняння Вольтерри І роду при апроксимації ядер сплайнами / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 23-33. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT verlanʹda algoritmrozvâzuvannâíntegralʹnogorívnânnâvolʹterriírodupriaproksimacííâdersplajnami
first_indexed 2025-07-06T13:57:23Z
last_indexed 2025-07-06T13:57:23Z
_version_ 1836906178350678016
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 23 УДК 519.6 Д. А. Верлань, аспірант Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ВОЛЬТЕРРИ І РОДУ ПРИ АПРОКСИМАЦІЇ ЯДЕР СПЛАЙНАМИ У статті розглядається питання розробки та оцінки похи- бок чисельного алгоритму розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерри на основі використання інтерполяційних сплайнів. У порівнянні з традиційними алгоритмами цей алгоритм має малу кількість обчислювальних операцій на кроці циклічних процедур і може забезпечувати синтез структур спеціалізова- них обчислювальних пристроїв, орієнтованих на розв’язання задачі відновлення сигналів в реальному часі. Ключові слова: апроксимація, функція двох змінних, по- хибка. Чисельні алгоритми розв’язування інтегрального рівняння Воль- терри І роду       0 , t K t s y s ds f t  (1) зазвичай будується на основі квадратурних методів. Реалізація тра- диційних алгоритмів методу квадратурних формул обмежуються зрос- танням кількості операцій на кожному наступному кроці обчислень. У зв'язку з цим розглянемо питання побудови високопродуктивного чисельного алгоритму розв’язування інтегрального рівняння Вольтер- ри І роду на основі відповідної апроксимації ядра. Основою рівняння Вольтерри І роду (1) при моделюванні скаляр- них динамічних стаціонарних об’єктів є оператор типу згортки     0 ( ) , t t K t s s ds   (2) де інтеграл при чисельному обрахунку замінюється скінченою су- мою. При цьому можуть бути застосовані різні квадратурні формули, кожна з яких має суттєві алгоритмічні особливості [5]. Традиційні апроксимуючі алгебраїчні залежності для інтегрального оператора (2) та інтегрального рівняння Вольтерри першого роду (1) отримуються за допомогою наступних наближених виразів    1 ( ), i i i i j jj t A K t t t     (3)      1 , i i i j j ij A K t t y t f t    (4) де 1, 2,..., ;j i (0 1)c  ( 1,i n ) — вузли дискретизації; iA — коефі- цієнти квадратурної формули. Якщо вузли it слідують один за одним з © Д. А. Верлань, 2013 Математичне та комп’ютерне моделювання 24 постійним кроком h , то  1it i h  . Відсутність невідомої функції поза знаком інтеграла в рівнянні (1) призводить до ряду особливостей. На- приклад, в системі (4) неможливо визначити значення (0)y , необхідне для подальшого отримання значень    , 2 ,y h y h  рекурентно. Для визначення (0)y можна скористатися виразом       ' 0 0 . 0 f y K  Тепер система (4) дозволяє послідовно визначити значення           1 1 . 0 i i i i i j jj j y t f t A K t t y t A K     При обчислені значень  ' 0 ( ) 0 , t df t f dt   можна скористатися різними інтерполяційними способами, в тому числі формулою квадратичної інтерполяції       1 0 3 0 4 (2 ) . 2 f f f h f h h      (5) Слід зазначити, що при  0 0K  в інтервалі інтегрування для наближеного розв’язку інтегрального рівняння (1) неможливо засто- сувати метод квадратурних формул з використанням формули трапе- цій, оскільки при цьому необхідно виконувати операцію ділення на  0K згідно з розрахунковими виразами                1 1 0 0 , 0 2 , 0 ii i i i j jj i f y K f t y t A K t t y t A K h                  (6) де  1it i h  , 2,3,i   , 1 , 1,2 1, 1. j j A j       Тому більш привабливим у цьому випадку є застосування фор- мули середніх прямокутників, яка дозволяє ефективно визначити значення шуканої функції у вузлах 1/2jt  ( 1/2 1 2jt j h       ), у відпо- відності з виразом Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 25          2 1/2 1/2 1/21 1 , 12 2 1 , 1 2 ii i i i j jj f h y hK h f t y t A K t t y t h K h                                      (7) З виразів (3), (6) і (7) видно, що із зростанням номера кроку вузлів дискретизації зростає число операцій, які виконуються на кожному кроці обчислень. Ці складнощі визначаються значною мірою наявністю ядра, що представляє собою функцію двох змінних. Саме цей фактор насам- перед позначається на швидкодії обчислювальних алгоритмів. Імпульсні перехідні функції розглянутого класу динамічних об'єктів є неперервними і тому можуть бути представленими у вигля- ді степеневого ряду згідно теореми Вейєрштрасса. Це дозволяє в ба- гатьох практичних випадках вважати ядро інтегрального рівняння (1) сепарабельним, тобто представленим у вигляді      1 , 1, , m l ll K t s t s l m      (8) або зводиться до цього виду. Властивість роздільності ядра (8) у випадку, коли імпульсна пе- рехідна функція  K t задана аналітично, дозволяє записати вирази (2) і (1) у вигляді      1 0 ( ) , tm l ll t t s s ds        (9)        1 0 . tm l ll t s y s ds f t     (10) Застосовуючи до виразів (9) і (10) квадратурні формули, отри- муємо відповідно формулу для чисельної реалізації оператора      1 1 1 ( ), m i i l i l j jl j t t t t         (11) і рекурентні вирази для розв'язання рівняння:                    ' 1 1 1 0 0 , 0 2 . 0 m i i i l i j l j jl j i f y K y t f t t A t y t A K                  (12) Вирази (11) і (12) являють собою аналітичний опис модифікова- ного алгоритму, що відрізняються від (3) і (6) тим, що кількість обчис- лень на кожному кроці залишається незмінною, оскільки доданки    1 1 i j l j jj A t y t   залежать тільки від однієї вільної змінної jt . Математичне та комп’ютерне моделювання 26 Широкий клас ядер може бути представленій аналітичним спо- собом у сепарабельному вигляді, наприклад   sin( )t sK t s e t s   може бути представлене еквівалентно як    sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ,t s sK t s e t e s t e s    а відповідний оператор згортки приймає вигляд   0 0 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) . t tt s st e t e s ds t e s ds         Умовою застосування модифікованого алгоритму є наявність аналітичного виразу для ядра. Тому вираз (12) безпосередньо незас- тосовне, якщо  K t має експериментальне походження. У такому випадку практичний шлях визначення аналітичного вигляду функції  K t полягає в отриманні перехідної характеристики  P t , як реак- ції досліджуваного об'єкта на одиничну функцію, і подальшої апрок- симації  P t простим аналітичним виразом і його диференціюван- ням, оскільки     /K t dP t dt . Ефективним апаратом наближення функції на відрізку [0, ]T за допомогою простих аналітичних виразів — поліномів, є інтерполя- ційні поліноміальні сплайни [3], що належать до класу [0, ]TC . У цьому разі застосування сплайнів при виконанні умов: 1)  0 0K  ; 2) функції  K t та  f t неперервні на [0, ]T , тобто k cMW H , приз- водить до наступної процедури отримання наближеного розв’язку рівняння (1). 1. Апроксимуючи експериментально отримані функції  P t та  K t інтерполяційними сплайнами n-го порядку на рівномірній сітці : ; ; 0, , def m i i T t t iH H i m m          (13) відповідно маємо  , ( )m nZ P t ,  , ( )m nZ f t , де m — кількість точок інтерполяції; 2. Визначивши похідну  , ( )m nZ P t і підставляючи її в рівняння (1) замість  K t s , а замість    , ( )m nf t Z P t отримаємо     , ,0 ( ) ( ) , t m n m nZ P t s y s ds Z f t    (14) де ( )y t — розв’язок цього рівняння. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 27 3. Диференціюючи рівняння (14) по t , отримуємо інтегральне рівняння Вольтерри другого роду         , ,0 0 ( ) ( ) . t m n m nK y t Z P t s y s ds Z f t     (15) 4. Виходячи з квадратурних формул виду   00 ( ) [ ], ih i ij ij ij s ds h W jh R      (16) де 1,i N , 1, 2,N   , def T h N  , ijhw — ваги, [ ]iR  — залишки цих формул, отримуємо систему розрахункових рівнянь             ' , ,0 0 ( ) , i ij m n m nj K y ih W Z P ih jh y jh Z f ih       (17) де   y ih — розв’язок системи (17). Рівняння (15) і система (17) доз- воляють використовувати властивість (8) ядра і отримати розрахун- кові вирази, які представляють собою також модифікований алгоритм методу квадратурних формул. На питання про можливі похибки одержуваного розв’язку інтег- рального рівняння (17) на основі реалізації вищевикладеної процеду- ри відповідають наступні теореми. Теорема 1. Нехай   ( ) [0, ] r TP t C та   ( ) [0, ] l Tf t C (мають r -ту та l -ту неперервну похідну відповідно) 2 r n  і 1 l n  та виконується не- рівність   ' , 1 max ( ) , Zi m nZi n i c Z P t s y s M s        (18) в якій1 3iZ n   , 0 , max def t s t     . Яким би не був інтерполяційний поліноміальний сплайн ступеня 4n  з сіткою вузлів (13), квадратурні формули (16) точні для мно- гочленів ступеня 1iZ  і такі, що   , 0/ 1,m n c q h Z P t s W K   (19) де 0K K 0 max . def ij j i N W W     Для відхилення розв’язку y( )t , яке одержано з системи (17), від точного розв’язку y( )t вихідного рівняння (1) справедлива оцінка Математичне та комп’ютерне моделювання 28             1 1 1 , , ( , ) ; ; , , , l l C Zi y ih y ih n r H f a n l H f H b m n r B C          (20) де H визначено в (13), 1 1 max , , def i i i i N x x x R          2 2 0, , exp ( , ) ( ;; ) / 1,rrn r H Ta n r H p H K     (21)  ; H  — модуль неперервності функції (t) , що визначається за формулою       0 , , ; max ; t t T H H t t               (22)  2exp ( , , ) / (1 ) ; 1 TM B TWb m n r q q    (23) 10 ( ) (1 ) , 1 2 ZZ Z idef i iih i Z ijji i i jh t jh tih t C W dt Z Z               (24) а величини 1 ( , )a n l ,  2 ,a n r ,  1 , ,b m n r та  2 , ,b m n r — константи, залежні лише від вказаних величин. Доведення. Враховуючи, що y( )t , ( )y t і y( )t являються відпо- відно розв’язками рівнянь (1), (15), (17), оцінимо окремо кожний до- данок в правій частині нерівності трикутника              ( ) .y ih y ih y ih y ih y ih y ih     (25) Введемо для спрощення викладок наступне позначення       , , 0( ; ) ( ; ) / , 0,1, 2, . def k kk m n m nt t Z t K k       (26) Вважаючи в нерівності (18) в роботі [2]   , ( ( )) def m nK t Z P t та ,( ) ( ( ))m nf t Z P t враховуючи, що в ньому для функції    1 / def att e t   вірні співвідношення     ( 0)t t a    ,   0 lim t t a   , отримуємо                                         2 2 , , 1 ,2 , 2 2 1 , , , 2 , ; exp ; 1 ; ; exp exp ;; 1 ; exp . m n m nC C m n C m n m n m n m nCC m n C f P t t P t y t y t P t P t Z P t t f t P t P t Z P t t                                  (27) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 29 Скориставшись тепер для оцінки величин  , ;m n t  та     2 ,m n C Z P t відповідно, теоремою 2 і наслідком 1 з теореми 3 в ро- боті [7, гл. 3, § 3], відповідно (21) та в силу (27) отримаємо = 1,i N              1 1 1y y , , , , , , ,ll C t t n r H f a n l H f H b m n r      (28) де усі величини визначені в умові теореми. Другий доданок в (25) оцінимо, скориставшись нерівністю (12) (при 0 0   ) із роботи [4, гл. 8, § 2], яке в наших позначеннях (16), (19) буде мати вигляд                       2 , 0 2 , y y / 1 y / (1 ). m n i m n ih ih exp TW Z P t q K R Z P t s q           (29) Оцінюючи величину     2 ,m n C Z P t (як і вище) за допомогою наслідку 1 із теореми 3 в роботі [7, гл. 3, § 3], а величину        2 , yi m nR Z P t s    за допомогою нерівності (4.8) з урахуванням відношень (4.5) та (3.3) із роботи [6, с. 26—29], а також виразів (23) і (24) отримуємо, що           2 , 0 1 y y / = . 1 m n Z Zi iC ih ih exp TW Z P t K MC BMC q      Звідси та з (28) і (25) переконуємося у справедливості теореми. Теорему доведено. Зауваження 1. Величини Zi C , що фігурують у правій частині (21), достатньо добре досліджені для основних квадратурних формул (наприклад 6, § 5]). З теореми 1 і визначення класу функцій kMW H  (0 1)  (наприклад [6, c. 154] або [6, с. 18]):         : < ; 0,1 ; , 0, def k k kMW H t t M t t t t T                безпосередньо випливає наступне. Наслідок. Якщо   rP t MW H  , а   lf t MW H  , де 2 ,r n  1 ,l n  то в умовах теореми 1 справедлива рівність            2 1 1 , 1 ! r ly ih y ih O h O h O Z                 (30) де 1 min def i i N Z Z    . Математичне та комп’ютерне моделювання 30 Загальна процедура 1—4 заснована на застосуванні інтерполя- ційних кубічних сплайнів ,3 ( ( ))mZ t , що задовольняють крайовим умовам [7, с. 83]     ,3 ,30 0m mZ Z t   (31) для сітки вузлів вигляду (13), достатньо просто реалізується програмно. Розглянемо використання в якості (16) квадратурної формули трапецій виду        0 ( ) 0,5 0 2 2 1 ( ) [ ], t it dt h h i h ih R             (32) де ,h T m та [0, ]TC  . Відомо (наприклад [6, с. 33]), що формула трапецій для многоч- ленів першої степені, а її залишковий член на класі функцій  2MW відповідно теоремі 1 із роботи [6, § 6] задовольняє нерівності   3 2 ; 1, . 12i T M R i m m     (33) На питання про відхилення наближеного розв’язку від точного в цьому випадку дає відповідь така теорема. Теорема 2. Нехай функції  P t , ( )f t , інтерполяційний кубіч- ний сплайн   ,3mZ t і квадратурні формули (32) задовольняють наступні умови: 1)        0, 0,, 2,3; ; 1,2,3;r l T TP t C r f t C l    2)      2 ,321 max ( ) , 1, ;m i i h s ih Z P t s y s M m s             (34) 3)  ' 05 / 1. def def C Z hA h P t K   (35) Тоді в процедурах 1—4 при =m N , = 3n для інтерполяції кубіч- них сплайнів відносно сітки вузлів (13) з крайовими умовами (31) і квадратурною формулою трапецій вигляду (32) має місце оцінка          2 exp exp , 1, , 12(1 ) (1 ) r lc i y ih y ih f h h TA TMh TA m q q                  (36) де      2 ( ) 0 2 3exp ;; / 1, 5, 4,r r r rh def B Th P h K B B       (37)   1 0 1 2 3/ , 5, 2,l l lh def A h K A A A     (38) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 31 ( , )h  — модуль неперервності функції ( )t , яка визначається формулою (22). Доведення. Схема доведення цієї теореми така ж як і теореми 1. Оцінимо доданок     yy ih ih (в нашому випадку =h H ) в нерівнос- ті (25) і скористаємося нерівністю (27). Для цього знайдемо верхні межі величин  2 ,3 ( , )m P t ,  1 ,3 ( , )m f t в (27), які визначаються формулами (26). В силу теореми 9 (при   [0, ]С TP t  ) і теореми 12 (при   [0, ]С TP t  з роботи [7, гл. 2] отримуємо             1 2 2 2 ,3 ,3 0 0( , ) / ( ; ) / , def rr m m rP t P t Z P t K B h P h K      (39) де 2,3r  ; 2 5B  , 3 4B  . Аналогічно, в силу теореми 10, 9, 12 (відповідно при = 1, 2,3l ) із [7, гл. 2] і отримуємо                1 1 1 1 ,3 ,3 0 0, / ; / , def ll m m lf t f t Z f t K A h f h K      (40) де 1 2 5A A  , 3 2A  . Величину    2 ,3 ,m C Z P t оцінимо на основі теореми 14 із роботи [7, гл. 2]:      2 ,3 , 5 .m CC Z P t P t (41) Таким чином, із (27) в силу (39), (40), (41) і відповідно (37), (38) та (35) отримуємо       2 exp .c ry ih y ih f h h TA       (42) Другий доданок      y yih ih в (25) оцінимо, виходячи з нерів- ності (29). Скористаємося тим, що для квадратурних формул 1W  і в силу (41), (34), (33), отримуємо      3 2 1 exp . 1 1 12 TA T M y ih y ih q q m         (43) Звідси, із (42) і (25) переконуємося у дійсності теореми. Теорему доведено. Наслідок. Якщо ( )( ) rP t MW H ( = 2,3;r (0.1] ), а ( )( ) lf t MW H , = 1, 2,3;l ( (0.1]  ), то в умовах теореми 2 має місце співвідношення           2 1 2 .r ly ih y ih O h O h O h          (44) Математичне та комп’ютерне моделювання 32 При практичній реалізації процедури 1—4 на остаточний ре- зультат, крім досліджених похибок методу, впливають ще й обчис- лювальні похибки (див. [1, с. 16]), зумовлені неточністю вимірювань за допомогою приладів (інструментальна похибка), а також похибка- ми округлень чисел при комп’ютерних розрахунках. За схемою доведення теореми 2 і в силу нерівності (12) з роботи [3, гл. 8, § 27], і користуючись міркуваннями з § 18, гл. 2 в роботі [1] і § 1 гл. 4 з роботи [7] легко переконатися в справедливості наступної теореми. Теорема 3. Нехай виконуються умови наслідку з теореми 2 і по- хибки обчислення функцій  P t , ( )f t і   y t у вузлових точках p , f і  . Тоді має місце співвідношення                2 1 2 2 1 ( ). r l p f y ih y ih O h O h O h O h O h O                     Наслідок. Оптимальним по порядку (в сенсі точності) кроком сітки (13) для інтерполяційних кубічних сплайнів і квадратурних фор- мул трапецій вигляду (32) буде крок  1/(2 )=h O   , де min( 2, 1, 2) def r l       ,  max , , def p f    . Висновок. Таким чином, розглянутий модифікований алгоритм методу квадратурних формул для розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерри І роду має низку необхідних для чисельної реалізації влас- тивостей, зокрема, має невелику і постійну кількість операцій для отримання чергового дискретного значення шуканої функції. Завдяки цьому даний алгоритм стає придатним в якості основи синтезу спеціалізованих обчислювальних пристроїв. Процедура чисельної реалізації інтегрального рівняння задачі відновлення сигналів в тому випадку, коли ядро і права частина мають експериментальне поход- ження, заснована на використанні інтерполяційних сплайнів. Отри- мані оцінки похибки реалізації даної процедури свідчать про збіж- ність обчислювального процесу і дозволяють оптимально (в сенсі мінімізації помилки обчислень) вибрати крок квадратури. Список використаних джерел: 1. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М. : Бином, 2003. — 630 с. 2. Верлань А. Ф. Анализ ошибок электронного моделирование объектов описываемых интегральными уравнениями. – В кн.: Кибернетика и вы- числительная техника / А. Ф. Верлань. — К. : Наук. думка, 1972. — 220 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 33 3. Верлань А. Ф. О применении сплайнов при численном решении одного интегрального уравнения задачи восстановления сигналов / А. Ф. Вер- лань, Б. Б. Абдусатаров, В. И. Биленко // Доклады АН УССР, Сер. А. — 1981. — №4. — С. 72–75. 4. Крылов В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. — М. : Наука, 1977. — Т. II. — 400 с. 5. Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. 6. Никольский С.М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский ; с доб. Н. П. Корнейчука. — 4-е изд., доп. — М. : Наука, 1988. — 254 с. 7. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. — М. : Наука, 1976. — 248 с. In this paper considered is the issue the development and evaluation of errors numerical algorithm for solving integral equations Volterra through the use of interpolation splines. Compared with traditional algorithms, this algorithm has a small number of computational operations in step cyclic processes and structures can provide a synthesis of specialized computing devices, focused on solving the problem of signal restoration in real time. Key words: approximation, numerical, the function of two variables, error. Отримано: 18.02.2013 УДК 517.91:532.2 Г. І. Готинчан*, старший викладач І. З. Готинчан**, канд. фіз.-мат. наук *Чернівецький факультет національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ** Чернівецький торговельно-економічний інститут Київського національного торговельно-економічного університету, м. Чернівці ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ (КОНТОРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА)-ФУР’Є-БЕССЕЛЯ-ЕЙЛЕРА НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запро- ваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сег- менті з трьома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера. Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гіб- ридне інтегральне перетворення, спектр, спектральна функ- ція, основна тотожність. Постановка проблеми та її аналіз. Метод відокремлення змін- них і породжене ним інтегральне перетворення (Фур’є, Ганкеля, Ме- ліна і т.д.) дало можливість одержати інтегральне зображення аналі- © Г. І. Готинчан, І. З. Готинчан, 2013 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge