Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі

Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі

Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті з трьома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
Hauptverfasser: Готинчан, Г.І., Готинчан, І.З.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86470
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / Г.І. Готинчан, І.З. Готинчан // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 33-51. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86470
record_format dspace
spelling irk-123456789-864702015-09-19T03:01:27Z Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі Готинчан, Г.І. Готинчан, І.З. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті з трьома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера. The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) introduced a hybrid integral transformations generated by the segment with three points coupling hybrid differential operator (Kontorovich-Lebedev)-Fourier-Bessel-Euler. 2013 Article Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / Г.І. Готинчан, І.З. Готинчан // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 33-51. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86470 517.91:532.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті з трьома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера.
format Article
author Готинчан, Г.І.
Готинчан, І.З.
spellingShingle Готинчан, Г.І.
Готинчан, І.З.
Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Готинчан, Г.І.
Готинчан, І.З.
author_sort Готинчан, Г.І.
title Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
title_short Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
title_full Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
title_fullStr Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
title_full_unstemmed Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
title_sort гібридне інтегральне перетворення (конторовича-лєбєдєва)-фур’є-бесселя-ейлера на сегменті полярної осі
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86470
citation_txt Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / Г.І. Готинчан, І.З. Готинчан // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 33-51. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT gotinčangí gíbridneíntegralʹneperetvorennâkontorovičalêbêdêvafurêbesselâejleranasegmentípolârnoíosí
AT gotinčaníz gíbridneíntegralʹneperetvorennâkontorovičalêbêdêvafurêbesselâejleranasegmentípolârnoíosí
first_indexed 2025-07-06T13:57:31Z
last_indexed 2025-07-06T13:57:31Z
_version_ 1836906186261135360
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 33 3. Верлань А. Ф. О применении сплайнов при численном решении одного интегрального уравнения задачи восстановления сигналов / А. Ф. Вер- лань, Б. Б. Абдусатаров, В. И. Биленко // Доклады АН УССР, Сер. А. — 1981. — №4. — С. 72–75. 4. Крылов В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. — М. : Наука, 1977. — Т. II. — 400 с. 5. Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. 6. Никольский С.М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский ; с доб. Н. П. Корнейчука. — 4-е изд., доп. — М. : Наука, 1988. — 254 с. 7. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. — М. : Наука, 1976. — 248 с. In this paper considered is the issue the development and evaluation of errors numerical algorithm for solving integral equations Volterra through the use of interpolation splines. Compared with traditional algorithms, this algorithm has a small number of computational operations in step cyclic processes and structures can provide a synthesis of specialized computing devices, focused on solving the problem of signal restoration in real time. Key words: approximation, numerical, the function of two variables, error. Отримано: 18.02.2013 УДК 517.91:532.2 Г. І. Готинчан*, старший викладач І. З. Готинчан**, канд. фіз.-мат. наук *Чернівецький факультет національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ** Чернівецький торговельно-економічний інститут Київського національного торговельно-економічного університету, м. Чернівці ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ (КОНТОРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА)-ФУР’Є-БЕССЕЛЯ-ЕЙЛЕРА НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запро- ваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сег- менті з трьома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Фур’є-Бесселя-Ейлера. Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гіб- ридне інтегральне перетворення, спектр, спектральна функ- ція, основна тотожність. Постановка проблеми та її аналіз. Метод відокремлення змін- них і породжене ним інтегральне перетворення (Фур’є, Ганкеля, Ме- ліна і т.д.) дало можливість одержати інтегральне зображення аналі- © Г. І. Готинчан, І. З. Готинчан, 2013 Математичне та комп’ютерне моделювання 34 тичного розв’язку достатньо широкого класу задач математичної фі- зики однорідного середовища. Таким чином, до середини XX-го сто- ліття було створено ефективний математичний апарат інтегрування задач математичної фізики однорідного середовища. З появою в тех- нологічних процесах композитних матеріалів ми маємо справу з неоднорідним (кусково-однорідним) середовищем. Було створено гібридні інтегральні перетворення, які дали можливість проінтегру- вати достатньо широкий клас задач математичної фізики кусково- однорідних середовищ. Запровадженню одного із типів гібридного інтегрального перетворення присвячена ця стаття. Основна частина. Розглянемо диференціальні оператори Конторо- вича-Лєбєдєва 1 2 2 2 2 2 1 12 (2 1) d d B r r r drdr         [1], Фур’є 2 2 d dr [2], Бесселя   2 2 1 2 2 2 , 2 22 (2 1) d d B r r drdr           [3] та Ейлера 3 2 2 2 3 32 (2 1) d d B r r drdr        [2]; 2 1j  20, ,   (0, ).   Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині 3 1 1 2 2 3 3 4 4: (0, ) ( , ) ( , ) ( , );I r r R R R R R R R R       гібридним диференціальним оператором (ГДО)     12 2 3 2 2 2 1 1 2 1 2, 2 2 2 3 2 3 , 4 3 4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( , ), d M r R r a B a r R R r dr a r R R r B a r R R r B                               (1) де ( )x — одинична функція Гевісайда [4], 0, 1, 4ja j  . Означення. Областю визначення ГДО 2 ( ) ,M    назвемо множину G вектор-функцій  1 2 3 4( ) ( ), ( ), ( ), ( )g r g r g r g r g r з такими властивостями: 1) вектор-функція     1 2 3 " 1 2 , 3 4( ) ( ) ; ( ); ( ) ; ( )f r B g r g r B g r B g r        неперервна на множині 3I ; 2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови 4 4 4 1 22 22 4 0 lim ( ) 0, ( ) ( ) 0; r r R d r g r g r dr                (2) 3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 35 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0; 1,2, 1,3. k k k k k j j k j j k r R d d g r g r j k dr dr                (3) У подальшому вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0,k jm  0,k jm  2 1 1 2 ,k k k k jk j j j jc      1 2 0;k kc c  4 22 0,  4 22 0,  4 4 22 22 0.   Введемо до розгляду числа: 11 11 22 21 12 ,k k k k ka      12 11 22 21 12 ,k k k k ka      21 11 22 21 12 ,k k k k ka      22 11 22 21 12 , 1,3.k k k k ka k      Лема 1. Для вектор-функцій  1 2 3 4( ) ( ), ( ), ( ), ( )u r u r u r u r u r G  та  1 2 3 4( ) ( ), ( ), ( ), ( )v r v r v r v r v r G  справджується базова тотожність: 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k r R k k k k r R k c u r v r u r v r u r v r u r v r c                 (4) Доведення. Розглянемо алгебраїчну систему: 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ).k k k k j k k j k k j k k j k ku R u R u R u R        (5) За правилами Крамера знаходимо функціональні залежності: 1 1 21 1 22 1 1 1 11 1 12 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k k k k k k k k k k k k u R c a u R a u R u R c a u R a u R                 (6) Залежності (6) справедливі й для компонент jv вектор-функції ( ) :v r 1 1 21 1 22 1 1 1 11 1 12 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k k k k k k k k k k k k v R c a v R a v R v R c a v R a v R                 (7) Безпосереднім обчисленням знаходимо: 2 1 11 22 12 21 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) , k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u r v r u r v r c a a a a u r v r u r v r c c u r v r u r v r                        (8) тому що 11 22 12 21 1 2 k k k k k ka a a a c c  . Доведення леми завершено. Зауваження: Якщо умови спряження неоднорідні, тобто 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ; 1,2, 1,3, k k k k k j j k j j k r R jk d d u r u r j k dr dr                (9) то базова тотожність має вигляд: Математичне та комп’ютерне моделювання 36 1 1 2 1 1 1 1 1 1 12 12 1 2 22 22 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ]. k k k k k k k k k k k k k k k k k k r R k k r R k u r v r u r v r c c u r v r u r v r d d c v r v r dr dr                                (10) При цьому ( )v r G . Визначимо числа 1 1 2 21 2 3 2 1 2 12 2 221 21 22 1 1 1 2 2 3 31 2 1 11 11 12 2 2 12 1 2 21 22 23 31 4 4 2 1 2 1 11 12 13 2 3 1, , , , Rc c c a a R a c c c R RRc c c a c c c R R                     вагову функцію 1 32 2 1 1 1 1 2 2 2 12 1 2 3 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r R r r r R R r r R R r r r R R r r                              (11) та скалярний добуток: 4 1 1 32 4 32 1 2 3 2 1 1 1 1 0 0 2 12 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . R R RR R R R R u r v r u r v r r dr u r v r r dr u r v r dr u r v r r dr u r v r r dr                     (12) Лема 2. Гібридний диференціальний оператор   2,M    самоспря- жений, тобто має місце рівність для u G та v G :           2 2, ,( ) , ( ) ( ), ( ) .M u r v r u r M v r       (13) Доведення. Згідно правила (12) маємо:         1 1 12 32 2 2 1 2 4 3 3 2 12 1 1 1 1, 0 2 2 12 22 2 2 2 3 , 3 3 32 2 12 4 4 4 4 ( ( ) , ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) . R RR R R R R M u r v r a B u r v r r dr d u a v r dr a B u r v r r dr dr a B u r v r r dr                             (14) Проінтегруємо під знаками інтегралів в (14) два рази частинами:     1 1 2 2 12 1 1 1 1 1 1, 0 ( ( ) , ( )) R du dv M u r v r a r v u dr dr               Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 37    1 1 1 2 12 1 1 1 1 0 ( ) ( ) R u r a B v r r dr     2 2 11 3 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 3 3 3 3 3 3 ( )( ( )) r R R Rr R R R du dv a v u u r a v r dr dr dr du dv a r v u dr dr                                (15)   3 2 2 2 2 12 3 3 , 3 3( ) ( ) R R u r a B v r r dr           4 4 3 3 33 2 1 2 12 24 4 4 4 4 4 4 4 4 4( ) ( ) . R R RR du dv a r v u a B v r u r r dr dr dr                В силу умов обмеженості в точці 0r  перший доданок при 0r  дорівнює нулю. В силу базової тотожності (4) в точці 1r R маємо:   1 1 1 1 2 12 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 21 2 12 221 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 11 11 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0, r R r Ra R u v u v a u v u v c a R a u R v R u R v R c u R v R u R v R                                  (16) тому, що в силу вибору чисел 1 та 2 вираз 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 12 221 1 21 21 1 1 2 2 211 1 1 11 11 11 11 (1 1) 0. Rc c c a R a c R R c c c c                 Внаслідок базової тотожності (1.4) при 2k  маємо: 2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 32 2 12 222 2 2 3 3 3 3 3 32 12 ( ) ( ) ( ) 0, r R r R r R a u v u v a R u v u v c a a R u v u v c                             (17) тому, що в силу вибору чисел 2 та 3 вираз 2 1 1 2 1 2 2 1 2 12 222 21 22 2 2 3 3 2 1 12 11 12 2 1 2 1 2 121 22 1 21 22 2 12 1 11 12 11 122 (1 1) 0. c c c a a R R c c c Rc c c c R R c c c cR                      Внаслідок базової тотожності (4) при 3k  знаходимо: Математичне та комп’ютерне моделювання 38 32 3 3 32 3 2 12 12 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 43 3 2 12 12 223 3 3 4 4 4 4 4 43 3 13 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0, r R r R r R a R u v u v a R u v u v c a R a R u r v r u r v r c                             (18) тому, що в силу вибору чисел 3 та 4 вираз: 1 32 2 2 21 1 3 2 2 3 2 2 1 2 12 1 2 13 223 2321 22 1 2 3 4 43 3 32 1 13 11 12 132 2 12 1 2 1 2 1 2 123 3 2321 22 1 21 22 1 3 32 1 2 1 2 1 11 12 13 11 12 132 23 ( ) (1 1) 0. Rc cc c a R a R R c c c cR RR Rc cc c c c R R c c c c c cR RR                                     Якщо 4 22 0  , то 4 4 4 4 4 1 4 44 4 4 4 4 22 22 22 4 4 4 4 4 4 14 22 4 4 4 4 22 4 4 22 4 4 4 4 4 1 4 4 22 22 4 22 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [0 ( ) ( )( ) ] ( ) (0 ( ) 0 ( )) 0. r R r R r R r R du dv du v r u r u v R dr dr dr dv u R v R u R v R dr d u R v v R u R dr                                           (19) Рівності (16)—(19) показують,що в (15) позаінтегральні доданки перетворюються в нуль. Рівність (15) набуває вигляду :         2 2, ,( ( ) , ( )) ( ( ), ( ) ).M u r v r u r M v r       Доведення леми завершено. Висновок. Спектр ГДО   2,M    дійсний. Оскільки ГДО   2,M    має одну особливу точку 0r  , то спектр його неперервний [5]. Можна вважати, що спектральний параметр  0, .   Спектраль- ному параметру  відповідає дійсна вектор-функція 2 2 4 ( ) ( ) 1 0, , ; 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ), 0.k kv v k k V r r R R r V r R            (20) При цьому функції 2 ( ) , ; ( , )v kV r   повинні задовольняти відповід- но диференціальні рівняння: 1 2 2 ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1, ;1 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2, ;22 ( ) ( , ) 0, (0, ), ( ), 0, ( , ) 0, ( , ), ( ), 0, v v B b V r r R b a k k d b V r r R R b a k k dr                              Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 39 2 2 3 2 ( )2 2 2 2 2 2 , 3 2 3 3 3 3 3, ;3 ( )2 2 2 2 2 2 4 3 4 4 4 4 4, ;4 ( ) ( , ) 0, ( , ), ( ), 0, ( ) ( , ) 0, ( , ), ( ), 0, v v v B b V r r R R b a k k B b V r r R R b a k k                          (21) крайові умови (2) та умови спряження (3). Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Конторовича-Лєбєдєва 1 2 1( ) 0B b v   складають функції 1 1( , )C r b  та 1 1( , )D r b  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є 2 2 22 0 d b v dr         складають функ- ції 2cosb r та 2sin b r [2]; фундаментальну систему розв’язків для ди- ференціального рівняння Бесселя 2 2 , 3( ) 0vB b v   складають функції 2, 3( )vJ b r та 2, 3( )vN b r [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера 3 2 4( ) 0B b v    складають функції 3 4cos( ln )r b r та 3 4sin( ln )r b r [2]. Якщо тепер покласти 1 12 2 2 22 3 3 2 ( ) 1 1 1 1 1, ;1 ( ) 2 2 2 2 1 2, ;2 ( ) 3 , 3 3 , 3 2 3, ;3 ( ) 4 4 4 4, ;4 ( , ) ( , ) ( , ), (0, ), ( , ) cos sin , ( , ), ( , ) ( ) ( ), ( , ), ( , ) cos( ln ) sin( ln ), ( v v v vv v V r A C r b B D r b r R V r A b r B b r r R R V r A J b r B N b r r R R V r A r b r B r b r r                                3 4, ),R R (22) то умови спряження (3) й крайова умова в точці 4r R для визначен- ня восьми величин , ( 1, 4)j jA B j  дають однорідну алгебраїчну сис- тему з семи рівнянь: 1 1 2 2 2 2 3 11 12 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 11 12 2 2 1 2 2 2 1 2 21 22 21 22 2 2 2 2 2 2 2 2 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 31 32 , ; 1 3 3 3 , ; 1 3 3 3 31 ; 2 4 3 4 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0, 1, 2, ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( , ) j j j j j j v j v j v j v j j X R b A X R b B v b R A v b R B j v b R A v b R B u b R A u b R B u b R A u b R B Y b R A                       3 32 ; 2 4 3 4( , ) 0,jY b R B  (23) 3 3 41 42 ;22 4 4 4 ;22 4 4 4( , ) ( , ) 0.Y b R A Y b R B   Алгебраїчна система (23) сумісна. Її розв’язок одержується стан- дартним способом [6]. Математичне та комп’ютерне моделювання 40 Припустимо,що 3 3 42 41 4 0 ;22 4, 4 4 0 ;22 4, 4( ), ( ),A A Y b R B A Y b R    де 0 0A  підлягає визначенню. При такому виборі величин 4 4,A B останнє рівняння стає тотож- ністю. Тоді для знаходження величин 3 3,A B маємо алгебраїчну сис- тему з двох рівнянь: 2 2 3 3 3 3 3 31 32 42 31 , ; 1 3 3 3 , ; 1 3 3 3 0 ;22 4, 4 ; 2 4, 3 41 32 ;22 4, 4 ; 2 4, 3 0 ; 4 3 4 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ; , ), 1, 2. v j v j j j j u b R A u b R B A Y b R Y b R Y b R Y b R A b R R j              (24) Звідси знаходимо, що при 2 2 2 2 2 11 1 13 3 3( ) 2 ( ) 0q c b R        3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 320 3 ;1 4 3 4 , ;21 3 3 32 ;2 4 3 4 , ;11 3 3 310 3 ;2 4 3 4 , ;11 3 3 31 ;1 4 3 4 , ;21 3 3 ( ; , ) ( ) ( ) ( ; , ) ( ) , ( ; , ) ( ) ( ) ( ; , ) ( ) . v v v v A A b R R u b R q b R R u b R A B b R R u b R q b R R u b R                         (25) При відомих 3 3,A B для визначення 2 2,A B маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь: 3 2 2 121 22 1 2 2 2 1 2 2 2 0 , ;( ) ( ) ( ) ( ), 1,2.j j v jv b R A v b R B A q a j          (26) У системі (26) прийняті позначення: 2 2 2 2 2 3 3 22 3 2 22 31 21 32 , ; 3 2 3 3 , ; 2 3 2 , ; 1 3 3 , ; 2 3 2 , ; 1 3 3 ;2 4 3 4 , ; 1 3 2 3 3, ; ;1 4 3 4 , ; 2 3 2 3 3 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( , ). v jk v j v k v j v k jv j j b R b R u b R u b R u b R u b R a b R R b R R b b R R b R R b                        Розв’язком системи (26) є функції: 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 22 220 2 21 2 2 11 2 2, ;1 , ;2 12 2 21 210 2 11 2 2 21 2 2, ;2 , ;1 12 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) . v v v v A A a v b R a v b R q c b A B a v b R a v b R q c b                       (27) При відомих 2 2,A B для визначення величин 1 1,A B маємо алгеб- раїчну систему з двох рівнянь: 3 11 11, 2 2 11 12 0 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 , ; 12 2 ( , ) ( , ) ( ), 1, 2.j j v j A X R b A X R b B b j q c b           (28) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 41 Тут беруть участь функції: 3 3 3 2 2 2 11 22 12 21 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2, ; , ;1 , ;2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1,2; ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), 1,2. jk j k j k j jv j v v b R b R v b R v b R v b R v b R j k b a b R b R a b R b R j                  Алгебраїчна система (28) має єдиний розв’язок [6]: 1 2 2 12 11 3 2 1 2 3 1 2 ( ) 0 12 2 1 , ;2 ( ) 11 1 1 , ;1 2 12 1 ( ) 1 1 1, ; ;21 , ;1 1 1 1;11 , ;2 ( ) ( ); ( ), ( ) ( ), , ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ), 1, 2. v v j v j v j v A c b q q A c sh b B q R X R b b X R b b j                                       (29) Підставимо визначені формулами (25), (27) та (29) величини ,j jA B у рівності (22). Отримаємо функції: 1 12 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1, ;1 , ;1 , ;2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ),v v vV r D r b C r b              3 3 12 2 2 ( ) 2 2 21 2 2 2 11 2 2 2, ;2 , ;1 , ;2( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ,v v vV r q a b R b r a b R b r             2 22 21 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2( , ) ( ) cos ( )sin , 1, 2;j j jb R b r v b R b r v b R b r j      1 32 2 2 2 2 3 2 2 2 2 12 ( ) 12 2 ;2 4 3 4, ;3 31 32 , ;11 3 3 , 3 , ;11 3 3 , 3 31 32 ;1 4 3 4 , ;21 3 3 , 3 , ;21 3 3 , 3 ( ) 12, ;4 ( , ) ( ) ( ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) v v v v v v v v v v V r q c b b R R u b R N b r u b R J b r b R R u b R N b r u b R J b r V r q c b                                2 3 3 3 3 2 42 41 ;22 4 4 4 ;22 4 4 4( , ) cos( ln ) ( , ) sin( ln ) . q Y b R r b r Y b R r b r             (30) Згідно рівності (20) спектральна вектор-функція 2 ( ) , ( )vV    визна- чена. Наявність вагової функції ( )r , спектральної вектор-функції 2 ( ) , ( )vV    та спектральної щільності 1 2 2 2 12 2( ) ( ) ( )2 1 1, , ;1 , ;2( ) 2 ( ( )) ( ) ( )v v vsh b                          дозволяє визначити пряме 2 ( ) ,vH   та обернене 2 ( ) ,vH    гібридне інтегра- льне перетворення, породжене на множині 3I ГДО   2,M    [7]: Математичне та комп’ютерне моделювання 42   4 2 2 ( ) ( ) , , 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), R v vH g r g r V r r dr g         (31)   2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , , 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ).v v vH g g V r d g r                (32) Математичним обґрунтуванням правил (31), (32) є твердження. Теорема 1. (про інтегральне зображення) Якщо функція 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 3 4 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) f r r R r r r R R r r R R r r r R R r r g r                            неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині 4(0, )R , то для будь-якого 3r I справджується інтегральне зображення 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , , 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . R v v vg r V r g V d d                  (33) Доведення. Для   функції 2 ( ) , ;1( , )vV r   та 2 ( ) , ;1( , )vV r   задово- льняють відповідно диференціальні рівняння Конторовича-Лєбєдєва: 1 2 1 2 ( )2 2 2 1 1 , ;1 ( )2 2 2 1 1 , ;1 ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0. v v a B k V r a B k V r                     Помножимо перше рівняння на функцію 1 2 ( )2 1 , ;1( , )vr V r   , а дру- ге рівняння помножимо на функцію 1 2 ( )2 1 , ;1( , )vr V r   і віднімемо від першого друге: 1 2 2 2 21 2 2 ( ) ( )2 12 2 2 1 , ;1 , ;1 ( ) ( ) , ;1 , ;1( ) ( )2 1 , ;1 , ;1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . v v v v v v a r V r V r dV r dV rd r V r V r dr dr dr                                     (34) Функції 2 ( ) , ;2 ( , )vV r   та 2 ( ) , ;2 ( , )vV r   задовольняють відповідно диференціальні рівняння Фур’є: 2 2 2 ( )2 2 2 2 2 , ;2 2 ( )2 2 2 2 2 , ;2 ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0. v v d a k V r dr d a k V r dr                           Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 43 Помножимо перше рівняння на функцію 2 ( ) , ;2 ( , )vV r   , а друге — на функцію ( ) , ;2 ( , ) ivV r   і віднімемо від першого друге: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )2 2 2 2 , ;2 , ;2 ( ) ( ) , ;2 , ;2( ) ( ) , ;2 , ;2 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . v v v v v v a V r V dV r dV rd V r V r dr dr dr                                     (35) Функції 2 ( ) , ;3 ( , )vV r   та ( ) , ;3 ( , ) ivV r   задовольняють відповідно диференціальні рівняння Бесселя: 1 2 1 2 ( )2 2 2 3 3 , ;3 ( )2 2 2 3 3 , ;3 ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0. v v a B k V r a B k V r                     Помножимо перше рівняння на функцію 2 2 ( )2 1 , ;3 ( , )vr V r   , а друге рівняння — на функцію 2 2 ( )2 1 , ;3 ( , )vr V r   і віднімемо від пер- шого друге: 2 2 2 2 22 2 2 ( ) ( ) 2 12 2 2 3 , ;3 , ;3 ( ) ( ) , ;3 , ;3( ) ( )2 1 , ;3 , ;3 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . v v v v v v a V r V r r dV r dV rd r V r V r dr dr dr                                      (36) Функції ( ) , ;4 ( , ) ivV r   та 1 ( ) , ;4 ( , ) ivV r   для   задовольняють відповідно диференціальні рівняння Ейлера: 3 2 3 2 ( )2 2 2 4 4 , ;4 ( )2 2 2 4 4 , ;4 ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0. v v a B k V r a B k V r                       Помножимо перше рівняння на функцію 3 2 2 1 ( ) , ;4 ( , )vr V r    , а друге рівняння — на функцію 3 2 2 1 ( ) , ;4 ( , )vr V r    і віднімемо від пер- шого рівняння друге: 3 2 2 2 23 2 2 2 1( ) ( )2 2 2 4 , ;4 , ;4 ( ) ( ) , ;4 , ;42 1 ( ) ( ) , ;4 , ;4 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . v v v v v v a V r V r r dV r dV rd r V r V r dr dr dr                                      (37) Математичне та комп’ютерне моделювання 44 Помножимо рівність (34) на 2 1 1a dr і проінтегруємо від 0  до 1R , помножимо рівність (35) на 2 2 2a dr і проінтегруємо від 1R до 2R , помножимо рівність (36) на 2 3 3a dr і проінтегруємо від 2R до 3R , пом- ножимо рівність (37) на 2 4 4a dr і проінтегруємо від 3R до 4R . Склавши одержані рівності, маємо: 4 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 , , ( ) ( ) ( ) ( ) , ;1 , ;1 , ;1 , ;1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . R v v v v v v V r V r r dr V V V V                                         (38) Позаінтегральні доданки в точках ( 1,3)jr R j  перетво- рюються в нуль в силу вибору чисел 1 2 3, ,   та 4 й внаслідок ба- зової тотожності (4). Доданок в точці 4r R рівний нулю в силу (19). Згідно з роботою [1] введемо до розгляду функції:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1, ;1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, ;1 , ;1 , ;2 , ;2 ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 , ;1 , ;2 , ;2 , ;1 ( , ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))] ( ) ( ) ( ) v v v v v v v v v G b b b b b b b b                                                            2 ) ( ) , ;1 ( ) , ( , ) 0;vG              2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1, ;2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1, ;1 , ;1 , ;2 , ;2 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 , ;1 , ;2 , ;2 , ;1 ( , ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))] ( ) ( ) ( ) v v v v v v v v v G b b b b b b b b                                                            2 ) ( ) , ;2 ( ) , ( , ) 0.vG              2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1, ;3 , ;1 , ;1 ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1, ;2 , ;2 ( ) ( ) ( ) ( , ;1 , ;2 , ;2 , ;1 ( , ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))] ( ) ( ) ( ) v v v v v v v v v G b b b b b b b b                                                            2 ) ( ) , ;3( ) , ( , ) 0;vG          2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1, ;4 , ;1 , ;1 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1, ;2 , ;2 ( ) ( ) ( ) ( , ;2 , ;1 , ;1 , ;2 ( , ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))] ( ) ( ) ( ) v v v v v v v v v G b b b b b b b b                                                            ) ( ) ,        2 2 2 2 22 2( ) ( ) ( ) 1 1 2 1, ;4 , ;1 , ;2( , ) ( ( ( ) ( ( ) )( ( ) ( ) ).v v vG b b                       Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 45 Оскільки [8]    2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 21 1 1 1 1 ( ( ) ( ( ) ( ( ( ) ( ( ))( ( ( ) ( ( )) ( ( )) (1 ( ( )) (1 ( ( )) (1 ( ( )) , ( ( ( ))) b b b i b b i b b i b i b i b sh b                                 то для 2 ( ) , ;4 ( , )vG     отримуємо вираз: 2 2 1 2 2 2( ) ( )1 , ;4 , ;1 1 22( ) 1 , ;2 ( )2 1 , ( ( )) ( , ) ( ( ) ( ( ( ))) 2 ( ) ( ) ) . ( ) ( ) v v v v b G sh b b sh b                                  Визначимо функцію 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ;1 , ;1 , ;1 , ;1( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).v v v v vR V V V V                      У результаті елементарних перетворень знаходимо для функції 2 ( ) , ( , , )vR      асимптотичний вираз:  1 1 2 2 2 2 2 2 (2 1) ( ) 1 1 , 1 1 ( ) , ;1 ( ) , ;2 ( ) , ;3 ( ) , ;4 ( ( )) ( ( ))1 ( , , ) 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) cos ( , ) ln ( , ) ( , ) cos ( , ) ln ( , ) ( , )sin ( , ) ln v v v v v sh b sh b R b b G q q x G q q x G q q x G                                                                     ( , ) ( , ) sin ( , ) ln ,q q x          2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); 2 . q b b k k b b x                           Припустимо, що функція ( )y  неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на (0, ) . Обчислимо невласний подвійний інтеграл 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , , 0 0 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) . R v v vI y V r V r r dr              (40) За означенням збіжності невласного інтегралу маємо: 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 , , , 0 lim ( )( ( , ) ( , ) ( ) ) ( ) R v v vI y V r V r r dr d                   Математичне та комп’ютерне моделювання 46 1 1 2 2 ( )2 1 2 , ( ) 1 0 ,2 2 11 10 ( , , ) ( ( ))1 lim ( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) v v R sh b y d bb b                                  2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) , , ;1 0 2 1 10 1 ( ) ( ) , , ;2 2 0 1 ( ) ( ) , , ;3 2 1 ( ) ( , ) lim cos ( , ) ln ( ) ( )(1 ( )) ( ) ( , ) cos ( , ) ln (1 ( )) ( , ) ( ) ( , ) (1 ( )) v v v v v v y G q x d b bib y G q x d ib q y G qib                                                                2 2 1 0 ( ) , 1 1( ) , ;42 1 10 1 1 2 3 402 1 sin ( , ) ln ( , ) ( ) sin ( ( ) ( )) ln ( , ) ( ) ( )(1 ( )) 1 lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . 2 (1 ( )) v v q x d y b b x d G b bib I x I x I x I x ib                                                       Внаслідок леми Рімана [9] 1 0 0lim ( , ) lim ( , 2 ) 0, 1,3.m mI x I a m        (42) Внаслідок леми Діріхле [9]   1 2 2 2 ( ) ( )1 0 , , ;4 1 0 1 2 1 11 1 1 1 ( ( )) lim ( ) ( ) ( , ) 2 ( ) sin ( ( ) ( )) ln(2 )1 ( (1 ( )) ) ( ), ( ) ( ) v v sh b y G b b b ib d y b b                                         (43) якщо (0, )    , і дорівнює нулю, якщо (0, )    Висновок: ( )I y  , якщо (0, )   та 0I  , якщо (0, ).   Нехай функція 2 2 ( ) ( ) , , 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) .v vg r y V r d          (44) Помножимо рівність (44) на вираз 2 ( ) , ( , ) ( )vV r r dr    і проінтегрує- мо по r від 0r  до 4r R . Внаслідок рівності (43) одержуємо, що 4 2 ( ) , 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ). R vg r V r r dr y I       (45) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 47 Підставивши згідно формули (45) функцію 4 2 ( ) , 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) R vy g V d         у рівність (44), приходимо до інтегрального зображення (33). Доведення теореми завершено. Зауваження. Якщо вектор-функція ( )g r кусково-неперервна, то в лівій частині рівності (33) треба замінити ( )g r на  1 ( 0) ( 0) . 2 g r g r   Визначимо величини та функції: 1 22 1 2 12 2 2 1 1 1 11, 2 2 2 12 3 3 3 131 3: : , : ;d a R c d a c d a R c       1 2 1 2 2 1 3 2 2 2 4 3 2 3 2; ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2, ;1 , ;2 0 ( ) 2 1 3 3 3, ;3 2 1( ) 4 4 4, ;3 ( ), 2 2, ; 2 , ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) R R v v R R v R R v R k k k i iv i v g g r V r r dr g g r V r dr g g r V r r dr g g r V r r dr d V dr                                             2 ( ) ; 1( , ) ; 1, 2; 1,3. kr Rk r i k      В основі застосування правил (31), (32) до розв’язання відповід- них задач знаходиться основна тотожність інтегрального перетворен- ня ГДО   2, .M    Теорема 2 (про основну тотожність ). Якщо вектор-функція     1 1 31 2 , 3 4( ) ( ) ; ( ); ( ) ; ( )vf r B g r g r B g r B g r       неперервна на 3I , а функції ( )jg r задовольняють крайові умови 1 2 2 4 ( ) ( )2 1 1 10 , ;1 , ;1 4 4 22 22 4 lim ( ( ) ( ) ) 0, ( ) ( ) , r v v r R R r g r V g r V d g r g dr                  (46) та умови спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2; 1,3, k k k k k j j k j j k jk r R d d g r g r j k dr dr                (47) Математичне та комп’ютерне моделювання 48 то має місце основна тотожність інтегрального перетворення ГДО   2,M    , визначеного рівністю (1):   2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 , , 4 2 1( )2 4 1 2 1 22 4 4 4 4, ;4 1 3 ( ); ( ); 2 1, ;12 , ;22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . v v i Rv i k k k k kv v k H M g r g k g V R a R g d                                           (48) Доведення. Згідно правила (31) маємо:       1 1 12 2 2 32 2 22 2 1 2 4 3 3 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 12 1 1 1, , , ;1 0 2 ( ) ( ) 2 12 22 2 2 3 , 3 3, ;2 , ;32 2 1( )2 4 4 4, ;4 ( ) ( ( ) ) ( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ) ( , ) ( ( ) ) ( , ) R v v v RR v v R R R v R H M g r a B g r V r r dr d g a V r dr a B g r V r r dr dr a B g r V r r dr                                          . (49) Проінтегруємо в (49) під знаками інтегралів два рази:   11 2 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 1 1 1 0, , , ;1 , ;1 ( ) ( ) ( )2 12 2 2 1 2 2 2 2 2, ;1 , ;2 , ;2 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) R v v v v R R v v v R H M g r a r g V g V g r a B V r dr a g V g V                                  2 2 2 1 2 ( ) 2 12 2 2 2 2 3 3, ;22 ( )( ) [( R v R d g r a V dr a r dr         (50) 3 3 2 22 2 2 2 2 1 43 3 32 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 12 3 3 3 3 , 3, ;3 , ;3 , ;3 2 1 2 1( ) ( ) ( )2 2 4 4 4 4 4 4 4, ;4 , ;4 , ;4 0 ( )] ( )( ) [ ( )] ( )( ) . R R vv v R v R R R v v R v g V g V g r a B V r dr a r g V g V g r a B V r dr                                В силу умови обмеження в точці 0r  маємо: 21 2 ( ) , ;1( )2 12 1 1 1 10 , ;1lim ( ( , ) ( ) ) 0. v r v dVdg a r V r g r dr dr               (51) В силу крайової умови в точці 4r R маємо: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 49 23 42 23 42 3 42 ( ) , ;42 1 ( )2 4 4 4 44 , ;4 ( ) , ;42 1 ( )2 4 1 4 44 4 4 22 22 22 44 , ;4 2 1 ( )2 4 1 4 4 4 4 22 4 22 22 44 , ;4 2 4 4 ( ( , ) ) [( ) ( ( , ) )] ( ) ( , )[( ) ( )] v r Rv v r Rv r Rv dVdg a R V r g dr dr dVdg a R V r g dr dr d a R V R g r dr a R                                           3 3 2 2 1 2 1( )4 1 4 1 2 22 4 4 22 4 4 44 4, ;4( ) ( ) 0 ( ) ( , ) .Rvg R V R a R g         (52) Із диференціальних тотожностей 1 2 2 2 32 2 2 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2, ;1 , ;22 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3 , 3 4 4, ;3 , ;4 ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0 v v v v v d a B k V r a k V r dr a B k V r a B k V r                                             знаходимо, що 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( )2 2 2 1 1, ;1 , ;1 2 ( ) ( )2 2 2 2 2, ;2 , ;22 ( ) ( )2 2 2 3 , 3, ;3 , ;3 ( )2 2 2 4 4, ;4 , ;4 ( , ) ( , )( ), ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) v v v v v v v v v a B V r V r k d a V r k V r dr a B V r k V r a B V r k V                                                      ( ) ( , ).r  (53) Скористаємося базовою тотожністю (10): 2 2 2 2 2; 2; ( ) , ;( ) ( )2 1, ; , ; 1 1 ( ) , ; 1 ( ), ( ), 1 2 1, 12 , 22 1 ( ) ( , ) ( ) [ ( ) ( , ) 1 ( ) ] [ ( ) ( ) ]. k v k k k k k k k r R k k kv k v k k v k k k k k k kv v k dV c g R V R g R g R V R dr c dV g R dr c                               (54) В точці 1r R при 1k  маємо: 1 1 12 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ' ( ) ( ) '2 2 1 1 1 1 2 2 2 21 , ;1 , ;1 , ;2 , ;2 2 1 2 1( ) ( )2 2 2 121 1 1 2 2 2 2 1 1 111 1, ;2 , ;2 11 ( ),1 ( ),1 21, ;12 , ;22 ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( r R r Rv v v v r Rv v v v a R g V g V a g V g V c a R a g V g V a R c c                                              2;12 2;22 ( ),1 ( ),1 11 1 21 11, ,) ) ( ) ( ) ,v vd               (55) тому, що в силу вибору чисел 1 та 2 вираз 1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 12 221 21 21 21 1 1 2 21 1 1 1 11 11 11 11 ( ) (1 1) 0. c c c c a R a R R R c c c c              Математичне та комп’ютерне моделювання 50 У точці 2r R при 2k  маємо: 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3 3 3 32, ;2 , ;2 , ;3 , ;3 2 1 ( ) ( )2 222 2 2 3 3 3 32 , ;3 , ;3 12 ( ),1 ( ),12 1 2 2 12 22 12, ;12 , ;22 ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) r R r Rv v v v r Rv v v v a g V g V a R g V g V c a a R g V g V c a c                                                2 2 ( ),1 ( ),1 2 22 12, ;12 , ;22( ) ( ) ,v vd           (56) тому, що в силу вибору чисел 2 та 3 вираз 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 222 21 22 21 22 1 2 2 3 3 2 1 22 1 12 11 12 11 12 2 0. Rc c c c c a a R R R c c c c c R                У точці 3r R при 3k  маємо: 2 32 2 3 32 2 32 2 32 2 2 1 ( ) ( )2 3 3 3 33 , ;3 , ;3 2 1 ( ) ( )2 4 4 4 43 , ;4 , ;4 2 12 12 223 3 3 4 43 3 13 2 1( ) ( ) 2 1 4 4 3 3 133, ;4 , ;4 ( ) ( ) ( ) ( ) r Rv v r Rv v r Rv v a R g V g V a R g V g V c a R a R c g V g V a R c                                           (57) 2 2 2 2 ( ),3 ( ),3 23 13, ;12 , ;22 ( ),3 ( ),3 3 23 13, ;12 , ;22 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ), v v v vd                          тому, що в силу вибору чисел 3 та 4 вираз 1 32 2 2 21 1 3 2 2 2 2 2 1 2 12 1 2 12 223 2321 22 1 3 3 4 43 3 32 1 13 11 12 132 2 12 1 2 1 2 1 2 123 3 2321 22 1 21 22 1 3 32 1 2 1 2 1 11 12 13 11 12 132 3 2 (1 1) 0. Rc cc c a R a R R c c c cR RR Rc cc c c c R R c c c c c cR R R                                Підставивши одержані функціональні залежності (51)—(57) в рівність (50), одержуємо:   3 2 2 2 2 2 2 1( ) ( ) ( )4 1 2 22 4 4 4 4, , , ;4 3 4 ( ); ( ); 2 2 2 1, ;12 , ;22 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). Rv v v k k k k k i iv v k i H M g r V R a R g d k g                                      (58) Оскільки Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8 51 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),i i i i i i i i i i i k g g k g g k g                        то рівність (58) співпадає з рівністю (48). Доведення теореми завершено. Висновок. Побудовані правила (31), (32) та (48) складають ма- тематичний апарат для розв’язання відповідних задач математичної фізики неоднорідних середовищ. Список використаних джерел: 1. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва / М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с. 2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 3. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики, 83.3). 4. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. 5. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежанд- ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 384 с. 6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с. 7. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Ейлера, Бесселя, Лежандра). Частина 2. / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2011. — 384 с. 8. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и призведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М. : Наука, 1971. — 1108 с. 9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3-х т. / Г. М. Фихтенгольц. — М. : Наука, 1969. — Т.3. — 656 с. The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) introduced a hy- brid integral transformations generated by the segment with three points coupling hybrid differential operator (Kontorovich-Lebedev)-Fourier- Bessel-Euler. Key words: hybrid differential operator hybrid integral transforma- tion, spectrum, spectral function, the main identity. Отримано: 21.04.2013 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f0020043d0430043404350436043d043e0433043e0020043f0440043e0441043c043e044204400430002004380020043f04350447043004420438002004340435043b043e0432044b044500200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge