Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) побудовано гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 ≥ 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Фур’є-Ейлера....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86482 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 163-173. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86482 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-864822015-09-19T03:01:34Z Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі Нікітіна, О.М. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) побудовано гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 ≥ 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Фур’є-Ейлера. The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) introduced a hybrid integral transformations, generated by the polar axis r ≥ R0 ≥ 0 with two points of interface hybrid differential Euler-Fourier-Euler. 2013 Article Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 163-173. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86482 517.532.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) побудовано гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 ≥ 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Фур’є-Ейлера. |
| format |
Article |
| author |
Нікітіна, О.М. |
| spellingShingle |
Нікітіна, О.М. Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Нікітіна, О.М. |
| author_sort |
Нікітіна, О.М. |
| title |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі |
| title_short |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі |
| title_full |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі |
| title_fullStr |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі |
| title_full_unstemmed |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі |
| title_sort |
інтегральне перетворення типу ейлера-фур’є-ейлера на полярній осі |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86482 |
| citation_txt |
Інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є-Ейлера на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 163-173. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT níkítínaom íntegralʹneperetvorennâtipuejlerafurêejleranapolârníjosí |
| first_indexed |
2025-07-06T13:58:17Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:58:17Z |
| _version_ |
1836906235232780288 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
163
3. Baudet G. M. Asynchronous Iterative Methods for Multiprocessors /
G. M. Baudet // Journal of the Association for Computing Machinery. —
1978. — Vol. 25, №2. — P. 226–244.
4. Baudet G. M. The Design and Analysis of the Algorithms for Asynchronous
Multiprocessors / G. M. Baudet // Ph. D. Diss. — Pittsburg : Carnegie-Mellon
Univ., PA, 1978. — 182 p.
5. El Tarazi M. N. Some convergence results for asynchronous algorithms / M. N. El
Tarazi // Numerische Mathematik. — 1982. — Vol. 39, №3. — P. 325–340.
6. Нестеренко Б. Б. Основы асинхронных методов параллельных вычислений /
Б. Б. Нестеренко, В. А. Марчук. — К. : Наукова думка, 1989. — 176 с.
7. Новотарський М. А. Штучні нейронні мережі: обчислення / М. А. Новотарсь-
кий, Б. Б. Нестеренко. — К. : Інститут математики НАН України, 2004. — 408 с.
8. Исследование основ функционирования и разработка реконструктивних
операций на полых органах пищеварительной системы методами матема-
тического моделирования / С. П. Жученко, А. П. Жученко, Г. Я. Костюк,
Б. Б. Нестеренко. — Винница : Вингосмедуниверситет, 1996. — 385 с.
The basic principles of unsteady mathematical model of the fluid flow
under the action of peristaltic fluctuations are presented. The parallel lo-
cally asynchronous method is used to implement the model on parallel
computer systems. Results of numerical experiments are described.
Key words: mathematical model, locally asynchronous method, peri-
staltic process, triplex.
Отримано: 15.03.2013
УДК 517.532.2
О. М. Нікітіна, канд. фіз.-мат. наук
Чернівецький факультет національного технічного університету
«Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці
ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ
ЕЙЛЕРА-ФУР’Є-ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) по-
будовано гібридне інтегральне перетворення, породжене на
полярній осі 0 0r R з двома точками спряження гібридним
диференціальним оператором Ейлера-Фур’є-Ейлера.
Ключові слова: диференціальний оператор Ейлера, диферен-
ціальний оператор Фур’є, гібридне інтегральне перетворення,
ядро Діріхле, вагова функція, спектральна функція, спектральна
щільність, інтегральне зображення, основна тотожність.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних
матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математич-
но приводить до знаходження інтегрального зображення аналітично-
© О. М. Нікітіна, 2013
Математичне та комп’ютерне моделювання
164
го розв’язку мішаної задачі для сепаратної системи диференціальних
рівнянь параболічного (гіперболічного) типу другого порядку на кус-
ково-однорідному інтервалі. Ефективним методом розв’язання таких
задач є метод гібридних інтегральних перетворень, започаткований в
роботі [1]. Основні положення теорії гібридних інтегральних перет-
ворень закладено в монографії [2]. Пропонована стаття присвячена
запровадженню одного з типів гібридних інтегральних перетворень.
Основна частина. Побудуємо методом дельта-подібної послі-
довності інтегральне перетворення, породжене на множині
2 0 1 1 2 2 0: ( , ) ( , ) ( , ); 0I r r R R R R R R
гібридним диференціальним оператором (ГДО)
1
2
2 *
( ) 0 1 1 1
2
2 2 *
2 2 2 3 1 22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( , ).
M r R R r a B r R
d
R r a r R a B
dr
(1)
У рівності (1): ( )x — одинична функція Гевісайда [3],
2
* 2 2
2
(2 1)
j j j
d d
B r r
drdr
— диференціальний оператор Ейлера
другого порядку [4],
2
2
d
dr
— диференціальний оператор Фур’є друго-
го порядку [4]; 2 1 0j .
Означення. Областю визначення ГДО ( )M назвемо множину
G вектор-функцій 1 2 3( ) { ( ); ( ); ( )}g r g r g r g r з такими властивостями:
1) вектор-функція
1 2
*
1 2 3( ) [ ( )]; ( )]; [ ( )]f r B g r g r B g r неперервна на
множині 2I ; 2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0
0 0
11 11 1 3( ) 0, lim[ ( )] 0;r R
r
d
g r r g r
dr
(2)
3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1[( ) ( ) ( ) ( )] 0, , 1,2
k
k k k k
j j k j j k r R
d d
g r g r j k
dr dr
(3)
Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти: 0
11 0 ,
0
11 0 , 0 0
11 11| | 0 , 0k
jm , 0k
jm , 1 2 0k kc c , 2 1
k k
jk j jc
1 2
k k
j j ; , 1,2.j k
Визначимо числа
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
165
2
1
2 1
2 11 12 1
1 1 2 1
21 22 1
Rc c
a
c c R
, 22 12 12
2 2 2
22
c
a R
c
, 2
3 3 1a ,
вагову функцію
1 22 1 2 1
0 1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r R R r r r R R r r R r
та скалярний добуток
1
1
0 0
2
2
1 2
2 1
1 1 1
2 1
2 2 2 3 3 3
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ; , .
R
R R
R
R R
u r v r u r v r r dr u r v r r dr
u r v r dr u r v r r dr u G G
(4)
Наведемо необхідні в подальшому твердження.
Лема 1. Для вектор-функції ( )u r G та ( )r G справджується
базова тотожність
2
1 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
k
k
k k k k r R
k
k k k k
k r R
u r v r u r v r
c
u r v r u r v r
c
(5)
Зауваження. Якщо для компонент ( )ju r вектор-функції умови
спряження будуть неоднорідними
1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1,2,
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d d
u r u r j k
dr dr
(6)
то базова тотожність (5) матиме вигляд:
2
1 1 1 1
1
12 12 1 2 22 22 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
[( ) ( ) ],
k
k
kk
k k k k r R
k
k k k k
k r R
k k k k
k k k
k r Rr R
u r v r u r v r
c
u r v r u r v r
c
d d
c dr dr
(7)
де ( )r G , 1, 2.k
Лема 2. Гібридний диференціальний оператор ( )M , визначений
рівністю (1), самоспряжений:
( ) ( )[ ], ( ) ( ), [ ] .M u v r u r M v
Доведення лем один та два стандартне [2].
Математичне та комп’ютерне моделювання
166
Із самоспряженості оператора ( )M випливає, що його власні чис-
ла дійсні. Оскільки ГДО ( )M має одну особливу точку r , то
його спектр неперервний [2]. Можна вважати, що спектральний па-
раметр (0, ) . Йому відповідає дійсна спектральна функція
( ) 0 1 ( );1
1 2 ( );2 2 ( );3
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).
V r r R R r V r
r R R r V r r R V r
(8)
При цьому функції ( ); ( , )jV r повинні задовольняти відповідно
диференціальні рівняння
1
* 2
1 ( );1 0 1( , ) 0, ( , )B b V r r R R ,
2
2
2 ( );2 1 22
( , ) 0, ( , )
d
b V r r R R
dr
, (9)
2
* 2
3 ( );3 2( , ) 0, ( , ),B b V r r R
крайові умови (2) та умови спряження (3); 1 2 2 1/2( )j j jb a k , 2 0jk .
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння
Ейлера * 2( ) 0B b v утворюють функції cos( ln )r b r та sin( ln )r b r
[4]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння
Фур’є
2
2
22
( ) 0
d
b
dr
утворюють функції 2cosb r та 2sin b r [4].
В силу лінійності сингулярної спектральної задачі (2), (3), (9)
покладемо ( ); ( , )jV r як лінійну комбінацію фундаментальної сис-
теми розв’язків:
1 1
( );1 1 1 1 1( , ) cos( ln ) sin( ln )V r A r b r B r b r
,
( );2 2 2 2 2( , ) cos( ) sin( )V r A b r B b r , (10)
2 2
( );3 3 3 3 3( , ) cos( ln ) sin( ln )V r A r b r B r b r
.
Крайова умова в точці 0r R та умови спряження (3) для визна-
чення шести величин jA , ( 1,3)jB j дають однорідну алгебраїчну
систему з п’яти рівнянь:
1 1
01 02
;11 1 0 1 ;11 1 0 1( , ) ( , ) 0;Y b R A Y b R B
1 1
11 12 11 12
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( ) 0, 1, 2;j j j jY b R A Y b R B b R A b R B j
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
167
2 2
21 22 21 22
1 2 2 2 1 2 2 2 ; 2 3 2 3 ; 2 3 2 3( ) ( ) ( , ) ( , ) 0.j j j jb R A b R B Y b R A Y b R B (11)
Алгебраїчна система (11) сумісна. Розв’язок її одержуємо зви-
чайним способом [5]. Нехай
1 1
02 01
1 0 ;11 1 0 1 0 ;11 1 0( , ), ( , )A A Y b R B A Y b R ,
де 0 0A підлягає визначенню. Перше рівняння системи переходить
в тотожну рівність. Для обчислення 2 2,A B маємо алгебраїчну систему
з двох рівнянь:
1
11 12
1 2 1 2 2 2 1 2 0 ; 1 1 0 1( ) ( ) ( ; , ), 1,2.j j jb R A b R B A b R R j (12)
Звідси знаходимо, що
1 1
12 120
2 ;21 1 0 1 12 2 1 ;11 1 0 1 22 2 1
21 2
[ ( ; , ) ( ) ( ; , ) ( )],
A
A b R R b R b R R b R
c b (13)
1 1
11 110
2 ;11 1 0 1 22 2 1 ;21 1 0 1 12 2 1
21 2
[ ( ; , ) ( ) ( ; , ) ( )].
A
B b R R b R b R R b R
c b
У рівностях (11)—(13) прийняті позначення:
1 1 1
; ( , ) [( ) cos( ln ) sin( ln )] ,m m m m
jk m jk jk m m m jk m mY b R R b R bR b R R
2 1 1
; ( , ) [( )sin( ln ) cos( ln )] ,m m m m
jk m jk jk m m m jk m mY b R R b R bR b R R
1
2
( ) sin( ) cos( ),
( ) cos sin ;
m m m
jk m jk m jk m
m m m
jk m jk m jk m
bR b bR bR
bR b bR bR
1 1 1 1 1
01 12 02 11
; 1 1 0 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( ; , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ); 1,2.j j jb R R Y b R Y b R Y b R Y b R j
При відомих 2 2,A B для визначення величин 3 3,A B отримуємо
алгебраїчну систему з двох рівнянь:
2 2 1
21 22 1
; 2 3 2 3 ; 2 3 2 3 0 21 2 ;( , ) ( , ) [ ] ( ), 1,2.j j jY b R A Y b R B A c b a j
(14)
У системі (14) беруть участь функції:
11 22 12 21
2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ); 1, 2;jk j k j kb R b R b R b R b R b R j
1 1 1; ;11 1 0 1 2 2 1 2 2 ;21 1 0 1 1 2 1 2 2( ) ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( , ).j j ja b R R b R b R b R R b R b R
Із алгебраїчної системи (14) одержуємо:
2(2 1)
0 21 2 22 3 3 ( );2 3 ( );12 , ( ), ( ),A c b c b R A B
(15)
1 12 2
2 2
( ); ;1 3 2 ;2 3 2;22 ;12( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ); 1, 2.j j
j a Y b R a Y b R j
Підставимо визначені формулами (13) та (15) величини ,j jA B у
рівності (10). Маємо функції:
2 1
1
1
1
(2 1) 02
( );1 21 2 22 3 ;11 1 0 12
01
;11 1 0 1
( , ) [ ( ; ) cos( ln )
( ; ) sin( ln )],
V r c b c b R Y b R r b r
Y b R r b r
Математичне та комп’ютерне моделювання
168
2
1
1
(2 1) 1
( );2 22 3 ;21 1 0 1 12 2 1 22
1
;11 1 0 1 22 2 1 2
( , ) [ ( ; , ) ( , )
( ; , ) ( , )],
V r c b R b R R b R b r
b R R b R b r
1 12 11
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2( , ) ( ) cos ( )sin ,j j jb R b r b R b r b R b r (16)
2
( );3 ( );2 3 ( );1 3( , ) [ ( ) cos( ln ) ( )sin( ln )] .V r b r b r r
Згідно рівності (8) спектральна функція ( ) ( , )V r визначена.
Наявність вагової функції ( )r , спектральної функції ( ) ( , )V r
та спектральної щільності
1 2 2 1
( ) 3 ( );1 ( );2( ) [ ( )] ([ ( )] [ ( )] )b
дозволяє визначити пряме ( )H та обернене 1
( )H
інтегральне перет-
ворення, породжене на множині 2I ГДО ( )M [2]:
0
( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ).n
R
H g r g r V r r dr g
(17)
1
( ) ( ) ( )
0
2
[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ).nH g g V r d g r
(18)
Математичним обґрунтуванням правил (17), (18) є твердження.
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо функція
1 2
1 1
2 2
0 1 1 2 2( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ] ( )f r r R R r r r R R r r R r g r
неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині
0( , )R , то для будь-якого 2r I має місце інтегральне зображення
0
( ) ( ) ( )
0
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) .
R
g r V r g V d d
(19)
Доведення. В основі доведення теореми знаходиться невласний
подвійний інтеграл
( ) ( ) ( )
0
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ),I V r d V r r dr
(20)
якщо (0, ) , та дорівнює нулю, якщо (0, ) .
Функція ( ) забезпечує абсолютну й рівномірну збіжність
внутрішнього інтегралу. Рівність (20) встановлюється методом дель-
та-подібної послідовності — ядро Діріхле [6].
Припустимо тепер, що функція
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
169
( ) ( )
0
2
( ) ( ) ( , ) ( ) .g r V r d
(21)
Помножимо рівність (21) на вираз ( ) ( , ) ( )V r r dr й проінтегрує-
мо по r від 0r R до r . Внаслідок рівності (20) маємо:
0
0
( )
( ) ( ) ( )
0
( ) ( , ) ( )
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
( ), якщо (0, )
0, (0, ).
R
R
g r V r r dr
V r d V r r dr
якщо
(22)
Підставивши визначену формулою (22) функцію
0
( )( ) ( ) ( , ) ( )
R
g V d
у рівність (21), приходимо до інтегрального зображення (19).
Доведення теореми завершено.
Зауваження. Якщо функція ( )g r кусково-неперервна, то в рів-
ності (19) треба ( )g r замінити на
1
[ ( 0) ( 0)].
2
g r g r
Введемо до розгляду величини та функції:
12 12 1 2 1
1 1 1 11 2 2 2 121 ,d a R c d a c ,
1
1
0
2 1
1 1 ( );1 1( ) ( ) ( , ) ,
R
R
g g r V r r dr
2
2
1 2
2 1
2 2 ( );2 2 3 3 ( );3 3( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , )
R
n n
R R
g g r V r dr g g r V r r dr
,
( ); 2 2 2 ( ); 1( ) ( , ) ; , 1,2.
k
k k k
i i i k n r R
d
Z V r i k
dr
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо функція
1
*
1( ) { [ ( )];f r B g r
2
*
2 2( ); [ ( )]}g r B g r неперервна на множині 2I , а
функції ( )jg r задовольняють крайові умови
Математичне та комп’ютерне моделювання
170
0
2
0 0
11 11 1 0
( );32 1 3
( );3 3
( ) ,
lim 0
r R
r
d
g r g
dr
dVdg
r V g
dr dr
(23)
та умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) ,
, 1, 2,
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d d
g r g r
dr dr
j k
(24)
то справджується основна тотожність інтегрального перетворення
ГДО ( )M , визначеного рівністю (1):
3
2 2
( ) ( )
1
0 1 2 2 1
11 ( );1 0 1 1 0 0
2
( );12 2 ( );22 1
1
[ [ ( )]] ( ) ( )
( ) ( , )
( ) ( ) .
i i
i
n
k k
k n k n k
k
H M g r g k g
V R a R g
d Z Z
(25)
Доведення. Згідно правила (17) маємо, що
0
( ) ( ) ( ) ( )[ [ ( )]] [ ( )] ( , ) ( )n
R
H M g r M g r V r r dr
1
1
1
0
2 12 *
1 1 ( );1 1[ ( )] ( , )
R
n
R
a B g r V r r dr
(26)
2
2
2
1 2
2
2 12 2 *2
2 ( );2 2 3 3 ( );3 32
( , ) [ ( )] ( , ) .
R
n n
R R
d g
a V r dr a B g r V r r dr
dr
Проінтегруємо у рівності (26) під знаком інтегралів два рази час-
тинами:
1
1
0
1
1
0
( );12 12 1
( ) ( ) 1 1 ( );1 1
2 *
1 1 ( );1
[ [ ( )]]
( )( [ ( , )])
R
R
R
n
R
dVdg
H M g r a r V g
dr dr
g r a B V r
21
1
( );22 1 2 2
1 2 2 ( );2 2
R
R
dVdg
r dr a V g
dr dr
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
171
2
1
2
( );22
2 2 22
( )
R
R
d V
g r a dr
dr
(27)
2
2
2
2
2
( );32 1 3
( );3 3
2 12 *
3 3 ( );3 3( ) [ ( , )] .
R
n
R
dVdg
r V g
dr dr
g r a B V r r dr
Якщо 0
11 0 , то маємо:
1
1
2 1 2
1 0 0 1 0 ( );1 0 1 10 ( );1
2 10 1 2 0 0
11 1 1 11 1 0 11 1 0 ( );1 00
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) [ ( ) ( ) ( , )
n n
n
R g R V R g R V R a
a R g R g R V R
1
0
0 ' 0
11 1 0 ( );1 11 1 0 ( );1 0
2 10 1 2 0 0
11 ( );1 0 1 1 11 11 10
( ) ( ) ( , )]
( ) ( , ) [( ) ( )]
n
n r R
g R V g R V R
d
V R a R g r
dr
(28)
1
0
2 10 1 2 0 0
11 1 1 1 0 11 11 ( );10( ) ( ) [( ) ( , )] r R
d
a R g R V r
dr
12 10 1 2
11 ( );1 0 1 1 00( ) ( , ) .V R a R g
Внаслідок базової тотожності (7) при 1k знаходимо, що
1
1
1
( );12 12 1
1 1 ( );1 11
( );22 2
2 2 ( );2 2
( )
( )
r R
r R
dVdg
a R V g
dr dr
dVdg
a V g
dr dr
12 12 221 2
1 1 2 2 ( );21
11
( )(
c dg
a R a V
c dr
(29)
1
( );2 2 12 1
2 1 1 111
1
)
dV
g a R c
r Rdr
1 1 1 1
( );12 21 ( );22 11 1 ( );12 21 ( );22 11( ) ( ) ( ) ( ) ,Z Z d Z Z
тому що в силу вибору чисел 1 та 2 вираз
1 2 2 22 1 2 1 2 1 2 12 221 11 12 21 12 12
1 1 2 21 2 2 2
11 21 22 11 22 22
(1 1) 0.
c c c c c c
a R a R R R
c c c c c c
Математичне та комп’ютерне моделювання
172
Внаслідок базової тотожності (7) при 2k знаходимо, що
2
( );22 2
2 2 ( );2 2( )
r R
dVdg
a V g
dr dr
2
2
2
2
( );32 1 23
( );3 3 3 32
( );32 12 2 322
2 2 3 3 ( );3 32
12
( )
( )( )
r R
r R
dVdg
R V g a
dr dr
dVdgc
a a R V g
c dr dr
(30)
2 1 2 2 2 2
2 2 12 ( );12 22 ( );22 12 2 ( );12 22 ( );22 12[ ( ) ( ) ] ( ) ( )a c Z Z d Z Z ,
тому що в силу вибору чисел 2 та 3 вираз
2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 12 222 12 22
2 2 3 3 2 2 2 2
12 22 12
(1 1) 0
c c c
a a R R R R
c c c
.
Із диференціальних тотожностей
1
2
2 * 2 2 2 2 2
1 1 ( );1 2 2 ( );22
[ ( )] ( , ) 0, [ ( )] ( , ) 0,n
d
a B k V r a k V r
dr
2
2 * 2 2
3 3 ( );3[ ( )] ( , ) 0a B k V r
знаходимо, що
1
2 * 2 2
1 ( );1 1 ( );1[ ( , )] ( ) ( , ),a B V r k V r
2
2 2 2
2 ( );2 2 ( );22
( , ) ( ) ( , ),
d
a V r k V r
dr
(31)
2
2 * 2 2
3 ( );3 3 ( );3[ ( , )] ( ) ( , ).na B V r k V r
В силу умови обмеженості
2
( );32 1 3
( );3 3lim [ ( ( , ) ( ) )] 0.
r
dVdg
r V r g r
dr dr
(32)
Підставимо одержані функціональні залежності (28)—(32) у рів-
ність (27). Будемо мати:
12 10 2
( ) ( ) 11 ( );1 0 1 1 00
2 3
2 2
( );12 2 ( );22 1
1 1
[ [ ( )]] ( ) ( , )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ).k k
k k k i i
k i
H M g r V R a R g
d Z Z k g
(33)
Оскільки
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),i i i i i i i
i i i i
k g g k g g k g
то рівність (33) співпадає з рівністю (25).
Доведення теореми завершено.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 8
173
Висновок. Побудовані правила (17), (18) та (25) складають ма-
тематичний апарат для одержання інтегрального зображення точного
аналітичного розв’язку відповідних задач математичної фізики кус-
ково-однорідних середовищ.
Список використаних джерел:
1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро-
сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93–106.
2. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1. / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ.
думка, 2004. — 368 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : 1971. — 432 с.
6. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера — (Фурє,
Бесселя) / М. П. Ленюк. — Львів, 2009. — 76 с. — (Препринт /
НАН України. Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача; 02.09).
The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) introduced a hy-
brid integral transformations, generated by the polar axis 0 0r R with
two points of interface hybrid differential Euler-Fourier-Euler.
Key words: differential operator Euler, differential operator Fourier,
hybrid integral transformation, kernel Dirichlet, weight function, spectral
function, spectral density, integral image, the main identity.
Отримано: 18.03.2013
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|