Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті
На трискладовому сегменті [R0,R3] полярної осі побудовано інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором Фур’є-Лежандра-Бесселя. Явно виписано власні елементи цього оператора....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86476 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 101-113. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86476 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-864762015-09-19T03:01:29Z Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. На трискладовому сегменті [R0,R3] полярної осі побудовано інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором Фур’є-Лежандра-Бесселя. Явно виписано власні елементи цього оператора. At the three-segment polar axis introduced integral transformation generated by hybrid differential Fourier-Legendre-Bessel. EXPRESS own items to the operator. 2013 Article Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 101-113. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86476 517.532.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На трискладовому сегменті [R0,R3] полярної осі побудовано інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором Фур’є-Лежандра-Бесселя. Явно виписано власні елементи цього оператора. |
| format |
Article |
| author |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. |
| spellingShingle |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. |
| author_sort |
Ленюк, М.П. |
| title |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| title_short |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| title_full |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| title_fullStr |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| title_full_unstemmed |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| title_sort |
скінченне гібридне інтегральне перетворення типу фур’є-лежандра-бесселя на кусково-однорідному сегменті |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86476 |
| citation_txt |
Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є-Лежандра-Бесселя на кусково-однорідному сегменті / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 101-113. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT lenûkmp skínčennegíbridneíntegralʹneperetvorennâtipufurêležandrabesselânakuskovoodnorídnomusegmentí AT šinkarikmí skínčennegíbridneíntegralʹneperetvorennâtipufurêležandrabesselânakuskovoodnorídnomusegmentí |
| first_indexed |
2025-07-06T13:57:56Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:57:56Z |
| _version_ |
1836906212718804992 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
101
The method of influence functions and Green's function (key solu-
tions), integral image of the exact analytical solutions of algorithmic nature
of hyperbolic boundary value problems in multi napivobmezhenyh (piece-
wise-homogeneous) spatial regions. To build a major integrated solutions
involving the appropriate Fourier transform to Cartesian axes, and pivosi
segment and integral Fourier transformation to Cartesian segment with n
points of conjugation.
Key words: hyperbolic equations, initial and boundary conditions,
coupling conditions, integral transformation, major interchanges.
Отримано: 24.01.2013
УДК 517.532.2
М. П. Ленюк*, д-р фіз.-мат. наук, професор,
М. І. Шинкарик**, канд. фіз.-мат. наук
*Чернівецький факультет національного технічного університету
«Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці
**Тернопільський національний економічний університет,
м. Тернопіль
СКІНЧЕННЕ ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ
ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ФУР’Є-ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ
НА КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ СЕГМЕНТІ
На трискладовому сегменті 0 3[ , ]R R полярної осі побудо-
вано інтегральне перетворення, породжене гібридним диферен-
ціальним оператором Фур’є-Лежандра-Бесселя. Явно виписа-
но власні елементи цього оператора.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор,
спектральна задача, фундаментальна система розв’язків,
власні елементи.
Вступ. Інтегральні перетворення Фур’є, Ганкеля першого та друго-
го роду, Лежандра першого та другого роду, Мелліна та ін., запровадже-
ні за власними елементами відповідних диференціальних операторів
другого порядку, побудованих методом регулярної спектральної задачі
Штурма-Ліувілля на однорідному сегменті, дозволили алгебраїзувати
або параметризувати лінійні диференціальні оператори Ейлера, Бесселя,
Фур’є, Лежандра та ін. в задачах математичної фізики однорідних сере-
довищ. До середини ХХ-го століття був створений достатньо ефектив-
ний математичний апарат побудови інтегрального зображення аналітич-
них розв’язків основних задач математичної фізики однорідних середо-
вищ. З інтенсивним впровадженням у виробництво в другій половині
ХХ століття композитних матеріалів виникла необхідність у вивченні в
першу чергу їх фізико-технічних характеристик. Це привело до задач
© М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик, 2013
Математичне та комп’ютерне моделювання
102
механіки (термомеханіки) кусково-однорідних середовищ. Для розв’яза-
ння таких задач створено метод скінченних гібридних інтегральних пе-
ретворень [1]. Побудові одного з типів скінченного гібридного інтегра-
льного перетворення присвячена ця стаття.
Основна частина. Побудуємо на множині 2 0 1{ : ( , ) I r r R R
2 3 0 3( , ); 0, } R R R R інтегральне перетворення, породжене гіб-
ридним диференціальним оператором (ГДО)
2
( ) 2
, 0 1 1 12
2 2
2 2 ( ) 2 3 3 ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
d
M r R R r a r R
dr
R r a r R R r a B
(1)
У рівності (1) ( )x — одинична функція Гевісайда [2],
2
2
d
dr
—
диференціальний оператор Фур’є другого порядку [3],
2
( ) 2
d
dr
2 2
1 21 1
( )
4 2 1 1
d
cthr
dr chr chr
— узагальнений диференціальний
оператор Лежандра другого порядку [4],
2
1
, 2
(2 1)
d d
B r
drdr
2 2 2( )r — диференціальний оператор Бесселя [5]; 1 2 0,
1 2( ) ( , ); 2 1 0, : 1 0,a 2 0,a 3 0.a
Означення. Областю визначення ГДО ( )
,M
назвемо множину
G вектор-функцій 1 2 3( ) { ( ); ( ); ( )}g r g r g r g r з такими властивостями:
1) вектор-функція 1 ( ) 2 , 3( ) { ( ); [ ( )]} [ ( )];f r g r g r B g r неперервна
на 2I ; 2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0 3
0 0 3 3
11 11 1 22 22 3( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0;r R r R
d d
g r g r
dr dr
(2)
3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1[( ) ( ) ( ) ( )] 0; , 1, 2.
k
k k k k
j j k j j k r R
d d
g r g r j k
dr dr
(3)
Умови на коефіцієнти:
0 0 0 0 3 3
11 11 11 11 22 220, 0, 0, 0, 0,
3 3
22 22 1 20; 0, 0, 0,k k
jm jm k kc c
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
103
2 1 1 2 ; , , 1, 2.k k k k
jk j j j jc j k m
Визначимо числа
11 11 22 21 12 12 11 22 21 12 21 11 22 21 12, , ,k k k k k k k k k k k k k k ka a a
22 11 22 21 12
2 1
2 2 211 12 1 12 2
1 1 2 2 2 3 32 1 2 1
21 22 222 2
, 1,2;
, , 1.
k k k k ka k
c c R c shR
a shR a a
c c cR R
Введемо до розгляду вагову функцію
0 1 1 1
2 1
2 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r r R R r r R
R r shr r R R r r
(4)
та скалярний добуток
3 1
0 0
32
1 2
1 1 1
2 1
2 2 2 3 3 3
( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
R R
R R
RR
R R
u r v r u r v r r dr u r v r dr
u r v r shrdr u r v r r dr
(5)
де ( )u r G , ( )v r G .
Наведемо потрібні в подальшому твердження.
Лема 1. Для ( )u r G та ( )v r G справджується базова тотож-
ність
2
1 1 1 1
1
[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] .
k
k
k
k k k k k k k kr R
k r R
c
u r v r u r v r u r v r u r v r
c
(6)
Доведення. Із алгебраїчної системи
1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )k k k k
j k k j k k j k k j k kg R g R g R g R (7)
знаходимо за правилами Крамера [6], що
1
1 11 1 12 1
1
1 21 1 22 1
( ) [ ( ) ( )],
( ) [ ( ) ( )].
k k
k k k k k k k
k k
k k k k k k k
g R c a g R a g R
g R c a g R a g R
(8)
Рівності (8) задовольняють і компоненти ( )ku r вектор-функції
( )u r G і компоненти ( )k r вектор-функції ( )r G .
Безпосередні розрахунки дають:
2
1 21 1 22 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]k k
k k k k k k k k k k k k ku R v R u R v R c a u R a u R
2
11 1 12 1 1 11 1
12 1 21 1 22 1
[ ( ) ( )] [ ( )
( )[ ( ) ( )]
k k k
k k k k k k k
k k k
k k k k k k
a R a v R c a u R
a u R a R a v R
Математичне та комп’ютерне моделювання
104
2
1 11 22 12 21 1 1 1 1( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]k k k k
k k k k k k k k kc a a a a u R R u R R
1
1 2 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ( )] .
k
k k k k k k
r R
c c u r r u r r
Доведення леми завершено.
Лема 2. Гібридний диференціальний оператор ( )
,M
, визначе-
ний рівністю (1), самоспряжений.
Доведення. Згідно правила (5) для ( )u r G та ( )v r G маємо:
3 1
0 0
32
1 2
2
( ) ( ) 2 1
, , 1 12
2 2 2 1
2 ( ) 2 2 2 3 , 3 3 3
( [ ( )], ( )) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( [ ( )]) ( ) ( [ ( )]) ( ) .
R R
R R
RR
R R
d u
M u r r M u r r r dr a r dr
dr
a u r r shrdr a B u r r r dr
(9)
Проінтегруємо в рівності (9) під знаком інтегралів два рази час-
тинами:
1
1
0
0
2
( ) 2 21 1 1
, 1 1 1 1 1 1 12
[ [ ( )], ( )]) ( ) | ( )( )
R
R
R
R
du dv d v
M u r r a v u u r a dr
dr dr dr
2
2
1
1
2 22 2
2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2[ ( )] | ( )( [ ( )])
R
R
R
R
du dv
a shr v u u r a v r shrdr
dr dr (10)
3
3
2
2
2 2 1 2 2 13 3
3 3 3 3 3 3 , 3 3[ ( )] | ( )( [ ( )])
R
R
R
R
du dv
a r v u u r a B v r r dr
dr dr
Якщо 0
11 0 , то в силу крайової умови в точці 0r R маємо:
2
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0( ( ) ( ) ( ) ( ))a u R v R u R v R
2 0 1 0 1 0
1 1 11 11 1 0 11 1 0 1 0( ) [( ( ) ( ) ( )a u R u R v R (11)
0 0 2 0 1
1 0 11 1 0 11 1 0 1 1 11 1 0 1 0( )( ( ) ( ))] ( ) [0 ( ) 0 ( )] 0.u R R R a v R u R
Якщо 3
22 0 , то в силу крайової умови в точці 3r R маємо:
2 2 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3( ( ) ( ) ( ) ( ))a R u R v R u R v R
3 1 2 1 3 1 3 3
22 3 22 22 3 3 22 3 3 3 3( ) [( ) [( ( ) ( )) ( )R u R u R v R (12)
3 3 3 1 2 1
22 3 3 22 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3( ( ) ( )) ( )] ( ) [0 ( ) 0 ( )] 0.R R u R R v R u R
В силу базової тотожності (6) в точці 1r R знаходимо:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ) ( ) ( ))a u R v R u R v R
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
105
2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( ( ) ( ) ( ) ( ))a shR u R v R u R v R (13)
2 221
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
11
( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 0,
c
a a shR u R v R u R v R
c
тому, що внаслідок вибору чисел 1 та 2 вираз
2 1
2 2 2 121 11 12 1 21 12 2
1 1 2 2 1 2 1
11 21 22 2 11 22 2
c c c shR c c R
a a shR R shR
c c c shR c c shR
2 112 1
2
22 2
(1 1) 0.
c shR
R
c shR
В силу базової тотожності (6) в точці 2r R знаходимо:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ( ) ( ) ( ) ( ))a shR u R v R u R v R
2 2 1
3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2( ( ) ( ) ( ) ( ))a R u R v R u R v R (14)
2 2 2 122
2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
12
( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 0,
c
a shR a R u R v R u R v R
c
тому, що в силу вибору чисел 2 та 3 вираз
2 1
2 2 2 1 2 1 2 122 12 2 22
2 2 2 3 3 2 2 2 2
12 22 2 12
(1 1) 0.
c c R c
a shR a R shR R R
c c shR c
Підставивши залежності (11)—(14) в рівність (10), маємо:
( ) ( )
, ,( [ ( )], ( )) ( ( ), [ ( )]).M u r r u r M r
(15)
Рівність (15) показує, що ГДО ( )
,M
самоспряжений.
Доведення леми завершено.
Висновок. Спектр ГДО ( )
,M
дійсний. Оскільки ГДО ( )
,M
на
множині 2I не має особливої точки, то його спектр дискретний [7].
Нехай — спектральний параметр (власне число ГДО ( )
,M
), а
( )
, ; ( , )jV r
— компоненти власної (спектральної) вектор-функції
3
( ) ( )
, ; 1 , ;
1
( , ) ( ) ( ) ( , ).j j j j
j
V r r R R r V r
(16)
При цьому функції ( )
, ; ( , )jV r
повинні задовольняти відповідно
диференціальні рівняння Фур’є, Лежандра та Бесселя для звичайних
дійсних функцій
12
( )2 1 2 2 22
1 0 1 1 1 1 1, ,12
( ) ( , ) 0, ( , ), ( ) , 0,
d
b V r r R R b a k k
dr
Математичне та комп’ютерне моделювання
106
1
( )2 1 2 2 22
( ) 2 1 2 2 2 2 2, ,2( ) ( , ) 0, ( , ), ( ) , 0,b V r r R R b a k k
(17)
1
( )2 1 2 2 22
, 3 2 3 3 3 3 3, ,3( ) ( , ) 0, ( , ), ( ) , 0,B b V r r R R b a k k
однорідні крайові умови (2) та однорідні умови спряження (3).
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівнян-
ня Фур’є
2
2
12
( ) 0
d
b v
dr
складають функції 1cos( )b r та 1sin( )b r [3];
фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ле-
жандра 2
( ) 2( ) 0b v складають функції *
2
( ) ( )A chr
та *
2
( ) ( )B chr
,
*
2 2
1
( )
2
ib [4]; фундаментальну систему розв’язків для диферен-
ціального рівняння Бесселя 2
, 3( ) 0B b v складають дійсні функції
Бесселя першого роду , 3( )J b r та другого роду , 3( )N b r [5].
В силу лінійності регулярної спектральної задачі Штурма-
Ліувілля (2), (3), (17) функції ( )
, ; ( , )jV r
побудуємо як лінійну комбі-
націю фундаментальної системи розв’язків [3]:
( )
1 1 1 1 0 1, ;1( , ) cos sin , ( , ),V r A b r B b r r R R
* *
2 2
( ) ( ) ( )
2 2 1 2, ;2 ( , ) ( ) ( ), ( , ),V r A A chr B B chr r R R
(18)
( )
3 , 3 3 , 3 2 3, ;3 ( , ) ( ) ( ), ( , ).V r A J b r B N b r r R R
Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення шести
величин , ( 1,3)j jA B j дають однорідну алгебраїчну систему із шес-
ти рівнянь:
01 02
11 1 0 1 11 1 0 1( ) ( ) 0,v b R A v b R B
* *
2 2
( );11 ( );1211 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2; 2 ; 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1, 2,j j j j
v b R A v b R B Y chR A Y chR B j
* *
2 2
( );21 ( );22 21 22
2 2 2 2 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3; 1 ; 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0,j jj j
Y chR A Y chR B u b R A u b R B
(19)
31 32
, ;22 3 3 3 , ;22 3 3 3( ) ( ) 0.u b R A u b R B
Введемо до розгляду функції
01 12 02 11
1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2;j j jb R b R b R b R b R b R j
* * * * *
3 2 2 2 2
( ) ( );11 ( );22 ( );12 ( );21
1 2 1 3 1 2, , 2 , 1 , 2 , 1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),
jk j k j k
chR chR Y chR Y chR Y chR Y chR
21 32
, ; 2 3 2 3 3 , ; 2 3 2 , ;22 3 3
22 31
, ; 2 3 2 , ;22 3 3
( , ) ( ) ( )
( ) ( ), , 1, 2;
j j
j
b R b R u b R u b R
u b R u b R j k
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
107
* ;22
* ;12
( )
( ); 11 1 0 1 1 1 2
( )
21 1 0 1 1 1 2
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ), 1, 2;
j
j
ja b R b R chR chR
b R b R chR chR j
*
2
*
2
( )( )
, ; , ;22 3 2 3 3 1 2; 1
( )
, ;12 3 2 3 3 1 2; 2
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ).
j j
j
b b R b R chR chR
b R b R chR chR
Для того, щоб алгебраїчна система (19) мала відмінний від нуля
розв’язок, необхідно й досить, щоб її визначник дорівнював нулю [6]:
( )
, ( );1 , ;22 3 2 3 3 ( );2 , ;12 3 2 3 3
( ) ( )
11 1 0 1 1 21 1 0 1 1, ;2 , ;1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ,
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0.
a b R b R a b R b R
b R b R b b R b R b
(20)
Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних
чисел ГДО ( )
,M
.
Згідно з роботою [1] маємо твердження.
Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені n трансцендентно-
го рівняння (20) складають дискретний спектр ГДО ( )
,M
: дійсні,
різні, симетричні відносно 0 й на числовій півосі 0 утворю-
ють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною точкою
згущення .
Підставимо в алгебраїчну систему (19) ( ( ) )n j n jnb b й від-
кинемо останнє рівняння внаслідок лінійної залежності. Якщо покласти
02 01
1 0 11 1 0 1 0 11 1 0( ), ( )n nA A v b R B A v b R , де 0A підлягає визначенню,
то перше рівняння системи перетворюється в тотожність, а наступні два
рівняння дають алгебраїчну систему для обчислення 2 2, :A B
* *
2 2
( );11 ( );12
1 2 1 2 0 1 1 0 1 1; 2 ; 2
( ) ( ) ( , ), 1, 2.
n n
j n nj j
Y chR A Y chR B A b R b R j
(21)
Алгебраїчна система (21) має єдиний розв’язок [6]:
* *
2 2
( );12 ( );120
2 21 1 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1;12 ;22
( )
[ ( , ) ( ) ( , ) ( )],
( ) n n
n n n n
n
A
A b R b R Y chR b R b R Y chR
q
*
2
*
2
( );110
2 11 1 0 1 1 1;22
( )
( );11
21 1 0 1 1 1;12
[ ( , ) ( )
( )
( , ) ( )],
n
n
n n
n
n n
A
B b R b R Y chR
q
b R b R Y chR
(22)
* 1
2 ( ) 21 ( ) 2 1
1
, ( ) ( ( ) ) .
2n n n nib q c S b shR
Математичне та комп’ютерне моделювання
108
При відомих 2 2,A B для визначення 3 3,A B маємо алгебраїчну
систему з двох рівнянь:
21 22 1
, ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 0 ( ) ( );( ) ( ) [ ( )] ( ); 1,2.j n j n n j nu b R A u b R B A q a j (23)
Алгебраїчна система (23) має єдиний розв’язок [6]:
22
0 ( ) 32 2 1
3 2
( ) ( )
3, ;2 , ;1
2
( ) ( ), ( )
( ), ( ),
n n n
n
n n
c
A q q q A
b R
B
(24)
2 2( )
, ; ( );2 3 2 ( );1 3 2, ;12 , ;22( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2.j j
j n n n n na u b R a u b R j
Підставимо визначені формулами (22) та (24) величини
, ( 1,3)j jA B j у рівності (18). Отримуємо функції:
( ) 02 01
( ) 11 1 0 1 11 1 0 1, ;1( , ) ( ) ( )[ ( )cos( ) ( )sin( )],n n n n n n nV r q q v b R b r v b R b r
*
2
*
2
( ) ( );1
11 1 0 1 1 1, ;2 ;22
( );1
21 1 0 1 1 1;12
( , ) ( )[ ( , ) ( , )
( , ) ( , ),
n
n
n n n n
n n
V r q b R b R f chR chr
b R b R f chR chr
* * * * *
2 2 2 2 2
( );1 ( );11 ( ) ( );12 ( )
1 1 1; 2 ; 2 ; 2
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),
n n n n nj j j
f chR chr Y chR B chr Y chR A chr
( ) ( ) ( )
, 3 , 3, ;3 , ;1 , ;2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ).n n n n nV r N b r J b r
(25)
Згідно формули (16) спектральна (власна) вектор-функція
( )
, ( , )nV r
стала відомою. При цьому її квадрат норми обчислюється
за стандартним правилом:
3
0
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2
, , , ,|| ( , ) || ( ( , ), ( , )) [ ( , )] ( ) .
R
n n n n
R
V r V r V r V r r dr
(26)
Згідно з роботою [1] сформулюємо твердження.
Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних функцій
( )
, 1{ ( , )}n nV r
ортогональна на множині 2I з ваговою функцією
( )r , повна й замкнена.
Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-
функція ( )g r G зображається за системою ( )
, 1{ ( , )}n nV r
абсо-
лютно й рівномірно збіжним на множині 2I рядом Фур’є:
3
0
( )
,( )
, ( ) 2
1 ,
( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) .
|| ( , ) ||
R
n
n
n nR
V r
g r g V d
V r
(27)
Якщо перейти до ортонормованої системи власних функцій
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
109
( ) ( ) ( ) 1
, 1 , , 1{ ( , )} { ( , ) : (|| ( , ) ||) } ,n n n n nr V r V r
то ряд Фур’є (27) набуде вигляду:
3
0
( ) ( )
, ,
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).
R
n n
n R
g r g v d v r
(28)
Ряд Фур’є (28) визначає пряме ( )
,H
й обернене ( )
,H
скінчен-
не гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині
2I ГДО ( )
,M
:
3
0
( ) ( )
, ,[ ( )] ( ) ( , ) ( ) .
R
n n
R
H g r g r v r r dr g
(29)
( ) ( )
, ,
1
[ ] ( , ) ( ).n n n
n
H g g v r g r
(30)
Визначимо величини та функції:
1
0
( )2 1 2 1
1 1 1 11 2 2 2 2 12 1 1 1, ;1: , : , ( ) ( , ) ,
R
n n
R
d a c d a shR c g g r v r dr
32
1 2
( ) ( ) 2 1
2 2 2 3 3 3, ;2 , ;3( ) ( , ) , ( ) ( , ) ,
RR
n n n n
R R
g g r v r shrdr g g r v r r dr
( ), ( )
2 2, ; 2 , ; 1( ) ( ) ( , ) | ; , 1, 2.
k
k k k
n m m n r Rm k
d
Z v r m k
dr
Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
1 ( ) 2 , 3( ) { ( ); [ ( )]; [ ( )]; }f r g r g r B g r неперервна на множині 2I ,
а функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0 3
0 0 3 3
11 11 1 0 22 22 3( ) ( ) | , ( ) ( ) |r R r R R
d d
g r g g r g
dr dr
(31)
та умови спряження
1 1 2 2 1[( ) ( ) ( ) ( )] ; , 1, 2,
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d d
g r g r j k
dr dr
(32)
то справджується основна тотожність СГІП ГДО ( )
,M
:
3
( ) ( ) 2 2
, ,
1
[ [ ( )]] n n i in
i
H M g r g k g
( ) ( )0 1 2 3 1
11 0 1 1 0 22 3 3, ;1 , ;3( ) ( , ) ( ) ( , )( )n n Rv R a g v R shR g
(33)
Математичне та комп’ютерне моделювання
110
2
( ), ( ),
2 1, ;12 , ;22
1
[ ( ) ( ) ].k k
k n k n k
k
d Z Z
Доведення. Згідно правила (29)
1 2
0 1
3
2
2
( )( ) ( ) 2 21
, , 1 1 2 ( ) 2, ;12
( ) ( )2 2 1
2 3 , 3 3, ;2 , ;3
[ [ ( )]] ( ) ( , ) ( [ ( )])
( , ) ( [ ( )]) ( , ) .
R R
n
R R
R
n n
R
d g
H M g r a v r dr a g r
dr
v r shrdr a B g r v r r dr
(34)
Проінтегруємо в рівності (34) під знаками інтегралів два рази
частинами:
1
0
2
1
0
1
2
1
( )
, ;1( )( ) ( ) 2 1
, , 1 1 1, ;1
( )2 ( )
, ;1 ,( )2 2 2
1 1 1 2 2 2, ;22
2 ( ) 2 2 1
2 2 ( ) , 2 3 3
[ [ ( )]] ( )
( )( ) [ ( )]
( )( [ ( , )]) [ (
R
R
RR
R R
R
n
R
dvdg
H M g r a v g
dr dr
d v dvdg
g r a dr a shr v g
dr drdr
dg
g r a v r shrdr a r
3 3
22
( )3
, ;3
, ,3 2 ( ) 2 1
3 3 3 , , 3)] ( )( [ ]) .
R R
RR
v
dr
dv
g g r a B v r dr
dr
(35)
Якщо 0
11 0 , то знаходимо, що
0
( ) ( )2
1 1 1 1, ;1 , ;1
( )2 0 1 0 0
1 1 11 11 1 0 11 0 0, ;1
( ( , ) ( , )) |
( ) [( ( ) ( )) ( , )
n n r R
n
a g v r g v r
a g R g R v R
( ) ( )0 0
11 0 11 0 1 0, ;1 , ;1( ( , ) ( )) ( )]nv R v R g R
(36)
( )2 0 1 2 0 1
1 1 11 0 0 1 1 11 1 0, ;1( ) ( , ) ( ) ( ) 0na v R g a g R
( )0 1 2
11 0 1 1 0, ;1( ) ( , ) .nv R a g
Якщо 3
22 0 , то знаходимо, що при 2
3 3 1a
3
3
( )
, ;3( )2 1 3
3 3, ;3
( )2 1 3 1 3 3
3 22 22 22 3 3, ;3
( )
( ) [( ) ( ) ( , )
r R
n
r R
dvdg
R v g
dr dr
d
R g r v R
dr
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
111
( )3 1 2 1
22 3 3, ;3( ) ( , )n Rv R R g
(37)
3
( )3 3
22 22 3 3, ;3( ) ( , ) | ( )]r R
d
v r g R
dr
( )3 1 2 1 3 1 2 1
22 3 3 3 22 3 3, ;3( ) ( ) 0 ( ) ( , ) .n RR g R v R R g
При 1k в точці спряження 1r R знаходимо, що
1 1
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 2 2 1 2 2, ;1 , ;1 , ;2 , ;2( ) | ( ) | )r R r Ra g v g v a shR g v g v
( )2 221
1 1 2 2 1 2 , ;2
11
( )( ( ) ( , )n
c
a a shR g r v r
c
1
( ) 2 1
2 1 1 11, ;2
( );1 ( );1
21 11, ;12 , ;22
( , )) |
( ( ) ( ) )
n r R
n n
g v r a c
Z Z
(38)
( );1 ( );1
1 12 11, ;12 , ;22( ( ) ( ) )n nd Z Z
1
( ) ( ) ( );1 ( );1
2 2 1 21 11, ;2 , ;2 , ;12 , ;220 ( ) | ( ( ) ( ) ),r R n ng v g v d Z Z
тому, що в силу вибору чисел 1 та 2 вираз
2 1
2 2 2 121 11 12 1 21 12 2
1 1 2 2 1 2 1
11 21 22 2 11 22 2
c c c shR c c R
a a shR R shR
c c c shR c c shR
2 112 1
2
22 2
(1 1) 0.
c shR
R
c shR
При 2k в точці спряження 2r R маємо:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1
2 2 2 2 2 3 3 2 3 3, ;2 , ;2 , ;3 , ;3( ) | ( ) |r R r Ra shR g v g v a R g v g v
2
( ) ( )2 2 1 2 122
2 2 2 2 3 3 2 2 2 12, ;3 , ;3
12
( )( ) |r R
c
a shR R g v g v a shR c
c
(39)
( );2 ( );2 ( );1 ( );1
22 12 2 22 12, ;12 , ;22 , ;12 , ;22( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ),n n n nZ Z d Z Z
тому, що в силу вибору чисел 2 та 3 вираз
2 1
2 2 1 2 1 2 122 12 2 22
2 2 2 2 2 2 2
12 22 2 12
(1 1) 0.
c c R c
a shR R shR R R
c c shR c
Із диференціальних тотожностей
( )2
, ;1 ( )2 2 2
1 1 , ;12
( ) ( )2 2 2
2 ( ) 2, ;2 , ;2
( ) ( , ) 0,
[ ] ( ) ( , ) 0,
n n
n n
d v
a k v r
dr
a v k v r
Математичне та комп’ютерне моделювання
112
( ) ( )2 2 2
3 , 3, ;3 , ;3[ ( , )] ( ) ( , ) 0v n n na B v r k v r
знаходимо диференціальні залежності:
( )2
, ;1 ( )2 2 2
1 1 , ;12
( ) ( )2 2 2
2 ( ) 2, ;2 , ;2
( ) ( )2 2 2
3 , 3, ;3 , ;3
( ) ( , ),
[ ] ( ) ( , ),
[ ( , )] ( ) ( , ).
n n
n n
n n n
d v
a k v r
dr
a v k v r
a B v r k v r
(40)
Підставимо в рівність (35) отримані функціональні співвідно-
шення (36)—(40). Одержимо вираз:
( )( ) ( ) 0 1 2
, , 11 0 1 1 0, ;1[ [ ( )]] ( ) ( , )nH M g r v R a g
( )3 1 2 1
22 3 3, ;3( ) ( , )n Rv R R g
(41)
2 3
( ), ( ), 2 2
2 1, ;12 , ;22
1 1
[ ( ) ( ) ] ( ) .k k
k n k n k n i in
k i
d Z Z k g
Оскільки
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( )n i in n in i in n n i in
i i i i
k g g k g g k g
,
то одержана тотожність (41) співпадає з тотожністю (33).
Доведення теореми завершено.
Висновок. Одержані правила (29), (30) та (33) складають мате-
матичний апарат для одержання інтегрального зображення аналітич-
ного розв’язку відповідних задач математичної фізики кусково-
однорідних середовищ.
Список використаних джерел:
1. Комаров Г. М. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені ди-
ференціальними рівняннями другого порядку / Г. М. Комаров, М. П. Ленюк,
В. В. Мороз. — Чернівці : Прут, 2001. — 228 с.
2. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальний курс / Г. Е. Ши-
лов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
3. Степанов В. В. Курс дифференциальних уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
4. Конет І.М. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока / І. М. Конет,
М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с.
5. Ленюк М. П. Исследования основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. — (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. —
432 с.
7. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економічна
думка, 2004. — 368 с.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
113
At the three-segment polar axis introduced integral transformation
generated by hybrid differential Fourier-Legendre-Bessel. EXPRESS own
items to the operator.
Key words: hybrid differential operators, spectral problem, the fun-
damental system of solutions, custom elements.
Отримано: 21.02.2013
УДК 517.96
В. А. Літовченко, д-р фіз.-мат. наук,
І. М. Довжицька, здобувач
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці
ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ ПАРАБОЛІЧНИХ
СИСТЕМ ТИПУ ШИЛОВА З НЕВІД’ЄМНИМ РОДОМ
Для одного класу параболічних систем рівнянь типу Ши-
лова з невід’ємним родом і гладкими обмеженими коефіцієн-
тами, залежними від просторової й часової змінних, наведено
твердження про стабілізацію розв’язків задачі Коші та сфор-
мульовано теорему типу Ліувілля.
Ключові слова: параболічні за Шиловим системи із змін-
ними коефіцієнтами, задача Коші, узагальнені початкові дані,
стабілізація розв’язків задачі Коші.
Вступ. У класичній теорії параболічних систем рівнянь із час-
тинними похідними ключове місце займає фундаментальна матриця
розв’язків задачі Коші (ФМРЗК). Детальне дослідження цієї матриці
дозволяє встановити розв’язність відповідної задачі Коші у різних
функціональних просторах, описати класи коректності та єдиності
для цієї задачі, одержати різні форми зображення її розв’язків, за до-
помогою яких з’ясувати їх якісні властивості, зокрема, принцип ло-
калізації, стабілізацію, стійкість, теореми типу Ліувілля тощо [1—6].
Розвиваючи ідею Я. І. Житомирського [7] опису параболічно
стійких до зміни коефіцієнтів систем рівнянь із частинними похідни-
ми, у [8] означено широкий клас параболічних систем із змінними
коефіцієнтами, який істотно розширює клас параболічних за Шило-
вим систем рівнянь з невід’ємним родом та гармонічно доповнює
клас Петровського параболічних систем рівнянь першого порядку
стосовно часової змінної. Для таких систем побудовано фундамента-
льну матрицю розв’язків задачі Коші, досліджено її основні власти-
вості, доведено коректну розв’язність задачі Коші у класі узагальне-
© В. А. Літовченко, І. М. Довжицька, 2013
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|